0 թիվը կարող է ներկայացվել որպես մի տեսակ սահման, որը բաժանում է իրական թվերի աշխարհը երևակայական կամ բացասական թվերից: Երկիմաստ դիրքի պատճառով այս թվային արժեքով շատ գործողություններ չեն ենթարկվում մաթեմատիկական տրամաբանությանը։ Դրա վառ օրինակն է զրոյի բաժանելու անհնարինությունը։ Իսկ զրոյով թույլատրված թվաբանական գործողություններ կարելի է կատարել՝ օգտագործելով ընդհանուր ընդունված սահմանումները:

Զրոյի պատմություն

Զրոն հղման կետն է բոլոր ստանդարտ թվային համակարգերում: Եվրոպացիների կողմից թվի օգտագործումը համեմատաբար վերջերս է, բայց հին Հնդկաստանի իմաստունները հազար տարի շարունակ օգտագործում էին զրո, մինչև դատարկ թիվը կանոնավոր կերպով օգտագործվեր եվրոպացի մաթեմատիկոսների կողմից: Նույնիսկ հնդիկներից առաջ մայաների թվային համակարգում զրոն պարտադիր արժեք էր։ Ամերիկացի այս ժողովուրդը օգտագործեց տասներկումատնյա համակարգը, և նրանք սկսեցին յուրաքանչյուր ամսվա առաջին օրը զրոյով: Հետաքրքիր է, որ մայաների մոտ «զրոյի» նշանն ամբողջությամբ համընկել է «անսահմանության» նշանի հետ։ Այսպիսով, հին մայաները եզրակացրեցին, որ այդ քանակները նույնական են և անհայտ:

Մաթեմատիկական գործողություններ զրոյով

Ստանդարտ մաթեմատիկական գործողություններ զրոյով կարող են կրճատվել մի քանի կանոնների:

Հավելում. եթե կամայական թվին ավելացնեք զրո, ապա այն չի փոխի իր արժեքը (0+x=x):

Հանում. ցանկացած թվից զրո հանելիս հանվածի արժեքը մնում է անփոփոխ (x-0=x):

Բազմապատկում. 0-ով բազմապատկված ցանկացած թիվ արտադրյալում տալիս է 0 (a*0=0):

Բաժանում. Զրոն կարելի է բաժանել ցանկացած ոչ զրոյական թվի: Այս դեպքում նման կոտորակի արժեքը կլինի 0։ Իսկ բաժանումը զրոյի արգելված է։

Էքսպոենտացիա. Այս գործողությունը կարող է իրականացվել ցանկացած թվով: Զրոյի աստիճանի բարձրացված կամայական թիվը կտա 1 (x 0 =1):

Ցանկացած հզորության զրո հավասար է 0-ի (0 a \u003d 0):

Այս դեպքում անմիջապես հակասություն է առաջանում՝ 0 0 արտահայտությունը իմաստ չունի։

Մաթեմատիկայի պարադոքսներ

Այն, որ զրոյի բաժանումն անհնար է, շատերը գիտեն դպրոցից։ Բայց ինչ-ինչ պատճառներով հնարավոր չէ բացատրել նման արգելքի պատճառը։ Իսկապես, ինչո՞ւ չկա բաժանում զրոյի բանաձեւը, բայց այս թվով այլ գործողությունները միանգամայն խելամիտ են ու հնարավոր։ Այս հարցի պատասխանը տալիս են մաթեմատիկոսները։

Բանն այն է, որ սովորական թվաբանական գործողությունները, որոնք սովորում են դպրոցականները տարրական դասարաններում, իրականում հեռու են մեր պատկերացմամբ հավասար լինելուց։ Թվերի հետ բոլոր պարզ գործողությունները կարող են կրճատվել երկուսի՝ գումարում և բազմապատկում: Այս գործողությունները հենց թվի հայեցակարգի էությունն են, իսկ մնացած գործողությունները հիմնված են այս երկուսի օգտագործման վրա:

Գումարում և բազմապատկում

Վերցնենք ստանդարտ հանման օրինակ՝ 10-2=8: Դպրոցում դա համարվում է պարզ՝ եթե տասը առարկայից երկուսը հանում են, մնում է ութը։ Բայց մաթեմատիկոսներն այս գործողությանը միանգամայն այլ կերպ են նայում։ Ի վերջո, նրանց համար չկա այնպիսի գործողություն, ինչպիսին հանումն է։ Այս օրինակը կարելի է գրել այլ կերպ՝ x+2=10։ Մաթեմատիկոսների համար անհայտ տարբերությունը պարզապես այն թիվն է, որը պետք է գումարվի երկուսին, որպեսզի ստացվի ութ: Եվ այստեղ հանում չի պահանջվում, պարզապես անհրաժեշտ է գտնել համապատասխան թվային արժեք։

Նույն կերպ են վերաբերվում բազմապատկմանը և բաժանմանը։ 12:4=3 օրինակում կարելի է հասկանալ, որ խոսքը ութ առարկաների երկու հավասար կույտերի բաժանելու մասին է։ Բայց իրականում սա ընդամենը 3x4 \u003d 12 գրելու շրջված բանաձև է: Բաժանման նման օրինակներ կարելի է անվերջ տալ:

