Հանման գործողություն երկուական թվային համակարգում. Երկուական թվաբանություն

Դասի թեման. Թվաբանական գործողություններ դիրքային թվային համակարգերում.

9-րդ դասարան

Դասի նպատակները.

Դիդակտիկ: սովորողներին ծանոթացնել երկուական համակարգում գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման հետ և իրականացնել այդ գործողությունների կատարման հմտության առաջնային պրակտիկա:

Ուսումնական: սովորողների մոտ զարգացնել հետաքրքրությունը նոր բաներ սովորելու նկատմամբ, ցույց տալ հաշվարկների նկատմամբ ոչ ստանդարտ մոտեցման հնարավորությունը.

Զարգացող: զարգացնել ուշադրությունը, մտածողության խստությունը, տրամաբանելու կարողությունը:

Դասի կառուցվածքը.

Օրգմոմենտ -1 րոպե.

Տնային առաջադրանքների ստուգում բանավոր թեստով.15 րոպե.

Տնային աշխատանք -2 րոպե.

Խնդիրների լուծում նյութի միաժամանակյա վերլուծությամբ և ինքնուրույն մշակմամբ.25 րոպե

Ամփոփելով դասը -2 րոպե.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

Կազմակերպչական պահ.

Տնային աշխատանքների ստուգում (բանավոր թեստ) .

Ուսուցիչը հաջորդաբար կարդում է հարցերը: Ուսանողները ուշադիր լսում են հարցը՝ առանց այն գրառելու: Արձանագրված է միայն պատասխանը, այն էլ՝ շատ հակիրճ։ (Եթե կարելի է պատասխանել մեկ բառով, ապա ձայնագրվում է միայն այս բառը)։

Ի՞նչ է թվային համակարգը: (-սա նշանային համակարգ է, որտեղ թվերը գրվում են որոշակի կանոնների համաձայն՝ օգտագործելով թվեր կոչվող որոշ այբուբենի նիշերը )

Ի՞նչ թվային համակարգեր գիտեք:( ոչ դիրքային և դիրքային )

Ո՞ր համակարգն է կոչվում ոչ դիրքային: (SCH-ը կոչվում է ոչ դիրքային, եթե թվի քանակական համարժեքը (քանակական արժեքը) կախված չէ թվի նշման մեջ նրա դիրքից։ ).

Ո՞րն է դիրքային SSC-ի հիմքը: (հավասար է նրա այբուբենը կազմող թվանշանների թվին )

Ի՞նչ մաթեմատիկական գործողություն պետք է օգտագործվի տասնորդական NSC-ից որևէ այլի փոխարկելու համար: (բաժանում )

Ի՞նչ է պետք անել տասնորդականից երկուականի փոխարկելու համար: (Հետևողականորեն բաժանեք 2-ի )

Քանի անգամ կնվազի 11.1 թիվը 2 ստորակետը մեկ նիշը ձախ տեղափոխելիս? (2 անգամ )

Հիմա եկեք մի հատված լսենք արտասովոր աղջկա մասին և պատասխանենք հարցերին։ (Հնչում է չափածո )

ԱՐՏԱԿԱՐԳ ԱՂՋԻԿ

Նա հազար հարյուր տարեկան էր
Նա գնաց հարյուրերորդ դասարան,
Ես հարյուր գիրք էի կրում իմ պորտֆոլիոյում։
Այս ամենը ճիշտ է, անհեթեթություն չէ։

Երբ, մի տասնյակ ոտնաչափով փոշիացնելով,
Նա քայլեց ճանապարհով:
Նրան միշտ հետևում էր մի լակոտ
Մի պոչով, բայց հարյուր ոտքով։

Նա որսաց յուրաքանչյուր ձայն
Տասը ականջներով
Եվ տասը արևայրուք ձեռքեր
Նրանք պահում էին պայուսակ և կապանք։

Եվ տասը մուգ կապույտ աչքեր
Համարելով աշխարհը սովորաբար,
Բայց ամեն ինչ նորմալ կդառնա,
Երբ հասկանում ես իմ պատմությունը.

/ Ն.Ստարիկով /

Իսկ քանի՞ տարեկան էր աղջիկը։ (12 տարի ) Ո՞ր դասարան է նա գնացել: (5-րդ դասարան ) Քանի՞ ձեռք և ոտք ուներ նա: (2 ձեռք, 2 ոտք ) Ինչպե՞ս է լակոտը 100 ոտք ունի: (4 թաթ )

Թեստն ավարտելուց հետո պատասխանները բարձրաձայն արտասանվում են հենց աշակերտների կողմից, կատարվում է ինքնաքննություն և ուսանողներն իրենց գնահատական ​​են տալիս։

Չափանիշ:

10 ճիշտ պատասխան (գուցե փոքր թերություն) - «5»;

9 կամ 8 - «4»;

7, 6 – “3”;

մնացածը «2» են։

II. Տնային աշխատանք (2 րոպե)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Աշխատեք նոր նյութի հետ

Թվաբանական գործողություններ երկուական համակարգում.

Երկուական թվային համակարգի թվաբանությունը հիմնված է թվանշանների գումարման, հանման և բազմապատկման աղյուսակների օգտագործման վրա։ Թվաբանական օպերանդները գտնվում են աղյուսակների վերևի և առաջին սյունակում, իսկ արդյունքները՝ սյունակների և տողերի հատման կետում.

0

1

1

1

Հավելում.

Երկուական գումարման աղյուսակը չափազանց պարզ է: Միայն մեկ դեպքում, երբ կատարվում է 1 + 1 գումարում, տեղի է ունենում փոխանցում դեպի ամենակարևոր բիթը:

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Հանում.

