Tema lekcije: Aritmetičke operacije u pozicionim brojevnim sistemima.

9. razred

Ciljevi lekcije:

    Didaktički: upoznati učenike sa sabiranjem, oduzimanjem, množenjem i deljenjem u binarnom sistemu i sprovesti primarnu vežbu veštine izvođenja ovih radnji.

    edukativni: razviti interesovanje učenika za učenje novih stvari, pokazati mogućnost nestandardnog pristupa proračunima.

    u razvoju: razvijaju pažnju, strogost mišljenja, sposobnost rasuđivanja.

Struktura lekcije.

    Orgmoment -1 minuta.

    Provjera domaće zadaće usmenim testom -15 minuta.

    Zadaća -2 minute.

    Rješavanje problema uz istovremenu analizu i samostalan razvoj materijala -25 min.

    Sumiranje lekcije -2 minute.

TOKOM NASTAVE

    Organizacioni momenat.

    Provjera domaće zadaće (usmeni test) .

Nastavnik čita pitanja u nizu. Učenici pažljivo slušaju pitanje bez da ga zapisuju. Zapisuje se samo odgovor, i to vrlo kratko. (Ako je moguće odgovoriti jednom riječju, tada se snima samo ova riječ).

    Šta je sistem brojeva? (-ovo je znakovni sistem u kojem se brojevi pišu prema određenim pravilima koristeći znakove neke abecede zvane brojevi )

    Koje sisteme brojeva poznajete?( nepozicioni i pozicioni )

    Koji sistem se naziva nepozicionim? (SCH se naziva nepozicionim ako kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrijednost) cifre u broju ne ovisi o njenom položaju u zapisu broja ).

    Šta je osnova pozicionog SSC-a. (jednak broju cifara koje čine njegovu abecedu )

    Koju matematičku operaciju treba koristiti za pretvaranje cijelog broja iz decimalnog NSC u bilo koji drugi? (divizije )

    Šta treba učiniti da se broj pretvori iz decimalnog u binarni? (Dosljedno podijelite sa 2 )

    Koliko će se puta smanjiti broj 11,1 2 kada pomičete zarez jedan znak ulijevo? (2 puta )

Sada poslušajmo stih o izuzetnoj djevojci i odgovorimo na pitanja. (Zvuči kao stih )

EXTRAORDINARY GIRL

Imala je hiljadu i sto godina
Išla je u sto prvi razred,
Nosio sam stotinu knjiga u svom portfelju.
Sve je to istina, a ne glupost.

Kada, brišući prašinu sa desetak stopa,
Išla je putem.
Uvijek ju je pratilo štene
Sa jednim repom, ali stonogim.

Uhvatila je svaki zvuk
Sa deset ušiju
I deset preplanulih ruku
Držali su aktovku i povodac.

I deset tamnoplavih očiju
Smatran svijetom po navici,
Ali sve će postati sasvim normalno,
Kad shvatiš moju priču.

/ N. Starikov /

A koliko je djevojcica imala godina? (12 godina ) U koji razred je išla? (5. razred ) Koliko je ruku i nogu imala? (2 ruke, 2 noge ) Kako štene ima 100 nogu? (4 šape )

Nakon završenog testa, sami učenici naglas izgovaraju odgovore, vrši se samoprovjera i učenici sami sebi daju ocjene.

kriterij:

    10 tačnih odgovora (možda mala mana) - “5”;

    9 ili 8 - “4”;

    7, 6 – “3”;

    ostali su "2".

II. Zadaća (2 minute)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Rad sa novim materijalom

Aritmetičke operacije u binarnom sistemu.

Aritmetika binarnog brojevnog sistema zasniva se na upotrebi tablica sabiranja, oduzimanja i množenja cifara. Aritmetički operandi se nalaze u gornjem redu i u prvoj koloni tabele, a rezultati su na preseku kolona i redova:

0

1

1

1

Dodatak.

Tabela binarnog sabiranja je izuzetno jednostavna. Samo u jednom slučaju, kada se izvrši sabiranje 1 + 1, dolazi do prijenosa na najznačajniji bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Oduzimanje.