0-ի բաժանելու օրինակներ

Այստեղ է, որ մի փոքր պարզ է դառնում, թե ինչու անհնար է բաժանել զրոյի։ Բազմապատկումը և զրոյով բաժանումն ունեն իրենց կանոնները։ Այս մեծության բոլոր օրինակները կարելի է ձևակերպել որպես 6:0=x: Բայց սա 6 * x = 0 արտահայտության շրջված արտահայտությունն է: Բայց, ինչպես գիտեք, 0-ով բազմապատկված ցանկացած թիվ արտադրյալում տալիս է միայն 0: Այս հատկությունը բնորոշ է հենց զրոյական արժեքի հայեցակարգին:

Ստացվում է, որ նման թիվ, որը 0-ով բազմապատկելով՝ տալիս է որևէ շոշափելի արժեք, գոյություն չունի, այսինքն՝ այս խնդիրը լուծում չունի։ Չի կարելի վախենալ նման պատասխանից, դա բնական պատասխան է այս տեսակի խնդիրների համար։ Միայն 6:0 գրելը ոչ մի իմաստ չունի, և դա չի կարող որևէ բան բացատրել: Կարճ ասած, այս արտահայտությունը կարելի է բացատրել անմահական «չբաժանում զրոյով»։

Կա՞ 0:0 գործողություն: Իսկապես, եթե 0-ով բազմապատկելու գործողությունը օրինական է, կարելի՞ է զրոն բաժանել զրոյի: Ի վերջո, 0x5=0 ձևի հավասարումը միանգամայն օրինական է։ 5 թվի փոխարեն կարող եք 0 դնել, սրանից արտադրյալը չի ​​փոխվի։

Իսկապես, 0x0=0: Բայց դուք դեռ չեք կարող բաժանել 0-ի: Ինչպես ասվեց, բաժանումը պարզապես բազմապատկման հակադարձ է: Այսպիսով, եթե 0x5=0 օրինակում անհրաժեշտ է որոշել երկրորդ գործոնը, մենք ստանում ենք 0x0=5: Կամ 10. Կամ անսահմանություն: Անսահմանությունը զրոյի բաժանելը - ինչպես է դա ձեզ դուր գալիս:

Բայց եթե որևէ թիվ տեղավորվում է արտահայտության մեջ, ապա դա իմաստ չունի, մենք չենք կարող ընտրել մեկին անսահման թվերի շարքից։ Իսկ եթե այդպես է, նշանակում է, որ 0:0 արտահայտությունը իմաստ չունի։ Ստացվում է, որ նույնիսկ զրոն ինքնին չի կարող բաժանվել զրոյի։

բարձրագույն մաթեմատիկա

Զրոյի վրա բաժանելը գլխացավանք է ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի համար: Տեխնիկական բուհերում ուսումնասիրված մաթեմատիկական վերլուծությունը փոքր-ինչ ընդլայնում է լուծում չունեցող խնդիրների հայեցակարգը։ Օրինակ՝ արդեն հայտնի 0:0 արտահայտությանը ավելացվում են նորերը, որոնք լուծում չունեն դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացներում.

• անսահմանությունը բաժանված է անսահմանության վրա՝ ∞:∞;
• անսահմանություն մինուս անսահմանություն՝ ∞−∞;
• միավորը բարձրացված է անսահման հզորության՝ 1 ∞ ;
• անսահմանությունը բազմապատկած 0-ով: ∞*0;
• որոշ ուրիշներ.

Նման արտահայտությունները տարրական մեթոդներով լուծելն անհնար է։ Բայց բարձրագույն մաթեմատիկան, մի շարք նմանատիպ օրինակների լրացուցիչ հնարավորությունների շնորհիվ, վերջնական լուծումներ է տալիս։ Սա հատկապես ակնհայտ է սահմանների տեսության խնդիրների քննարկման ժամանակ:

Անորոշության բացահայտում

Սահմանների տեսության մեջ 0 արժեքը փոխարինվում է պայմանական անվերջ փոքր փոփոխականով։ Իսկ արտահայտությունները, որոնցում ցանկալի արժեքը փոխարինելիս ստացվում է զրոյի բաժանում, փոխարկվում են։ Ստորև բերված է սովորական հանրահաշվական փոխակերպումների օգտագործմամբ սահմանային ընդլայնման ստանդարտ օրինակ.

Ինչպես տեսնում եք օրինակում, կոտորակի պարզ կրճատումը բերում է դրա արժեքը միանգամայն ռացիոնալ պատասխանի:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանները դիտարկելիս դրանց արտահայտությունները հակված են կրճատվել մինչև առաջին նշանակալի սահմանը։ Այն սահմանները դիտարկելիս, որոնցում սահմանը փոխարինելիս հայտարարը հասնում է 0-ի, օգտագործվում է երկրորդ ուշագրավ սահմանը:

L'Hopital մեթոդ

Որոշ դեպքերում արտահայտությունների սահմանները կարող են փոխարինվել դրանց ածանցյալների սահմանով։ Գիյոմ Լոպիտալ - ֆրանսիացի մաթեմատիկոս, ֆրանսիական մաթեմատիկական վերլուծության դպրոցի հիմնադիր։ Նա ապացուցեց, որ արտահայտությունների սահմանները հավասար են այս արտահայտությունների ածանցյալների սահմաններին։ Մաթեմատիկական նշումով նրա կանոնը հետևյալն է.