Հանման գործողություն կատարելիս բացարձակ արժեքով ավելի մեծ թվից միշտ հանվում է ավելի փոքր թիվ, և դրվում է համապատասխան նշանը։ Հանման աղյուսակում 1-ը բարով նշանակում է բարձր կարգի վարկ: 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Բազմապատկում

Բազմապատկման գործողությունը կատարվում է բազմապատկման աղյուսակի միջոցով՝ ըստ սովորական սխեմայի, որն օգտագործվում է տասնորդական թվային համակարգում՝ բազմապատկիչի հաջորդական բազմապատկմամբ բազմապատկիչի հաջորդ թվանշանով: 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Բազմապատկումը կրճատվում է բազմապատկիչի տեղաշարժերի և գումարումների:

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Դասի ամփոփում

Քարտ ուսանողների լրացուցիչ աշխատանքի համար.

Կատարել թվաբանական գործողություններ.

Ա) 1110 թ 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

Բ) 1110 թ 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Հավելում. Երկուական թվային համակարգում թվերի գումարումը հիմնված է միանիշ երկուական թվերի գումարման աղյուսակի վրա (Աղյուսակ 6):

Կարևոր է ուշադրություն դարձնել այն փաստին, որ երկու միավոր ավելացնելիս փոխանցում է կատարվում ամենաբարձր թվանշանին: Դա տեղի է ունենում, երբ թվի արժեքը հավասար է կամ ավելի մեծ է, քան թվային համակարգի հիմքը:

Բազմաբիթ երկուական թվերի գումարումը կատարվում է վերը նշված գումարման աղյուսակի համաձայն՝ հաշվի առնելով ստորին թվանշաններից ավելի բարձր թվանշանների հնարավոր փոխանցումները: Որպես օրինակ՝ եկեք սյունակում ավելացնենք երկուական թվեր.

Ստուգենք հաշվարկների ճիշտությունը տասնորդական թվային համակարգում գումարումով։ Եկեք երկուական թվերը փոխարկենք տասնորդական թվային համակարգի և ավելացնենք դրանք.

Հանում. Երկուական թվերի հանումը հիմնված է միանիշ երկուական թվերի հանման աղյուսակի վրա (Աղյուսակ 7):

Փոքր թվից (0) ավելի մեծ (1) հանելիս վարկը տրվում է ամենաբարձր կարգից: Աղյուսակում վարկը նշագրված է 1-ով` գծապատկերով:

Բազմանիշ երկուական թվերի հանումն իրականացվում է սույն աղյուսակի համաձայն՝ հաշվի առնելով բարձր կարգի թվանշաններով հնարավոր վարկերը։

Օրինակ՝ հանենք երկուական թվերը.

Բազմապատկում. Բազմապատկումը հիմնված է միանիշ երկուական թվերի բազմապատկման աղյուսակի վրա (Աղյուսակ 8):

Բազմանիշ երկուական թվերի բազմապատկումն իրականացվում է այս բազմապատկման աղյուսակի համաձայն՝ ըստ տասնորդական թվերի համակարգում օգտագործվող սովորական սխեմայի՝ բազմապատկիչի հաջորդական բազմապատկմամբ բազմապատկիչի հաջորդ թվանշանով: Դիտարկենք երկուական բազմապատկման օրինակ

