Unterrichtsthema: Rechenoperationen in Stellenzahlensystemen.

Klasse 9

Unterrichtsziele:

    Didaktik: die Schüler mit Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Binärsystem vertraut zu machen und eine grundlegende Übung der Fertigkeit zum Ausführen dieser Aktionen durchzuführen.

    Lehrreich: das Interesse der Schüler am Lernen neuer Dinge zu wecken, die Möglichkeit eines nicht standardmäßigen Ansatzes für Berechnungen aufzuzeigen.

    Entwicklung: Aufmerksamkeit, Strenge des Denkens, die Fähigkeit zur Vernunft entwickeln.

Unterrichtsstruktur.

    Orgmoment -1 Minute.

    Überprüfung der Hausaufgaben mit einem mündlichen Test -15 Minuten.

    Hausaufgaben -2 Minuten.

    Problemlösung bei gleichzeitiger Analyse und eigenständiger Erarbeitung des Materials -25min.

    Zusammenfassung der Lektion -2 Minuten.

WÄHREND DER KLASSEN

    Organisatorischer Moment.

    Kontrolle der Hausaufgaben (mündliche Prüfung) .

Der Lehrer liest die Fragen der Reihe nach vor. Die Schüler hören aufmerksam auf die Frage, ohne sie aufzuschreiben. Nur die Antwort wird aufgezeichnet, und zwar sehr kurz. (Wenn die Antwort mit einem Wort möglich ist, wird nur dieses Wort aufgezeichnet).

    Was ist ein Zahlensystem? (-Dies ist ein Zeichensystem, bei dem Zahlen nach bestimmten Regeln geschrieben werden, indem die Zeichen eines Alphabets namens Zahlen verwendet werden )

    Welche Zahlensysteme kennst du?( nicht-positionell und positionell )

    Welches System wird als nicht-positional bezeichnet? (SCH heißt nicht-positional, wenn das quantitative Äquivalent (quantitativer Wert) einer Ziffer in einer Zahl nicht von ihrer Position in der Schreibweise der Zahl abhängt ).

    Was ist die Basis des positionellen SSC? (gleich der Anzahl der Ziffern, aus denen sein Alphabet besteht )

    Welche mathematische Operation sollte verwendet werden, um eine ganze Zahl von einem dezimalen NSC in einen anderen umzuwandeln? (Aufteilung )

    Was muss getan werden, um eine Zahl von Dezimal in Binär umzuwandeln? (Teile konsequent durch 2 )

    Wie oft wird die Zahl 11.1 abnehmen 2 beim Verschieben des Kommas um ein Zeichen nach links? (2 Mal )

Hören wir uns jetzt einen Vers über ein außergewöhnliches Mädchen an und beantworten Fragen. (Klingt wie ein Vers )

AUSSERGEWÖHNLICHE MÄDCHEN

Sie war tausend und hundert Jahre alt
Sie ging in die 101. Klasse,
Ich trug hundert Bücher in meiner Mappe.
All dies ist wahr, kein Unsinn.

Als, mit einem Dutzend Füßen Staub wischend,
Sie ging die Straße entlang.
Ihr folgte immer ein Welpe
Mit einem Schwanz, aber hundertbeinig.

Sie fing jedes Geräusch auf
Mit zehn Ohren
Und zehn gebräunte Hände
Sie hielten eine Aktentasche und eine Leine.

Und zehn dunkelblaue Augen
Betrachtet die Welt gewohnheitsmäßig,
Aber alles wird ganz normal,
Wenn du meine Geschichte verstehst.

/ N. Starikow /

Und wie alt war das Mädchen? (12 Jahre ) In welche Klasse ging sie? (5. Klasse ) Wie viele Arme und Beine hatte sie? (2 Arme, 2 Beine ) Wie hat ein Welpe 100 Beine? (4 Pfoten )

Nach Abschluss des Tests werden die Antworten von den Studierenden selbst laut ausgesprochen, eine Selbstprüfung durchgeführt und die Studierenden geben sich selbst Noten.

Kriterium:

    10 richtige Antworten (vielleicht ein kleiner Fehler) - „5“;

    9 oder 8 - „4“;

    7, 6 – “3”;

    der Rest sind „2“.

II. Hausaufgaben (2 Minuten)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Arbeiten mit neuem Material

Rechenoperationen im Binärsystem.

Die Arithmetik des binären Zahlensystems basiert auf der Verwendung von Additions-, Subtraktions- und Multiplikationstabellen von Ziffern. Arithmetische Operanden befinden sich in der obersten Zeile und in der ersten Spalte der Tabellen, und die Ergebnisse befinden sich am Schnittpunkt von Spalten und Zeilen:

0

1

1

1

Zusatz.

Die binäre Additionstabelle ist extrem einfach. Nur in einem Fall, bei der Addition 1 + 1, erfolgt ein Übergang auf das höchstwertige Bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Subtraktion.