Սահմանների լուծման մեթոդներ. Անորոշություններ.
Ֆունկցիայի աճի կարգը. Փոխարինման մեթոդ

Օրինակ 4

Գտեք սահմանը

Սա ավելի պարզ օրինակ է ինքնուրույն լուծման համար: Առաջարկվող օրինակում կրկին անորոշություն (արմատից ավելի բարձր աճի կարգի):

Եթե ​​«x»-ը հակված է «մինուս անսահմանությանը»

Այս հոդվածում երկար ժամանակ սավառնում է «մինուս անսահմանության» ուրվականը։ Դիտարկենք այն սահմանները բազմանդամներով, որոնցում . Լուծման սկզբունքներն ու մեթոդները կլինեն ճիշտ նույնը, ինչ դասի առաջին մասում, բացառությամբ մի շարք նրբերանգների:

Դիտարկենք 4 չիպ, որոնք կպահանջվեն գործնական առաջադրանքներ լուծելու համար.

1) Հաշվել սահմանը

Սահմանաչափի արժեքը կախված է միայն տերմինից, քանի որ այն ունի աճի ամենաբարձր կարգը: Եթե, ապա անսահման մեծ մոդուլբացասական թիվ ԶՈՒՅԳ-ի հզորության, այս դեպքում՝ չորրորդում, հավասար է «գումարած անսահմանության»՝ . Constant («երկու») դրական, Ահա թե ինչու:

2) Հաշվել սահմանը

Ահա նորից ավագ դիպլոմը նույնիսկ, Ահա թե ինչու: . Բայց առջևում կա «մինուս» ( բացասականհաստատուն –1), հետևաբար.

3) Հաշվել սահմանը

Սահմանաչափի արժեքը կախված է միայն . Ինչպես հիշում եք դպրոցից, «մինուսը» «դուրս է գալիս» կենտ աստիճանի տակից, ուրեմն անսահման մեծ մոդուլբացասական թիվ մինչև տարօրինակ ուժհավասար է «մինուս անսահմանություն», այս դեպքում՝ .
Constant («չորս») դրական, նշանակում է.

4) Հաշվել սահմանը

Գյուղի առաջին տղան էլի ունի տարօրինակաստիճան, ընդ որում՝ ծոցում բացասականհաստատուն, ինչը նշանակում է.
.

Օրինակ 5

Գտեք սահմանը

Օգտագործելով վերը նշված կետերը, մենք եզրակացնում ենք, որ այստեղ կա անորոշություն: Համարիչն ու հայտարարը աճի նույն կարգի են, ինչը նշանակում է, որ սահմանում վերջավոր թիվ է ստացվելու։ Պատասխանը սովորում ենք՝ դեն նետելով բոլոր տապակները.

Լուծումը չնչին է.

Օրինակ 6

Գտեք սահմանը

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Եվ հիմա, թերևս դեպքերից ամենանուրբը.

Օրինակ 7

Գտեք սահմանը

Հաշվի առնելով ավագ ժամկետները՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ այստեղ անորոշություն կա։ Համարիչը աճի ավելի բարձր կարգի է, քան հայտարարը, ուստի անմիջապես կարող ենք ասել, որ սահմանը անսահմանություն է։ Բայց ի՞նչ անսահմանություն՝ «գումարած», թե՞ «մինուս»։ Ընդունումը նույնն է. համարիչով և հայտարարով մենք կազատվենք մանրուքներից.

Մենք որոշում ենք.

Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

Օրինակ 15

Գտեք սահմանը

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Դասի վերջում ավարտական ​​շոշափման օրինակ:

Փոփոխական փոխարինման թեմայի վերաբերյալ ևս մի քանի հետաքրքիր օրինակ.

Օրինակ 16

Գտեք սահմանը

Մեկը սահմանաչափի մեջ փոխարինելը հանգեցնում է անորոշության: Փոփոխականի փոխարինումն արդեն իսկ հուշում է, բայց նախ փոխակերպում ենք շոշափողը՝ օգտագործելով բանաձևը. Իսկապես, ինչի՞ն է մեզ անհրաժեշտ շոշափողը:

Նկատի ունեցեք, որ հետևաբար. Եթե ​​դա ամբողջովին պարզ չէ, նայեք սինուսային արժեքներին. եռանկյունաչափական աղյուսակ. Այսպիսով, մենք անմիջապես ազատվում ենք գործոնից, բացի այդ, ստանում ենք առավել ծանոթ անորոշությունը՝ 0:0։ Լավ կլիներ, որ մեր սահմանը նույնպես միտվեր զրոյի։

Փոխարինենք.