Օրինակ 1. Գտեք X-ը, եթե հավասարության ձախ կողմը փոխակերպելու համար մենք հաջորդաբար օգտագործում ենք դե Մորգանի օրենքը տրամաբանական գումարման և կրկնակի ժխտման օրենքը. Ըստ տրամաբանական գումարման բաշխման օրենքի. Մշտական ​​վերացման օրենքը. Ստացված ձախ կողմը հավասարեցրե՛ք աջին՝ X \u003d B Վերջապես, մենք ստանում ենք՝ X = B։ Օրինակ 2. Պարզեցրե՛ք տրամաբանական արտահայտությունը Ստուգեք պարզեցման ճիշտությունը՝ օգտագործելով ճշմարտության աղյուսակները բնօրինակի և ստացված տրամաբանության համար։ արտահայտություն. Համաձայն տրամաբանական գումարման ընդհանուր ինվերսիայի օրենքի (դե Մորգանի առաջին օրենք) և կրկնակի ժխտման օրենքի. Ըստ տրամաբանական գումարման բաշխիչ (բաշխիչ) օրենքի. Համաձայն հակասության օրենքի. Համաձայն անզորության օրենքի մենք փոխարինում ենք. արժեքները և, օգտագործելով կոմուտատիվ (փոխադրական) օրենքը և խմբավորելով տերմինները, մենք ստանում ենք՝ ըստ բացառման օրենքի (սոսնձման) Փոխարինեք արժեքները և ստացեք՝ ըստ տրամաբանական գումարման հաստատունների բացառման օրենքի և Անզորության օրենքը. Փոխարինեք արժեքները և ստացեք. Տրամաբանական բազմապատկման համար բաշխիչ (բաշխիչ) օրենքի համաձայն. Միջին վերացման օրենքի համաձայն. Փոխարինեք արժեքները և վերջապես ստացեք. 2 a-ի տրամաբանական հիմքերը. համակարգիչ Դիսկրետ փոխարկիչը, որը մուտքային երկուական ազդանշանները մշակելուց հետո ելքի վրա ազդանշան է տալիս, որը տրամաբանական գործողություններից մեկի արժեքն է, կոչվում է տրամաբանական տարր: Ստորև բերված են հիմնական տրամաբանական տարրերի խորհրդանիշները (սխեմաները), որոնք իրականացնում են տրամաբանական բազմապատկում (կապակցող), տրամաբանական գումարում (disjunctor) և ժխտում (inverter): Բրինձ. 3.1. Համակցիչ, անջատիչ և ինվերտոր Համակարգչային սարքերը (պրոցեսորում հավելիչներ, RAM-ում հիշողության բջիջներ և այլն) կառուցված են հիմնական տրամաբանական տարրերի հիման վրա: Օրինակ 3. Տրված տրամաբանական ֆունկցիայի հիման վրա F(A, B) = =B&AÚB&A կառուցիր տրամաբանական շղթա։ Շինարարությունը պետք է սկսվի տրամաբանական գործողությամբ, որը պետք է կատարվի վերջինը։ Այս դեպքում նման գործողությունը տրամաբանական հավելում է, հետևաբար, տրամաբանական շղթայի ելքում պետք է լինի անջատիչ: Ազդանշանները նրան սնվում են երկու կապակցիչներից, որոնց, իր հերթին, մեկ մուտքային ազդանշանը նորմալ է, իսկ մեկը՝ շրջված (ինվերտորներից): Օրինակ 4. Տրամաբանական շղթան ունի երկու մուտքեր X և Y: Որոշեք F1(X,Y) և F2(X,Y) տրամաբանական ֆունկցիաները, որոնք իրականացվում են նրա երկու ելքերում: F1(X,Y) ֆունկցիան իրականացվում է առաջին կապակցիչի ելքում, այսինքն՝ F1(X,Y) = X&Y: Միաժամանակ կապակցիչից ազդանշանը սնվում է ինվերտորի մուտքին, որի ելքում իրականացվում է X&Y ազդանշանը, որն էլ իր հերթին սնվում է երկրորդ կոնյունկտորի մուտքերից մեկին։ Disjunctor-ից Xv Y ազդանշանը սնվում է երկրորդ կապի մյուս մուտքին, հետևաբար, ֆունկցիան F2(X,Y) = X&Y&,(XvY): Դիտարկենք երկու n-bit երկուական թվերի գումարման սխեման: i-ro թվանշանի թվանշանները գումարելիս ավելացվում են ai և bi, ինչպես նաև Pi-1՝ փոխանցում i-1 թվանշանից։ Արդյունքը կլինի st - գումարը և Pi - փոխանցումը բարձր կարգի: Այսպիսով, մեկ բիթանոց երկուական ավելացուցիչը երեք մուտքով և երկու ելքով սարք է: Օրինակ 3.15. Կառուցեք ճշմարտության աղյուսակ մեկ բիթանոց երկուական գումարողի համար՝ օգտագործելով երկուական գումարման աղյուսակը: ձգան. Գործարկիչները օգտագործվում են տեղեկատվությունը համակարգչի RAM-ում, ինչպես նաև պրոցեսորի ներքին ռեգիստրներում պահելու համար: Գործարկիչը կարող է լինել երկու կայուն վիճակներից մեկում, որը թույլ է տալիս հիշել, պահել և կարդալ 1 բիթ տեղեկատվություն: Ամենապարզ ձգանն է .RS ձգան: Այն բաղկացած է երկու OR-NOT դարպասներից, որոնք իրականացնում են F9 տրամաբանական ֆունկցիան (տես աղյուսակ 3.1): Տարրերի մուտքերն ու ելքերը միացված են օղակով՝ առաջինի ելքը միացված է երկրորդի մուտքին, իսկ երկրորդի ելքը՝ առաջինի մուտքին։ Ձգան ունի երկու մուտք S (անգլերեն հավաքածուից - տեղադրում) և I (անգլերեն reset - reset) և երկու ելք Q (ուղիղ) և Q (հակադարձ): Բրինձ. 2 RS flip-flop տրամաբանություն Օրինակ 3.16. Կառուցեք աղյուսակ, որը նկարագրում է RS flip-flop-ի մուտքերի և ելքերի վիճակը: Եթե ​​մուտքերը ստանում են ազդանշաններ R = 0 և S = 0, ապա ձգանը գտնվում է պահեստավորման ռեժիմում, Q և Q ելքերը պահպանում են նախկինում սահմանված արժեքները: Եթե ​​1 ազդանշանը կարճ ժամանակով մատակարարվում է կարգավորող մուտքի S-ին, ապա ձգանն անցնում է 1 վիճակի և այն բանից հետո, երբ S մուտքի ազդանշանը հավասարվում է 0-ի, ձգանը կպահպանի այս վիճակը, այսինքն՝ կպահի 1: Երբ 1-ը կիրառվում է R մուտքագրման վրա, գործարկիչը կգնա 0 վիճակի: Տրամաբանականի կիրառումը երկու մուտքերի S և R-ի վրա կարող է հանգեցնել երկիմաստ արդյունքի, ուստի մուտքային ազդանշանների այս համակցությունն արգելված է: Առաջադրանքներ ինքնաիրացման համար 1. Գոյություն ունեն երկու փոփոխականների 16 տրամաբանական ֆունկցիաներ (տե՛ս աղյուսակ 3.1): Կառուցեք նրանց տրամաբանական սխեմաները՝ օգտագործելով հիմնական տրամաբանական տարրերը՝ կապակցիչ, դիսյունկտոր և ինվերտոր: 2. Ապացուցեք, որ օրինակ 3.10-ում դիտարկված տրամաբանական շղթան մեկ բիթանոց երկուական կիսահավելիչ է (քիչ նշանակալից բիթից տեղափոխումը հաշվի չի առնվում): 3. Ապացուցեք, կառուցելով ճշմարտության