0 rəqəmi real ədədlər dünyasını xəyali və ya mənfi olanlardan ayıran bir növ sərhəd kimi göstərilə bilər. Birmənalı olmayan mövqeyə görə, bu ədədi dəyəri olan bir çox əməliyyatlar riyazi məntiqə tabe olmur. Sıfıra bölmənin qeyri-mümkünlüyü bunun bariz nümunəsidir. Sıfırla icazə verilən arifmetik əməliyyatlar ümumi qəbul edilmiş təriflərdən istifadə etməklə edilə bilər.

Sıfırın tarixi

Sıfır bütün standart say sistemlərində istinad nöqtəsidir. Avropalılar bu rəqəmdən nisbətən yaxınlarda istifadə etməyə başladılar, lakin qədim Hindistanın müdrikləri boş rəqəmdən avropalı riyaziyyatçılar tərəfindən müntəzəm olaraq istifadə edilənə qədər min il ərzində sıfırdan istifadə edirdilər. Hindlilərdən əvvəl də sıfır Maya ədədi sistemində məcburi dəyər idi. Bu Amerika xalqı on ikilik sistemdən istifadə edirdi və onlar hər ayın ilk gününə sıfırla başlayırdılar. Maraqlıdır ki, mayyalar arasında “sıfır” işarəsi “sonsuzluq” işarəsi ilə tamamilə üst-üstə düşürdü. Beləliklə, qədim Mayyalılar bu kəmiyyətlərin eyni və bilinməz olduğu qənaətinə gəldilər.

Sıfırla riyazi əməliyyatlar

Sıfırla standart riyazi əməliyyatlar bir neçə qaydaya endirilə bilər.

Əlavə: ixtiyari ədədə sıfır əlavə etsəniz, o, öz qiymətini dəyişməyəcək (0+x=x).

Çıxarma: hər hansı bir ədəddən sıfır çıxdıqda çıxılanın qiyməti dəyişməz qalır (x-0=x).

Çarpma: istənilən ədədi 0-a vurmaq hasildə 0 verir (a*0=0).

Bölmə: Sıfır sıfırdan fərqli istənilən ədədə bölünə bilər. Bu halda, belə bir kəsrin dəyəri 0 olacaq. Və sıfıra bölmək qadağandır.

Ekponentasiya. Bu hərəkət istənilən nömrə ilə edilə bilər. Sıfırın gücünə qaldırılan ixtiyari ədəd 1 (x 0 =1) verəcəkdir.

Hər hansı bir gücə sıfır 0-a bərabərdir (0 a \u003d 0).

Bu halda dərhal bir ziddiyyət yaranır: 0 0 ifadəsinin mənası yoxdur.

Riyaziyyatın paradoksları

Sıfıra bölmənin qeyri-mümkün olduğunu çoxları məktəbdən bilir. Amma nədənsə belə qadağanın səbəbini açıqlamaq mümkün deyil. Həqiqətən, niyə sıfıra bölmə düsturu mövcud deyil, lakin bu rəqəmlə digər hərəkətlər olduqca ağlabatan və mümkündür? Bu sualın cavabını riyaziyyatçılar verir.

Məsələ burasındadır ki, məktəblilərin ibtidai siniflərdə oxuduqları adi hesab əməliyyatları əslində düşündüyümüz qədər bərabərlikdən uzaqdır. Rəqəmlərlə bütün sadə əməliyyatlar ikiyə endirilə bilər: toplama və vurma. Bu əməliyyatlar ədəd anlayışının mahiyyətini təşkil edir və qalan əməliyyatlar bu ikisinin istifadəsinə əsaslanır.

Toplama və vurma

Standart çıxma nümunəsini götürək: 10-2=8. Məktəbdə buna sadəcə olaraq baxılır: on obyektdən ikisi götürülərsə, səkkizi qalır. Amma riyaziyyatçılar bu əməliyyata tamam başqa cür baxırlar. Axı onlar üçün çıxma əməliyyatı yoxdur. Bu misal başqa cür də yazıla bilər: x+2=10. Riyaziyyatçılar üçün naməlum fərq sadəcə olaraq səkkiz olmaq üçün ikiyə əlavə edilməli olan ədəddir. Və burada heç bir çıxma tələb olunmur, sadəcə uyğun ədədi dəyər tapmaq lazımdır.