Prilikom izvođenja operacije oduzimanja uvijek se od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti oduzima manji broj i stavlja se odgovarajući znak. U tabeli oduzimanja, 1 sa crtom znači zajam visokog reda. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Množenje

Operacija množenja se izvodi pomoću tablice množenja prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom cifrom množitelja. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Množenje se svodi na pomake množenika i sabiranja.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Sumiranje lekcije

Kartica za dodatni rad učenika.

Izvršite aritmetičke operacije:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatak. Sabiranje brojeva u binarnom brojevnom sistemu zasniva se na tabeli sabiranja jednocifrenih binarnih brojeva (tabela 6).

Važno je obratiti pažnju na činjenicu da se pri sabiranju dvije jedinice vrši prijenos na najvišu cifru. Ovo se dešava kada vrijednost broja postane jednaka ili veća od baze brojevnog sistema.

Sabiranje višecifrenih binarnih brojeva vrši se u skladu sa gornjom tabelom sabiranja, uzimajući u obzir moguće transfere sa nižih na više cifre. Kao primjer, dodajmo binarne brojeve u kolonu:

Provjerimo ispravnost izračunavanja sabiranjem u dekadnom brojevnom sistemu. Pretvorimo binarne brojeve u decimalni brojevni sistem i dodajmo ih:

Oduzimanje. Oduzimanje binarnih brojeva zasniva se na tabeli oduzimanja jednocifrenih binarnih brojeva (tabela 7).

Kada se od manjeg broja (0) oduzme veći (1), kredit se daje od najvišeg reda. U tabeli, kredit je označen sa 1 sa crticom.

Oduzimanje višecifrenih binarnih brojeva implementirano je u skladu sa ovom tabelom, uzimajući u obzir moguće pozajmice u ciframa visokog reda.

Na primjer, oduzmimo binarne brojeve:

Množenje. Množenje se zasniva na tablici množenja jednocifrenih binarnih brojeva (tabela 8).

Množenje višecifrenih binarnih brojeva vrši se u skladu sa ovom tablicom množenja prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu, uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom cifrom množitelja. Razmotrimo primjer binarnog množenja

