Broj 0 može se predstaviti kao neka vrsta granice koja odvaja svijet realnih brojeva od imaginarnih ili negativnih. Zbog dvosmislene pozicije, mnoge operacije s ovom numeričkom vrijednošću ne podliježu matematičkoj logici. Nemogućnost dijeljenja sa nulom je odličan primjer za to. A dozvoljene aritmetičke operacije sa nulom mogu se izvoditi koristeći opšte prihvaćene definicije.

Istorija nule

Nula je referentna tačka u svim standardnim sistemima brojeva. Evropljani su počeli da koriste ovaj broj relativno nedavno, ali su mudraci drevne Indije koristili nulu hiljadu godina pre nego što su prazan broj redovno koristili evropski matematičari. Čak i prije Indijanaca, nula je bila obavezna vrijednost u numeričkom sistemu Maja. Ovaj američki narod koristio je duodecimalni sistem, a prvi dan svakog mjeseca počinjao je nulom. Zanimljivo je da se kod Maja znak za "nulu" potpuno poklopio sa znakom za "beskonačnost". Tako su drevne Maje zaključile da su te količine identične i nespoznatljive.

Matematičke operacije sa nulom

Standardne matematičke operacije sa nulom mogu se svesti na nekoliko pravila.

Dodatak: ako se proizvoljnom broju doda nula, onda neće promijeniti svoju vrijednost (0+x=x).

Oduzimanje: kada oduzimate nulu od bilo kojeg broja, vrijednost oduzetog ostaje nepromijenjena (x-0=x).

Množenje: bilo koji broj pomnožen sa 0 daje 0 u proizvodu (a*0=0).

Podjela: Nula se može podijeliti bilo kojim brojem koji nije nula. U ovom slučaju, vrijednost takvog razlomka će biti 0. A dijeljenje nulom je zabranjeno.

Eksponencijacija. Ova radnja se može izvesti s bilo kojim brojem. Proizvoljan broj podignut na stepen nule daće 1 (x 0 =1).

Nula na bilo koju potenciju jednaka je 0 (0 a = 0).

U ovom slučaju odmah nastaje kontradikcija: izraz 0 0 nema smisla.

Paradoksi matematike

Činjenica da je dijeljenje sa nulom nemoguće, mnogi znaju iz škole. Ali iz nekog razloga nije moguće objasniti razlog za takvu zabranu. Zaista, zašto formula dijeljenja nulom ne postoji, ali su druge radnje s ovim brojem sasvim razumne i moguće? Odgovor na ovo pitanje daju matematičari.

Stvar je u tome da uobičajene računske operacije koje školarci uče u osnovnim razredima zapravo daleko od toga da su jednake kao što mislimo. Sve jednostavne operacije s brojevima mogu se svesti na dvije: zbrajanje i množenje. Ove operacije su suština samog koncepta broja, a ostale operacije se zasnivaju na upotrebi ova dva.

Zbrajanje i množenje

Uzmimo standardni primjer oduzimanja: 10-2=8. U školi se jednostavno smatra: ako se od deset predmeta oduzmu dva, ostaje osam. Ali matematičari na ovu operaciju gledaju sasvim drugačije. Uostalom, za njih ne postoji takva operacija kao oduzimanje. Ovaj primjer se može napisati na drugi način: x+2=10. Za matematičare, nepoznata razlika je jednostavno broj koji se mora dodati na dva da bi se dobilo osam. I ovdje nije potrebno oduzimanje, samo trebate pronaći odgovarajuću numeričku vrijednost.

Množenje i dijeljenje se tretiraju na isti način. U primjeru 12:4=3 može se shvatiti da je riječ o podjeli osam predmeta na dvije jednake gomile. Ali u stvarnosti, ovo je samo obrnuta formula za pisanje 3x4 \u003d 12. Takvi primjeri za podjelu mogu se dati beskrajno.

