Il numero 0 può essere rappresentato come una sorta di confine che separa il mondo dei numeri reali da quelli immaginari o negativi. A causa della posizione ambigua, molte operazioni con questo valore numerico non obbediscono alla logica matematica. L'impossibilità di dividere per zero ne è un ottimo esempio. E le operazioni aritmetiche consentite con zero possono essere eseguite utilizzando definizioni generalmente accettate.

Storia di Zero

Lo zero è il punto di riferimento in tutti i sistemi numerici standard. Gli europei hanno iniziato a usare questo numero relativamente di recente, ma i saggi dell'antica India hanno usato lo zero per mille anni prima che il numero vuoto fosse usato regolarmente dai matematici europei. Anche prima degli indiani, lo zero era un valore obbligatorio nel sistema numerico Maya. Questo popolo americano usava il sistema duodecimale e iniziava il primo giorno di ogni mese con uno zero. È interessante notare che presso i Maya il segno dello "zero" coincideva completamente con il segno dell'"infinito". Pertanto, gli antichi Maya conclusero che queste quantità erano identiche e inconoscibili.

Operazioni matematiche con zero

Le operazioni matematiche standard con zero possono essere ridotte a poche regole.

Addizione: se aggiungi zero a un numero arbitrario, allora non cambierà il suo valore (0+x=x).

Sottrazione: quando si sottrae zero da qualsiasi numero, il valore della sottrazione rimane invariato (x-0=x).

Moltiplicazione: qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 nel prodotto (a*0=0).

Divisione: zero può essere diviso per qualsiasi numero diverso da zero. In questo caso, il valore di tale frazione sarà 0. E la divisione per zero è vietata.

Esponenziamento. Questa azione può essere eseguita con qualsiasi numero. Un numero arbitrario elevato alla potenza di zero darà 1 (x 0 = 1).

Zero a qualsiasi potenza è uguale a 0 (0 a \u003d 0).

In questo caso sorge subito una contraddizione: l'espressione 0 0 non ha senso.

Paradossi della matematica

Il fatto che la divisione per zero sia impossibile, molte persone lo sanno a scuola. Ma per qualche motivo non è possibile spiegare il motivo di tale divieto. In effetti, perché la formula della divisione per zero non esiste, ma altre azioni con questo numero sono abbastanza ragionevoli e possibili? La risposta a questa domanda è data dai matematici.

Il fatto è che le normali operazioni aritmetiche che gli scolari studiano alle elementari sono in realtà ben lungi dall'essere uguali come pensiamo. Tutte le semplici operazioni con i numeri possono essere ridotte a due: addizione e moltiplicazione. Queste operazioni sono l'essenza del concetto stesso di numero e il resto delle operazioni si basa sull'uso di questi due.

Addizione e moltiplicazione

Prendiamo un esempio di sottrazione standard: 10-2=8. A scuola si pensa semplicemente: se si tolgono due a dieci oggetti, ne restano otto. Ma i matematici guardano a questa operazione in modo abbastanza diverso. Dopotutto, per loro non esiste un'operazione come la sottrazione. Questo esempio può essere scritto in un altro modo: x+2=10. Per i matematici, la differenza sconosciuta è semplicemente il numero che deve essere aggiunto a due per fare otto. E qui non è richiesta alcuna sottrazione, devi solo trovare un valore numerico adatto.

La moltiplicazione e la divisione sono trattate allo stesso modo. Nell'esempio di 12:4=3 si capisce che stiamo parlando della divisione di otto oggetti in due pile uguali. Ma in realtà, questa è solo una formula invertita per scrivere 3x4 \u003d 12. Tali esempi di divisione possono essere forniti all'infinito.

Esempi di divisione per 0

È qui che diventa un po' chiaro perché è impossibile dividere per zero. La moltiplicazione e la divisione per zero hanno le loro regole. Tutti gli esempi per divisione di questa quantità possono essere formulati come 6:0=x. Ma questa è un'espressione invertita dell'espressione 6 * x = 0. Ma, come sai, qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà al prodotto solo 0. Questa proprietà è insita nel concetto stesso di valore zero.

Si scopre che un tale numero, che, moltiplicato per 0, dà un valore tangibile, non esiste, cioè questo problema non ha soluzione. Non bisogna aver paura di una risposta del genere, è una risposta naturale per problemi di questo tipo. Scrivere solo 6:0 non ha alcun senso e non può spiegare nulla. In breve, questa espressione può essere spiegata con l'immortale "nessuna divisione per zero".

