Die Zahl 0 kann als eine Art Grenze dargestellt werden, die die Welt der reellen Zahlen von den imaginären oder negativen Zahlen trennt. Aufgrund der mehrdeutigen Position gehorchen viele Operationen mit diesem Zahlenwert nicht der mathematischen Logik. Die Unmöglichkeit, durch Null zu teilen, ist ein Paradebeispiel dafür. Und erlaubte Rechenoperationen mit Null können mit allgemein anerkannten Definitionen durchgeführt werden.

Geschichte von Null

Null ist der Bezugspunkt in allen gängigen Zahlensystemen. Die Verwendung der Zahl durch Europäer ist relativ neu, aber die Weisen des alten Indien verwendeten tausend Jahre lang die Null, bevor die leere Zahl von europäischen Mathematikern regelmäßig verwendet wurde. Schon vor den Indianern war die Null ein obligatorischer Wert im Maya-Zahlensystem. Dieses amerikanische Volk verwendete das Duodezimalsystem und begann den ersten Tag jedes Monats mit einer Null. Interessanterweise stimmte bei den Maya das Zeichen für „Null“ vollständig mit dem Zeichen für „Unendlichkeit“ überein. Daher kamen die alten Maya zu dem Schluss, dass diese Mengen identisch und nicht erkennbar waren.

Mathematische Operationen mit Null

Mathematische Standardoperationen mit Null lassen sich auf wenige Regeln reduzieren.

Addition: Wenn Sie zu einer beliebigen Zahl Null addieren, ändert sie ihren Wert nicht (0+x=x).

Subtraktion: Beim Subtrahieren von Null von einer beliebigen Zahl bleibt der Wert der Subtraktion unverändert (x-0=x).

Multiplikation: Jede Zahl multipliziert mit 0 ergibt 0 im Produkt (a*0=0).

Division: Null kann durch jede Zahl ungleich Null geteilt werden. In diesem Fall ist der Wert eines solchen Bruchs 0. Und eine Division durch Null ist verboten.

Potenzierung. Diese Aktion kann mit einer beliebigen Nummer ausgeführt werden. Eine beliebige Zahl potenziert mit Null ergibt 1 (x 0 = 1).

Null zu jeder Potenz ist gleich 0 (0 a \u003d 0).

In diesem Fall ergibt sich sofort ein Widerspruch: Der Ausdruck 0 0 ergibt keinen Sinn.

Paradoxien der Mathematik

Dass eine Division durch Null nicht möglich ist, wissen viele aus der Schule. Aber aus irgendeinem Grund ist es nicht möglich, den Grund für ein solches Verbot zu erklären. In der Tat, warum gibt es die Division-durch-Null-Formel nicht, aber andere Aktionen mit dieser Zahl sind durchaus sinnvoll und möglich? Die Antwort auf diese Frage geben Mathematiker.

Die Sache ist die, dass die üblichen Rechenoperationen, die Schüler in der Grundschule lernen, bei weitem nicht so gleichwertig sind, wie wir denken. Alle einfachen Operationen mit Zahlen lassen sich auf zwei reduzieren: Addition und Multiplikation. Diese Operationen sind die Essenz des eigentlichen Konzepts einer Zahl, und der Rest der Operationen basiert auf der Verwendung dieser beiden.

Addition und Multiplikation

Nehmen wir ein Standardsubtraktionsbeispiel: 10-2=8. In der Schule wird es einfach betrachtet: Wenn von zehn Gegenständen zwei weggenommen werden, bleiben acht übrig. Aber Mathematiker sehen diese Operation ganz anders. Schließlich gibt es für sie keine Operation wie Subtraktion. Dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden: x+2=10. Für Mathematiker ist die unbekannte Differenz einfach die Zahl, die zu zwei addiert werden muss, um acht zu ergeben. Und hier ist keine Subtraktion erforderlich, Sie müssen nur einen geeigneten Zahlenwert finden.

Multiplikation und Division werden gleich behandelt. Im Beispiel 12:4=3 ist verständlich, dass wir über die Aufteilung von acht Objekten in zwei gleiche Stapel sprechen. In Wirklichkeit ist dies jedoch nur eine umgekehrte Formel zum Schreiben von 3x4 \u003d 12. Solche Beispiele für die Division können endlos angegeben werden.