Եթե, ապա

Կոսինուսի տակ ունենք «x», որը նույնպես պետք է արտահայտվի «te»-ի միջոցով։
Փոխարինումից մենք արտահայտում ենք.

Մենք լրացնում ենք լուծումը.

(1) փոխարինման կատարում

(2) Ընդարձակեք կոսինուսի տակ գտնվող փակագծերը:

(4) կազմակերպել առաջին հրաշալի սահմանը, արհեստականորեն բազմապատկեք համարիչը և փոխադարձը .

Անկախ լուծման առաջադրանք.

Օրինակ 17

Գտեք սահմանը

Ամբողջական լուծում և պատասխան դասի վերջում։

Սրանք պարզ առաջադրանքներ էին իրենց դասարանում, գործնականում ամեն ինչ ավելի վատ է, և, ի լրումն նվազեցման բանաձևեր, պետք է օգտագործել տարբեր եռանկյունաչափական բանաձևեր, ինչպես նաև այլ հնարքներ։ Համալիր սահմաններ հոդվածում ես վերլուծեցի մի քանի իրական օրինակ =)

Տոնի նախօրեին մենք վերջնականապես կպարզենք իրավիճակը ևս մեկ ընդհանուր անորոշությամբ.

Անորոշության վերացում «մեկը դեպի անսահմանության ուժը»

Այս անորոշությունը «մատուցվում է» երկրորդ հրաշալի սահմանը, և այդ դասի երկրորդ մասում մենք մանրամասնորեն նայեցինք լուծումների ստանդարտ օրինակներին, որոնք շատ դեպքերում կիրառում են: Այժմ ցուցադրողների հետ նկարը կավարտվի, բացի այդ, դասի վերջնական առաջադրանքները կնվիրվեն այն սահմաններին՝ «հնարքներին», որոնցում թվում է, թե անհրաժեշտ է կիրառել 2-րդ հրաշալի սահմանը, թեև դա ամենևին էլ այն չէ. գործ.

2-րդ ուշագրավ սահմանի երկու աշխատանքային բանաձեւերի թերությունն այն է, որ փաստարկը պետք է ձգտի դեպի «գումարած անսահմանություն» կամ զրոյի։ Բայց ի՞նչ, եթե փաստարկը հակված է այլ թվի:

Օգնության է գալիս համընդհանուր բանաձևը (որն իրականում երկրորդ ուշագրավ սահմանի հետևանք է).

Անորոշությունը կարող է վերացվել բանաձևով.

Ինչ-որ տեղ ես արդեն բացատրել եմ, թե ինչ են նշանակում քառակուսի փակագծերը: Ոչ մի առանձնահատուկ բան, փակագծերը պարզապես փակագծեր են: Սովորաբար դրանք օգտագործվում են մաթեմատիկական նշումը հստակ ընդգծելու համար:

Եկեք առանձնացնենք բանաձևի էական կետերը.

1) Խոսքը վերաբերում է միայն անորոշության մասին և ոչ մի այլ.

2) «x» փաստարկը կարող է հակված լինել կամայական արժեք(և ոչ միայն զրոյի կամ ), մասնավորապես՝ «մինուս անսահմանության» կամ դեպի որևէ մեկինվերջնական համարը.

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարող եք լուծել դասի բոլոր օրինակները Ուշագրավ սահմաններ, որոնք պատկանում են 2-րդ ուշագրավ սահմանին։ Օրինակ, եկեք հաշվարկենք սահմանը.

Այս դեպքում , և ըստ բանաձևի :

Ճիշտ է, ես ձեզ խորհուրդ չեմ տալիս դա անել, ավանդույթի համաձայն, դուք դեռ օգտագործում եք լուծման «սովորական» դիզայնը, եթե այն հնարավոր է կիրառել: Այնուամենայնիվ օգտագործելով բանաձեւը շատ հարմար է ստուգել«դասական» օրինակներ մինչև 2-րդ հրաշալի սահման.

Շատ հաճախ շատերին հետաքրքրում է, թե ինչու անհնար է օգտագործել բաժանումը զրոյի: Այս հոդվածում մենք մանրամասն կխոսենք այն մասին, թե որտեղից է եկել այս կանոնը, ինչպես նաև այն մասին, թե ինչ գործողություններ կարելի է կատարել զրոյով:

հետ շփման մեջ

Զրոն կարելի է անվանել ամենահետաքրքիր թվերից մեկը։ Այս թիվը ոչ մի նշանակություն չունի, դա բառիս բուն իմաստով նշանակում է դատարկություն։ Այնուամենայնիվ, եթե որևէ թվանշանի կողքին զրո դնեք, ապա այս թվի արժեքը մի քանի անգամ ավելի մեծ կլինի:

Թիվն ինքնին շատ խորհրդավոր է։ Այն օգտագործվել է հին մայաների կողմից: Մայաների համար զրոն նշանակում էր «սկիզբ», իսկ օրացուցային օրերի հետհաշվարկը նույնպես սկսվում էր զրոյից։