Esiste un'operazione 0:0? Infatti, se l'operazione di moltiplicazione per 0 è legale, lo zero può essere diviso per zero? Dopotutto, un'equazione della forma 0x5=0 è del tutto legale. Invece del numero 5, puoi inserire 0, il prodotto non cambierà da questo.

Infatti, 0x0=0. Ma non puoi ancora dividere per 0. Come detto, la divisione è solo l'inverso della moltiplicazione. Quindi, se nell'esempio 0x5=0, devi determinare il secondo fattore, otteniamo 0x0=5. O 10. O infinito. Dividere l'infinito per zero: come ti piace?

Ma se un numero qualsiasi rientra nell'espressione, allora non ha senso, non possiamo sceglierne uno da un insieme infinito di numeri. E se è così, significa che l'espressione 0:0 non ha senso. Si scopre che anche lo stesso zero non può essere diviso per zero.

matematica superiore

La divisione per zero è un grattacapo per la matematica del liceo. L'analisi matematica studiata nelle università tecniche amplia leggermente il concetto di problemi che non hanno soluzione. Ad esempio, all'espressione già nota 0:0, se ne aggiungono di nuove che non hanno soluzione nei corsi di matematica scolastica:

• infinito diviso infinito: ∞:∞;
• infinito meno infinito: ∞−∞;
• unità elevata a una potenza infinita: 1 ∞ ;
• infinito moltiplicato per 0: ∞*0;
• alcuni altri.

È impossibile risolvere tali espressioni con metodi elementari. Ma la matematica superiore, grazie a possibilità aggiuntive per un numero di esempi simili, fornisce soluzioni finali. Ciò è particolarmente evidente nella considerazione dei problemi della teoria dei limiti.

Divulgazione dell'incertezza

Nella teoria dei limiti, il valore 0 è sostituito da una variabile condizionale infinitesimale. E le espressioni in cui si ottiene la divisione per zero quando si sostituisce il valore desiderato vengono convertite. Di seguito è riportato un esempio standard di espansione limite utilizzando le solite trasformazioni algebriche:

Come puoi vedere nell'esempio, una semplice riduzione di una frazione porta il suo valore a una risposta completamente razionale.

Quando si considerano i limiti delle funzioni trigonometriche, le loro espressioni tendono a ridursi al primo limite notevole. Quando si considerano i limiti in cui il denominatore va a 0 quando il limite viene sostituito, viene utilizzato il secondo limite notevole.

Metodo L'Hôpital

In alcuni casi, i limiti delle espressioni possono essere sostituiti dal limite delle loro derivate. Guillaume Lopital - Matematico francese, fondatore della scuola francese di analisi matematica. Ha dimostrato che i limiti delle espressioni sono uguali ai limiti delle derivate di queste espressioni. In notazione matematica, la sua regola è la seguente.

Metodi per la risoluzione dei limiti. Incertezze.
Ordine di crescita delle funzioni. Metodo di sostituzione

Esempio 4

Trova il limite

Questo è un esempio più semplice per una soluzione fai-da-te. Nell'esempio proposto, ancora, incertezza (di un ordine di crescita superiore alla radice).

Se "x" tende a "meno infinito"

Il fantasma del "meno infinito" aleggia da tempo in questo articolo. Consideriamo limiti con polinomi in cui . I principi ei metodi di soluzione saranno esattamente gli stessi della prima parte della lezione, ad eccezione di alcune sfumature.

Considera 4 chip che saranno necessari per risolvere compiti pratici:

1) Calcola il limite

Il valore del limite dipende solo dal termine perché ha l'ordine di crescita più alto. Se poi modulo infinitamente grande numero negativo alla potenza di EVEN, in questo caso - nel quarto, è uguale a "più infinito": . Costante ("due") positivo, Ecco perché:

2) Calcola il limite

Ecco di nuovo la laurea Anche, Ecco perché: . Ma c'è un "meno" davanti ( negativo costante –1), quindi:

3) Calcola il limite

Il valore del limite dipende solo da . Come ricordi dalla scuola, "meno" "salta fuori" da sotto lo strano grado, quindi modulo infinitamente grande numero negativo ad una potenza DISPARI uguale a "meno infinito", in questo caso: .
Costante ("quattro") positivo, significa:

4) Calcola il limite

Il primo ragazzo del villaggio ha di nuovo strano grado, inoltre, nel seno negativo costante, che significa: Quindi:
.