Primjer 1. Naći X ako Za transformaciju lijeve strane jednakosti, sukcesivno koristimo de Morganov zakon za logičko sabiranje i zakon dvostruke negacije: Prema distributivnom zakonu za logičko sabiranje: Prema zakonu eliminacije trećeg i zakon konstantne eliminacije: Izjednačite rezultirajuću lijevu stranu s desnom: X \u003d B Konačno, dobivamo: X = B. Primjer 2. Pojednostavite logički izraz Provjerite ispravnost pojednostavljenja pomoću tablica istinitosti za originalnu i rezultirajuću logičku izraz. Prema zakonu opće inverzije za logičko sabiranje (De Morganov prvi zakon) i zakonu dvostruke negacije: Prema distributivnom (distributivnom) zakonu za logičko sabiranje: Prema zakonu kontradikcije: Prema zakonu idempotencije zamjenjujemo vrijednosti i, koristeći komutativni (komutativni) zakon i grupiranje pojmova, dobijamo: Prema zakonu isključenja (ljepljenja) Zamijenite vrijednosti i dobijete: Prema zakonu isključenja konstanti za logičko sabiranje i zakon idempotencije: Zamijenite vrijednosti i dobijete: Prema distributivnom (distributivnom) zakonu za logičko množenje: Prema zakonu eliminacije sredine: Zamijenite vrijednosti i na kraju dobijete: 2 Logičke osnove računar Diskretni pretvarač, koji nakon obrade ulaznih binarnih signala, na izlazu daje signal, koji je vrijednost jedne od logičkih operacija, naziva se logički element. U nastavku su prikazani simboli (šeme) osnovnih logičkih elemenata koji implementiraju logičko množenje (konjuktor), logičko sabiranje (dizjunktor) i negaciju (inverter). Rice. 3.1. Konjunktor, disjunktor i inverter Računarski uređaji (sabirači u procesoru, memorijske ćelije u RAM-u, itd.) izgrađeni su na bazi osnovnih logičkih elemenata. Primjer 3. Na osnovu date logičke funkcije F(A, B) = =B&AÚB&A, konstruirati logičko kolo. Konstrukcija mora započeti logičnom operacijom, koja se mora izvesti posljednja. U ovom slučaju, takva operacija je logički dodatak, stoga na izlazu logičkog kola mora postojati disjunktor. Signali se na njega dovode iz dva spojnika, koji se, pak, napajaju jednim normalnim ulaznim signalom i jednim invertiranim (iz pretvarača). Primjer 4. Logičko kolo ima dva ulaza X i Y. Odrediti logičke funkcije F1(X,Y) i F2(X,Y) koje su implementirane na njegova dva izlaza. Funkcija F1(X,Y) implementirana je na izlazu prvog konjunkora, odnosno F1(X,Y) = X&Y. Istovremeno se signal iz konjunkora dovodi na ulaz pretvarača, na čijem se izlazu ostvaruje X&Y signal, koji se, pak, dovodi na jedan od ulaza drugog spojnika. Signal Xv Y iz disjunktora se dovodi na drugi ulaz drugog konjunkora, dakle, funkcija F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Razmotrite šemu sabiranja dva n-bitna binarna broja. Prilikom sabiranja cifara i-ro cifre, dodaju se ai i bi, kao i Pi-1 - prijenos sa i-1 cifre. Rezultat će biti st - zbir i Pi - prijenos u viši red. Dakle, jednobitni binarni sabirač je uređaj sa tri ulaza i dva izlaza. Primjer 3.15. Konstruirajte tablicu istinitosti za jednobitni binarni sabirač koristeći tablicu binarnog sabiranja. Trigger. Okidači se koriste za čuvanje informacija u RAM-u računara, kao iu internim registrima procesora. Okidač može biti u jednom od dva stabilna stanja, što vam omogućava da zapamtite, pohranite i pročitate 1 bit informacije. Najjednostavniji okidač je .RS okidač. Sastoji se od dva ILI-NE kapija koja implementiraju logičku funkciju F9 (vidi tabelu 3.1). Ulazi i izlazi elemenata povezani su prstenom: izlaz prvog spojen je na ulaz drugog, a izlaz drugog spojen je na ulaz prvog. Okidač ima dva ulaza S (od engleskog set - instalacija) i I (od engleskog reset - reset) i dva izlaza Q (direktan) i Q (inverzan). Rice. 2 RS flip-flop logika Primjer 3.16. Napravite tabelu koja opisuje stanje ulaza i izlaza RS flip-flopa. Ako ulazi primaju signale R = 0 i S = 0, tada je okidač u načinu skladištenja, izlazi Q i Q zadržavaju prethodno postavljene vrijednosti. Ako se na ulaz za podešavanje S kratko vrijeme dovede signal 1, tada okidač prelazi u stanje 1 i nakon što signal na ulazu S postane jednak 0, okidač će sačuvati ovo stanje, odnosno pohraniti 1. Kada se 1 primijeni na ulaz R, okidač će prijeći u stanje 0. Primjena logičkog na oba ulaza S i R može dovesti do dvosmislenog rezultata, tako da je ova kombinacija ulaznih signala zabranjena. Zadaci za samoispunjavanje 1. Postoji 16 logičkih funkcija dvije varijable (vidi tabelu 3.1). Izgradite svoja logička kola koristeći osnovne logičke elemente: konjunktor, disjunktor i inverter. 2. Dokažite da je logičko kolo razmatrano u primjeru 3.10 jednobitni binarni polusabirač (prenošenje od najmanje značajnog bita se ne uzima u obzir). 3. Dokazati, konstruiranjem tablice istinitosti, da logička funkcija R = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) određuje prijenos na najvišu cifru pri sabiranju binarnih brojeva (A i B su članovi, Po je prijenos od najmanje značajne cifre). 4. Dokazati konstruiranjem tablice istinitosti da logička funkcija S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) određuje zbir pri sabiranju binarnih brojeva (A i B su članovi, Po je prijenos od najmanje značajnog bita). 