Շատ հետաքրքիր փաստ է, որ զրոյի նշանն ու անորոշության նշանը նման էին նրանց համար։ Սրանով մայաները ցանկանում էին ցույց տալ, որ զրոն նույն նույն նշանն է, ինչ անորոշությունը: Եվրոպայում զրոյի նշանակումը համեմատաբար վերջերս է հայտնվել։

Բացի այդ, շատերը գիտեն զրոյի հետ կապված արգելքը: Ցանկացած մարդ դա կասի չի կարելի բաժանել զրոյի. Ահա թե ինչ են ասում դպրոցի ուսուցիչները, և երեխաները սովորաբար ընդունում են իրենց խոսքը: Սովորաբար երեխաները կա՛մ պարզապես հետաքրքրված չեն դա իմանալով, կա՛մ գիտեն, թե ինչ կլինի, եթե, լսելով կարևոր արգելք, անմիջապես հարցնեն՝ «Ինչո՞ւ չենք կարող բաժանել զրոյի»: Բայց երբ մեծանում ես, հետաքրքրությունն արթնանում է, և ցանկանում ես ավելին իմանալ նման արգելքի պատճառների մասին։ Այնուամենայնիվ, կան ողջամիտ ապացույցներ.

Գործողություններ զրոյով

Նախ պետք է որոշել, թե ինչ գործողություններ կարելի է կատարել զրոյով: Գոյություն ունի մի քանի տեսակի գործունեության:

• Լրացում;
• Բազմապատկում;
• հանում;
• Բաժանում (զրո ըստ թվի);
• Էքսպոենտացիա.

Կարևոր.Եթե ​​գումարման ժամանակ որևէ թվի ավելացվի զրո, ապա այդ թիվը կմնա նույնը և չի փոխի իր թվային արժեքը։ Նույնը տեղի է ունենում, եթե ցանկացած թվից հանում եք զրո:

Բազմապատկման և բաժանման դեպքում ամեն ինչ մի փոքր այլ է: Եթե ցանկացած թիվ բազմապատկել զրոյով, ապա արտադրանքը նույնպես կդառնա զրո։

Դիտարկենք մի օրինակ.

Որպես հավելում գրենք սա.

Ընդհանուր առմամբ կա հինգ ավելացված զրո, այնպես որ ստացվում է

Փորձենք բազմապատկել մեկը զրոյով. Արդյունքը նույնպես զրոյական կլինի։

Զրոն կարելի է բաժանել նաև իրեն չհավասար որևէ այլ թվի։ Այս դեպքում կստացվի, որի արժեքը նույնպես զրո կլինի։ Նույն կանոնը վերաբերում է բացասական թվերին։ Եթե ​​զրոն բաժանես բացասական թվի վրա, կստացվի զրո։

Կարող եք նաև ցանկացած թիվ բարձրացնել զրոյական հզորության. Այս դեպքում դուք ստանում եք 1. Կարևոր է հիշել, որ «զրոյից մինչև զրոյական հզորություն» արտահայտությունը բացարձակապես անիմաստ է։ Եթե ​​դուք փորձում եք զրո բարձրացնել ցանկացած հզորության, դուք ստանում եք զրո: Օրինակ:

Մենք օգտագործում ենք բազմապատկման կանոնը, ստանում ենք 0:

Հնարավո՞ր է բաժանել զրոյի

Այսպիսով, այստեղ մենք գալիս ենք հիմնական հարցին. Հնարավո՞ր է բաժանել զրոյիընդհանրապես? Իսկ ինչո՞ւ է անհնար թիվը զրոյի բաժանել՝ հաշվի առնելով, որ զրոյով մնացած բոլոր գործողությունները լիովին գոյություն ունեն և կիրառվում են։ Այս հարցին պատասխանելու համար հարկավոր է դիմել բարձրագույն մաթեմատիկայի:

Սկսենք հասկացության սահմանումից՝ ի՞նչ է զրոյականը։ Դպրոցի ուսուցիչները պնդում են, որ զրոն ոչինչ է. Դատարկություն. Այսինքն, երբ ասում ես, որ ունես 0 գրիչ, նշանակում է, որ դու ընդհանրապես գրիչ չունես։

Բարձրագույն մաթեմատիկայում «զրո» հասկացությունն ավելի լայն է: Դա ամենևին դատարկ չի նշանակում: Այստեղ զրոյին անվանում են անորոշություն, քանի որ եթե մի փոքր ուսումնասիրենք, կստացվի, որ երբ զրոն բաժանում ենք զրոյի, արդյունքում կարող ենք ստանալ ցանկացած այլ թիվ, որը կարող է անպայման զրո լինել։

Գիտե՞ք, որ այդ պարզ թվաբանական գործողությունները, որ սովորել եք դպրոցում, իրար մեջ այնքան էլ հավասար չեն։ Ամենատարրական քայլերն են գումարում և բազմապատկում.

Մաթեմատիկոսների համար «» և «հանում» հասկացությունները գոյություն չունեն։ Ասենք՝ եթե հինգից հանվի երեքը, ապա կմնա երկու։ Ահա թե ինչ տեսք ունի հանումը. Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկոսները դա կգրեն այսպես.