Esempio 5

Trova il limite

Usando i punti precedenti, concludiamo che qui c'è incertezza. Il numeratore e il denominatore sono dello stesso ordine di crescita, il che significa che nel limite si otterrà un numero finito. Impariamo la risposta scartando tutti gli avannotti:

La soluzione è banale:

Esempio 6

Trova il limite

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E ora, forse il più sottile dei casi:

Esempio 7

Trova il limite

Considerando i termini senior, arriviamo alla conclusione che qui c'è incertezza. Il numeratore è di un ordine di crescita superiore al denominatore, quindi possiamo dire subito che il limite è infinito. Ma che tipo di infinito, "più" o "meno"? La ricezione è la stessa: nel numeratore e nel denominatore ci libereremo delle piccole cose:

Noi decidiamo:

Dividi il numeratore e il denominatore per

Esempio 15

Trova il limite

Questo è un esempio fai da te. Un esempio approssimativo di finitura alla fine della lezione.

Un altro paio di esempi interessanti sull'argomento della sostituzione delle variabili:

Esempio 16

Trova il limite

Sostituendo uno nel limite si ottiene incertezza. La sostituzione della variabile è già suggerita, ma prima convertiamo la tangente usando la formula. In effetti, perché abbiamo bisogno di una tangente?

Si noti che, quindi. Se non è del tutto chiaro, guarda i valori del seno in tavola trigonometrica. Pertanto, eliminiamo immediatamente il fattore , inoltre, otteniamo la più familiare incertezza 0:0. Sarebbe bello se anche il nostro limite tendesse a zero.

Sostituiamo:

Se poi

Sotto il coseno abbiamo "x", che deve essere espresso anche attraverso "te".
Dalla sostituzione esprimiamo: .

Completiamo la soluzione:

(1) Eseguire la sostituzione

(2) Espandi le parentesi sotto il coseno.

(4) Organizzare primo meraviglioso limite, moltiplica artificialmente il numeratore per e il reciproco di .

Compito per soluzione indipendente:

Esempio 17

Trova il limite

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Questi erano compiti semplici nella loro classe, in pratica tutto è peggio e, oltre a formule di riduzione, si deve usare diverso formule trigonometriche, così come altri trucchi. Nell'articolo Complex Limits, ho analizzato un paio di esempi reali =)

Alla vigilia delle vacanze, chiariremo finalmente la situazione con un'incertezza più comune:

Eliminazione dell'incertezza "uno alla potenza dell'infinito"

Questa incertezza è "servita" secondo meraviglioso limite, e nella seconda parte di quella lezione, abbiamo esaminato in dettaglio esempi standard di soluzioni che si trovano nella pratica nella maggior parte dei casi. Ora il quadro con gli espositori sarà completato, inoltre, i compiti finali della lezione saranno dedicati ai limiti-"trucchi" in cui sembra necessario applicare il 2o meraviglioso limite, anche se questo non è affatto il Astuccio.

Lo svantaggio delle due formule di lavoro del 2° limite notevole è che l'argomento deve tendere a "più infinito" oa zero. Ma cosa succede se l'argomento tende a un numero diverso?

Viene in soccorso la formula universale (che in realtà è una conseguenza del secondo limite notevole):

L'incertezza può essere eliminata dalla formula:

Da qualche parte ho già spiegato cosa significano le parentesi quadre. Niente di speciale, le parentesi sono solo parentesi. Di solito sono usati per evidenziare chiaramente una notazione matematica.

Evidenziamo i punti essenziali della formula:

1) Si tratta di solo sull'incertezza e nient'altro.

2) L'argomento "x" può tendere a valore arbitrario(e non solo a zero o ), in particolare, a "meno infinito" oa chiunque numero finale.

Usando questa formula, puoi risolvere tutti gli esempi della lezione Limiti notevoli, che appartengono al 2° meraviglioso limite. Ad esempio, calcoliamo il limite:

In questo caso , e secondo la formula :

È vero, non ti consiglio di farlo, nella tradizione usi ancora il "solito" design della soluzione, se può essere applicato. Tuttavia usare la formula è molto comodo da controllare esempi "classici" al 2° meraviglioso limite.