Çoxalma və bölmə eyni şəkildə aparılır. 12:4=3 misalında başa düşmək olar ki, söhbət səkkiz obyektin iki bərabər yığına bölünməsindən gedir. Ancaq əslində bu, 3x4 \u003d 12 yazmaq üçün sadəcə tərs bir düsturdur. Bölmə üçün bu cür nümunələr sonsuz olaraq verilə bilər.

0-a bölmək üçün nümunələr

Sıfıra bölünməyin niyə mümkün olmadığı burada bir az aydın olur. Sıfıra vurma və bölmənin öz qaydaları var. Bu kəmiyyətin bölünməsinə görə bütün nümunələr 6:0=x şəklində tərtib edilə bilər. Lakin bu, 6 * x = 0 ifadəsinin tərs ifadəsidir. Ancaq bildiyiniz kimi, istənilən ədədi 0-a vurmaq hasildə yalnız 0 verir.Bu xassə sıfır dəyər anlayışının özünə xasdır.

Belə çıxır ki, 0-a vurulduqda hər hansı maddi qiymət verən belə bir ədəd yoxdur, yəni bu məsələnin həlli yoxdur. Belə cavabdan qorxmaq lazım deyil, bu tip problemlərə təbii cavabdır. Sadəcə 6:0 yazmağın heç bir mənası yoxdur və heç nə izah edə bilməz. Bir sözlə, bu ifadəni ölməz “sıfıra bölmək olmaz” ilə izah etmək olar.

0:0 əməliyyatı varmı? Doğrudan da, 0-a vurma əməliyyatı qanunidirsə, sıfırı sıfıra bölmək olarmı? Axı 0x5=0 formasında olan tənlik kifayət qədər qanunidir. 5 rəqəminin yerinə 0 qoya bilərsiniz, məhsul bundan dəyişməyəcək.

Həqiqətən, 0x0=0. Ancaq yenə də 0-a bölmək olmaz. Dediyi kimi, bölmə vurmanın tərsidir. Beləliklə, misalda 0x5=0 olarsa, ikinci amili təyin etmək lazımdırsa, 0x0=5 alırıq. Və ya 10. Və ya sonsuzluq. Sonsuzluğu sıfıra bölmək - bunu necə bəyənirsiniz?

Amma hər hansı bir rəqəm ifadəyə uyğun gəlirsə, o zaman mənası yoxdur, biz sonsuz ədədlər toplusundan birini seçə bilmərik. Əgər belədirsə, bu o deməkdir ki, 0:0 ifadəsinin mənası yoxdur. Belə çıxır ki, hətta sıfırın özü də sıfıra bölünə bilməz.

ali riyaziyyat

Sıfıra bölmək orta məktəb riyaziyyatı üçün başağrısıdır. Texniki universitetlərdə öyrənilən riyazi analiz həlli olmayan problemlər anlayışını bir qədər də genişləndirir. Məsələn, artıq məlum olan 0:0 ifadəsinə məktəb riyaziyyat kurslarında həlli olmayan yeniləri əlavə olunur:

• sonsuzluğun sonsuzluğa bölünməsi: ∞:∞;
• sonsuzluq mənfi sonsuzluq: ∞−∞;
• sonsuz gücə qaldırılmış vahid: 1 ∞ ;
• sonsuzluğun 0-a vurulması: ∞*0;
• bəzi başqaları.

Belə ifadələri elementar üsullarla həll etmək mümkün deyil. Lakin ali riyaziyyat, bir sıra oxşar nümunələr üçün əlavə imkanlar sayəsində yekun həllər verir. Bu, xüsusilə məhdudiyyətlər nəzəriyyəsindən problemlərin nəzərdən keçirilməsində özünü göstərir.

Qeyri-müəyyənliyin açıqlanması

Limitlər nəzəriyyəsində 0 qiyməti şərti sonsuz kiçik dəyişənlə əvəz olunur. İstədiyiniz dəyəri əvəz edərkən sıfıra bölünmənin alındığı ifadələr çevrilir. Aşağıda adi cəbri çevrilmələrdən istifadə edərək limit genişləndirilməsinin standart nümunəsi verilmişdir:

Nümunədə gördüyünüz kimi, kəsrin sadə şəkildə azaldılması onun dəyərini tamamilə rasional cavaba gətirir.