Այսպիսով, պարզվում է, որ անհայտ տարբերությունը որոշակի թիվ է, որը պետք է գումարել 3-ին, որպեսզի ստանանք 5: Այսինքն՝ պետք չէ որևէ բան հանել, պարզապես պետք է գտնել համապատասխան թիվ: Այս կանոնը վերաբերում է ավելացմանը:

Գործերը մի փոքր այլ են բազմապատկման և բաժանման կանոններ.Հայտնի է, որ զրոյով բազմապատկելը հանգեցնում է զրոյական արդյունքի։ Օրինակ, եթե 3:0=x, ապա եթե դուք շրջեք ռեկորդը, կստանաք 3*x=0: Իսկ այն թիվը, որը բազմապատկվում է 0-ով, արդյունքի մեջ զրո կտա։ Ստացվում է, որ մի թիվ, որը զրոյից բացի որևէ այլ արժեք կտա զրոյով արտադրյալում, գոյություն չունի։ Սա նշանակում է, որ զրոյի բաժանումն անիմաստ է, այսինքն՝ համապատասխանում է մեր կանոնին։

Բայց ի՞նչ կպատահի, եթե փորձես զրոն բաժանել իր վրա: Վերցնենք x-ը որպես ինչ-որ անորոշ թիվ: Ստացվում է 0 * x \u003d 0 հավասարումը: Դա կարելի է լուծել։

Եթե ​​x-ի փոխարեն փորձենք վերցնել զրո, ապա կստանանք 0:0=0: Տրամաբանական կթվա՞: Բայց եթե x-ի փոխարեն փորձենք վերցնել որևէ այլ թիվ, օրինակ՝ 1, ապա ստացվում է 0:0=1: Նույն իրավիճակը կլինի, եթե վերցնեք որևէ այլ թիվ և միացրեք այն հավասարման մեջ.

Այս դեպքում ստացվում է, որ որպես գործոն կարող ենք վերցնել ցանկացած այլ թիվ։ Արդյունքը կլինի անսահման թվով տարբեր թվեր: Երբեմն, այնուամենայնիվ, բարձրագույն մաթեմատիկայում 0-ի բաժանումը իմաստ ունի, բայց այդ դեպքում սովորաբար կա որոշակի պայման, որի պատճառով մենք դեռ կարող ենք ընտրել մեկ հարմար թիվ: Այս գործողությունը կոչվում է «անորոշության բացահայտում»: Սովորական թվաբանության մեջ զրոյի բաժանումը կրկին կկորցնի իր նշանակությունը, քանի որ մենք չենք կարողանա ընտրել մեկ թիվ բազմությունից:

Կարևոր.Զրոն չի կարելի բաժանել զրոյի:

Զրո և անսահմանություն

Անսահմանությունը շատ տարածված է բարձրագույն մաթեմատիկայի մեջ: Քանի որ դպրոցականների համար պարզապես կարևոր չէ իմանալ, որ դեռևս կան մաթեմատիկական գործողություններ անսահմանության հետ, ուսուցիչները չեն կարող պատշաճ կերպով բացատրել երեխաներին, թե ինչու անհնար է բաժանել զրոյի:

Ուսանողները սկսում են սովորել հիմնական մաթեմատիկական գաղտնիքները միայն ինստիտուտի առաջին կուրսից: Բարձրագույն մաթեմատիկան ապահովում է խնդիրների մեծ շարք, որոնք լուծում չունեն: Ամենահայտնի խնդիրները անսահմանության հետ կապված խնդիրներն են։ Դրանք կարելի է լուծել մաթեմատիկական վերլուծություն.

Դուք կարող եք նաև դիմել անսահմանության տարրական մաթեմատիկական գործողություններ.գումարում, բազմապատկում թվով. Հանացումն ու բաժանումը նույնպես սովորաբար օգտագործվում են, բայց ի վերջո դրանք դեռ հանգում են երկու պարզ գործողությունների։

Բայց ինչ կլինի եթե փորձես:

• Բազմապատկել անսահմանությունը զրոյով: Տեսականորեն, եթե փորձենք ցանկացած թիվ բազմապատկել զրոյով, ապա կստացվի զրո։ Բայց անսահմանությունը թվերի անորոշ բազմություն է։ Քանի որ մենք չենք կարող ընտրել մեկ թիվ այս բազմությունից, ∞*0 արտահայտությունը լուծում չունի և բացարձակապես անիմաստ է:
• Զրո բաժանված անսահմանության վրա: Սա նույն պատմությունն է, ինչ վերևում: Մենք չենք կարող ընտրել մեկ թիվ, ինչը նշանակում է, որ մենք չգիտենք, թե ինչի վրա բաժանենք: Արտահայտությունը իմաստ չունի.

Կարևոր.Անսահմանությունը մի փոքր տարբերվում է անորոշությունից: Անսահմանությունը անորոշության տեսակ է:

Հիմա փորձենք անսահմանությունը բաժանել զրոյի։ Թվում է, թե պետք է անորոշություն լինի։ Բայց եթե փորձենք բաժանումը փոխարինել բազմապատկմամբ, շատ հստակ պատասխան ենք ստանում։

Օրինակ՝ ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞:

Ստացվում է այսպես մաթեմատիկական պարադոքս.