5. Izgradite logičko kolo jednobitnog binarnog sabirača. Koliko osnovnih logičkih kapija je potrebno za implementaciju 64-bitnog binarnog sabirača? 6. Koliko osnovnih logičkih elemenata čini RAM savremenog računara kapaciteta 64 MB? 1. Zapišite brojeve u proširenom obliku: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Zapišite sljedeće brojeve u presavijenom obliku: a) A10 = 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Da li su brojevi pravilno napisani u odgovarajućim brojevnim sistemima: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Kolika je minimalna osnova brojevnog sistema ako su u njemu napisani brojevi 127, 222, 111? Odrediti decimalni ekvivalent ovih brojeva u pronađenom brojevnom sistemu. 5. Koliki je decimalni ekvivalent brojeva 101012, 101018 1010116? 6. Trocifreni decimalni broj završava se brojem 3. Ako se ova cifra pomakne dvije cifre ulijevo, odnosno od nje će početi snimanje novog broja, tada će taj novi broj biti jedan više od trostrukog originalni broj. Pronađite originalni broj. 2.22 Šestocifreni decimalni broj počinje s lijeve strane brojem 1. Ako se ova cifra sa prvog mjesta lijevo prenese na posljednje mjesto s desne strane, tada će vrijednost formiranog broja biti tri puta veća od prvobitne . Pronađite originalni broj. 2.23 Koji je od brojeva 1100112, 1114, 358 i 1B16: a) najveći; b) najmanje? 2.27 Postoji li trougao čije su dužine stranica izražene brojevima 12g, 1116 i 110112? 2.28 Koji je najveći decimalni broj koji se može zapisati kao tri cifre u binarnom, oktalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu? 2.29 "Neozbiljna" pitanja. Kada je 2x2=100? Kada je 6x6=44? Kada je 4x4=20? 2.30. Zapišite cijele decimalne brojeve koji pripadaju sljedećim numeričkim intervalima: a) ; b) ; in) . 2.31 U razredu ima 11112 djevojčica i 11002 dječaka. Koliko je učenika u razredu? 2.32 U odeljenju ima 36d učenika, od kojih je 21q djevojčica i 15q dječaka. Koji je sistem brojanja korišten za brojanje učenika? 2. 33. U bašti ima 100q voćaka, od čega 33q jabuke, 22q kruške, 16q šljive i 5q trešnje. U kom sistemu brojeva se broje stabla? 2.34 Bilo je 100q jabuka. Nakon što je svaki od njih prepolovljen, bilo je 1000q polovina. U sistemu brojeva, na osnovu čega je vođen račun? 2.35 Imam 100 braće. Mlađi je star 1000 godina, a stariji 1111 godina. Najstariji uči u razredu 1001. Može li ovo biti? 2.36 Nekada davno postojalo je jezero u čijem je središtu rastao samo jedan list lokvanja. Svakim danom broj takvih listova se udvostručavao, a desetog dana je cijela površina ribnjaka već bila ispunjena lišćem ljiljana. Koliko dana je trebalo da se polovina ribnjaka napuni lišćem? Koliko je listova bilo nakon devetog dana? 2.37 Odabirom stepena broja 2, koji sabiraju dati broj, pretvoriti sljedeće brojeve u binarni brojevni sistem: a) 5; u 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Provjerite ispravnost prijevoda pomoću programa Advanced Converter. 2.3. Prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi 2.3.1. Pretvaranje celih brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi Možemo formulisati algoritam za pretvaranje celih brojeva iz sistema sa osnovom p u sistem sa bazom q: 1. Izraziti bazu novog brojevnog sistema preko cifara originalnog brojevnog sistema i izvršiti sve naredne radnje u originalnom brojevnom sistemu. 2. Dosljedno izvoditi dijeljenje datog broja i rezultirajućih cjelobrojnih količnika po osnovi novog brojevnog sistema dok ne dobijemo količnik manji od djelitelja. 3. Rezultirajući ostaci, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, dovode se u liniju sa alfabetom novog brojevnog sistema. 4. Sastavite broj u novom brojevnom sistemu, zapišite ga počevši od posljednjeg ostatka. Primjer 2.12 Pretvorite decimalni broj 17310 u oktalni: ■ Dobijamo: 17310=2558. Primer 2.13 Pretvorite decimalni broj 17310 u heksadecimalni brojevni sistem: - Dobijamo: 17310=AD16. Primjer 2.14 Pretvorite decimalni broj 1110 u binarni sistem brojeva. Dobijamo: 111O=10112. Primjer 2.15 Ponekad je zgodnije algoritam prevođenja napisati u obliku tabele. Pretvorimo decimalni broj 36310 u binarni broj. 2.3.2. Pretvaranje razlomaka iz jednog brojevnog sistema u drugi Možemo formulisati algoritam za pretvaranje pravilnog razlomka sa osnovom p u razlomak sa osnovom q: 1. Izraziti bazu novog brojevnog sistema u terminima cifara originalnog brojevnog sistema i izvršiti sve naredne radnje u originalnom brojevnom sistemu. 2. Zadati broj i dobijene razlomke proizvoda uzastopno množite sa osnovom novog sistema sve dok razlomak proizvoda ne postane jednak nuli ili dok se ne postigne tražena tačnost prikaza broja. 3. Rezultirajući cjelobrojni dijelovi proizvoda, koji su cifre broja u novom brojevnom sistemu, moraju se uskladiti sa alfabetom novog brojevnog sistema. 