աղյուսակ, որ տրամաբանական Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) ֆունկցիան որոշում է փոխանցումը դեպի ամենաբարձր բիթը երկուական թվեր գումարելիս (A-ն և B-ն տերմիններ են, Po-ն a է): կրել ամենաքիչ նշանակալից բիթից): 4. Ապացուցե՛ք՝ կառուցելով ճշմարտության աղյուսակ, որ S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) տրամաբանական ֆունկցիան որոշում է գումարը երկուական թվեր գումարելիս (A-ն և B-ն տերմիններ են, Po-ն փոխանցում է ամենաքիչ նշանակալի բիթից): 5. Կառուցեք մեկ բիթանոց երկուական գումարողի տրամաբանական շղթա: Քանի՞ հիմնական դարպաս է պահանջվում 64-բիթանոց երկուական գումարիչի ներդրման համար: 6. Քանի՞ հիմնական տրամաբանական տարր է կազմում 64 ՄԲ հզորությամբ ժամանակակից համակարգչի օպերատիվ հիշողությունը: 1. Ընդլայնված ձևով գրի՛ր թվերը՝ ա) A8=143511; դ) A10=143.511; 6)A2=100111; ե) A8=0,143511; գ) A16=143511; ե) A1e \u003d 1AZ, 5C1: 2. Գրեք հետևյալ թվերը ծալովի տեսքով. ա) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; բ) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Արդյո՞ք ճիշտ են գրված թվերը համապատասխան թվային համակարգերում՝ ա) A10 = A,234; գ) A16=456.46; բ) A8 = -5678; դ) A2=22.2? 4. Ո՞րն է թվային համակարգի նվազագույն հիմքը, եթե դրանում գրված են 127, 222, 111 թվերը։ Որոշե՛ք այս թվերի տասնորդական համարժեքը գտնված թվային համակարգում։ 5. Որքա՞ն է 101012, 101018 1010116 թվերի տասնորդական համարժեքը: 6. Եռանիշ տասնորդական թիվն ավարտվում է 3 թվով։ Եթե այս թիվը երկու նիշով տեղափոխվի ձախ, այսինքն՝ դրանից կսկսվի նոր թվի գրանցումը, ապա այս նոր թիվը կլինի մեկից ավելի, քան եռապատկված։ բնօրինակ համարը. Գտեք բնօրինակ համարը: 2.22 Վեցանիշ տասնորդական թիվը սկսվում է ձախից 1 թվով: Եթե այս թիվը ձախի առաջին տեղից տեղափոխվում է աջ կողմի վերջին տեղը, ապա ձևավորված թվի արժեքը երեք անգամ կկազմի բնօրինակը: . Գտեք բնօրինակ համարը: 2.23 1100112, 1114, 358 և 1B16 թվերից որն է՝ ա) ամենամեծը. բ) նվազագույնը. 2.27 Կա՞ եռանկյուն, որի կողմերի երկարությունները արտահայտված են 12g, 1116 և 110112 թվերով: 2.28 Ո՞րն է ամենամեծ տասնորդական թիվը, որը կարելի է գրել եռանիշ թվերով երկուական, օկտալ և տասնվեցական թվային համակարգերում: 2.29 «Անլուրջ» հարցեր. Ե՞րբ է 2x2=100: Ե՞րբ է 6x6=44: Ե՞րբ է 4x4=20: 2.30. Գրե՛ք հետևյալ թվային ընդմիջումներին պատկանող ամբողջ տասնորդական թվերը. ա) ; բ) ; մեջ): 2.31 Դասարանում սովորում է 11112 աղջիկ և 11002 տղա: Քանի՞ աշակերտ կա դասարանում: 2.32.Դասարանում սովորում է 36դ աշակերտ, որից 21 ք.աղջիկներ, 15ք. տղաներ: Ի՞նչ համարակալման համակարգ է օգտագործվել ուսանողներին հաշվելու համար: 2. 33. Այգում կա 100 ք պտղատու ծառ, որից 33 ք խնձորենի, 22 ք տանձենի, 16 ք սալորի և 5 ք բալի: Ի՞նչ թվային համակարգով են հաշվում ծառերը: 2.34 խնձոր կար 100 ք. Դրանցից յուրաքանչյուրը կիսով չափ կտրվելուց հետո առաջացել է 1000 ք կես: Համարային համակարգում ի՞նչ հիմքով է վարվել հաշվառումը։ 2.35 Ես ունեմ 100 եղբայր. Փոքրը 1000 տարեկան է, իսկ մեծը՝ 1111։ Ավագը սովորում է 1001 դասարանում։ Սա կարո՞ղ է լինել: 2.36 Ժամանակին մի լճակ կար, որի կենտրոնում աճում էր ջրաշուշանի մեկ տերեւ: Ամեն օր նման տերեւների թիվը կրկնապատկվում էր, իսկ տասներորդ օրը լճակի ամբողջ մակերեսն արդեն լցված էր շուշանի տերեւներով։ Քանի՞ օր տևեց լճակի կեսը տերևներով լցնելու համար: Քանի՞ տերեւ կար իններորդ օրվանից հետո: 2.37 Ընտրելով 2 թվի հզորությունները, որոնք գումարվում են տրված թվին, երկուական թվային համակարգի վերածում են հետևյալ թվերը՝ ա) 5. 12-ին; ե) 32; բ) 7; դ) 25; զ) 33. Ստուգեք թարգմանության ճիշտությունը Advanced Converter ծրագրի միջոցով: 2.3. Թվերի թարգմանությունը մի թվային համակարգից մյուսը 2.3.1. Ամբողջ թվերի փոխարկումը մի թվային համակարգից մյուսը Մենք կարող ենք ձևակերպել ամբողջ թվերը p հիմք ունեցող համակարգից q հիմքով համակարգ փոխարկելու ալգորիթմ. կատարել բոլոր հետագա գործողությունները սկզբնական թվային համակարգում: 2. Տրված թվի և ստացված ամբողջ քանորդների բաժանումը հետևողականորեն կատարեք նոր թվային համակարգի հիման վրա, մինչև չստանանք բաժանարարից փոքր քանորդ։ 3. Ստացված մնացորդները, որոնք նոր թվային համակարգի թվանշաններն են, համապատասխանեցվում են նոր թվային համակարգի այբուբենի հետ։ 4. Նոր թվային համակարգում թիվ կազմի՛ր՝ սկսած վերջին մնացորդից: Օրինակ 2.12.17310 տասնորդական թիվը վերածել ութնյակի՝ ■ Ստանում ենք՝ 17310=2558։ Օրինակ 2.13.17310 տասնորդական թիվը վերածել տասնորդական թվային համակարգի՝ - Ստանում ենք՝ 17310=AD16: Օրինակ 2.14 1110 տասնորդական թիվը վերածել երկուական թվային համակարգի: Ստանում ենք՝ 111O=10112։ Օրինակ 2.15 Երբեմն ավելի հարմար է թարգմանության ալգորիթմը գրել աղյուսակի տեսքով։ 36310 տասնորդական թիվը փոխարկենք երկուական թվի։ 2.3.2. Կոտորակային թվերի փոխարկումը մի թվային համակարգից մյուսը Մենք կարող ենք ձևակերպել p հիմքով ճիշտ կոտորակը q հիմքով կոտորակի վերածելու ալգորիթմ. կատարել բոլոր հետագա գործողությունները սկզբնական թվային համակարգում: 2. Տրված թիվը և արտադրյալների ստացված կոտորակային մասերը հաջորդաբար բազմապատկեք նոր համակարգի հիման վրա, մինչև արտադրյալի կոտորակային մասը հավասարվի զրոյի կամ ստացվի թվի ներկայացման պահանջվող ճշտությունը։ 3. Ստացված արտադրյալների ամբողջ թվային մասերը, որոնք նոր թվային համակարգի թվանշաններն են, պետք է համապատասխանեցվեն նոր թվային համակարգի այբուբենի հետ: 4. Կազմի՛ր նոր թվային համակարգում թվի կոտորակային մասը՝ սկսած առաջին արտադրյալի ամբողջական մասից: Օրինակ 2.16. 