Primjeri za dijeljenje sa 0

Ovdje postaje malo jasno zašto je nemoguće podijeliti sa nulom. Množenje i dijeljenje nulom imaju svoja pravila. Svi primjeri po podjeli ove količine mogu se formulirati kao 6:0=x. Ali ovo je obrnuti izraz izraza 6 * x = 0. Ali, kao što znate, svaki broj pomnožen sa 0 daje u proizvodu samo 0. Ovo svojstvo je inherentno samom konceptu nulte vrijednosti.

Ispada da takav broj, koji kada se pomnoži sa 0, daje bilo kakvu opipljivu vrijednost, ne postoji, odnosno ovaj problem nema rješenje. Ne treba se bojati takvog odgovora, to je prirodan odgovor za probleme ovog tipa. Samo pisanje 6:0 nema nikakvog smisla i ne može ništa da objasni. Ukratko, ovaj izraz se može objasniti besmrtnim „nema dijeljenja sa nulom“.

Postoji li operacija 0:0? Zaista, ako je operacija množenja sa 0 legalna, može li se nula podijeliti sa nulom? Na kraju krajeva, jednadžba oblika 0x5=0 je sasvim legalna. Umjesto broja 5 možete staviti 0, proizvod se od ovoga neće promijeniti.

Zaista, 0x0=0. Ali još uvijek ne možete podijeliti sa 0. Kao što je rečeno, dijeljenje je samo obrnuto od množenja. Dakle, ako u primjeru 0x5=0, trebate odrediti drugi faktor, dobijamo 0x0=5. Ili 10. Ili beskonačnost. Deljenje beskonačnosti sa nulom - kako vam se sviđa?

Ali ako se bilo koji broj uklapa u izraz, onda to nema smisla, ne možemo izabrati jedan iz beskonačnog skupa brojeva. A ako jeste, to znači da izraz 0:0 nema smisla. Ispada da se ni sama nula ne može podijeliti sa nulom.

višu matematiku

Deljenje sa nulom je glavobolja za matematiku u srednjoj školi. Matematička analiza koja se izučava na tehničkim univerzitetima malo proširuje koncept problema koji nemaju rješenja. Na primjer, već poznatom izrazu 0:0 dodaju se novi koji nemaju rješenja u školskim predmetima matematike:

• beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću: ∞:∞;
• beskonačnost minus beskonačnost: ∞−∞;
• jedinica podignuta na beskonačnu snagu: 1 ∞ ;
• beskonačnost pomnožena sa 0: ∞*0;
• neke druge.

Takve izraze nemoguće je riješiti elementarnim metodama. Ali viša matematika, zahvaljujući dodatnim mogućnostima za niz sličnih primjera, daje konačna rješenja. To je posebno vidljivo u razmatranju problema iz teorije granica.

Otkrivanje nesigurnosti

U teoriji granica, vrijednost 0 je zamijenjena uslovnom infinitezimalnom varijablom. I izrazi u kojima se dijeljenje sa nulom dobiva zamjenom željene vrijednosti se pretvaraju. Ispod je standardni primjer graničnog proširenja korištenjem uobičajenih algebarskih transformacija:

Kao što možete vidjeti u primjeru, jednostavno smanjenje razlomka dovodi njegovu vrijednost do potpuno racionalnog odgovora.

Kada se razmatraju granice trigonometrijskih funkcija, njihovi izrazi imaju tendenciju da se svedu na prvu izvanrednu granicu. Kada se razmatraju granice u kojima imenilac ide na 0 kada se granica zameni, koristi se druga izuzetna granica.

L'Hopital Method

U nekim slučajevima, granice izraza mogu se zamijeniti granicom njihovih derivata. Guillaume Lopital - francuski matematičar, osnivač francuske škole matematičke analize. On je dokazao da su granice izraza jednake granicama izvoda ovih izraza. U matematičkoj notaciji, njegovo pravilo je sljedeće.

Metode rješavanja granica. Neizvjesnosti.
Redoslijed rasta funkcije. Metoda zamjene

Primjer 4

Pronađite granicu

Ovo je jednostavniji primjer rješenja uradi sam. U predloženom primjeru, opet, neizvjesnost (višeg reda rasta od korijena).