4. Sastavite razlomak broja u novom brojevnom sistemu, počevši od celobrojnog dela prvog proizvoda. Primjer 2.16. Pretvoriti 0,6562510 u oktalni brojevni sistem. Primjer 2.17. Pretvorite broj 0,6562510 u heksadecimalni brojni sistem. Primjer 2.18. Pretvorite decimalni 0,562510 u binarni sistem brojeva. Primjer 2.19 Pretvorite decimalni razlomak 0,710 u binarni. Očigledno, ovaj proces se može nastaviti u nedogled, dajući sve više i više novih znakova u slici binarnog ekvivalenta broja 0,710. Dakle, u četiri koraka dobijamo broj 0.10112, au sedam koraka dobijamo broj 0.10110012, što je tačnija reprezentacija broja 0.710 u binarnom obliku, itd. Takav beskrajni proces se prekida u određenom koraku, kada se smatra da je postignuta potrebna tačnost reprezentacije broja. 2.3.3. Translacija proizvoljnih brojeva Translacija proizvoljnih brojeva, odnosno brojeva koji sadrže cijele i razlomke, vrši se u dvije faze. Cijeli dio se prevodi posebno, razlomak se prevodi posebno. U konačnom zapisu rezultirajućeg broja, cijeli broj je odvojen od razlomka zareza. Primjer 2.20 Pretvorite broj 17,2510 u binarni brojevni sistem. Prevodimo cijeli broj: Prevodimo razlomak: Primjer 2.21. Pretvorite broj 124,2510 u oktalni. 2.3.4. Prevođenje brojeva iz brojevnog sistema sa osnovom 2 u brojevni sistem sa osnovom 2n i obrnuto Prevođenje celih brojeva - Ako je osnova q-arnog brojevnog sistema stepen od 2, onda je prevod brojeva iz q-arnog sistema Brojevni sistem u binarni i obrnuto može se izvesti pomoću jednostavnijih pravila. Da biste napisali binarni cijeli broj u brojevnom sistemu sa osnovom q \u003d 2 ", potrebno je: 1. Podijeliti binarni broj s desna na lijevo u grupe od po n znamenki. 2. Ako zadnja lijeva grupa sadrži manje od n cifara, onda potrebnom broju cifara mora dodati nule s lijeve strane 3. Svaku grupu smatraj n-cifrenim binarnim brojem i zapiši je kao odgovarajuću cifru u brojevnom sistemu sa osnovom q = 2n Primjer 2.22 Pretvori broj 1011000010001100102 u oktalni brojevni sistem. Broj dijelimo s desna na lijevo na trozvuke i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu cifru: Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 5410628. Primjer 2.23. Pretvorimo broj 10000000001111100001112 u heksadecimalni brojni sistem. Podijelimo broj s desna na lijevo na tetrade i ispod svake od njih upišemo odgovarajuću heksadecimalnu cifru: Dobijamo heksadecimalni prikaz originalnog broja: 200F8716. Prevođenje razlomaka brojeva. Da biste napisali razlomački binarni broj u brojevnom sistemu sa osnovom q \u003d 2 ", potrebno je: 1. Podijeliti binarni broj s lijeva na desno u grupe od po n znamenki. 2. Ako zadnja desna grupa sadrži manje od n cifara, onda je njena 3. Svaku grupu posmatrajte kao n-cifreni binarni broj i zapišite je kao odgovarajuću cifru u brojevnom sistemu sa osnovom q = 2n Primer 2.24. desno u trozvuke i ispod svakog od njih upisujemo odgovarajuću oktalnu cifru: Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 0,5428 Primjer 2.25 Prevedemo broj 0,1000000000112 u heksadecimalni brojevni sistem Podijelimo broj s lijeva na desno na tetrade i upišemo ispod svake od njih odgovarajuću heksadecimalnu cifru: Dobij heksadecimalni broj prikaz originalnog broja: 0.80316. zapisati binarni broj u brojevnom sistemu sa osnovom q - 2n, potrebno je: [ 1. Podijeliti cijeli dio ovog binarnog broja s desna na lijevo, a razlomak s lijeva na desno na grupe od po n cifara. 2. Ako u posljednjoj lijevoj i/ili desnoj grupi ima manje od n cifara, onda se moraju na lijevoj i/ili desnoj strani dopuniti nulama na potreban broj cifara. 3. Razmotrite svaku grupu kao n-bitni binarni broj i zapišite je kao odgovarajuću cifru u brojevnom sistemu sa bazom q = 2p. Primjer 2.26 Prevedemo broj 111100101.01112 u oktalni brojevni sistem. Cijeli i razlomački dio broja podijelimo na trozvuke i ispod svakog od njih upišemo odgovarajuću oktalnu cifru: Dobijamo oktalni prikaz originalnog broja: 745,34S. Primjer 2.27 Prevedemo broj 11101001000,110100102 u heksadecimalni brojevni sistem. Cijeli i razlomački dio broja dijelimo na tetrade i ispod svake od njih upisujemo odgovarajuću heksadecimalnu cifru: Dobijamo heksadecimalni prikaz originalnog broja: 748,D216. Prevođenje brojeva iz brojevnih sistema sa osnovom q = 2p u binarni sistem. Da bi proizvoljan broj zapisan u brojevnom sistemu sa osnovom q = 2 bio pretvoren u binarni brojni sistem, morate zamijeniti svaku cifru ovaj broj sa svojim n-cifrenim ekvivalentom u binarnom brojevnom sistemu. Primjer 2.28. Hajde da prevedemo heksadecimalni broj 4AC351b u binarni brojevni sistem. U skladu sa algoritmom: i Dobijamo: 10010101100001101012 Zadaci za samoispunjenje 2.38. Popunite tabelu u kojoj u svakom redu mora biti upisan isti cijeli broj u različitim brojevnim sistemima. 2.39. Popuni tabelu u kojoj u svakom redu mora biti upisan isti razlomak u različitim brojevnim sistemima. 2.40. Popunite tabelu u kojoj u svakom redu mora biti upisan isti proizvoljni broj (broj može sadržavati i cijeli i razlomački dio) u različitim brojevnim sistemima. 2.4. Aritmetičke operacije u pozicionim brojevnim sistemima