Bei einer Subtraktionsoperation wird immer eine kleinere Zahl von einer betragsmäßig größeren Zahl subtrahiert und das entsprechende Vorzeichen gesetzt. In der Subtraktionstabelle bedeutet eine 1 mit einem Balken ein Darlehen hoher Ordnung. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Multiplikation

Die Multiplikationsoperation erfolgt anhand der Multiplikationstabelle nach dem üblichen Schema des dezimalen Zahlensystems mit sukzessiver Multiplikation des Multiplikators mit der nächsten Ziffer des Multiplikators. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Die Multiplikation reduziert sich auf Verschiebungen des Multiplikanden und Additionen.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Zusammenfassung der Lektion

Karte für zusätzliche Arbeiten von Studenten.

Rechenoperationen durchführen:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Zusatz. Die Addition von Zahlen im binären Zahlensystem basiert auf der Additionstabelle der einstelligen binären Zahlen (Tabelle 6).

Es ist darauf zu achten, dass bei der Addition von zwei Einheiten auf die höchste Stelle übertragen wird. Dies geschieht, wenn der Wert einer Zahl gleich oder größer als die Basis des Zahlensystems wird.

Die Addition von Mehrbit-Binärzahlen erfolgt gemäß obiger Additionstabelle unter Berücksichtigung möglicher Übergänge von niedrigeren Stellen zu höheren Stellen. Lassen Sie uns als Beispiel binäre Zahlen in einer Spalte hinzufügen:

Überprüfen wir die Richtigkeit von Berechnungen durch Addition im Dezimalzahlensystem. Konvertieren wir die Binärzahlen in das Dezimalzahlensystem und addieren sie:

Subtraktion. Die Subtraktion von Binärzahlen basiert auf der Subtraktionstabelle für einstellige Binärzahlen (Tabelle 7).

Zieht man von einer kleineren Zahl (0) eine größere (1) ab, so entsteht ein Darlehen der höchsten Ordnung. In der Tabelle ist das Darlehen durch 1 mit einem Balken gekennzeichnet.

Die Subtraktion mehrstelliger Binärzahlen wird gemäß dieser Tabelle unter Berücksichtigung möglicher Darlehen in höherwertigen Stellen durchgeführt.

Lassen Sie uns zum Beispiel Binärzahlen subtrahieren:

Multiplikation. Die Multiplikation basiert auf dem Einmaleins der einstelligen Binärzahlen (Tabelle 8).

Die Multiplikation mehrstelliger Binärzahlen erfolgt gemäß dieser Multiplikationstabelle nach dem im dezimalen Zahlensystem üblichen Schema mit sukzessiver Multiplikation des Multiplikators mit der nächsten Ziffer des Multiplikators. Betrachten Sie ein Beispiel für eine binäre Multiplikation