Ako "x" teži ka "minus beskonačnost"

Duh "minus beskonačnosti" već dugo lebdi u ovom članku. Razmotrite granice s polinomima u kojima . Principi i metode rješavanja bit će potpuno isti kao u prvom dijelu lekcije, s izuzetkom niza nijansi.

Razmotrite 4 čipa koji će biti potrebni za rješavanje praktičnih zadataka:

1) Izračunajte granicu

Vrijednost limita ovisi samo o terminu jer ima najviši red rasta. Ako onda beskonačno veliki modul negativan broj na stepen PAR, u ovom slučaju - u četvrtom, jednako je "plus beskonačnost": . Konstantno ("dva") pozitivno, zbog toga:

2) Izračunajte granicu

Evo opet viši stepen čak, zbog toga: . Ali ispred je "minus" ( negativan konstanta –1), dakle:

3) Izračunajte granicu

Vrijednost ograničenja ovisi samo o . Kao što se sjećate iz škole, "minus" "iskače" ispod neparnog stepena, dakle beskonačno veliki modul negativan broj na neparni stepen jednako "minus beskonačnost", u ovom slučaju: .
Konstantno ("četiri") pozitivno, znači:

4) Izračunajte granicu

Prvi momak u selu opet ima odd stepen, štaviše, u njedrima negativan konstanta, što znači: Dakle:
.

Primjer 5

Pronađite granicu

Koristeći gore navedene tačke, zaključujemo da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik i imenilac su istog reda rasta, što znači da će se u limitu dobiti konačan broj. Odgovor saznajemo tako što odbacimo svu mladicu:

Rješenje je trivijalno:

Primjer 6

Pronađite granicu

Ovo je "uradi sam" primjer. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

A sada, možda najsuptilniji slučaj:

Primjer 7

Pronađite granicu

S obzirom na starije termine, dolazimo do zaključka da ovdje postoji neizvjesnost. Brojnik je višeg reda rasta od nazivnika, tako da odmah možemo reći da je granica beskonačnost. Ali kakva beskonačnost, "plus" ili "minus"? Prijem je isti - u brojniku i nazivniku ćemo se riješiti sitnica:

Odlučujemo:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 15

Pronađite granicu

Ovo je "uradi sam" primjer. Primjer završne obrade na kraju lekcije.

Još par zanimljivih primjera na temu zamjene varijable:

Primjer 16

Pronađite granicu

Zamjena jednog u granicu dovodi do neizvjesnosti. Zamjena varijable je već sugerirana, ali prvo pretvaramo tangentu koristeći formulu. Zaista, zašto nam je potrebna tangenta?

Imajte na umu da , dakle . Ako nije sasvim jasno, pogledajte vrijednosti sinusa u trigonometrijska tabela. Tako se odmah oslobađamo faktora, osim toga dobijamo poznatiju nesigurnost 0:0. Bilo bi lijepo da i naš limit teži nuli.

Zamenimo:

Ako onda

Ispod kosinusa imamo "x", koji se takođe treba izraziti kroz "te".
Od zamjene izražavamo: .

Završavamo rješenje:

(1) Izvođenje zamjene

(2) Proširite zagrade ispod kosinusa.

(4) Organizirati prva divna granica, umjetno pomnožiti brojnik sa i recipročnu vrijednost .

Zadatak za samostalno rješenje:

Primjer 17

Pronađite granicu

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

To su bili jednostavni zadaci u njihovom razredu, u praksi je sve gore, i pored toga formule redukcije, treba koristiti drugačije trigonometrijske formule, kao i druge trikove. U članku Kompleksne granice analizirao sam nekoliko stvarnih primjera =)

Uoči praznika konačno ćemo razjasniti situaciju uz još jednu uobičajenu neizvjesnost:

Eliminacija neizvjesnosti "jedan na moć beskonačnosti"

Ova neizvjesnost je "servirana" druga divna granica, a u drugom dijelu te lekcije vrlo detaljno smo se osvrnuli na standardne primjere rješenja koja se u većini slučajeva nalaze u praksi. Sada će slika sa izlagačima biti završena, osim toga, završni zadaci lekcije bit će posvećeni granicama-"trikovima" u kojima se čini da je potrebno primijeniti 2. divnu granicu, iako to uopće nije slučaj.