0.6562510-ը փոխարկեք օկտալային թվային համակարգի: Օրինակ 2.17. 0,6562510 թիվը փոխարկեք տասնվեցական թվային համակարգի: Օրինակ 2.18. Տասնորդական 0.562510-ը փոխարկեք երկուական թվային համակարգի: Օրինակ 2.19. 0.710 տասնորդական կոտորակը վերածել երկուականի: Ակնհայտ է, որ այս գործընթացը կարող է շարունակվել անվերջ՝ տալով ավելի ու ավելի նոր նշաններ 0,710 թվի երկուական համարժեքի պատկերով։ Այսպիսով, չորս քայլից մենք ստանում ենք 0,10112 թիվը, իսկ յոթ քայլից ստանում ենք 0,10110012 թիվը, որը 0,710 թվի ավելի ճշգրիտ ներկայացումն է երկուականում և այլն։ Նման անվերջանալի ընթացքն ընդհատվում է որոշակի քայլով, երբ համարվում է, որ ստացվել է թվի ներկայացման պահանջվող ճշգրտությունը։ 2.3.3. Կամայական թվերի թարգմանությունը կամայական թվերի, այսինքն՝ ամբողջ և կոտորակային մասեր պարունակող թվերի թարգմանությունն իրականացվում է երկու փուլով։ Ամբողջ մասը թարգմանվում է առանձին, կոտորակայինը՝ առանձին։ Ստացված թվի վերջնական գրառման մեջ ամբողջ թիվն առանձնացված է կոտորակային ստորակետից։ Օրինակ 2.20 17.2510 թիվը փոխարկեք երկուական թվային համակարգի։ Թարգմանում ենք ամբողջական մասը՝ թարգմանում ենք կոտորակային մասը՝ Օրինակ 2.21. 124.2510 թիվը դարձրեք ութնյակի։ 2.3.4. Թվերի թարգմանությունը 2 հիմքով թվային համակարգից 2n հիմքով թվային համակարգ և հակառակը Ամբողջ թվերի թարգմանություն - Եթե q-ary թվային համակարգի հիմքը 2-ի հզորությունն է, ապա թվերի փոխարկումը q-ary-ից. թվային համակարգը երկուական և հակառակը կարող է իրականացվել ավելի պարզ կանոնների միջոցով: Q \u003d 2" հիմքով թվային համակարգում երկուական ամբողջ թիվ գրելու համար անհրաժեշտ է՝ 1. Երկուական թիվը աջից ձախ բաժանել n թվանշաններից բաղկացած խմբերի: n թվանշան, ապա այն պետք է 3. Յուրաքանչյուր խումբ համարենք որպես n-բիթանոց երկուական թիվ և գրի՛ր որպես համապատասխան թվանշան թվային համակարգում q = 2n հիմքով Օրինակ 2.22 1011000010001100102 թիվը փոխարկի՛ր ութնյակային թվային համակարգի։ Թիվն աջից ձախ բաժանում ենք եռյակների և դրանցից յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան ութնիշը. 10000000001111100001112 թիվը փոխարկենք տասնվեցական թվային համակարգի։ Թիվը աջից ձախ բաժանում ենք քառյակների և դրանցից յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան տասնվեցական թվանշանը. Ստանում ենք սկզբնական թվի տասնվեցական պատկերը. Կոտորակային թվերի թարգմանություն. Որպեսզի թվային համակարգում կոտորակային երկուական թիվ գրվի q \u003d 2" հիմքով, անհրաժեշտ է. քան n թվանշան, այնուհետև նրա 3-ը: Յուրաքանչյուր խումբ համարեք որպես n-նիշ երկուական թիվ և այն թվային համակարգում գրեք համապատասխան թվանշանով q \u003d 2n Օրինակ 2.24. դեպի աջ՝ եռյակների և դրանցից յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան ութնիշ. Ստանում ենք սկզբնական թվի օկտալային պատկերը. 0.5428 Օրինակ 2.25 0.1000000000112 թիվը թարգմանում ենք տասնվեցական թվային համակարգ. Ձախից աջ թիվը բաժանում ենք քառյակների և յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան տասնվեցական թվանշանը. բնօրինակ համարի ներկայացում` 0.80316: q - 2n հիմքով թվային համակարգում գրեք երկուական թիվ, անհրաժեշտ է՝ [ 1. Այս երկուական թվի ամբողջ մասը բաժանեք աջից ձախ, իսկ կոտորակային մասը ձախից աջ n թվանշաններից բաղկացած խմբերի։ 2. Եթե վերջին ձախ և (կամ) աջ խմբերում n-ից պակաս թվանշաններ կան, ապա դրանք ձախ և (կամ) աջ կողմում պետք է լրացվեն զրոներով՝ մինչև անհրաժեշտ թվանշանները: 3. Յուրաքանչյուր խումբ համարեք որպես n-bit երկուական թիվ և գրեք այն որպես համապատասխան թվանշան q = 2p հիմքով թվային համակարգում: Օրինակ 2.26.111100101.01112 թիվը թարգմանենք ութնյակային թվային համակարգ։ Թվի ամբողջ և կոտորակային մասերը բաժանում ենք եռյակների և դրանցից յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան ութնիշը. Ստանում ենք սկզբնական թվի ութնյակային պատկերը. Օրինակ 2.27 11101001000,110100102 թիվը փոխենք տասնվեցական թվային համակարգ։ Թվի ամբողջ և կոտորակային մասերը բաժանում ենք քառյակների և դրանցից յուրաքանչյուրի տակ գրում ենք համապատասխան տասնվեցական թվանշանը. Թվերի թարգմանությունը q \u003d 2p հիմքով թվային համակարգերից երկուական համակարգ: Որպեսզի q \u003d 2 հիմքով թվային համակարգում գրված կամայական թիվը փոխարկվի երկուական թվային համակարգի, դուք պետք է փոխարինեք յուրաքանչյուր թվանշան: այս թիվը իր n-նիշ համարժեքով երկուական թվային համակարգում: Օրինակ 2.28. Եկեք թարգմանենք 4AC351b տասնվեցական թիվը երկուական թվային համակարգի: Համաձայն ալգորիթմի՝ i Ստանում ենք՝ 10010101100001101012 Առաջադրանքներ ինքնաիրացման համար 2.38. Լրացրե՛ք աղյուսակը, որի յուրաքանչյուր տողում պետք է գրվի նույն ամբողջ թիվը տարբեր թվային համակարգերում։ 2.39. Լրացրե՛ք աղյուսակը, որի յուրաքանչյուր տողում պետք է գրվի նույն կոտորակային թիվը տարբեր թվային համակարգերում։ 2.40. Լրացրե՛ք աղյուսակը, որի յուրաքանչյուր տողում պետք է գրվի միևնույն կամայական թիվը (թիվը կարող է պարունակել և՛ ամբողջ թիվ, և՛ կոտորակային մաս): 2.4. Թվաբանական գործողություններ դիրքային թվային համակարգերում