Beispiel 1. Finden Sie X, wenn Um die linke Seite der Gleichheit zu transformieren, verwenden wir nacheinander das Gesetz von de Morgan für die logische Addition und das Gesetz der doppelten Negation: Nach dem Distributivgesetz für die logische Addition: Nach dem Eliminationsgesetz der dritten und das Gesetz der konstanten Eliminierung: Gleichsetzen Sie die resultierende linke Seite mit der rechten: X \u003d B Schließlich erhalten wir: X = B. Beispiel 2. Vereinfachen Sie den logischen Ausdruck. Überprüfen Sie die Richtigkeit der Vereinfachung mithilfe von Wahrheitstabellen für die ursprüngliche und resultierende Logik Ausdruck. Nach dem Gesetz der allgemeinen Inversion für die logische Addition (erstes Gesetz von de Morgan) und dem Gesetz der doppelten Negation: Nach dem Distributivgesetz (Distributivgesetz) für die logische Addition: Nach dem Gesetz des Widerspruchs: Nach dem Gesetz der Idempotenz Wir substituieren die Werte und unter Verwendung des Kommutativgesetzes (Kommutativgesetz) und Gruppieren der Terme erhalten wir : Nach dem Ausschlussgesetz (Kleben) Ersetzen Sie die Werte und erhalten Sie: Nach dem Ausschlussgesetz von Konstanten für die logische Addition und das Gesetz der Idempotenz: Ersetze die Werte und erhalte: Nach dem distributiven (distributiven) Gesetz zur logischen Multiplikation: Nach dem Eliminationsgesetz der Mitte: Ersetze die Werte und erhalte schließlich: 2 Die logischen Grundlagen von a Computer Ein diskreter Wandler, der nach Verarbeitung der eingegebenen binären Signale am Ausgang ein Signal ausgibt, das der Wert einer der logischen Operationen ist, wird als logisches Element bezeichnet. Nachfolgend sind die Symbole (Schemata) grundlegender logischer Elemente aufgeführt, die die logische Multiplikation (Konjunktor), die logische Addition (Disjunktor) und die Negation (Inverter) implementieren. Reis. 3.1. Konjunktor, Disjunktor und Inverter Computergeräte (Addierer im Prozessor, Speicherzellen im RAM usw.) werden auf der Grundlage grundlegender logischer Elemente aufgebaut. Beispiel 3. Konstruieren Sie ausgehend von der gegebenen logischen Funktion F(A, B) = =B&AÚB&A eine logische Schaltung. Die Konstruktion muss mit einer logischen Operation beginnen, die zuletzt ausgeführt werden muss. In diesem Fall ist eine solche Operation eine logische Addition, daher muss am Ausgang der logischen Schaltung ein Disjunktor vorhanden sein. Ihm werden Signale von zwei Konjunktionen zugeführt, von denen wiederum ein Eingangssignal normal und eines invertiert (von Invertern) ist. Beispiel 4. Die Logikschaltung hat zwei Eingänge X und Y. Bestimmen Sie die Logikfunktionen F1(X,Y) und F2(X,Y), die an ihren beiden Ausgängen implementiert sind. Am Ausgang des ersten Konjunktionors wird die Funktion F1(X,Y) implementiert, d. h. F1(X,Y) = X&Y. Gleichzeitig wird das Signal des Konjunktionsglieds dem Eingang des Inverters zugeführt, an dessen Ausgang das X&Y-Signal realisiert wird, das wiederum einem der Eingänge des zweiten Konjunktionsglieds zugeführt wird. Das Signal Xv Y vom Disjunktor wird dem anderen Eingang des zweiten Konjunktors zugeführt, daher die Funktion F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Betrachten Sie das Schema zum Addieren von zwei n-Bit-Binärzahlen. Beim Hinzufügen der Ziffern der i-ro-Ziffer werden ai und bi sowie Pi-1 hinzugefügt - eine Übertragung von der i-1-Ziffer. Das Ergebnis ist st - die Summe und Pi - die Übertragung auf die höhere Ordnung. Somit ist ein binärer Ein-Bit-Addierer ein Gerät mit drei Eingängen und zwei Ausgängen. Beispiel 3.15. Erstellen Sie eine Wahrheitstabelle für einen binären Ein-Bit-Addierer unter Verwendung der binären Additionstabelle. Abzug. Trigger werden verwendet, um Informationen im RAM des Computers sowie in den internen Registern des Prozessors zu speichern. Der Trigger kann sich in einem von zwei stabilen Zuständen befinden, die es Ihnen ermöglichen, sich 1 Bit an Informationen zu merken, zu speichern und zu lesen. Der einfachste Trigger ist der .RS-Trigger. Es besteht aus zwei ODER-NICHT-Gattern, die die Logikfunktion F9 implementieren (siehe Tabelle 3.1). Die Ein- und Ausgänge der Elemente sind durch einen Ring verbunden: Der Ausgang des ersten ist mit dem Eingang des zweiten verbunden und der Ausgang des zweiten ist mit dem Eingang des ersten verbunden. Der Trigger hat zwei Eingänge S (aus dem englischen Set - Installation) und I (aus dem englischen Reset - Reset) und zwei Ausgänge Q (direkt) und Q (invers). Reis. 2 RS-Flip-Flop-Logik Beispiel 3.16. Erstellen Sie eine Tabelle, die den Zustand der Ein- und Ausgänge des RS-Flipflops beschreibt. Erhalten die Eingänge die Signale R = 0 und S = 0, befindet sich der Trigger im Speichermodus, die Ausgänge Q und Q behalten die zuvor eingestellten Werte. Wird dem Setzeingang S kurzzeitig ein Signal 1 zugeführt, so geht der Trigger in den Zustand 1 und nachdem das Signal am Eingang S gleich 0 wird, speichert der Trigger diesen Zustand, d.h. er speichert 1. Wenn an Eingang R eine 1 angelegt wird, geht der Trigger in den Zustand 0. Das Anlegen einer logischen Eins an beide Eingänge S und R kann zu einem mehrdeutigen Ergebnis führen, daher ist diese Kombination von Eingangssignalen verboten. Aufgaben zur Selbsterfüllung 1. Es gibt 16 logische Funktionen von zwei Variablen (siehe Tabelle 3.1). Bauen Sie ihre Logikschaltungen mit grundlegenden Logikelementen auf: Konjunktor, Disjunktor und Inverter. 2. Beweisen Sie, dass die in Beispiel 3.10 betrachtete logische Schaltung ein binärer Ein-Bit-Halbaddierer ist (Übertrag vom niederwertigsten Bit wird nicht berücksichtigt). 3. Beweisen Sie durch Aufstellung einer Wahrheitstabelle, dass die logische Funktion Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) bei der Addition von Binärzahlen (A und B sind Terme, Po ist a Übertrag vom niederwertigsten Bit). 