Ինչու չեք կարող բաժանել զրոյի

Մտածողության փորձ, փորձեք բաժանել զրոյի

Եզրակացություն

Այսպիսով, այժմ մենք գիտենք, որ զրոյին ենթակա են գրեթե բոլոր գործողությունները, որոնցով կատարվում են, բացառությամբ մեկ եզակի: Չի կարելի զրոյի բաժանել միայն այն պատճառով, որ արդյունքը անորոշություն է: Մենք նաև սովորեցինք, թե ինչպես գործել զրոյի և անսահմանության վրա: Նման գործողությունների արդյունքը կլինի անորոշությունը։

Ֆունկցիայի ածանցյալը հեռու չի ընկնում, իսկ L'Hopital-ի կանոնների դեպքում այն ​​ընկնում է հենց այնտեղ, որտեղ ընկնում է սկզբնական ֆունկցիան։ Այս հանգամանքն օգնում է բացահայտելու 0/0 կամ ∞/∞ ձևի անորոշությունները և որոշ այլ անորոշություններ, որոնք առաջանում են հաշվարկում։ սահմաներկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ ֆունկցիաների հարաբերակցությունը։ Հաշվարկը մեծապես պարզեցված է այս կանոնով (իրականում երկու կանոն և դրանց վերաբերյալ նշումներ).

Ինչպես ցույց է տալիս վերը նշված բանաձևը, երկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը հաշվարկելիս երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը կարող է փոխարինվել դրանց հարաբերակցության սահմանով։ ածանցյալներև այդպիսով ստանալ որոշակի արդյունք:

Անցնենք L'Hopital-ի կանոնների ավելի ճշգրիտ ձեւակերպումներին։

L'Hopital-ի կանոնը երկու անսահման փոքր արժեքների սահմանի դեպքում. Թողեք գործառույթները զ(x) և է(x ա. Եվ հենց այդ պահին ա աֆունկցիայի ածանցյալ է(x) հավասար չէ զրոյի ( է"(x ահավասար են միմյանց և հավասար են զրոյի.

.

L'Hôpital-ի կանոնը երկու անսահման մեծ քանակությունների սահմանի դեպքում. Թողեք գործառույթները զ(x) և է(x) ունեն ածանցյալներ (այսինքն՝ տարբերվող են) կետի ինչ-որ հարևանությամբ ա. Եվ հենց այդ պահին անրանք կարող են ունենալ կամ չունենալ ածանցյալներ: Ընդ որում՝ կետի շրջակայքում աֆունկցիայի ածանցյալ է(x) հավասար չէ զրոյի ( է"(x)≠0 ) և այս ֆունկցիաների սահմանները, քանի որ x-ը ձգտում է տվյալ կետում գտնվող ֆունկցիայի արժեքին ահավասար են միմյանց և հավասար են անսահմանության.

.

Այնուհետև այս ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը հավասար է դրանց ածանցյալների հարաբերակցության սահմանին.

Այլ կերպ ասած, 0/0 կամ ∞/∞ ձևի անորոշությունների դեպքում երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը հավասար է դրանց ածանցյալների հարաբերակցության սահմանին, եթե վերջինս գոյություն ունի (վերջավոր, այսինքն՝ հավասար որոշակի թիվ, կամ անվերջ, այսինքն՝ հավասար է անսահմանությանը):

Դիտողություններ.

1. L'Hopital-ի կանոնները կիրառելի են նաև գործառույթների դեպքում զ(x) և է(x) սահմանված չեն x = ա.

2. Եթե ֆունկցիաների ածանցյալների հարաբերակցության սահմանը հաշվարկելիս զ(x) և է(x) նորից գալիս ենք 0/0 կամ ∞/∞ ձևի անորոշության, այնուհետև L'Hopital-ի կանոնները պետք է կիրառվեն բազմիցս (առնվազն երկու անգամ):

3. L'Hopital-ի կանոնները կիրառելի են նաև, երբ (x) ֆունկցիաների արգումենտը ձգտում է դեպի ոչ վերջավոր թիվը. աև մինչև անսահմանություն ( x → ∞).

Այլ տիպերի անորոշությունները նույնպես կարող են կրճատվել մինչև 0/0 և ∞/∞ տեսակների անորոշությունները:

«Զրո բաժանված զրոյի» և «անսահմանությունը բաժանված անսահմանության վրա» տիպերի անորոշությունների բացահայտում.

Օրինակ 1

x=2 հանգեցնում է 0/0 ձևի անորոշության: Հետևաբար, յուրաքանչյուր ֆունկցիայի ածանցյալը և մենք ստանում ենք

Համարիչում հաշվարկվել է բազմանդամի ածանցյալը, իսկ հայտարարում՝ բարդ լոգարիթմական ֆունկցիայի ածանցյալ. Վերջին հավասարության նշանից առաջ մենք հաշվեցինք սովորականը սահման x-ի փոխարեն դյուզը փոխարինելով:

Օրինակ 2Հաշվեք երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը՝ օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը.