Nedostatak dvije radne formule 2. divne granice je u tome što argument mora težiti "plus beskonačnosti" ili nuli. Ali šta ako argument teži drugom broju?

Univerzalna formula dolazi u pomoć (koja je zapravo posljedica druge izvanredne granice):

Nesigurnost se može eliminisati formulom:

Negdje kao što sam već objasnio šta znače uglaste zagrade. Ništa posebno, zagrade su samo zagrade. Obično se koriste za jasno isticanje matematičke notacije.

Istaknimo bitne tačke formule:

1) Radi se o samo o neizvjesnosti i ni o čemu drugom.

2) Argument "x" može težiti proizvoljna vrijednost(a ne samo na nulu ili ), posebno na "minus beskonačnost" ili na bilo koga konačan broj.

Koristeći ovu formulu, možete riješiti sve primjere lekcije Izvanredne granice, koji spadaju u 2. divnu granicu. Na primjer, izračunajmo granicu:

U ovom slučaju , i prema formuli :

Istina, ne savjetujem vam da to radite, u tradiciji i dalje koristite "uobičajeni" dizajn rješenja, ako se može primijeniti. kako god korištenje formule je vrlo zgodno za provjeru"klasični" primjeri do 2. divne granice.

Vrlo često se mnogi ljudi pitaju zašto je nemoguće koristiti dijeljenje nulom? U ovom članku ćemo detaljno objasniti odakle dolazi ovo pravilo, kao i koje radnje se mogu izvršiti s nulom.

U kontaktu sa

Nula se može nazvati jednim od najzanimljivijih brojeva. Ovaj broj nema značenje, to znači prazninu u pravom smislu te riječi. Međutim, ako se pored bilo koje cifre stavi nula, tada će vrijednost ove znamenke postati nekoliko puta veća.

Broj je sam po sebi veoma misteriozan. Koristili su ga stari ljudi Maja. Za Maje je nula značila "početak", a odbrojavanje kalendarskih dana je također počelo od nule.

Vrlo je zanimljiva činjenica da su im predznak nule i predznak neizvjesnosti bili slični. Ovim su Maje htele da pokažu da je nula isti identičan znak kao i neizvesnost. U Evropi se oznaka nule pojavila relativno nedavno.

Također, mnogi ljudi znaju zabranu povezanu s nulom. Svaka osoba će to reći ne može se podijeliti sa nulom. To kažu nastavnici u školi, a djeca im obično vjeruju na riječ. Obično djecu to jednostavno ne zanima, ili znaju šta će se dogoditi ako, čuvši važnu zabranu, odmah upitaju: „Zašto ne možeš podijeliti sa nulom?“. Ali kada starite, budi se interesovanje i želite da saznate više o razlozima takve zabrane. Međutim, postoje razumni dokazi.

Akcije sa nulom

Prvo morate odrediti koje se radnje mogu izvršiti s nulom. Postoji nekoliko vrsta aktivnosti:

• Addition;
• množenje;
• Oduzimanje;
• Podjela (nula po broju);
• Eksponencijacija.

Bitan! Ako se bilo kojem broju doda nula tokom sabiranja, onda će ovaj broj ostati isti i neće promijeniti svoju numeričku vrijednost. Ista stvar se dešava ako od bilo kojeg broja oduzmete nulu.

Kod množenja i dijeljenja stvari stoje malo drugačije. Ako a pomnožite bilo koji broj sa nulom, tada će proizvod također postati nula.

Razmotrimo primjer:

Napišimo ovo kao dodatak:

Ukupno ima pet dodatih nula, pa ispada da je tako

Pokušajmo pomnožiti jedan sa nulom. Rezultat će također biti nulti.

Nula se također može podijeliti s bilo kojim drugim brojem koji joj nije jednak. U ovom slučaju će se ispostaviti, čija će vrijednost također biti nula. Isto pravilo vrijedi i za negativne brojeve. Ako nulu podijelite negativnim brojem, dobit ćete nulu.