4. Beweisen Sie durch Erstellen einer Wahrheitstabelle, dass die logische Funktion S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) die Summe bei der Addition von Binärzahlen bestimmt (A und B sind Terme, Po ist ein Übertrag aus dem niederwertigsten Bit). 5. Baue eine Logikschaltung eines binären Einzelbit-Addierers auf. Wie viele grundlegende Gatter sind erforderlich, um einen 64-Bit-Binäraddierer zu implementieren? 6. Wie viele grundlegende logische Elemente bilden den Arbeitsspeicher eines modernen Computers mit einer Kapazität von 64 MB? 1. Notieren Sie die Zahlen in erweiterter Form: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Notieren Sie die folgenden Zahlen in gefalteter Form: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Sind die Zahlen in den entsprechenden Zahlensystemen richtig geschrieben: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Was ist die Mindestbasis des Zahlensystems, wenn die Zahlen 127, 222, 111 darin geschrieben sind? Bestimmen Sie das dezimale Äquivalent dieser Zahlen im gefundenen Zahlensystem. 5. Was ist das Dezimaläquivalent der Zahlen 101012, 101018 1010116? 6. Eine dreistellige Dezimalzahl endet mit der Zahl 3. Wenn diese Zahl um zwei Stellen nach links verschoben wird, dh die Aufzeichnung einer neuen Zahl beginnt, dann ist diese neue Zahl um eins mehr als das Dreifache ursprüngliche Nummer. Finden Sie die ursprüngliche Nummer. 2.22 Eine sechsstellige Dezimalzahl beginnt links mit der Zahl 1. Wenn diese Zahl von der ersten Stelle links auf die letzte Stelle rechts übertragen wird, dann ist der Wert der gebildeten Zahl das Dreifache des ursprünglichen . Finden Sie die ursprüngliche Nummer. 2.23 Welche der Zahlen 1100112, 1114, 358 und 1B16 ist: a) die größte; b) am wenigsten? 2.27 Gibt es ein Dreieck, dessen Seitenlängen durch die Zahlen 12g, 1116 und 110112 ausgedrückt werden? 2.28 Was ist die größte Dezimalzahl, die in binären, oktalen und hexadezimalen Zahlensystemen als drei Ziffern geschrieben werden kann? 2.29 „Nicht ernsthafte“ Fragen. Wann ist 2x2=100? Wann ist 6x6=44? Wann ist 4x4=20? 2.30. Schreiben Sie die ganzen Dezimalzahlen auf, die zu den folgenden numerischen Intervallen gehören: a) ; b) ; in) . 2.31 In der Klasse sind 11112 Mädchen und 11002 Jungen. Wie viele Schüler sind in der Klasse? 2.32 Es gibt 36d Schüler in der Klasse, davon sind 21q Mädchen und 15q Jungen. Welches Nummerierungssystem wurde verwendet, um die Schüler zu zählen? 2. 33. Es gibt 100q Obstbäume im Garten, davon 33q Apfelbäume, 22q Birnenbäume, 16q Pflaumen und 5q Kirschen. In welchem ​​Zahlensystem werden die Bäume gezählt? 2.34. Es gab 100q Äpfel. Nachdem jeder von ihnen halbiert war, gab es 1000q Hälften. Auf welcher Grundlage wurde im Zahlensystem das Konto geführt? 2.35 Ich habe 100 Brüder. Der jüngere ist 1000 Jahre alt und der ältere ist 1111 Jahre alt. Der Älteste lernt in Klasse 1001. Kann das sein? 2.36 Es war einmal ein Teich, in dessen Mitte ein einzelnes Seerosenblatt wuchs. Jeden Tag verdoppelte sich die Zahl solcher Blätter, und am zehnten Tag war bereits die gesamte Oberfläche des Teiches mit Seerosenblättern gefüllt. Wie viele Tage hat es gedauert, den halben Teich mit Blättern zu füllen? Wie viele Blätter waren es nach dem neunten Tag? 2.37 Durch Auswahl der Potenzen der Zahl 2, die sich zu einer gegebenen Zahl addieren, wandeln Sie die folgenden Zahlen in das binäre Zahlensystem um: a) 5; um 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Überprüfen Sie die Korrektheit der Übersetzung mit dem Programm Advanced Converter. 2.3. Übersetzung von Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes 2.3.1. Umwandeln von ganzen Zahlen von einem Zahlensystem in ein anderes Wir können einen Algorithmus zum Umwandeln von ganzen Zahlen von einem System mit der Basis p in ein System mit der Basis q formulieren: 1. Drücken Sie die Basis des neuen Zahlensystems durch die Ziffern des ursprünglichen Zahlensystems und aus alle nachfolgenden Aktionen im ursprünglichen Zahlensystem durchführen. 2. Führen Sie die Division der gegebenen Zahl und der daraus resultierenden ganzzahligen Quotienten durch das neue Zahlensystem konsequent durch, bis Sie einen Quotienten erhalten, der kleiner als der Divisor ist. 3. Die resultierenden Reste, also die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem, werden an das Alphabet des neuen Zahlensystems angepasst. 4. Bilden Sie eine Zahl im neuen Zahlensystem und schreiben Sie sie ab dem letzten Rest auf. Beispiel 2.12: Wandeln Sie die Dezimalzahl 17310 in eine Oktalzahl um: ■ Wir erhalten: 17310=2558. Beispiel 2.13: Wandeln Sie die Dezimalzahl 17310 in das hexadezimale Zahlensystem um: - Wir erhalten: 17310=AD16. Beispiel 2.14 Wandeln Sie die Dezimalzahl 1110 in das binäre Zahlensystem um. Wir erhalten: 111O=10112. Beispiel 2.15: Manchmal ist es bequemer, den Übersetzungsalgorithmus in Form einer Tabelle zu schreiben. Konvertieren wir die Dezimalzahl 36310 in eine Binärzahl. 2.3.2. Bruchzahlen von einem Zahlensystem in ein anderes umwandeln Wir können einen Algorithmus formulieren, um einen echten Bruch mit der Basis p in einen Bruch mit der Basis q umzuwandeln: 1. Drücken Sie die Basis des neuen Zahlensystems durch die Ziffern des ursprünglichen Zahlensystems aus und alle nachfolgenden Aktionen im ursprünglichen Zahlensystem durchführen. 2. Multiplizieren Sie nacheinander die gegebene Zahl und die daraus resultierenden Bruchteile der Produkte mit der Basis des neuen Systems, bis der Bruchteil des Produkts gleich Null wird oder die erforderliche Genauigkeit der Darstellung der Zahl erreicht ist. 3. Die resultierenden ganzzahligen Teile der Produkte, die die Ziffern einer Zahl im neuen Zahlensystem sind, müssen an das Alphabet des neuen Zahlensystems angepasst werden. 