Molto spesso, molte persone si chiedono perché sia ​​\u200b\u200bimpossibile utilizzare la divisione per zero? In questo articolo, entreremo nei dettagli sull'origine di questa regola e su quali azioni possono essere eseguite con zero.

In contatto con

Zero può essere definito uno dei numeri più interessanti. Questo numero non ha significato, significa vuoto nel vero senso della parola. Tuttavia, se metti zero accanto a qualsiasi cifra, il valore di questa cifra diventerà molte volte più grande.

Il numero è di per sé molto misterioso. Era usato dall'antico popolo Maya. Per i Maya, zero significava "inizio", e anche il conto alla rovescia dei giorni del calendario iniziava da zero.

Un fatto molto interessante è che il segno di zero e il segno di incertezza erano simili per loro. Con questo, i Maya volevano dimostrare che lo zero è lo stesso identico segno dell'incertezza. In Europa, la designazione di zero è apparsa relativamente di recente.

Inoltre, molte persone conoscono il divieto associato allo zero. Chiunque lo dirà non può essere diviso per zero. Questo viene detto dagli insegnanti a scuola e i bambini di solito lo credono sulla parola. Di solito, i bambini o semplicemente non sono interessati a saperlo, oppure sanno cosa succederà se, sentendo un divieto importante, chiedono immediatamente "Perché non puoi dividere per zero?". Ma quando invecchi, l'interesse si risveglia e vuoi saperne di più sui motivi di tale divieto. Tuttavia, ci sono prove ragionevoli.

Azioni con zero

Per prima cosa devi determinare quali azioni possono essere eseguite con zero. Esistere diversi tipi di attività:

• Aggiunta;
• Moltiplicazione;
• Sottrazione;
• Divisione (zero per numero);
• Esponenziamento.

Importante! Se durante l'addizione viene aggiunto zero a qualsiasi numero, questo numero rimarrà lo stesso e non cambierà il suo valore numerico. La stessa cosa accade se sottrai zero da qualsiasi numero.

Con la moltiplicazione e la divisione, le cose sono un po' diverse. Se moltiplicare qualsiasi numero per zero, allora anche il prodotto diventerà zero.

Considera un esempio:

Scriviamo questo come aggiunta:

Ci sono cinque zeri aggiunti in totale, quindi risulta che

Proviamo a moltiplicare uno per zero. Anche il risultato sarà nullo.

Lo zero può anche essere diviso per qualsiasi altro numero diverso da esso. In questo caso, risulterà, il cui valore sarà anche zero. La stessa regola si applica ai numeri negativi. Se dividi zero per un numero negativo, ottieni zero.

Puoi anche aumentare qualsiasi numero a potenza nulla. In questo caso ottieni 1. È importante ricordare che l'espressione "zero to zero power" è assolutamente priva di significato. Se provi ad elevare zero a qualsiasi potenza, ottieni zero. Esempio:

Usiamo la regola della moltiplicazione, otteniamo 0.

È possibile dividere per zero

Quindi, qui arriviamo alla domanda principale. È possibile dividere per zero affatto? E perché è impossibile dividere un numero per zero, dato che tutte le altre operazioni con zero esistono e si applicano pienamente? Per rispondere a questa domanda, devi rivolgerti alla matematica superiore.

Iniziamo con la definizione del concetto, cos'è zero? Gli insegnanti scolastici affermano che zero non è niente. Vuoto. Cioè, quando dici che hai 0 penne, significa che non hai affatto penne.

Nella matematica superiore, il concetto di "zero" è più ampio. Non significa affatto vuoto. Qui, zero si chiama incertezza, perché se fai una piccola ricerca, si scopre che dividendo zero per zero, possiamo ottenere qualsiasi altro numero come risultato, che potrebbe non essere necessariamente zero.

Sai che quelle semplici operazioni aritmetiche che hai studiato a scuola non sono così uguali tra loro? I passaggi più basilari sono addizione e moltiplicazione.