Triqonometrik funksiyaların hədlərini nəzərdən keçirərkən, onların ifadələri ilk əlamətdar həddə qədər azalmağa meyllidir. Limit əvəz edildikdə məxrəcin 0-a getdiyi hədləri nəzərdən keçirərkən, ikinci əlamətdar hədd istifadə olunur.

L'Hopital metodu

Bəzi hallarda ifadələrin həddi onların törəmələrinin həddi ilə əvəz edilə bilər. Guillaume Lopital - Fransız riyaziyyatçısı, Fransız riyazi analiz məktəbinin banisi. O, sübut etmişdir ki, ifadələrin hüdudları bu ifadələrin törəmələrinin hüdudlarına bərabərdir. Riyazi qeydlərdə onun qaydası aşağıdakı kimidir.

Limitlərin həlli üsulları. Qeyri-müəyyənliklər.
Funksiya artım qaydası. Əvəzetmə üsulu

Misal 4

Həddini tapın

Bu, öz əlinizlə həll üçün daha sadə bir nümunədir. Təklif olunan nümunədə, yenə qeyri-müəyyənlik (kökdən daha yüksək böyümə sırası).

"x" "mənfi sonsuzluğa" meyllidirsə

Bu yazıda çoxdan "mənfi sonsuzluğun" xəyalı dolanır. Çoxhədləri olan limitləri nəzərdən keçirin. Həll prinsipləri və üsulları bir sıra nüanslar istisna olmaqla, dərsin birinci hissəsində olduğu kimi tamamilə eyni olacaq.

Praktik tapşırıqları həll etmək üçün lazım olan 4 çipi nəzərdən keçirin:

1) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız müddətdən asılıdır, çünki o, ən yüksək artım sırasına malikdir. Əgər, onda sonsuz böyük modul EVEN gücünə mənfi ədəd, bu halda - dördüncü, "plus sonsuzluğa" bərabərdir: . Sabit ("iki") müsbət, buna görə də:

2) Limiti hesablayın

Budur yenidən ali təhsil hətta, buna görə də: . Ancaq qarşıda bir "minus" var ( mənfi sabit –1), buna görə də:

3) Limiti hesablayın

Limitin dəyəri yalnız ondan asılıdır. Məktəbdən xatırladığınız kimi, tək dərəcənin altından "minus" "çıxır", yəni sonsuz böyük modul mənfi ədədi TƏK gücə çevirin"mənfi sonsuzluğa" bərabərdir, bu halda: .
Sabit ("dörd") müsbət, deməkdir:

4) Limiti hesablayın

Kənddə birinci oğlan yenə var qəribə dərəcə, üstəlik, qoynunda mənfi sabit, yəni: Beləliklə:
.

Misal 5

Həddini tapın

Yuxarıdakı məqamlardan istifadə edərək, burada qeyri-müəyyənliyin olduğu qənaətinə gəlirik. Paylayıcı və məxrəc eyni artım sırasına malikdir, yəni limitdə sonlu ədəd alınacaqdır. Bütün qızartmaları atmaqla cavabı öyrənirik:

Həll mənasızdır:

Misal 6

Həddini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Və indi, bəlkə də ən incə hallar:

Misal 7

Həddini tapın

Böyük şərtləri nəzərə alsaq, burada qeyri-müəyyənlik olduğu qənaətinə gəlirik. Numerator məxrəcdən daha yüksək artım sırasına malikdir, buna görə də dərhal limitin sonsuz olduğunu söyləyə bilərik. Bəs hansı sonsuzluq, “artı” və ya “mənfi”? Qəbul eynidir - say və məxrəcdə kiçik şeylərdən qurtulacağıq:

Qərar veririk:

Pay və məxrəci bölün

Misal 15

Həddini tapın

Bu, özünüz etməyin bir nümunəsidir. Dərsin sonunda bitirmənin təxmini nümunəsi.

Dəyişən əvəzetmə mövzusunda daha bir neçə maraqlı nümunə:

Misal 16

Həddini tapın

Limitdə birini əvəz etmək qeyri-müəyyənliklə nəticələnir. Dəyişənin dəyişdirilməsi artıq təklif olunur, lakin əvvəlcə düsturdan istifadə edərək tangensi çevirəcəyik. Doğrudan da, bizə bir tangens nə üçün lazımdır?