Beispiele für die Division durch 0

Hier wird ein wenig deutlich, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen. Multiplikation und Division durch Null haben ihre eigenen Regeln. Alle Beispiele pro Teilung dieser Größe lassen sich als 6:0=x formulieren. Aber das ist ein umgekehrter Ausdruck des Ausdrucks 6 * x = 0. Aber wie Sie wissen, ergibt jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, im Produkt nur 0. Diese Eigenschaft ist dem eigentlichen Konzept des Nullwerts inhärent.

Es stellt sich heraus, dass eine solche Zahl, die, wenn sie mit 0 multipliziert wird, einen greifbaren Wert ergibt, nicht existiert, das heißt, dieses Problem hat keine Lösung. Vor einer solchen Antwort sollte man keine Angst haben, sie ist eine natürliche Antwort auf Probleme dieser Art. Nur 6:0 zu schreiben macht keinen Sinn und kann nichts erklären. Kurz gesagt, dieser Ausdruck kann durch das unsterbliche „keine Division durch Null“ erklärt werden.

Gibt es einen 0:0-Betrieb? In der Tat, wenn die Operation des Multiplizierens mit 0 legal ist, kann Null durch Null geteilt werden? Schließlich ist eine Gleichung der Form 0x5=0 ganz legal. Anstelle der Zahl 5 können Sie 0 eingeben, das Produkt ändert sich dadurch nicht.

Tatsächlich ist 0x0=0. Aber du kannst immer noch nicht durch 0 dividieren. Wie gesagt, die Division ist nur die Umkehrung der Multiplikation. Wenn also im Beispiel 0x5=0 der zweite Faktor bestimmt werden muss, erhalten wir 0x0=5. Oder 10. Oder unendlich. Unendlich durch Null teilen - wie gefällt es dir?

Aber wenn irgendeine Zahl in den Ausdruck passt, dann macht es keinen Sinn, wir können keine aus einer unendlichen Menge von Zahlen auswählen. Und wenn ja, bedeutet das, dass der Ausdruck 0:0 keinen Sinn macht. Es stellt sich heraus, dass sogar Null selbst nicht durch Null geteilt werden kann.

Höhere Mathematik

Die Division durch Null ist ein Kopfschmerz für die Highschool-Mathematik. Die mathematische Analyse, die an technischen Universitäten studiert wird, erweitert das Konzept der Probleme, die keine Lösung haben, geringfügig. Beispielsweise werden zum bereits bekannten Ausdruck 0:0 neue hinzugefügt, die im Schulmathematikunterricht keine Lösung haben:

  • unendlich dividiert durch unendlich: ∞:∞;
  • unendlich minus unendlich: ∞−∞;
  • Einheit unendlich potenziert: 1 ∞ ;
  • unendlich multipliziert mit 0: ∞*0;
  • einige andere.

Es ist unmöglich, solche Ausdrücke mit elementaren Methoden zu lösen. Aber die höhere Mathematik liefert dank zusätzlicher Möglichkeiten für eine Reihe ähnlicher Beispiele endgültige Lösungen. Besonders deutlich wird dies bei der Betrachtung von Problemen aus der Grenzwerttheorie.

Offenlegung von Unsicherheiten

In der Grenzwerttheorie wird der Wert 0 durch eine bedingte infinitesimale Variable ersetzt. Und Ausdrücke, in denen eine Division durch Null erhalten wird, wenn der gewünschte Wert ersetzt wird, werden umgewandelt. Unten ist ein Standardbeispiel für die Erweiterung von Grenzwerten unter Verwendung der üblichen algebraischen Transformationen:

Wie Sie im Beispiel sehen können, bringt eine einfache Kürzung eines Bruchs seinen Wert zu einer völlig rationalen Antwort.

Wenn man die Grenzen trigonometrischer Funktionen betrachtet, werden ihre Ausdrücke in der Regel auf die erste bemerkenswerte Grenze reduziert. Bei der Betrachtung der Grenzen, bei denen der Nenner auf 0 geht, wenn die Grenze ersetzt wird, wird die zweite bemerkenswerte Grenze verwendet.