Također možete podići bilo koji broj na nultu snagu. U ovom slučaju dobijate 1. Važno je zapamtiti da je izraz "nula do nulte snage" apsolutno besmislen. Ako pokušate podići nulu na bilo koji stepen, dobićete nulu. primjer:

Koristimo pravilo množenja, dobijamo 0.

Da li je moguće podijeliti sa nulom

Dakle, dolazimo do glavnog pitanja. Da li je moguće podijeliti sa nulom općenito? A zašto je nemoguće podijeliti broj sa nulom, s obzirom da sve druge operacije s nulom u potpunosti postoje i primjenjuju se? Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate se obratiti višoj matematici.

Počnimo s definicijom pojma, šta je nula? Školski nastavnici tvrde da je nula ništa. Praznina. Odnosno, kada kažete da imate 0 olovaka, to znači da uopšte nemate olovke.

U višoj matematici, pojam "nule" je širi. To uopšte ne znači prazno. Ovdje se nula naziva nesigurnošću, jer ako malo istražimo, ispada da kada podijelimo nulu sa nulom, možemo dobiti bilo koji drugi broj kao rezultat, koji ne mora nužno biti nula.

Znate li da one jednostavne računske operacije koje ste učili u školi nisu toliko jednake među sobom? Najosnovniji koraci su sabiranje i množenje.

Za matematičare, koncepti "" i "oduzimanje" ne postoje. Pretpostavimo: ako se tri oduzmu od pet, onda će dva ostati. Ovako izgleda oduzimanje. Međutim, matematičari bi to zapisali ovako:

Dakle, ispada da je nepoznata razlika određeni broj koji treba dodati 3 da bi se dobilo 5. To jest, ne trebate ništa oduzimati, samo trebate pronaći odgovarajući broj. Ovo pravilo se odnosi na sabiranje.

Stvari su malo drugačije sa pravila množenja i dijeljenja. Poznato je da množenje sa nulom dovodi do nultog rezultata. Na primjer, ako je 3:0=x, onda ako okrenete zapis, dobićete 3*x=0. A broj koji je pomnožen sa 0 daće nulu u proizvodu. Ispostavilo se da broj koji bi dao bilo koju vrijednost osim nule u proizvodu s nulom ne postoji. To znači da je dijeljenje nulom besmisleno, odnosno da se uklapa u naše pravilo.

Ali šta se dešava ako pokušate da podelite nulu samu? Uzmimo x kao neki neodređeni broj. Ispada da je jednadžba 0 * x = 0. Može se riješiti.

Ako pokušamo uzeti nulu umjesto x, dobićemo 0:0=0. Činilo bi se logičnim? Ali ako pokušamo uzeti bilo koji drugi broj umjesto x, na primjer, 1, onda ćemo završiti sa 0:0=1. Ista situacija će biti ako uzmete bilo koji drugi broj i ubacite u jednačinu.

U ovom slučaju, ispada da možemo uzeti bilo koji drugi broj kao faktor. Rezultat će biti beskonačan broj različitih brojeva. Ponekad, ipak, dijeljenje sa 0 u višoj matematici ima smisla, ali tada obično postoji određeni uvjet zbog kojeg ipak možemo odabrati jedan odgovarajući broj. Ova radnja se naziva "otkrivanje nesigurnosti". U običnoj aritmetici, dijeljenje nulom će opet izgubiti smisao, jer nećemo moći odabrati nijedan broj iz skupa.

Bitan! Nula se ne može podijeliti sa nulom.

Nula i beskonačnost

Beskonačnost je vrlo česta u višoj matematici. Budući da školarcima jednostavno nije važno da znaju da još uvijek postoje matematičke operacije sa beskonačnošću, nastavnici ne mogu pravilno objasniti djeci zašto je nemoguće dijeliti nulom.

Osnovne matematičke tajne studenti počinju učiti tek na prvoj godini instituta. Viša matematika pruža veliki skup problema koji nemaju rješenja. Najpoznatiji problemi su problemi sa beskonačnošću. Mogu se riješiti sa matematička analiza.