Qeyd edək ki, buna görə də. Tamamilə aydın deyilsə, sinus dəyərlərinə baxın triqonometrik cədvəl. Beləliklə, biz dərhal faktordan xilas oluruq , əlavə olaraq daha çox tanış olan qeyri-müəyyənliyi əldə edirik 0:0. Limitimiz də sıfıra meyl etsəydi, yaxşı olardı.

Əvəz edək:

Əgər, onda

Kosinusun altında "x" var, onu da "te" ilə ifadə etmək lazımdır.
Əvəzindən ifadə edirik: .

Həllini tamamlayırıq:

(1) Əvəzetmənin yerinə yetirilməsi

(2) Kosinusun altındakı mötərizələri genişləndirin.

(4) Təşkil etmək ilk gözəl hədd, payı süni şəkildə və əksini çoxaldın.

Müstəqil həll üçün tapşırıq:

Misal 17

Həddini tapın

Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Bunlar siniflərində sadə tapşırıqlar idi; praktikada hər şey daha pisdir və əlavə olaraq azaldılması düsturları, fərqli istifadə etmək lazımdır triqonometrik düsturlar, eləcə də digər fəndlər. Kompleks Limitlər məqaləsində bir neçə real nümunəni təhlil etdim =)

Bayram ərəfəsində nəhayət daha bir ümumi qeyri-müəyyənliklə vəziyyəti aydınlaşdıracağıq:

"Sonsuzluğun gücünə bir" qeyri-müəyyənliyin aradan qaldırılması

Bu qeyri-müəyyənlik "xidmət olunur" ikinci gözəl hədd, və həmin dərsin ikinci hissəsində biz əksər hallarda praktikada rast gəlinən standart həllər nümunələrinə ətraflı baxdıq. İndi sərgi iştirakçıları ilə şəkil tamamlanacaq, əlavə olaraq, dərsin yekun tapşırıqları hədlərə - "hiylələrə" həsr olunacaq, burada 2-ci gözəl limiti tətbiq etmək lazım olduğu görünür, baxmayaraq ki, bu, heç də belə deyil. hal.

2-ci əlamətdar həddin iki iş düsturunun dezavantajı ondan ibarətdir ki, arqument “plus sonsuzluğa” və ya sıfıra meyl etməlidir. Bəs arqument fərqli bir rəqəmə meyl edərsə nə etməli?

Universal düstur köməyə gəlir (bu, əslində ikinci əlamətdar həddin nəticəsidir):

Qeyri-müəyyənlik düsturla aradan qaldırıla bilər:

Kvadrat mötərizələrin nə demək olduğunu artıq izah etmişəm. Xüsusi bir şey yoxdur, mötərizələr sadəcə mötərizələrdir. Adətən onlar riyazi qeydi aydın şəkildə vurğulamaq üçün istifadə olunur.

Düsturun əsas məqamlarını vurğulayaq:

1) Haqqındadır yalnız qeyri-müəyyənlik haqqında və başqa heç bir şey yoxdur.

2) "x" arqumenti meyl edə bilər ixtiyari dəyər(və yalnız sıfıra və ya ) deyil, xüsusən də "mənfi sonsuzluğa" və ya hər kəs son nömrə.

Bu düsturdan istifadə edərək, dərsin bütün nümunələrini həll edə bilərsiniz Möhtəşəm Limitlər, 2-ci möcüzə limitinə aid olan. Məsələn, limiti hesablayaq:

Bu halda , və düstura görə :

Düzdür, mən sizə bunu etməyi məsləhət görmürəm, ənənəyə görə, tətbiq oluna bilsə, hələ də həllin "adi" dizaynından istifadə edirsiniz. Lakin düsturdan istifadə edərək yoxlamaq çox rahatdır 2-ci gözəl həddə qədər "klassik" nümunələr.

Çox vaxt bir çox insanlar niyə sıfıra bölmənin mümkün olmadığı ilə maraqlanır? Bu yazıda biz bu qaydanın haradan gəldiyini, eləcə də sıfırla hansı hərəkətləri yerinə yetirə biləcəyimizi ətraflı izah edəcəyik.

ilə təmasda

Sıfırı ən maraqlı nömrələrdən biri adlandırmaq olar. Bu rəqəmin heç bir mənası yoxdur, sözün əsl mənasında boşluq deməkdir. Ancaq hər hansı bir rəqəmin yanına sıfır qoysanız, bu rəqəmin dəyəri bir neçə dəfə artacaq.