4. Bilden Sie den Bruchteil der Zahl im neuen Zahlensystem, beginnend mit dem ganzzahligen Teil des ersten Produkts. Beispiel 2.16. Konvertieren Sie 0,6562510 in das Oktalzahlensystem. Beispiel 2.17. Konvertieren Sie die Zahl 0,6562510 in das hexadezimale Zahlensystem. Beispiel 2.18. Konvertieren Sie die Dezimalzahl 0,562510 in das binäre Zahlensystem. Beispiel 2.19: Wandeln Sie den Dezimalbruch 0,710 in einen Binärbruch um. Offensichtlich kann dieser Prozess unbegrenzt fortgesetzt werden und dem Bild des binären Äquivalents der Zahl 0,710 immer mehr neue Zeichen verleihen. In vier Schritten erhalten wir also die Zahl 0,10112 und in sieben Schritten erhalten wir die Zahl 0,10110012, was eine genauere Darstellung der Zahl 0,710 in Binärform ist, und so weiter. Ein solcher endloser Prozess wird bei einem bestimmten Schritt unterbrochen, wenn davon ausgegangen wird, dass die erforderliche Genauigkeit der Darstellung der Zahl erreicht wurde. 2.3.3. Übersetzung beliebiger Zahlen Die Übersetzung beliebiger Zahlen, dh Zahlen, die ganzzahlige und gebrochene Teile enthalten, wird in zwei Schritten durchgeführt. Der ganze Teil wird separat übersetzt, der Bruchteil wird separat übersetzt. Im letzten Datensatz der resultierenden Zahl wird der ganzzahlige Teil vom Nachkomma getrennt. Beispiel 2.20: Wandeln Sie die Zahl 17,2510 in das binäre Zahlensystem um. Wir übersetzen den ganzzahligen Teil: Wir übersetzen den Bruchteil: Beispiel 2.21. Wandeln Sie die Zahl 124,2510 in Oktal um. 2.3.4. Übersetzung von Zahlen von einem Zahlensystem mit der Basis 2 in ein Zahlensystem mit der Basis 2n und umgekehrt Übersetzung von ganzen Zahlen - Wenn die Basis des q-stelligen Zahlensystems eine Potenz von 2 ist, dann die Umwandlung von Zahlen aus der q-Stelle Zahlensystem in Binärsystem und umgekehrt kann mit einfacheren Regeln durchgeführt werden. Um eine binäre Ganzzahl in ein Zahlensystem mit der Basis q \u003d 2 "zu schreiben, müssen Sie: 1. Die Binärzahl von rechts nach links in Gruppen mit jeweils n Ziffern teilen. 2. Wenn die letzte linke Gruppe weniger als enthält n Ziffern, dann muss es 3. Betrachten Sie jede Gruppe als n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie als entsprechende Ziffer im Zahlensystem mit der Basis q = 2n. Beispiel 2.22 Wandeln Sie die Zahl 1011000010001100102 in das oktale Zahlensystem um. Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Dreiergruppen und schreiben jeweils die entsprechende Oktalziffer darunter: Wir erhalten die Oktaldarstellung der ursprünglichen Zahl: 5410628. Beispiel 2.23. Konvertieren wir die Zahl 10000000001111100001112 in das hexadezimale Zahlensystem. Wir teilen die Zahl von rechts nach links in Tetraden und schreiben jeweils die entsprechende hexadezimale Ziffer darunter: Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 200F8716. Übersetzung von Bruchzahlen. Um eine gebrochene Binärzahl in einem Zahlensystem mit der Basis q \u003d 2 "zu schreiben, müssen Sie: 1. Die Binärzahl von links nach rechts in Gruppen mit jeweils n Ziffern teilen. 2. Wenn die letzte rechte Gruppe weniger enthält als n Ziffern, dann seine 3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-stellige Binärzahl und schreiben Sie sie mit der entsprechenden Ziffer im Zahlensystem mit der Basis q \u003d 2n Beispiel 2.24 nach rechts in Triaden und unter jede von ihnen schreiben wir die entsprechende Oktalziffer: Wir erhalten die Oktaldarstellung der ursprünglichen Zahl: 0,5428 Beispiel 2.25 Wir übersetzen die Zahl 0,1000000000112 in das hexadezimale Zahlensystem Teilen Sie die Zahl von links nach rechts in Tetraden und schreiben Sie unter jede von ihnen die entsprechende Hexadezimalziffer: Erhalten Sie die Hexadezimalzahl Darstellung der ursprünglichen Zahl: 0,80316. Schreibe eine Binärzahl in einem Zahlensystem mit der Basis q - 2n, du brauchst: [ 1. Teile den ganzzahligen Teil dieser Binärzahl von rechts nach links und den Bruchteil von links nach rechts in Gruppen von jeweils n Ziffern. 2. Sind in der letzten linken und/oder rechten Gruppe weniger als n Stellen vorhanden, müssen diese links und/oder rechts mit Nullen auf die erforderliche Stellenzahl ergänzt werden. 3. Betrachten Sie jede Gruppe als eine n-Bit-Binärzahl und schreiben Sie sie als entsprechende Ziffer im Zahlensystem mit der Basis q = 2p auf. Beispiel 2.26: Übersetzen wir die Zahl 111100101.01112 in das Oktalsystem. Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Triaden und schreiben die entsprechende Oktalziffer unter jede von ihnen: Wir erhalten die Oktaldarstellung der ursprünglichen Zahl: 745,34S. Beispiel 2.27: Übersetzen wir die Zahl 11101001000,110100102 in das hexadezimale Zahlensystem. Wir teilen die ganzzahligen und gebrochenen Teile der Zahl in Tetraden und schreiben jeweils die entsprechende hexadezimale Ziffer darunter: Wir erhalten die hexadezimale Darstellung der ursprünglichen Zahl: 748,D216. Übersetzung von Zahlen aus Zahlensystemen mit der Basis q \u003d 2p in ein Binärsystem Damit eine beliebige Zahl, die in einem Zahlensystem mit der Basis q \u003d 2 geschrieben ist, in ein binäres Zahlensystem konvertiert werden kann, müssen Sie jede Ziffer von ersetzen diese Zahl mit ihrem n-stelligen Äquivalent im binären Zahlensystem . Beispiel 2.28. Übersetzen wir die Hexadezimalzahl 4AC351b in das binäre Zahlensystem. Gemäß dem Algorithmus: i Wir erhalten: 10010101100001101012 Aufgaben zur Selbsterfüllung 2.38. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe ganze Zahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss. 2.39. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe Bruchzahl in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss. 2.40. Füllen Sie die Tabelle aus, in der in jeder Zeile dieselbe beliebige Zahl (die Zahl kann sowohl eine ganze Zahl als auch einen Bruchteil enthalten) in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden muss. 2.4. Rechenoperationen in Stellenzahlensystemen