Također možete primijeniti na beskonačnost elementarne matematičke operacije: sabiranje, množenje brojem. Oduzimanje i dijeljenje se također često koriste, ali se na kraju ipak svode na dvije jednostavne operacije.

Ali šta će ako pokušaš:

• Pomnožite beskonačnost sa nulom. U teoriji, ako pokušamo da pomnožimo bilo koji broj sa nulom, dobićemo nulu. Ali beskonačnost je neodređeni skup brojeva. Pošto iz ovog skupa ne možemo izabrati jedan broj, izraz ∞*0 nema rješenja i apsolutno je besmislen.
• Nula podijeljena sa beskonačnošću. Ovo je ista priča kao gore. Ne možemo izabrati jedan broj, što znači da ne znamo čime da podijelimo. Izraz nema smisla.

Bitan! Beskonačnost je malo drugačija od neizvesnosti! Beskonačnost je vrsta neizvjesnosti.

Pokušajmo sada podijeliti beskonačnost sa nulom. Čini se da bi trebalo postojati neizvjesnost. Ali ako pokušamo zamijeniti dijeljenje množenjem, dobićemo vrlo definitivan odgovor.

Na primjer: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Ispada ovako matematički paradoks.

Zašto ne možete podijeliti sa nulom

Misaoni eksperiment, pokušajte podijeliti sa nulom

Zaključak

Dakle, sada znamo da je nula podložna skoro svim operacijama koje se izvode sa, osim jedne jedine. Ne možete podijeliti sa nulom samo zato što je rezultat neizvjesnost. Takođe smo naučili kako da operišemo na nuli i beskonačnosti. Rezultat takvih radnji bit će neizvjesnost.

Izvod funkcije ne pada daleko, au slučaju L'Hospitalovih pravila, pada točno tamo gdje pada izvorna funkcija. Ova okolnost pomaže u otkrivanju nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞ i nekih drugih nesigurnosti koje nastaju u proračunu limit omjer dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije. Izračun je uvelike pojednostavljen ovim pravilom (zapravo dva pravila i napomene o njima):

Kao što pokazuje gornja formula, kada se izračunava granica omjera dvije beskonačno male ili beskonačno velike funkcije, granica omjera dvije funkcije može se zamijeniti granicom omjera njihovih derivati i na taj način dobiti određeni rezultat.

Pređimo na preciznije formulacije L'Hopitalovih pravila.

L'Hopitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno male vrijednosti. Neka funkcije f(x) i g(x a. I to na samom mestu a a derivat funkcije g(x) nije jednako nuli ( g"(x a jednaki su jedni drugima i jednaki nuli:

.

L'Hôpitalovo pravilo za slučaj granice dvije beskonačno velike količine. Neka funkcije f(x) i g(x) imaju derivate (odnosno, diferencijabilni su) u nekom susjedstvu tačke a. I to na samom mestu a mogu ili ne moraju imati derivate. Štaviše, u blizini tačke a derivat funkcije g(x) nije jednako nuli ( g"(x)≠0 ) i granice ovih funkcija kako x teži vrijednosti funkcije u tački a jednaki su jedno drugom i jednaki beskonačnosti:

.

Tada je granica omjera ovih funkcija jednaka granici omjera njihovih derivacija:

Drugim riječima, za nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, granica omjera dvije funkcije jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako ova potonja postoji (konačna, odnosno jednaka a određeni broj, ili beskonačan, odnosno jednak beskonačnosti).

Napomene.

1. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada su funkcije f(x) i g(x) nisu definirani na x = a.

2. Ako se pri izračunavanju granice omjera derivacija funkcija f(x) i g(x) ponovo dolazimo do nesigurnosti oblika 0/0 ili ∞/∞, tada L'Hopitalova pravila treba primjenjivati ​​više puta (najmanje dva puta).

3. L'Hopitalova pravila su također primjenjiva kada argument funkcije (x) teži nekonačnom broju a, i do beskonačnosti ( x → ∞).