Rəqəm özlüyündə çox sirlidir. Qədim Mayya xalqı tərəfindən istifadə edilmişdir. Mayyalar üçün sıfır "başlanğıc" mənasını verirdi və təqvim günlərinin geri sayımı da sıfırdan başlayırdı.

Çox maraqlı fakt odur ki, onlar üçün sıfır işarəsi ilə qeyri-müəyyənlik işarəsi oxşar idi. Bununla mayyalılar sıfırın qeyri-müəyyənliklə eyni işarə olduğunu göstərmək istəyirdilər. Avropada sıfır təyinatı nisbətən yaxınlarda ortaya çıxdı.

Həmçinin, bir çox insan sıfırla əlaqəli qadağanı bilir. Bunu hər kəs deyəcək sıfıra bölmək olmaz. Bunu məktəbdə müəllimlər deyir və uşaqlar adətən onların sözünü qəbul edirlər. Adətən uşaqlar ya sadəcə olaraq bunu bilməkdə maraqlı deyillər, ya da vacib bir qadağanı eşidəndə dərhal “Niyə sıfıra bölə bilmirsən?” deyə soruşsalar nə olacağını bilirlər. Ancaq yaşlandıqca maraq oyanır və belə bir qadağanın səbəbləri haqqında daha çox bilmək istəyirsən. Bununla belə, ağlabatan sübutlar var.

Sıfırla hərəkətlər

Əvvəlcə sıfırla hansı hərəkətlərin edilə biləcəyini müəyyənləşdirməlisiniz. Mövcüd olmaq bir neçə fəaliyyət növü:

• Əlavə;
• çarpma;
• Çıxarma;
• Bölmə (sayıya görə sıfır);
• Ekponentasiya.

Vacibdir!Əgər toplama zamanı hər hansı bir ədədə sıfır əlavə olunarsa, bu rəqəm eyni qalacaq və onun ədədi dəyərini dəyişməyəcək. Hər hansı bir ədəddən sıfırı çıxarsanız, eyni şey baş verir.

Vurma və bölmə ilə hər şey bir az fərqlidir. Əgər istənilən ədədi sıfıra vurun, onda məhsul da sıfır olacaq.

Məsələni nəzərdən keçirək:

Bunu əlavə olaraq yazaq:

Cəmi beş əlavə sıfır var, belə ki, belə çıxır

Gəlin bir sıfıra vurmağa çalışaq. Nəticə də sıfır olacaq.

Sıfırı ona bərabər olmayan hər hansı digər ədədə də bölmək olar. Bu halda, dəyəri də sıfır olacaq çıxacaq. Eyni qayda mənfi ədədlərə də aiddir. Sıfırı mənfi ədədə bölsəniz, sıfır alırsınız.

İstənilən nömrəni də qaldıra bilərsiniz sıfır gücə. Bu halda, siz 1 alırsınız. "Sıfırdan sıfıra güc" ifadəsinin tamamilə mənasız olduğunu xatırlamaq vacibdir. Sıfırı istənilən gücə yüksəltməyə çalışsanız, sıfır alırsınız. Misal:

Çarpma qaydasından istifadə edirik, 0 alırıq.

Sıfıra bölmək olarmı

Beləliklə, biz əsas suala gəlirik. Sıfıra bölmək olarmı bütün? Və nə üçün bir ədədi sıfıra bölmək mümkün deyil, çünki sıfır olan bütün digər əməliyyatlar tam olaraq mövcuddur və tətbiq olunur? Bu suala cavab vermək üçün ali riyaziyyata müraciət etmək lazımdır.

Konseptin tərifindən başlayaq, sıfır nədir? Məktəb müəllimləri sıfırın heç bir şey olmadığını iddia edirlər. Boşluq. Yəni 0 qələmin olduğunu deyəndə, demək ki, heç qələmin yoxdur.

Ali riyaziyyatda “sıfır” anlayışı daha genişdir. Bu heç də boş demək deyil. Burada sıfır qeyri-müəyyənlik adlanır, çünki bir az araşdırma aparsaq, belə çıxır ki, sıfırı sıfıra bölməklə nəticədə istənilən başqa rəqəm əldə edə bilərik ki, bu da mütləq sıfır olmaya bilər.