Rechenoperationen im Binärsystem.


Beispiel 2.29. Betrachten Sie einige Beispiele für das Addieren von Binärzahlen:

Subtraktion. Bei einer Subtraktionsoperation wird immer die kleinere Zahl von der betragsmäßig größeren Zahl subtrahiert und mit dem entsprechenden Vorzeichen versehen. In der Subtraktionstabelle bedeutet eine 1 mit einem Balken ein Darlehen hoher Ordnung.


Beispiel 2.31. Betrachten Sie einige Beispiele für die binäre Multiplikation:

Sie sehen, dass die Multiplikation auf Multiplikandenverschiebungen und Additionen hinausläuft.

Aufteilung. Die Divisionsoperation wird gemäß einem Algorithmus ähnlich dem Divisionsoperationsalgorithmus im Dezimalzahlensystem durchgeführt.


Addition in anderen Zahlensystemen. Unten ist die Additionstabelle im Oktalzahlensystem:

2.42. Ordnen Sie die Vorzeichen von Rechenoperationen so an, dass im Binärsystem folgende Gleichungen gelten:

Schreiben Sie die Antwort für jede Zahl im angegebenen und im dezimalen Zahlensystem. 2.44. Welche Zahl steht jeweils vor den Daten:

2.45. Schreiben Sie die ganzen Zahlen auf, die zu den folgenden numerischen Intervallen gehören:

a) im Binärsystem;

b) im Oktalsystem;

c) im Hexadezimalsystem.

Schreiben Sie die Antwort für jede Zahl im angegebenen und im dezimalen Zahlensystem.



2.47. Finden Sie das arithmetische Mittel der folgenden Zahlen:

2.48 Die Summe der Oktalzahlen 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 wurde in hexadezimales Zahlensystem umgewandelt.
Suchen Sie im Eintrag eine Zahl, die diesem Betrag entspricht, die fünfte Ziffer von links.


Stellen Sie die mit einem Fragezeichen markierten unbekannten Nummern wieder her
die folgenden Additions- und Subtraktionsbeispiele zuerst definieren
le, in welchem ​​System die Zahlen dargestellt werden.