Aritmetičke operacije u binarnom sistemu.


Primjer 2.29. Razmotrimo nekoliko primjera zbrajanja binarnih brojeva:

Oduzimanje. Kada se izvodi operacija oduzimanja, manji broj se uvijek oduzima od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti i stavlja se odgovarajući znak. U tabeli oduzimanja, 1 sa crtom znači zajam visokog reda.


Primjer 2.31. Razmotrimo nekoliko primjera binarnog množenja:

Vidite da se množenje svodi na množenje i sabiranje.

Division. Operacija dijeljenja se izvodi prema algoritmu sličnom algoritmu operacije dijeljenja u decimalnom brojevnom sistemu.


Sabiranje u drugim brojevnim sistemima. Ispod je tabela sabiranja u oktalnom brojevnom sistemu:

2.42. Rasporedi predznake aritmetičkih operacija tako da su sledeće jednakosti tačne u binarnom sistemu:

Napišite odgovor za svaki broj u navedenim i decimalnim brojevnim sistemima. 2.44. Koji broj prethodi svakom od podataka:

2.45. Napišite cijele brojeve koji pripadaju sljedećim numeričkim intervalima:

a) u binarnom sistemu;

b) u oktalnom sistemu;

c) u heksadecimalnom sistemu.

Napišite odgovor za svaki broj u navedenim i decimalnim brojevnim sistemima.



2.47. Pronađite aritmetičku sredinu sljedećih brojeva:

2.48 Zbir oktalnih brojeva 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 je pretvoreno u heksadecimalni brojni sistem.
Nađite u unosu broj jednak ovom iznosu, petu cifru slijeva.