Neizvjesnosti drugih tipova se također mogu svesti na nesigurnosti tipa 0/0 i ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula podijeljena nulom" i "beskonačnost podijeljena beskonačnošću"

Primjer 1

x=2 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Dakle, derivacija svake funkcije i dobijamo

U brojiocu je izračunat izvod polinoma, a u nazivniku - izvod kompleksne logaritamske funkcije. Prije posljednjeg znaka jednakosti, uobičajeno limit, zamjenjujući dvojku umjesto x.

Primjer 2 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Rješenje. Zamjena u datu funkciju vrijednosti x

Primjer 3 Izračunajte granicu omjera dvije funkcije koristeći L'Hospitalovo pravilo:

Rješenje. Zamjena u datu funkciju vrijednosti x=0 dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Stoga izračunavamo izvode funkcija u brojniku i nazivniku i dobijamo:

Primjer 4 Izračunati

Rješenje. Zamjena vrijednosti x jednake plus beskonačnost u datu funkciju dovodi do neodređenosti oblika ∞/∞. Stoga primjenjujemo L'Hopitalovo pravilo:

Komentar. Prijeđimo na primjere u kojima se L'Hopitalovo pravilo mora primijeniti dva puta, odnosno doći do granice omjera drugih izvoda, jer je granica omjera prvih izvoda neizvjesnost oblika 0/0 ili ∞/∞.

Otkrivanje nesigurnosti oblika "nula pomnožena beskonačnošću"

Primjer 12. Izračunati

.

Rješenje. Dobijamo

Ovaj primjer koristi trigonometrijski identitet.

Otkrivanje nesigurnosti tipa "nula na stepen nule", "beskonačnost na stepen nule" i "jedan na stepen beskonačnosti"

Nesigurnosti oblika ili se obično svode na oblik 0/0 ili ∞/∞ korištenjem logaritma funkcije oblika

Za izračunavanje granice izraza treba koristiti logaritamski identitet, čiji je poseban slučaj svojstvo logaritma .

Koristeći logaritamski identitet i svojstvo kontinuiteta funkcije (da ide dalje od predznaka granice), granicu treba izračunati na sljedeći način:

Odvojeno, treba pronaći granicu izraza u eksponentu i izgraditi e do pronađenog stepena.

Primjer 13.

Rješenje. Dobijamo

.

.

Primjer 14 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Rješenje. Dobijamo

Izračunajte granicu izraza u eksponentu

.

.

Primjer 15 Izračunajte koristeći L'Hopitalovo pravilo

Ako je broj podijeljen beskonačno, da li količnik teži nuli? Nastavio unutra i dobio bolji odgovor

Odgovor od Olenke[newbie]
sve 0
Krab Bark
Oracle
(56636)
br. Tačna nula. Kako djelitelj teži beskonačnosti, kvocijent teži nuli. A, ako dijelimo ne brojem koji teži beskonačnosti, već samom beskonačnošću (usput, tačnije, službeno se uopće ne smatra brojem, već se smatra posebnim simbolom koji nadopunjuje oznake brojeva) - tačno nula.

Odgovor od Jugeus Vladimir[guru]
Čak i podijeliti nulu, čak i pomnožiti bilo kojim brojem, i dalje će biti nula!

Odgovor od 1 23 [guru]
ako neka vrsta sranja teži nuli, onda je množenje sa nečim konačnim (brojem ili ograničenom funkcijom) bezbolno, jer sve-rna teži nuli.
ali ako to pomnožite sa nekom vrstom stvari koja teži beskonačnosti, onda mogu postojati opcije.

Odgovor od Krab Bark[guru]
Dijeljenje bilo kojeg broja sa beskonačnošću rezultira nulom. Tačna nula, nema "odlaska na nulu". I onda, sa kojim god brojem da ga pomnožite, nula. I rezultat dijeljenja nule bilo kojim drugim brojem osim nule bit će nula, samo kada se nula dijeli sa nulom, rezultat nije definiran, bilo koji broj će biti prikladan kao količnik.