Թվաբանական գործողություններ երկուական համակարգում.

Օրինակ 2.29.Դիտարկենք երկուական թվեր ավելացնելու մի քանի օրինակ.

Հանում. Հանման գործողություն կատարելիս բացարձակ արժեքով մեծ թվից միշտ հանվում է փոքր թիվը և դրվում է համապատասխան նշանը։ Հանման աղյուսակում 1-ը բարով նշանակում է բարձր կարգի վարկ:

Օրինակ 2.31. Դիտարկենք երկուական բազմապատկման մի քանի օրինակ.

Դուք տեսնում եք, որ բազմապատկումն իջնում ​​է բազմապատկվող տեղաշարժերի և գումարումների:

Բաժանում. Բաժանման գործողությունը կատարվում է տասնորդական թվային համակարգում բաժանման գործողության ալգորիթմի նման ալգորիթմի համաձայն:

Հավելում այլ թվային համակարգերում: Ստորև բերված է գումարման աղյուսակը օկտալ թվային համակարգում.

2.42. Թվաբանական գործողությունների նշանները դասավորեք այնպես, որ երկուական համակարգում ճշմարիտ լինեն հետևյալ հավասարությունները.

Յուրաքանչյուր թվի պատասխանը գրե՛ք նշված և տասնորդական թվային համակարգերում։ 2.44. Որ թիվը նախորդում է յուրաքանչյուր տվյալների.

2.45. Դուրս գրե՛ք հետևյալ թվային միջակայքերին պատկանող ամբողջ թվերը.

ա) երկուական համակարգում.

բ) օկտալ համակարգում.

գ) տասնվեցական համակարգում.

Յուրաքանչյուր թվի պատասխանը գրե՛ք նշված և տասնորդական թվային համակարգերում։

2.47. Գտե՛ք հետևյալ թվերի միջին թվաբանականը.