L'Hopital-Methode

In einigen Fällen können die Grenzwerte von Ausdrücken durch den Grenzwert ihrer Ableitungen ersetzt werden. Guillaume Lopital - französischer Mathematiker, Gründer der französischen Schule der mathematischen Analyse. Er bewies, dass die Grenzen der Ausdrücke gleich den Grenzen der Ableitungen dieser Ausdrücke sind. In mathematischer Notation lautet seine Regel wie folgt.

Methoden zur Lösung von Grenzen. Unsicherheiten.
Funktionswachstumsreihenfolge. Ersatzmethode

Beispiel 4

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Im vorgeschlagenen Beispiel wiederum Unsicherheit (einer höheren Wachstumsordnung als die Wurzel).

Wenn „x“ gegen „minus unendlich“ tendiert

Das Gespenst von „minus unendlich“ schwebt schon lange in diesem Artikel. Betrachten Sie Grenzen mit Polynomen, in denen . Die Prinzipien und Lösungsmethoden sind mit Ausnahme einiger Nuancen genau die gleichen wie im ersten Teil der Lektion.

Betrachten Sie 4 Chips, die zur Lösung praktischer Aufgaben benötigt werden:

1) Berechnen Sie die Grenze

Der Wert der Grenze hängt nur von der Laufzeit ab, da sie die höchste Wachstumsordnung hat. Wenn, dann unendlich großer Modulo negative Zahl hoch GERADE, in diesem Fall - in der vierten, ist gleich "plus unendlich": . Konstante ("zwei") positiv, deshalb:

2) Berechnen Sie die Grenze

Hier ist noch einmal der Seniorenabschluss eben, deshalb: . Aber da steht ein "Minus" davor ( Negativ konstant –1), also:

3) Berechnen Sie die Grenze

Der Wert der Grenze hängt nur von ab. Wie Sie sich aus der Schule erinnern, „springt“ „minus“ unter dem ungeraden Grad hervor, also unendlich großer Modulo negative Zahl in eine ungerade Potenz gleich "minus unendlich", in diesem Fall: .
Konstante ("vier") positiv, meint:

4) Berechnen Sie die Grenze

Der erste Typ im Dorf hat wieder seltsam Grad im Übrigen im Busen Negativ konstant, was bedeutet: Also:
.

Beispiel 5

Finden Sie die Grenze

Anhand der obigen Punkte schließen wir, dass hier Unsicherheit besteht. Zähler und Nenner haben die gleiche Wachstumsordnung, was bedeutet, dass im Grenzfall eine endliche Zahl erhalten wird. Wir lernen die Antwort, indem wir alle Jungfische wegwerfen:

Die Lösung ist trivial:

Beispiel 6

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Und nun der vielleicht subtilste Fall:

Beispiel 7

Finden Sie die Grenze

In Anbetracht der Seniorenkonditionen kommen wir zu dem Schluss, dass hier Unsicherheit besteht. Der Zähler hat eine höhere Wachstumsordnung als der Nenner, sodass wir sofort sagen können, dass die Grenze unendlich ist. Aber welche Art von Unendlichkeit, "plus" oder "minus"? Der Empfang ist derselbe - im Zähler und Nenner werden wir die Kleinigkeiten los:

Wir entscheiden:

Teile Zähler und Nenner durch

Beispiel 15

Finden Sie die Grenze

Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Ein ungefähres Beispiel für den Abschluss am Ende der Lektion.

Noch ein paar interessante Beispiele zum Thema Variablensubstitution:

Beispiel 16

Finden Sie die Grenze

Das Einsetzen von eins in die Grenze führt zu Unsicherheit. Das Ersetzen der Variablen ist schon naheliegend, aber zuerst wandeln wir den Tangens mit der Formel um. Wozu brauchen wir eigentlich eine Tangente?

Beachten Sie daher . Wenn es nicht ganz klar ist, schauen Sie sich die Sinuswerte an trigonometrische Tabelle. Damit sind wir den Faktor gleich los, dazu kommt die bekanntere Unsicherheit 0:0. Es wäre schön, wenn unser Limit auch gegen Null tendieren würde.