Rechenoperationen in Stellenzahlensystemen

Betrachten wir genauer arithmetische Operationen im binären Zahlensystem. Die Arithmetik des binären Zahlensystems basiert auf der Verwendung von Additions-, Subtraktions- und Multiplikationstabellen von Ziffern. Arithmetische Operanden befinden sich in der obersten Zeile und in der ersten Spalte der Tabellen, und die Ergebnisse befinden sich am Schnittpunkt von Spalten und Zeilen:

Betrachten wir jede Operation im Detail.

Zusatz. Die binäre Additionstabelle ist extrem einfach. Nur in einem Fall, wenn die Addition durchgeführt wird 1+1, wird in den höheren Rang versetzt. ,

Subtraktion. Bei einer Subtraktionsoperation wird immer die kleinere Zahl von der betragsmäßig größeren Zahl subtrahiert und mit dem entsprechenden Vorzeichen versehen. In der Subtraktionstabelle bedeutet eine 1 mit einem Balken ein Darlehen hoher Ordnung.

Multiplikation. Die Multiplikationsoperation erfolgt anhand der Multiplikationstabelle nach dem üblichen Schema des dezimalen Zahlensystems mit sukzessiver Multiplikation des Multiplikators mit der nächsten Ziffer des Multiplikators.

Aufteilung. Die Divisionsoperation wird gemäß einem Algorithmus ähnlich dem Divisionsoperationsalgorithmus im Dezimalzahlensystem durchgeführt.

Hinweis: Bei der Addition zweier Zahlen gleich 1 ergibt sich in dieser Ziffer 0 und die 1. wird auf die höchstwertige Ziffer übertragen.

Beispiel_21: Die Nummern 101 (2) und 11 (2) sind angegeben. Finde die Summe dieser Zahlen.

wobei 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Prüfung: 5+3=8.

Beim Subtrahieren von Eins von 0 wird eine Einheit von der höchsten nächsten Ziffer genommen, die von 0 verschieden ist. Gleichzeitig ergibt eine Einheit, die in der höchsten Ziffer besetzt ist, 2 Einheiten in der niederwertigsten Ziffer und eine in allen Ziffern zwischen der höchsten und am niedrigsten.

Beispiel_22: Die Nummern 101 (2) und 11 (2) sind angegeben. Finden Sie den Unterschied zwischen diesen Zahlen.

wobei 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Prüfung: 5-3=2.

Die Multiplikationsoperation wird auf wiederholtes Verschieben und Addieren reduziert.

Beispiel_23: Die Nummern 11 (2) und 10 (2) sind gegeben. Finden Sie das Produkt dieser Zahlen.

wobei 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Prüfen: 3*2=6.

Rechenoperationen im Oktalsystem

Beim Addieren von zwei Zahlen, deren Summe gleich 8 ist, wird in dieser Kategorie 0 erhalten und die 1. in die höchste Ordnung übertragen.

Beispiel_24: Die Nummern 165 (8) und 13 (8) sind angegeben. Finde die Summe dieser Zahlen.

wobei 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Beim Subtrahieren einer größeren Zahl von einer kleineren Zahl wird eine Einheit von der höchsten nächsten Ziffer genommen, die von 0 verschieden ist. Gleichzeitig ergibt eine Einheit, die in der höchsten Ziffer besetzt ist, 8 in der niederwertigsten Ziffer.

Beispiel_25: Die Nummern 114 (8) und 15 (8) sind angegeben. Finden Sie den Unterschied zwischen diesen Zahlen.

wobei 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Rechenoperationen im hexadezimalen Zahlensystem

Bei der Addition von zwei Zahlen, insgesamt 16, wird in diese Kategorie 0 geschrieben und die 1 in die höchste Ordnung übertragen.

Beispiel_26: Die Nummern 1B5 (16) und 53 (16) sind angegeben. Finde die Summe dieser Zahlen.

wobei 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Wenn eine größere Zahl von einer kleineren Zahl subtrahiert wird, wird eine Einheit von der höchsten nächsten Ziffer besetzt, die sich von 0 unterscheidet. Gleichzeitig ergibt eine Einheit, die in der höchsten Ziffer besetzt ist, 16 in der niedrigstwertigen Ziffer.

Beispiel_27: Die Nummern 11A (16) und 2C (16) sind gegeben. Finden Sie den Unterschied zwischen diesen Zahlen.

wobei 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Codierung von Computerdaten

Daten in einem Computer werden als Code dargestellt, der aus Einsen und Nullen in unterschiedlichen Folgen besteht.

Der Code– eine Reihe von Symbolen zur Darstellung von Informationen. Kodierung ist der Prozess der Darstellung von Informationen in Form eines Codes.

Zahlencodes

Wenn sie arithmetische Operationen in einem Computer ausführen, verwenden sie direkt, umgekehrt und zusätzlich Zahlencodes.

Direkter Code

Gerade Der Code (Darstellung in Form eines Absolutwerts mit Vorzeichen) einer Binärzahl ist die Binärzahl selbst, in der alle Ziffern, die ihren Wert darstellen, wie in mathematischer Schreibweise geschrieben werden und das Vorzeichen der Zahl als a geschrieben wird Binärzahl.