2.48 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 + ութնյակ թվերի գումարը.
+ 1700000000 8-ը վերածվեց տասնվեցական թվային համակարգի:
Գրառման մեջ գտե՛ք այս գումարին հավասար թիվ՝ ձախից հինգերորդ թվանշանը։

Վերականգնել հարցական նշանով նշված անհայտ թվերը
հետևյալ գումարման և հանման օրինակները՝ նախ սահմանելով
le, թե ինչ համակարգում են թվերը ցուցադրվում։

Թվաբանական գործողություններ դիրքային թվային համակարգերում

Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք թվաբանական գործողությունները երկուական թվային համակարգում: Երկուական թվային համակարգի թվաբանությունը հիմնված է թվանշանների գումարման, հանման և բազմապատկման աղյուսակների օգտագործման վրա։ Թվաբանական օպերանդները գտնվում են աղյուսակների վերևի և առաջին սյունակում, իսկ արդյունքները՝ սյունակների և տողերի հատման կետում.

Եկեք մանրամասն քննարկենք յուրաքանչյուր գործողություն:

Հավելում.Երկուական գումարման աղյուսակը չափազանց պարզ է: Միայն մեկ դեպքում, երբ լրացումը կատարվում է 1+1, տեղափոխվում է վերին աստիճան. ,

Հանում.Հանման գործողություն կատարելիս բացարձակ արժեքով մեծ թվից միշտ հանվում է փոքր թիվը և դրվում է համապատասխան նշանը։ Հանման աղյուսակում 1-ը բարով նշանակում է բարձր կարգի վարկ:

Բազմապատկում.Բազմապատկման գործողությունը կատարվում է բազմապատկման աղյուսակի միջոցով՝ ըստ սովորական սխեմայի, որն օգտագործվում է տասնորդական թվային համակարգում՝ բազմապատկիչի հաջորդական բազմապատկմամբ բազմապատկիչի հաջորդ թվանշանով:

Բաժանում.Բաժանման գործողությունը կատարվում է տասնորդական թվային համակարգում բաժանման գործողության ալգորիթմի նման ալգորիթմի համաձայն:

Ծանոթագրություն. 1-ին հավասար երկու թվեր գումարելիս այս թվանշանով ստացվում է 0, իսկ 1-ինը՝ ամենակարևոր թվանշանին:

Օրինակ_21Տրված են 101 (2) և 11 (2) համարները։ Գտե՛ք այս թվերի գումարը:

որտեղ 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Ստուգում՝ 5+3=8։

0-ից մեկը հանելիս միավորը վերցվում է ամենաբարձր մոտակա թվանշանից, որը տարբերվում է 0-ից: Միևնույն ժամանակ, ամենաբարձր թվանշանով զբաղեցրած միավորը տալիս է 2 միավոր ամենաքիչ նշանակալի թվանշանում և մեկը բոլոր թվանշանների միջև ամենաբարձր և միջակայքում: ամենացածր.

Օրինակ_22Տրված են 101 (2) և 11 (2) համարները։ Գտեք այս թվերի տարբերությունը:

որտեղ 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Ստուգում՝ 5-3=2։

Բազմապատկման գործողությունը կրճատվում է կրկնվող հերթափոխի և գումարման:

Օրինակ_23Տրված են 11 (2) և 10 (2) համարները։ Գտե՛ք այս թվերի արտադրյալը:

որտեղ 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Ստուգում՝ 3*2=6։

Թվաբանական գործողություններ օկտալ թվային համակարգում

Երկու թվեր գումարելիս, որոնց գումարը հավասար է 8-ի, այս կատեգորիայում ստացվում է 0, իսկ 1-ին տեղափոխվում է ամենաբարձր կարգի։

Օրինակ_24Տրված են 165 (8) և 13 (8) համարները։ Գտե՛ք այս թվերի գումարը:

որտեղ 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Փոքր թվից ավելի մեծ թիվ հանելիս միավորը վերցվում է ամենաբարձր մոտակա թվանշանից, որը տարբերվում է 0-ից։

Օրինակ_25Տրված են 114 (8) և 15 (8) համարները։ Գտեք այս թվերի տարբերությունը:

որտեղ 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Թվաբանական գործողություններ տասնվեցական թվային համակարգում

16 ընդհանուր թվով երկու թվեր գումարելիս այս կատեգորիայում գրվում է 0, իսկ 1-ը փոխանցվում է ամենաբարձր կարգին:

Օրինակ_26Տրված են 1B5 (16) և 53 (16) համարները։ Գտե՛ք այս թվերի գումարը:

որտեղ 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Փոքր թվից ավելի մեծ թիվ հանելիս միավորը զբաղեցնում է ամենաբարձր մոտակա թվանշանից, որը տարբերվում է 0-ից։

Օրինակ_27Տրված են 11A (16) և 2C (16) համարները։ Գտեք այս թվերի տարբերությունը:

որտեղ 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Համակարգչային տվյալների կոդավորում

Համակարգչում տվյալները ներկայացված են որպես կոդ, որը բաղկացած է մեկերից և զրոյից տարբեր հաջորդականությամբ:

Կոդը- տեղեկատվության ներկայացման խորհրդանիշների մի շարք: Կոդավորումը տեղեկատվությունը ծածկագրի տեսքով ներկայացնելու գործընթացն է:

Թվերի կոդերը

Համակարգչում թվաբանական գործողություններ կատարելիս օգտագործում են ուղիղ, հակադարձ և լրացուցիչ համարների կոդերը.