Լուծում. Տրված արժեքային ֆունկցիայի փոխարինում x

Օրինակ 3Հաշվեք երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը՝ օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը.

Լուծում. Տրված արժեքային ֆունկցիայի փոխարինում x=0 հանգեցնում է 0/0 ձևի անորոշության: Այսպիսով, մենք հաշվում ենք ֆունկցիաների ածանցյալները համարիչում և հայտարարում և ստանում.

Օրինակ 4Հաշվիր

Լուծում. X-ի արժեքը, որը հավասար է գումարած անվերջությանը, տվյալ ֆունկցիայի մեջ հանգեցնում է ∞/∞ ձևի անորոշության: Հետևաբար, մենք կիրառում ենք L'Hopital-ի կանոնը.

Մեկնաբանություն. Անցնենք օրինակներին, որոնցում L'Hopital կանոնը պետք է կիրառվի երկու անգամ, այսինքն՝ հասնել երկրորդ ածանցյալների հարաբերակցության սահմանին, քանի որ առաջին ածանցյալների հարաբերակցության սահմանը ձևի անորոշությունն է։ 0/0 կամ ∞/∞:

«Զրո բազմապատկած անվերջությամբ» ձևի անորոշությունների բացահայտում.

Օրինակ 12Հաշվիր

.

Լուծում. Մենք ստանում ենք

Այս օրինակը օգտագործում է եռանկյունաչափական ինքնությունը:

«Զրո՝ զրոյի ուժին», «անսահմանություն՝ զրոյի ուժին» և «մեկը՝ անսահմանության աստիճանին» տիպերի անորոշությունների բացահայտում։

Ձևի անորոշությունները կամ սովորաբար կրճատվում են մինչև 0/0 կամ ∞/∞ ձևի` օգտագործելով ձևի ֆունկցիայի լոգարիթմը

Արտահայտության սահմանը հաշվարկելու համար պետք է օգտագործել լոգարիթմական նույնականությունը, որի հատուկ դեպքը լոգարիթմի հատկությունն է. .

Օգտագործելով ֆունկցիայի լոգարիթմական նույնականությունը և շարունակականության հատկությունը (սահմանի նշանից այն կողմ անցնելու համար) սահմանը պետք է հաշվարկվի հետևյալ կերպ.

Առանձին-առանձին պետք է գտնել արտահայտության սահմանը ցուցիչում և կառուցել եգտնված աստիճանին։

Օրինակ 13

Լուծում. Մենք ստանում ենք

.

.

Օրինակ 14Հաշվեք՝ օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը

Լուծում. Մենք ստանում ենք

Հաշվիր արտահայտության սահմանը ցուցիչում

.

.

Օրինակ 15Հաշվեք՝ օգտագործելով L'Hopital-ի կանոնը

Եթե ​​թիվը բաժանվում է անվերջության վրա, արդյոք գործակիցը հակված է զրոյի: Շարունակվեց ներսում և ստացավ ավելի լավ պատասխան

Օլենկայի պատասխանը[նորեկ]
բոլորը 0
Կրաբ Բարկ
Oracle
(56636)
Ոչ Ճշգրիտ զրո: Քանի որ բաժանարարը ձգտում է դեպի անվերջություն, քանորդը ձգտում է զրոյի: Եվ, եթե բաժանենք ոչ թե դեպի անվերջություն հակված թվի, այլ հենց անվերջության (ի դեպ, ավելի ստույգ՝ այն պաշտոնապես ընդհանրապես չի համարվում թիվ, այլ համարվում է թվերի նշանակումները լրացնող հատուկ նշան) - ուղիղ զրոյական:

Պատասխան՝-ից Jugeus Վլադիմիր[գուրու]
Նույնիսկ բաժանեք զրո, նույնիսկ բազմապատկեք ցանկացած թվով, այն դեռ զրո կլինի:

Պատասխան՝-ից 1 23 [գուրու]
եթե ինչ-որ խաբեբայություն հակված է զրոյի, ապա այն բազմապատկելն ինչ-որ վերջավորով (թիվ կամ սահմանափակ ֆունկցիա) ցավազուրկ է, քանի որ all-rna-ն ձգտում է զրոյի:
բայց եթե այն բազմապատկես ինչ-որ բանով, որը հակված է անվերջության, ապա կարող են լինել տարբերակներ:

Պատասխան՝-ից Կրաբ Բարկ[գուրու]
Ցանկացած թիվ անվերջության վրա բաժանելու դեպքում ստացվում է զրո: Ուղիղ զրո, ոչ մի «զրոյի գնալու»: Եվ հետո, ինչ թվով էլ այն բազմապատկեք, զրո: Իսկ զրոյից բացի ցանկացած այլ թվի վրա զրոն բաժանելու արդյունքը կլինի զրո, միայն զրոն զրոյի բաժանելիս արդյունքը սահմանված չէ, ցանկացած թիվ հարմար կլինի որպես քանորդ։