Vratite nepoznate brojeve označene upitnikom
slijedeći primjeri sabiranja i oduzimanja, prvo definiranje
le, u kom sistemu su prikazani brojevi.

Aritmetičke operacije u pozicionim brojevnim sistemima

Razmotrimo detaljnije aritmetičke operacije u binarnom brojevnom sistemu. Aritmetika binarnog brojevnog sistema zasniva se na upotrebi tablica sabiranja, oduzimanja i množenja cifara. Aritmetički operandi se nalaze u gornjem redu i u prvoj koloni tabele, a rezultati su na preseku kolona i redova:

Razmotrimo svaku operaciju detaljno.

Dodatak. Tabela binarnog sabiranja je izuzetno jednostavna. Samo u jednom slučaju, kada se vrši dodavanje 1+1, prelazi u viši rang. ,

Oduzimanje. Kada se izvodi operacija oduzimanja, manji broj se uvijek oduzima od većeg broja u apsolutnoj vrijednosti i stavlja se odgovarajući znak. U tabeli oduzimanja, 1 sa crtom znači zajam visokog reda.

Množenje. Operacija množenja se izvodi pomoću tablice množenja prema uobičajenoj šemi koja se koristi u decimalnom brojevnom sistemu uz uzastopno množenje množitelja sa sljedećom cifrom množitelja.

Division. Operacija dijeljenja se izvodi prema algoritmu sličnom algoritmu operacije dijeljenja u decimalnom brojevnom sistemu.

Napomena: Prilikom sabiranja dva broja jednaka 1, u ovoj cifri se dobija 0, a 1. se prenosi na najznačajniju cifru.

Primjer_21: Dati su brojevi 101 (2) i 11 (2). Pronađite zbir ovih brojeva.

gdje je 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Provjera: 5+3=8.

Prilikom oduzimanja jedan od 0, jedinica se uzima od najviše najbliže cifre koja se razlikuje od 0. Istovremeno, jedinica koja se nalazi u najvišoj cifri daje 2 jedinice u najmanje značajnoj cifri i jednu u svim znamenkama između najviše i najniže.

Primjer_22: Dati su brojevi 101 (2) i 11 (2). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Provjera: 5-3=2.

Operacija množenja se svodi na ponavljanje pomaka i sabiranja.

Primjer_23: Dati su brojevi 11 (2) i 10 (2). Pronađite proizvod ovih brojeva.

gdje je 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Provjera: 3*2=6.

Aritmetičke operacije u oktalnom brojevnom sistemu

Prilikom sabiranja dva broja, čiji je zbir jednak 8, u ovoj kategoriji dobija se 0, a 1. se prenosi u najviši red.

Primjer_24: Dati su brojevi 165 (8) i 13 (8). Pronađite zbir ovih brojeva.

gdje je 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Prilikom oduzimanja većeg broja od manjeg broja, uzima se jedinica od najveće najbliže cifre koja se razlikuje od 0. Istovremeno, jedinica koja se nalazi u najvišoj cifri daje 8 u najmanjoj cifri.

Primjer_25: Dati su brojevi 114 (8) i 15 (8). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Aritmetičke operacije u heksadecimalnom brojevnom sistemu

Prilikom sabiranja dva broja, ukupno 16, u ovu kategoriju se upisuje 0, a 1 se prenosi na najviši red.

Primjer_26: Dati su brojevi 1B5 (16) i 53 (16). Pronađite zbir ovih brojeva.

gdje je 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Prilikom oduzimanja većeg broja od manjeg broja, jedinica se uzima od najveće najbliže cifre koja nije 0. U isto vrijeme, jedinica koja je zauzeta najvišom cifrom daje 16 u najmanje značajnoj cifri.

Primjer_27: Dati su brojevi 11A (16) i 2C (16). Pronađite razliku između ovih brojeva.

gdje je 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Računarsko kodiranje podataka

Podaci u računaru su predstavljeni kao kod, koji se sastoji od jedinica i nula u različitim nizovima.

Šifra– skup simbola za predstavljanje informacija. Kodiranje je proces predstavljanja informacija u obliku koda.

Brojčani kodovi

Prilikom izvođenja aritmetičkih operacija na računaru koriste se direktno, obrnuto i dodatno brojčani kodovi.