Ուղիղ կոդ

ՈւղիղԵրկուական թվի կոդը (բացարձակ արժեքի տեսքով ներկայացում նշանով) ինքնին երկուական թիվն է, որում նրա արժեքը ներկայացնող բոլոր թվանշանները գրված են մաթեմատիկական նշումով, իսկ թվի նշանը գրված է որպես երկուական թվանշան:

Ամբողջ թվերը համակարգչում կարող են ներկայացվել նշանով կամ առանց նշանի:

Աննշան ամբողջ թվերը սովորաբար զբաղեցնում են մեկ կամ երկու բայթ հիշողություն: Ստորագրված ամբողջ թվերը պահելու համար հատկացվում է մեկ, երկու կամ չորս բայթ, մինչդեռ ամենակարևոր (ձախ) բիթը հատկացվում է թվի նշանի տակ: Եթե ​​թիվը դրական է, ապա այս բիթում գրվում է 0, եթե բացասական է, ապա 1:

Օրինակ_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)

Դրական թվերը համակարգչում միշտ ներկայացված են ուղղակի կոդով: Թվի ուղղակի կոդը լիովին համընկնում է մեքենայի բջիջում հենց համարի մուտքագրման հետ: Բացասական թվի ուղիղ կոդը տարբերվում է համապատասխան դրական թվի ուղիղ կոդից միայն նշանի բիտի բովանդակությամբ։

Ուղղակի կոդը օգտագործվում է համակարգչային հիշողության մեջ թվերը պահելու ժամանակ, ինչպես նաև բազմապատկման և բաժանման գործողություններ կատարելիս, բայց ուղղակի կոդով թվերը ներկայացնելու ձևաչափը անհարմար է հաշվարկներում օգտագործելու համար, քանի որ կատարվում են դրական և բացասական թվերի գումարում և հանում: այլ կերպ, և, հետևաբար, անհրաժեշտ է վերլուծել նշանի օպերանդի բիթերը: Հետևաբար, ուղղակի կոդը գործնականում չի օգտագործվում ALU-ում ամբողջ թվերի վրա թվաբանական գործողություններ իրականացնելիս: Բայց բացասական ամբողջ թվերը համակարգչում ներկայացված չեն ուղղակի կոդով։ Այս ձևաչափի փոխարեն լայն տարածում են գտել թվերը հակադարձ և լրացուցիչ ծածկագրերով ներկայացնելու ձևաչափերը։

Հակադարձ ծածկագիր

Հակադարձ ծածկագիրդրական թիվը համընկնում է ուղիղ թվի հետ, իսկ բացասական թիվ գրելիս նրա բոլոր թվանշանները, բացառությամբ թվի նշանը ներկայացնող թվանշանի, փոխարինվում են հակառակ թվերով (0-ը փոխարինվում է 1-ով, իսկ 1-ը՝ 0-ով): )

Օրինակ_29:

Օրինակ_30:

Հակադարձ կոդից բացասական թվի ուղիղ կոդը վերականգնելու համար բոլոր թվանշանները, բացառությամբ թվի նշանը ներկայացնող թվանշանի, պետք է փոխարինվեն հակառակ թվանշաններով։

Լրացուցիչ ծածկագիր

Լրացուցիչ ծածկագիրԴրական թիվը համընկնում է ուղիղի հետ, իսկ բացասական թվի կոդը ձևավորվում է հակադարձ ծածկագրին 1 ավելացնելով։

Օրինակ_31:

Օրինակ_32:

Օրինակ_33:

Ամբողջական -32 (10) համար գրեք լրացուցիչ ծածկագիր:

1. 32 (10) թիվը երկուական թվային համակարգի վերածելուց հետո ստանում ենք.

32 (10) =100000 (2) .

2. 32 (10) դրական թվի ուղիղ կոդը 0010 0000 է։

3. Բացասական -32 (10) թվի համար ուղիղ կոդը 1010 0000 է։

4. -32 (10) թվի հակադարձ կոդը 1101 1111 է։

5. -32 (10) թվի լրացուցիչ կոդը՝ 1110 0000։

Օրինակ_34:

Թվի լրացուցիչ ծածկագիրն է 0011 1011։ Գտե՛ք թվի արժեքը տասնորդական նշումով։

1. Թվի առաջին (նշան) նիշը 0 011 1011-ը 0 է, ուստի թիվը դրական է:

2. Դրական թվի համար հավելյալ, հակադարձ և ուղիղ ծածկագրերը նույնն են։

3. Երկուական համակարգում թիվը ստացվում է ուղիղ կոդի գրառումից՝ 111011 (2) (մեծագույն թվանշաններից զրոները հանում ենք)։

4. 111011 (2) թիվը տասնորդական թվային համակարգի վերածվելուց հետո 59 է (10):

Օրինակ_35:

Թվի լրացուցիչ ծածկագիրն է 1011 1011։ Գտե՛ք թվի արժեքը տասնորդական նշումով։

1. Թվի նշանի թվանշան 1 011 1011 թիվը 1 է, ուստի թիվը բացասական է:

2. Թվի հակադարձ կոդը որոշելու համար լրացուցիչ ծածկագրից հանեք մեկը։ Հակառակ կոդը 1 011 1010.

3. Ուղղակի կոդը ստացվում է հակառակ կողմից՝ թվի բոլոր երկուական թվանշանները փոխարինելով հակառակ թվանշաններով (1-ը՝ 0-ի դիմաց, 0-ը՝ 1-ի համար): Համարի ուղիղ ծածկագիրն է 1 100 0101 (նշանի բիթում գրում ենք 1):

4. Երկուական համակարգում թիվը ստացվում է ուղիղ կոդի գրառումից՝ -100 0101 (2):

4. -1000101 (2) թիվը տասնորդականի վերածելուց հետո հավասար է -69 (10):

Նմանատիպ տեղեկատվություն.