Məktəbdə oxuduğunuz o sadə hesab əməliyyatlarının bir-birinə o qədər də bərabər olmadığını bilirsinizmi? Ən əsas addımlar bunlardır toplama və vurma.

Riyaziyyatçılar üçün "" və "çıxma" anlayışları mövcud deyil. Tutaq ki, beşdən üçü çıxsaq, ikisi qalacaq. Çıxarma belə görünür. Ancaq riyaziyyatçılar bunu belə yazacaqlar:

Beləliklə, məlum olur ki, naməlum fərq 5-i əldə etmək üçün 3-ə əlavə edilməli olan müəyyən bir rəqəmdir. Yəni, heç nəyi çıxarmaq lazım deyil, sadəcə uyğun bir ədəd tapmaq lazımdır. Bu qayda əlavəyə aiddir.

ilə işlər bir az fərqlidir vurma və bölmə qaydaları. Məlumdur ki, sıfıra vurma sıfır nəticəyə gətirib çıxarır. Məsələn, 3:0=x olarsa, qeydi çevirsəniz, 3*x=0 alırsınız. Və 0-a vurulan ədəd məhsulda sıfır verəcəkdir. Belə çıxır ki, sıfır olan məhsulda sıfırdan başqa hər hansı bir dəyər verəcək ədəd yoxdur. Bu o deməkdir ki, sıfıra bölmək mənasızdır, yəni bizim qaydamıza uyğundur.

Bəs sıfırı özbaşına bölməyə çalışsanız nə olacaq? Gəlin x-i qeyri-müəyyən ədəd kimi götürək. 0 * x \u003d 0 tənliyi çıxır. Onu həll etmək olar.

Əgər x əvəzinə sıfır almağa çalışsaq, 0:0=0 alırıq. Məntiqli görünür? Amma x-in yerinə hər hansı başqa bir ədəd götürməyə çalışsaq, məsələn, 1, onda 0:0=1 ilə nəticələnirik. Əgər hər hansı başqa nömrə götürsəniz və eyni vəziyyət olacaq tənliyə daxil edin.

Bu halda belə çıxır ki, amil kimi istənilən başqa rəqəmi götürə bilərik. Nəticə sonsuz sayda müxtəlif ədədlər olacaq. Bəzən, buna baxmayaraq, ali riyaziyyatda 0-a bölmənin mənası var, lakin sonra adətən müəyyən bir şərt var ki, buna görə hələ də bir uyğun nömrə seçə bilərik. Bu hərəkət "qeyri-müəyyənliyin açıqlanması" adlanır. Adi hesabda sıfıra bölmək yenidən mənasını itirəcək, çünki çoxluqdan heç bir ədəd seçə bilməyəcəyik.

Vacibdir! Sıfırı sıfıra bölmək olmaz.

Sıfır və sonsuzluq

Yüksək riyaziyyatda sonsuzluq çox yaygındır. Məktəblilərin hələ də sonsuzluqla riyazi əməliyyatların mövcud olduğunu bilməsi sadəcə vacib olmadığı üçün müəllimlər uşaqlara niyə sıfıra bölməyin mümkün olmadığını düzgün izah edə bilmirlər.

Tələbələr əsas riyazi sirləri yalnız institutun birinci kursunda öyrənməyə başlayırlar. Ali riyaziyyat həlli olmayan çoxlu problemlər toplusunu təqdim edir. Ən məşhur problemlər sonsuzluq problemləridir. ilə həll edilə bilər riyazi analiz.

Sonsuzluğa da müraciət edə bilərsiniz elementar riyazi əməliyyatlar:əlavə, ədədə vurma. Çıxarma və bölmə də çox istifadə olunur, lakin sonda yenə də iki sadə əməliyyata gəlirlər.

Amma nə olacaq cəhd etsəniz:

• Sonsuzluğu sıfıra vurun. Nəzəri olaraq hər hansı bir ədədi sıfıra vurmağa çalışsaq, sıfır alacağıq. Lakin sonsuzluq qeyri-müəyyən ədədlər toplusudur. Bu çoxluqdan bir ədəd seçə bilmədiyimiz üçün ∞*0 ifadəsinin həlli yoxdur və tamamilə mənasızdır.
• Sıfır sonsuzluğa bölünür. Bu yuxarıdakı hekayənin eynisidir. Biz bir ədəd seçə bilmirik, yəni nəyə bölünəcəyimizi bilmirik. İfadə mənasızdır.