Ganze Zahlen können in einem Computer mit oder ohne Vorzeichen dargestellt werden.

Ganzzahlen ohne Vorzeichen belegen normalerweise ein oder zwei Bytes Speicher. Um vorzeichenbehaftete Ganzzahlen zu speichern, werden ein, zwei oder vier Bytes zugewiesen, während das höchstwertige (ganz links) Bit unter dem Vorzeichen der Zahl zugewiesen wird. Wenn die Zahl positiv ist, dann wird 0 auf dieses Bit geschrieben, wenn negativ, dann 1.

Beispiel_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Positive Zahlen werden im Computer immer durch einen direkten Code dargestellt. Der direkte Code der Nummer stimmt vollständig mit der Eingabe der Nummer selbst in die Zelle der Maschine überein. Der direkte Code einer negativen Zahl unterscheidet sich vom direkten Code der entsprechenden positiven Zahl nur im Inhalt des Vorzeichenbits.

Der direkte Code wird beim Speichern von Zahlen im Computerspeicher sowie beim Durchführen von Multiplikations- und Divisionsoperationen verwendet, aber das Format zum Darstellen von Zahlen in einem direkten Code ist für die Verwendung in Berechnungen unbequem, da Additionen und Subtraktionen positiver und negativer Zahlen durchgeführt werden anders, und deshalb ist es notwendig, Vorzeichenoperandenbits zu analysieren. Daher wird der direkte Code praktisch nicht verwendet, wenn arithmetische Operationen mit ganzen Zahlen in der ALU implementiert werden. Aber negative ganze Zahlen werden im Computer nicht mit einem direkten Code dargestellt. Anstelle dieses Formats haben sich Formate zur Darstellung von Zahlen in umgekehrter Reihenfolge und zusätzliche Codes verbreitet.

Umgekehrter Code

Umgekehrter Code einer positiven Zahl stimmt mit einer direkten überein, und beim Schreiben einer negativen Zahl werden alle ihre Ziffern mit Ausnahme der Ziffer, die das Vorzeichen der Zahl darstellt, durch entgegengesetzte ersetzt (0 wird durch 1 ersetzt und 1 wird durch 0 ersetzt ).

Beispiel_29:

Beispiel_30:

Um den direkten Code einer negativen Zahl aus dem Rückwärtscode wiederherzustellen, müssen alle Ziffern mit Ausnahme der Ziffer, die das Vorzeichen der Zahl darstellt, durch entgegengesetzte ersetzt werden.

Zusätzlicher Code

Zusätzlicher Code einer positiven Zahl stimmt mit der direkten überein, und der Code einer negativen Zahl wird durch Addieren von 1 zum inversen Code gebildet.

Beispiel_31:

Beispiel_32:

Beispiel_33:

Für eine Ganzzahl -32 (10) schreiben Sie einen zusätzlichen Code.

1. Nach Umrechnung der Zahl 32 (10) in das binäre Zahlensystem erhalten wir:

32 (10) =100000 (2) .

2. Der direkte Code für die positive Zahl 32 (10) ist 0010 0000.

3. Für eine negative Zahl -32 (10) ist der direkte Code 1010 0000.

4. Der Rückwärtscode der Nummer -32 (10) ist 1101 1111.

5. Der Zusatzcode der Nummer -32 (10) ist 1110 0000.

Beispiel_34:

Der Zusatzcode der Nummer ist 0011 1011. Finden Sie den Wert der Nummer in Dezimalschreibweise.

1. Die erste Ziffer (Vorzeichen) der Nummer 0 011 1011 ist 0, also ist die Zahl positiv.

2. Für eine positive Zahl sind die zusätzlichen, inversen und direkten Codes gleich.

3. Die Zahl im Binärsystem ergibt sich aus der Aufzeichnung des direkten Codes - 111011 (2) (wir verwerfen Nullen von den höchsten Ziffern).

4. Die Zahl 111011 (2) ist nach Umwandlung in das Dezimalzahlensystem 59 (10).

Beispiel_35:

Der Zusatzcode der Zahl ist 1011 1011. Finden Sie den Wert der Zahl in Dezimalschreibweise.

1. Vorzeichenziffer einer Zahl 1 011 1011 ist 1, also ist die Zahl negativ.

2. Um den Rückwärtscode der Nummer zu ermitteln, subtrahieren Sie eins vom zusätzlichen Code. Der Rückwärtscode ist 1 011 1010.

3. Der direkte Code ergibt sich aus der Umkehrung, indem alle Binärziffern der Zahl durch die entgegengesetzten ersetzt werden (1 für 0, 0 für 1). Der direkte Code der Nummer ist 1 100 0101 (in das Vorzeichenbit schreiben wir 1).

4. Die Zahl im Binärsystem ergibt sich aus dem Datensatz des direkten Codes - -100 0101 (2).

4. Die Zahl -1000101 (2) ist nach der Umwandlung in Dezimalzahl gleich -69 (10).


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