Lassen Sie uns ersetzen:

Wenn, dann

Unter dem Kosinus haben wir "x", was auch durch "te" ausgedrückt werden muss.
Von der Ersetzung drücken wir aus: .

Wir vervollständigen die Lösung:

(1) Durchführung der Substitution

(2) Erweitern Sie die Klammern unter dem Kosinus.

(4) Organisieren erste wunderbare Grenze, multipliziere den Zähler künstlich mit und den Kehrwert von .

Aufgabe zur eigenständigen Lösung:

Beispiel 17

Finden Sie die Grenze

Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Das waren einfache Aufgaben in ihrer Klasse, in der Praxis ist alles schlimmer, und zusätzlich zu Reduktionsformeln, muss man anders verwenden trigonometrische Formeln, sowie andere Tricks. Im Artikel Komplexe Grenzen habe ich ein paar reale Beispiele analysiert =)

Am Vorabend des Feiertags werden wir die Situation endlich mit einer weiteren häufigen Unsicherheit klären:

Eliminierung von Unsicherheit „Eins hoch Unendlich“

Diese Ungewissheit wird „bedient“ zweite wunderbare Grenze, und im zweiten Teil dieser Lektion haben wir uns ausführlich Standardbeispiele für Lösungen angesehen, die in der Praxis in den meisten Fällen zu finden sind. Jetzt wird das Bild mit den Ausstellern vervollständigt, außerdem werden die letzten Aufgaben des Unterrichts den Grenz-"Tricks" gewidmet, bei denen es anscheinend notwendig ist, die 2. wunderbare Grenze anzuwenden, obwohl dies überhaupt nicht der Fall ist Fall.

Der Nachteil der beiden Arbeitsformeln der 2. wunderbaren Grenze ist, dass das Argument gegen „plus unendlich“ bzw. gegen Null gehen muss. Was aber, wenn das Argument zu einer anderen Zahl tendiert?

Abhilfe schafft die universelle Formel (die eigentlich eine Folge der zweiten bemerkenswerten Grenze ist):

Unsicherheit kann durch die Formel beseitigt werden:

Irgendwo habe ich schon erklärt, was die eckigen Klammern bedeuten. Nichts Besonderes, Klammern sind nur Klammern. Normalerweise werden sie verwendet, um eine mathematische Notation deutlich hervorzuheben.

Lassen Sie uns die wesentlichen Punkte der Formel hervorheben:

1) Es geht um nur um Ungewissheit und sonst nichts.

2) Argument "x" kann dazu neigen willkürlicher Wert(und nicht nur auf null oder ), insbesondere auf "minus unendlich" oder auf jeder letzte Zahl.

Mit dieser Formel können Sie alle Beispiele der Lektion lösen Bemerkenswerte Grenzen, die zur 2. wunderbaren Grenze gehören. Lassen Sie uns zum Beispiel das Limit berechnen:

In diesem Fall , und nach der Formel :

Richtig, ich rate Ihnen davon ab, in der Tradition verwenden Sie immer noch das „übliche“ Design der Lösung, wenn es angewendet werden kann. Jedoch die Verwendung der Formel ist sehr bequem zu überprüfen"klassische" Beispiele bis zur 2. wunderbaren Grenze.

Sehr oft fragen sich viele Leute, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen? In diesem Artikel werden wir sehr detailliert darauf eingehen, woher diese Regel stammt und welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können.

In Kontakt mit

Null kann als eine der interessantesten Zahlen bezeichnet werden. Diese Zahl hat keine Bedeutung, es bedeutet Leere im wahrsten Sinne des Wortes. Wenn Sie jedoch eine Null neben eine beliebige Ziffer setzen, wird der Wert dieser Ziffer um ein Vielfaches größer.

Die Nummer ist an sich sehr mysteriös. Es wurde von den alten Mayas verwendet. Null bedeutete bei den Maya "Anfang", und auch der Countdown der Kalendertage begann bei Null.