Direktan kod

Pravošifra (prikaz u obliku apsolutne vrijednosti sa predznakom) binarnog broja je sam binarni broj u kojem su sve cifre koje predstavljaju njegovu vrijednost zapisane kao u matematičkoj notaciji, a znak broja kao binarna cifra.

Cijeli brojevi mogu biti predstavljeni na računaru sa ili bez predznaka.

Neoznačeni cijeli brojevi obično zauzimaju jedan ili dva bajta memorije. Za pohranjivanje potpisanih cijelih brojeva dodjeljuje se jedan, dva ili četiri bajta, dok se najznačajniji (krajnji lijevi) bit dodjeljuje pod predznakom broja. Ako je broj pozitivan, tada se u ovaj bit upisuje 0, ako je negativan onda 1.

Primjer_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Pozitivni brojevi u računaru su uvek predstavljeni pomoću direktnog koda. Direktni kod broja potpuno se poklapa sa unosom samog broja u ćeliju mašine. Direktni kod negativnog broja razlikuje se od direktnog koda odgovarajućeg pozitivnog broja samo po sadržaju bita predznaka.

Direktni kod se koristi prilikom pohranjivanja brojeva u memoriju računala, kao i prilikom izvođenja operacija množenja i dijeljenja, ali je format za predstavljanje brojeva u direktnom kodu nezgodan za korištenje u proračunima, jer se vrši sabiranje i oduzimanje pozitivnih i negativnih brojeva. drugačije, te je stoga potrebno analizirati bitove predznaka. Stoga se direktni kod praktično ne koristi pri implementaciji aritmetičkih operacija nad cijelim brojevima u ALU. Ali negativni cijeli brojevi nisu predstavljeni u računaru direktnim kodom. Umjesto ovog formata, formati za predstavljanje brojeva u obrnutom i dodatnim kodovima postali su široko rasprostranjeni.

Obrnuti kod

Obrnuti kod pozitivnog broja poklapa se s direktnim, a pri pisanju negativnog broja sve njegove cifre, osim cifre koja predstavlja znak broja, zamjenjuju se suprotnim (0 zamjenjuje se 1, a 1 zamjenjuje se 0).

Primjer_29:

Primjer_30:

Za vraćanje direktnog koda negativnog broja iz obrnutog koda, sve znamenke, osim znamenke koja predstavlja znak broja, moraju se zamijeniti suprotnim.

Dodatni kod

Dodatni kod pozitivnog broja poklapa se sa direktnim, a kod negativnog broja se formira dodavanjem 1 inverznom kodu.

Primjer_31:

Primjer_32:

Primjer_33:

Za cijeli broj -32 (10) napišite dodatni kod.

1. Nakon pretvaranja broja 32 (10) u binarni brojevni sistem, dobijamo:

32 (10) =100000 (2) .

2. Direktni kod za pozitivan broj 32 (10) je 0010 0000.

3. Za negativan broj -32 (10), direktni kod je 1010 0000.

4. Obrnuti kod broja -32 (10) je 1101 1111.

5. Dodatni kod broja -32 (10) je 1110 0000.

Primjer_34:

Dodatni kod broja je 0011 1011. Pronađite vrijednost broja u decimalnom zapisu.

1. Prva (značna) cifra broja 0 011 1011 je 0, tako da je broj pozitivan.

2. Za pozitivan broj, dodatni, inverzni i direktni kodovi su isti.

3. Broj u binarnom sistemu se dobija iz zapisa direktnog koda - 111011 (2) (od najviših cifara odbacujemo nule).

4. Broj 111011 (2) nakon pretvaranja u decimalni brojevni sistem je 59 (10).

Primjer_35:

Dodatni kod broja je 1011 1011. Pronađite vrijednost broja u decimalnom zapisu.

1. Znak znaka broja 1 011 1011 je 1, tako da je broj negativan.

2. Da biste odredili reverzni kod broja, oduzmite jedan od dodatnog koda. Obrnuti kod je 1 011 1010.

3. Direktni kod se dobija iz reversa zamjenom svih binarnih cifara broja sa suprotnim (1 za 0, 0 za 1). Direktni kod broja je 1 100 0101 (u predznaku upisujemo 1).

4. Broj u binarnom sistemu se dobija iz zapisa direktnog koda - -100 0101 (2).

4. Broj -1000101 (2) nakon konverzije u decimalu jednak je -69 (10).


Slične informacije.