Vacibdir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənlikdən bir az fərqlidir! Sonsuzluq qeyri-müəyyənliyin bir növüdür.

İndi sonsuzluğu sıfıra bölməyə çalışaq. Görünür, qeyri-müəyyənlik olmalıdır. Amma bölməni vurma ilə əvəz etməyə çalışsaq, çox dəqiq cavab alırıq.

Məsələn: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Belə çıxır riyazi paradoks.

Niyə sıfıra bölmək olmur

Düşüncə təcrübəsi, sıfıra bölməyə çalışın

Çıxış

Beləliklə, indi biz bilirik ki, sıfır bir təkdən başqa, demək olar ki, bütün əməliyyatlara tabedir. Nəticə qeyri-müəyyənlik olduğu üçün sıfıra bölmək olmaz. Sıfır və sonsuzluq üzərində işləməyi də öyrəndik. Bu cür hərəkətlərin nəticəsi qeyri-müəyyənlik olacaq.

Funksiyanın törəməsi uzağa düşmür və L'Hopital qaydalarına gəldikdə, o, orijinal funksiyanın düşdüyü yerə düşür. Bu hal 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliklərini və hesablamada yaranan bəzi digər qeyri-müəyyənlikləri aşkar etməyə kömək edir. limit iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyaların nisbəti. Hesablama bu qayda ilə çox sadələşdirilmişdir (əslində iki qayda və onlara dair qeydlər):

Yuxarıdakı düsturdan göründüyü kimi, iki sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük funksiyanın nisbət həddi hesablanarkən, iki funksiyanın nisbət həddi onların nisbət həddi ilə əvəz edilə bilər. törəmələri və bununla da müəyyən nəticə əldə edin.

L'Hopital qaydalarının daha dəqiq formalaşdırılmasına keçək.

İki Sonsuz Kiçik Dəyərin Limiti üçün L'Hopital Qaydası. Qoy funksiyalar f(x) və g(x a. Və elə məqamda a a funksiya törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x a bir-birinə bərabərdir və sıfıra bərabərdir:

.

İki sonsuz böyük miqdarın həddi halı üçün L'Hôpital qaydası. Qoy funksiyalar f(x) və g(x) nöqtənin hansısa qonşuluğunda törəmələri var (yəni diferensiallaşırlar). a. Və elə məqamda a onların törəmələri ola bilər və ya olmaya da bilər. Üstəlik, məntəqənin yaxınlığında a funksiya törəməsi g(x) sıfıra bərabər deyil ( g"(x)≠0 ) və bu funksiyaların hədləri x nöqtəsində funksiyanın qiymətinə meyl edir a bir-birinə bərabərdir və sonsuzluğa bərabərdir:

.

Onda bu funksiyaların nisbətinin həddi onların törəmələrinin nisbətinin həddinə bərabərdir:

Başqa sözlə, 0/0 və ya ∞/∞ formalı qeyri-müəyyənliklər üçün iki funksiyanın nisbətinin həddi, əgər sonuncu mövcuddursa, onların törəmələrinin nisbətinin həddi ilə bərabərdir (sonlu, yəni müəyyən sayda və ya sonsuz, yəni sonsuzluğa bərabərdir).

Qeydlər.

1. L'Hopital qaydaları funksiyaları yerinə yetirdikdə də tətbiq edilir f(x) və g(x) müəyyən edilmir x = a.

2. Əgər funksiyaların törəmələrinin nisbətinin həddi hesablanarkən f(x) və g(x) biz yenidən 0/0 və ya ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gəlirik, onda L'Hopital qaydaları təkrar-təkrar (ən azı iki dəfə) tətbiq edilməlidir.

3. L'Hopital qaydaları (x) funksiyalarının arqumenti qeyri-sonlu ədədə meyl etdikdə də tətbiq edilir. a, və sonsuzluğa ( x → ∞).

Digər növ qeyri-müəyyənliklər də 0/0 və ∞/∞ tiplərinin qeyri-müəyyənliklərinə endirilə bilər.

“Sıfırın sıfıra bölünməsi” və “sonsuzluğun sonsuza bölünməsi” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 1

x=2 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Buna görə də, hər bir funksiyanın törəməsi və alırıq

Numeratorda çoxhədlinin törəməsi, məxrəcdə isə - mürəkkəb loqarifmik funksiyanın törəməsi. Son bərabərlik işarəsindən əvvəl, adi limit, x yerinə ikili əvəz etmək.