Eine sehr interessante Tatsache ist, dass das Zeichen der Null und das Zeichen der Unsicherheit für sie ähnlich waren. Damit wollten die Maya zeigen, dass Null dasselbe Zeichen wie Ungewissheit ist. In Europa tauchte die Bezeichnung Null erst vor relativ kurzer Zeit auf.

Außerdem kennen viele Menschen das mit der Null verbundene Verbot. Das wird jeder sagen kann nicht durch null geteilt werden. Das sagen die Lehrer in der Schule, und die Kinder nehmen sie normalerweise beim Wort. In der Regel interessieren sich Kinder entweder einfach nicht dafür, oder sie wissen, was passiert, wenn sie nach einem wichtigen Verbot sofort fragen: „Warum kannst du nicht durch Null teilen?“. Aber wenn man älter wird, erwacht das Interesse und man will mehr über die Gründe für ein solches Verbot wissen. Es gibt jedoch vernünftige Beweise.

Aktionen mit Null

Zuerst müssen Sie bestimmen, welche Aktionen mit Null ausgeführt werden können. Existiert mehrere Arten von Aktivitäten:

  • Zusatz;
  • Multiplikation;
  • Subtraktion;
  • Division (Null durch Zahl);
  • Potenzierung.

Wichtig! Wird bei der Addition zu einer beliebigen Zahl eine Null addiert, so bleibt diese Zahl gleich und ändert ihren Zahlenwert nicht. Dasselbe passiert, wenn Sie Null von einer beliebigen Zahl subtrahieren.

Bei Multiplikation und Division sieht es etwas anders aus. Wenn ein Multipliziere eine beliebige Zahl mit Null, dann wird auch das Produkt Null.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Schreiben wir das als Ergänzung:

Es gibt insgesamt fünf hinzugefügte Nullen, also stellt sich heraus, dass


Versuchen wir, eins mit null zu multiplizieren. Das Ergebnis ist ebenfalls null.

Null kann auch durch jede andere Zahl ungleich geteilt werden. In diesem Fall stellt sich heraus, dass der Wert ebenfalls Null ist. Die gleiche Regel gilt für negative Zahlen. Wenn Sie Null durch eine negative Zahl teilen, erhalten Sie Null.

Sie können auch eine beliebige Zahl erhöhen auf Nullleistung. In diesem Fall erhalten Sie 1. Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Ausdruck „null hoch null“ absolut bedeutungslos ist. Wenn Sie versuchen, Null mit irgendeiner Potenz zu potenzieren, erhalten Sie Null. Beispiel:

Wir verwenden die Multiplikationsregel, wir erhalten 0.

Kann man durch null teilen

Hier kommen wir also zur Hauptfrage. Kann man durch null teilen allgemein? Und warum ist es unmöglich, eine Zahl durch Null zu teilen, wenn alle anderen Operationen mit Null vollständig existieren und gelten? Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie sich der höheren Mathematik zuwenden.

Beginnen wir mit der Definition des Begriffs, was ist Null? Schullehrer behaupten, dass Null nichts ist. Leere. Das heißt, wenn Sie sagen, dass Sie 0 Stifte haben, bedeutet dies, dass Sie überhaupt keine Stifte haben.

In der höheren Mathematik ist der Begriff „Null“ weiter gefasst. Es bedeutet überhaupt nicht leer. Hier wird Null als Unsicherheit bezeichnet, denn wenn Sie ein wenig recherchieren, stellt sich heraus, dass wir durch Division von Null durch Null jede andere Zahl als Ergebnis erhalten können, die nicht unbedingt Null sein muss.

Wissen Sie, dass diese einfachen Rechenoperationen, die Sie in der Schule gelernt haben, untereinander nicht so gleich sind? Die grundlegendsten Schritte sind Addition und Multiplikation.

Für Mathematiker existieren die Begriffe „“ und „Subtraktion“ nicht. Angenommen: Wenn drei von fünf abgezogen werden, bleiben zwei übrig. So sieht Subtraktion aus. Mathematiker würden es jedoch so schreiben:

Es stellt sich also heraus, dass die unbekannte Differenz eine bestimmte Zahl ist, die zu 3 addiert werden muss, um 5 zu erhalten. Das heißt, Sie müssen nichts subtrahieren, Sie müssen nur eine passende Zahl finden. Diese Regel gilt für die Addition.

Etwas anders verhält es sich mit Multiplikations- und Divisionsregeln. Es ist bekannt, dass eine Multiplikation mit Null zu einem Nullergebnis führt. Wenn zum Beispiel 3:0=x, dann erhalten Sie 3*x=0, wenn Sie die Schallplatte umdrehen. Und die Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ergibt Null im Produkt. Es stellt sich heraus, dass es keine Zahl gibt, die im Produkt mit Null einen anderen Wert als Null ergeben würde. Das bedeutet, dass die Division durch Null bedeutungslos ist, das heißt, sie passt zu unserer Regel.

Aber was passiert, wenn Sie versuchen, Null durch sich selbst zu teilen? Nehmen wir x als eine unbestimmte Zahl. Es stellt sich die Gleichung 0 * x \u003d 0 heraus. Es kann gelöst werden.

Wenn wir versuchen, anstelle von x die Null zu nehmen, erhalten wir 0:0=0. Es würde logisch erscheinen? Aber wenn wir versuchen, anstelle von x eine andere Zahl zu nehmen, zum Beispiel 1, dann landen wir bei 0:0=1. Die gleiche Situation wird sein, wenn Sie eine andere Nummer nehmen und setze es in die Gleichung ein.

In diesem Fall stellt sich heraus, dass wir jede andere Zahl als Faktor nehmen können. Das Ergebnis wird eine unendliche Anzahl verschiedener Zahlen sein. Manchmal macht die Division durch 0 in der höheren Mathematik trotzdem Sinn, aber dann gibt es meist eine bestimmte Bedingung, aufgrund derer wir noch eine passende Zahl auswählen können. Diese Aktion wird als „Uncertainty Disclosure“ bezeichnet. In der gewöhnlichen Arithmetik verliert die Division durch Null wieder ihre Bedeutung, da wir dann keine Zahl aus der Menge auswählen können.

Wichtig! Null kann nicht durch Null geteilt werden.

Null und unendlich

Unendlichkeit ist in der höheren Mathematik sehr verbreitet. Da es für Schulkinder einfach nicht wichtig ist zu wissen, dass es noch mathematische Operationen mit Unendlich gibt, können Lehrer Kindern nicht richtig erklären, warum es unmöglich ist, durch Null zu teilen.

Die Schüler lernen die grundlegenden mathematischen Geheimnisse erst im ersten Jahr des Instituts. Die höhere Mathematik bietet eine große Anzahl von Problemen, für die es keine Lösung gibt. Die bekanntesten Probleme sind die Probleme mit der Unendlichkeit. Sie können mit gelöst werden mathematische Analyse.

Sie können sich auch auf unendlich bewerben elementare mathematische Operationen: Addition, Multiplikation mit einer Zahl. Subtraktion und Division werden ebenfalls häufig verwendet, aber am Ende laufen sie immer noch auf zwei einfache Operationen hinaus.

Aber was wird wenn du es versuchst:

  • Multiplizieren Sie unendlich mit Null. Wenn wir versuchen, eine beliebige Zahl mit Null zu multiplizieren, erhalten wir theoretisch Null. Aber die Unendlichkeit ist eine unbestimmte Menge von Zahlen. Da wir aus dieser Menge keine Zahl auswählen können, hat der Ausdruck ∞*0 keine Lösung und ist absolut bedeutungslos.
  • Null geteilt durch unendlich. Dies ist die gleiche Geschichte wie oben. Wir können nicht eine Zahl auswählen, was bedeutet, dass wir nicht wissen, durch was wir dividieren sollen. Der Ausdruck ergibt keinen Sinn.

Wichtig! Unendlichkeit ist etwas anders als Ungewissheit! Unendlichkeit ist eine Art von Ungewissheit.

Versuchen wir nun, unendlich durch Null zu teilen. Es scheint, dass es Unsicherheit geben sollte. Aber wenn wir versuchen, die Division durch Multiplikation zu ersetzen, erhalten wir eine sehr eindeutige Antwort.