Misal 2 L'Hospital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Qərar. Verilmiş dəyər funksiyasına əvəzetmə x

Misal 3 L'Hospital qaydasından istifadə edərək iki funksiyanın nisbətinin limitini hesablayın:

Qərar. Verilmiş dəyər funksiyasına əvəzetmə x=0 0/0 formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Buna görə də, funksiyaların pay və məxrəcdə törəmələrini hesablayırıq və alırıq:

Misal 4 Hesablayın

Qərar. Verilmiş funksiyada x-in üstəgəl sonsuza bərabər qiymətini əvəz etmək ∞/∞ formasının qeyri-müəyyənliyinə gətirib çıxarır. Beləliklə, L'Hopital qaydasını tətbiq edirik:

Şərh. Gəlin L'Hopital qaydasının iki dəfə tətbiq edilməli olduğu, yəni ikinci törəmələrin nisbəti həddinə çatmaq üçün nümunələrə keçək, çünki birinci törəmələrin nisbətinin həddi formanın qeyri-müəyyənliyidir. 0/0 və ya ∞/∞.

"Sıfırın sonsuzluğa vurulması" formasının qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması

Misal 12. Hesablayın

.

Qərar. alırıq

Bu nümunə triqonometrik eynilikdən istifadə edir.

“Sıfırdan sıfıra”, “Sıfırın gücünə sonsuzluq” və “sonsuzluğun gücünə bir” növlərinin qeyri-müəyyənliklərinin açıqlanması.

Formanın qeyri-müəyyənlikləri və ya adətən formanın funksiyasının loqarifmindən istifadə edərək 0/0 və ya ∞/∞ formasına endirilir.

İfadənin həddini hesablamaq üçün xüsusi halı loqarifmin mülkiyyəti olan loqarifmik eynilikdən istifadə etmək lazımdır. .

Loqarifmik eynilikdən və funksiyanın davamlılıq xassəsindən istifadə edərək (həddinin işarəsindən kənara çıxmaq üçün) həddi aşağıdakı kimi hesablamaq lazımdır:

Ayrı-ayrılıqda eksponentdə ifadənin həddi tapılmalı və qurulmalıdır e tapılan dərəcəyə qədər.

Misal 13

Qərar. alırıq

.

.

Misal 14 L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Qərar. alırıq

Göstəricidəki ifadənin limitini hesablayın

.

.

Misal 15 L'Hopital qaydasından istifadə edərək hesablayın

Əgər ədəd sonsuzluğa bölünürsə, bölgü sıfıra meyllidirmi? İçəridə davam etdi və daha yaxşı cavab aldı

Olenkadan cavab[yeni]
hamısı 0
Krab qabığı
Oracle
(56636)
Yox. Tam sıfır. Bölən sonsuzluğa meyl etdiyi kimi, hissə də sıfıra meyl edir. Və əgər sonsuzluğa meylli bir ədədə deyil, sonsuzluğun özünə görə bölsək (yeri gəlmişkən, daha dəqiq desək, bu, rəsmi olaraq ümumiyyətlə nömrə hesab edilmir, ancaq nömrələrin təyinatını tamamlayan xüsusi simvol hesab olunur) - tam sıfır.

-dan cavab Hakim Vladimir[quru]
Sıfırı da bölmək, istənilən ədədə vurmaq belə, yenə də sıfır olacaq!

-dan cavab 1 23 [quru]
əgər bəzi bok sıfıra meyl edirsə, onda onu sonlu bir şeyə (ədəd və ya məhdud funksiya) vurmaq ağrısızdır, çünki all-rna sıfıra meyllidir.
ancaq onu sonsuzluğa meylli bir şeylə çoxaltsanız, seçimlər ola bilər.

-dan cavab Krab qabığı[quru]
İstənilən ədədi sonsuzluğa bölmək sıfırla nəticələnir. Dəqiq sıfır, "sıfıra getmək" yoxdur. Və sonra onu hansı rəqəmə vursan, sıfır. Və sıfırın sıfırdan başqa hər hansı bir ədədə bölünməsinin nəticəsi sıfır olacaq, yalnız sıfırı sıfıra böldükdə nəticə müəyyən edilmir, hər hansı bir ədəd bölmə kimi uyğun olacaq.