Zum Beispiel: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Es stellt sich so heraus mathematisches Paradoxon.

Warum man nicht durch null dividieren kann

Gedankenexperiment, versuchen Sie, durch Null zu teilen

Fazit

Jetzt wissen wir also, dass Null fast allen Operationen unterliegt, die mit ausgeführt werden, mit Ausnahme einer einzigen. Sie können nicht durch Null dividieren, nur weil das Ergebnis Unsicherheit ist. Wir haben auch gelernt, mit Null und Unendlich zu operieren. Das Ergebnis solcher Maßnahmen wird Unsicherheit sein.

Die Ableitung der Funktion fällt nicht weit, und im Fall der Regeln von L'Hopital fällt sie genau dorthin, wo die ursprüngliche Funktion fällt. Dieser Umstand hilft, Unsicherheiten der Form 0/0 oder ∞/∞ und einige andere Unsicherheiten aufzudecken, die bei der Berechnung auftreten Grenze Verhältnis zweier infinitesimaler oder unendlich großer Funktionen. Die Berechnung wird durch diese Regel (eigentlich zwei Regeln und Hinweise dazu) stark vereinfacht:

Wie die obige Formel zeigt, kann bei der Berechnung der Grenze des Verhältnisses zweier unendlich kleiner oder unendlich großer Funktionen die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen durch die Grenze des Verhältnisses ihrer ersetzt werden Derivate und erhalten so ein bestimmtes Ergebnis.

Kommen wir zu genaueren Formulierungen der Regeln von L'Hopital.

Regel von L'Hopital für den Fall der Grenze zweier unendlich kleiner Werte. Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x a. Und genau an der Stelle a a Funktion Ableitung g(x) ist ungleich Null ( g"(x a sind einander gleich und gleich Null:

.

Regel von L'Hôpital für den Fall der Grenze zweier unendlich großer Mengen. Lassen Sie die Funktionen f(x) und g(x) haben Ableitungen (d. h. sie sind differenzierbar) in einer Umgebung des Punktes a. Und genau an der Stelle a sie können Derivate haben oder nicht. Außerdem in der Nähe des Punktes a Funktion Ableitung g(x) ist ungleich Null ( g"(x)≠0 ) und die Grenzen dieser Funktionen, wenn x zum Wert der Funktion an dem Punkt tendiert a sind einander gleich und gleich unendlich:

.

Dann ist die Grenze des Verhältnisses dieser Funktionen gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen:

Mit anderen Worten, für Unsicherheiten der Form 0/0 oder ∞/∞ ist die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen gleich der Grenze des Verhältnisses ihrer Ableitungen, falls letztere existiert (endlich, also gleich a bestimmte Zahl oder unendlich, d. h. gleich unendlich).

Bemerkungen.

1. Die Regeln von L'Hopital gelten auch, wenn die Funktionen f(x) und g(x) sind bei nicht definiert x = a.

2. Wenn bei der Berechnung der Grenze des Verhältnisses von Ableitungen von Funktionen f(x) und g(x) kommen wir wieder auf eine Unschärfe der Form 0/0 oder ∞/∞, dann sollten die Regeln von L'Hopital wiederholt (mindestens zweimal) angewendet werden.

3. Die Regeln von L'Hopital sind auch anwendbar, wenn das Argument der Funktionen (x) gegen eine nicht endliche Zahl strebt a, und bis unendlich ( x → ∞).

Unsicherheiten anderer Typen können auch auf Unsicherheiten der Typen 0/0 und ∞/∞ reduziert werden.

Angabe von Unsicherheiten der Typen „Null geteilt durch Null“ und „Unendlich geteilt durch Unendlich“

Beispiel 1

x=2 führt zu einer Unbestimmtheit der Form 0/0. Daher die Ableitung jeder Funktion und wir erhalten

Im Zähler wurde die Ableitung des Polynoms berechnet und im Nenner - Ableitung einer komplexen logarithmischen Funktion. Vor dem letzten Gleichheitszeichen das Übliche Grenze, indem x durch eine Zwei ersetzt wird.

Beispiel 2 Berechnen Sie die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen mit der Regel von L'Hospital:

Lösung. Substitution in eine gegebene Wertfunktion x

Beispiel 3 Berechnen Sie die Grenze des Verhältnisses zweier Funktionen mit der Regel von L'Hospital:

Lösung. Substitution in eine gegebene Wertfunktion x=0 führt zu einer Unbestimmtheit der Form 0/0. Daher berechnen wir die Ableitungen der Funktionen in Zähler und Nenner und erhalten:

Beispiel 4 Berechnung

Lösung. Das Einsetzen des Wertes von x gleich plus unendlich in eine gegebene Funktion führt zu einer Unbestimmtheit der Form ∞/∞. Daher wenden wir die Regel von L'Hopital an:

Kommentar. Kommen wir zu Beispielen, bei denen die L'Hopital-Regel zweimal angewendet werden muss, um also auf den Grenzwert des Verhältnisses der zweiten Ableitungen zu kommen, da der Grenzwert des Verhältnisses der ersten Ableitungen eine Unschärfe der Form ist 0/0 oder ∞/∞.

Angabe von Unsicherheiten der Form „Null multipliziert mit unendlich“

Beispiel 12. Berechnung

.

Lösung. Wir bekommen

Dieses Beispiel verwendet die trigonometrische Identität.

Angabe von Unsicherheiten der Typen „null hoch null“, „unendlich hoch null“ und „eins hoch unendlich“

Unsicherheiten der Form , oder werden üblicherweise auf die Form 0/0 oder ∞/∞ reduziert, indem der Logarithmus einer Funktion der Form verwendet wird

Um den Grenzwert des Ausdrucks zu berechnen, sollte man die logarithmische Identität verwenden, von der ein Spezialfall die Eigenschaft des Logarithmus ist .

Unter Verwendung der logarithmischen Identität und der Stetigkeitseigenschaft der Funktion (um über das Vorzeichen des Grenzwerts hinauszugehen) sollte der Grenzwert wie folgt berechnet werden:

Separat sollte man die Grenze des Ausdrucks im Exponenten finden und aufbauen e bis zum gefundenen Grad.

Beispiel 13

Lösung. Wir bekommen

.

.

Beispiel 14 Berechnen Sie mit der Regel von L'Hopital

Lösung. Wir bekommen

Berechnen Sie die Grenze des Ausdrucks im Exponenten

.

.

Beispiel 15 Berechnen Sie mit der Regel von L'Hopital

Wenn eine Zahl durch unendlich geteilt wird, geht der Quotient gegen Null? Weiter drinnen und bekam eine bessere Antwort

Antwort von Olenka[Neuling]
alle 0
Krabbenrinde
Orakel
(56636)
Nein. Genau Null. Da der Divisor gegen unendlich geht, tendiert der Quotient gegen Null. Und wenn wir nicht durch eine Zahl dividieren, die gegen unendlich geht, sondern durch die Unendlichkeit selbst (genauer gesagt wird sie übrigens offiziell überhaupt nicht als Zahl betrachtet, sondern als spezielles Symbol, das die Bezeichnungen von Zahlen ergänzt) - genau null.

Antwort von Jugeus Wladimir[Guru]
Sogar null dividieren, sogar mit einer beliebigen Zahl multiplizieren, es wird immer noch null sein!


Antwort von 1 23 [Guru]
Wenn irgendeine Art Mist gegen Null tendiert, dann ist es schmerzlos, sie mit etwas Endlichem (einer Zahl oder einer begrenzten Funktion) zu multiplizieren, weil all-RNA gegen Null tendiert.
aber wenn Sie es mit etwas multiplizieren, das zur Unendlichkeit neigt, dann gibt es vielleicht Optionen.


Antwort von Krabbenrinde[Guru]
Das Teilen einer beliebigen Zahl durch unendlich ergibt Null. Exakter Nullpunkt, kein „auf Null gehen“. Und dann, mit welcher Zahl auch immer Sie es multiplizieren, null. Und das Ergebnis der Division von Null durch eine andere Zahl als Null ist Null, nur wenn Null durch Null geteilt wird, ist das Ergebnis nicht definiert, da jede Zahl als Quotient geeignet ist.