Per i matematici i concetti di "" e "sottrazione" non esistono. Supponiamo: se tre vengono sottratti da cinque, ne rimarranno due. Questo è l'aspetto della sottrazione. Tuttavia, i matematici lo scriverebbero in questo modo:

Quindi, si scopre che la differenza sconosciuta è un certo numero che deve essere aggiunto a 3 per ottenere 5. Cioè, non è necessario sottrarre nulla, devi solo trovare un numero adatto. Questa regola si applica all'addizione.

Le cose sono un po' diverse con regole di moltiplicazione e divisione.È noto che la moltiplicazione per zero porta a zero risultati. Ad esempio, se 3:0=x, se capovolgi il record, ottieni 3*x=0. E il numero che viene moltiplicato per 0 darà zero nel prodotto. Si scopre che un numero che darebbe qualsiasi valore diverso da zero nel prodotto con zero non esiste. Ciò significa che la divisione per zero non ha senso, cioè si adatta alla nostra regola.

Ma cosa succede se provi a dividere zero per se stesso? Prendiamo x come un numero indefinito. Risulta l'equazione 0 * x \u003d 0. Può essere risolto.

Se proviamo a prendere zero invece di x, otteniamo 0:0=0. Sembrerebbe logico? Ma se proviamo a prendere qualsiasi altro numero invece di x, ad esempio 1, allora otteniamo 0:0=1. La stessa situazione sarà se prendi qualsiasi altro numero e inserirlo nell'equazione.

In questo caso, risulta che possiamo prendere qualsiasi altro numero come fattore. Il risultato sarà un numero infinito di numeri diversi. A volte, tuttavia, la divisione per 0 nella matematica superiore ha senso, ma di solito c'è una certa condizione grazie alla quale possiamo ancora scegliere un numero adatto. Questa azione è chiamata "divulgazione dell'incertezza". Nell'aritmetica ordinaria, la divisione per zero perderà nuovamente il suo significato, poiché non saremo in grado di scegliere nessun numero dall'insieme.

Importante! Lo zero non può essere diviso per zero.

Zero e infinito

L'infinito è molto comune nella matematica superiore. Poiché semplicemente non è importante per gli scolari sapere che esistono ancora operazioni matematiche con l'infinito, gli insegnanti non possono spiegare adeguatamente ai bambini perché è impossibile dividere per zero.

Gli studenti iniziano ad apprendere i segreti matematici di base solo nel primo anno dell'istituto. La matematica superiore fornisce una vasta gamma di problemi che non hanno soluzione. I problemi più famosi sono i problemi con l'infinito. Possono essere risolti con analisi matematica.

Puoi anche applicare all'infinito operazioni matematiche elementari: addizione, moltiplicazione per un numero. Anche la sottrazione e la divisione sono comunemente usate, ma alla fine si riducono ancora a due semplici operazioni.

Ma cosa farà se provi:

• Moltiplica l'infinito per zero. In teoria, se proviamo a moltiplicare qualsiasi numero per zero, otterremo zero. Ma l'infinito è un insieme indefinito di numeri. Poiché non possiamo scegliere un numero da questo insieme, l'espressione ∞*0 non ha soluzione ed è assolutamente priva di significato.
• Zero diviso infinito. Questa è la stessa storia di cui sopra. Non possiamo scegliere un numero, il che significa che non sappiamo per cosa dividere. L'espressione non ha senso.

Importante! L'infinito è un po' diverso dall'incertezza! L'infinito è un tipo di incertezza.

Ora proviamo a dividere l'infinito per zero. Sembrerebbe che ci dovrebbe essere incertezza. Ma se proviamo a sostituire la divisione con la moltiplicazione, otteniamo una risposta molto precisa.

Ad esempio: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Risulta così paradosso matematico.

Perché non puoi dividere per zero

Esperimento mentale, prova a dividere per zero

Produzione

Quindi, ora sappiamo che lo zero è soggetto a quasi tutte le operazioni eseguite con, tranne una sola. Non puoi dividere per zero solo perché il risultato è incertezza. Abbiamo anche imparato a operare sullo zero e sull'infinito. Il risultato di tali azioni sarà l'incertezza.

La derivata della funzione non cade lontano e, nel caso delle regole di L'Hopital, cade esattamente dove cade la funzione originaria. Questa circostanza aiuta a rivelare incertezze della forma 0/0 o ∞/∞ e alcune altre incertezze che sorgono nel calcolo limite rapporto di due funzioni infinitesimali o infinitamente grandi. Il calcolo è notevolmente semplificato da questa regola (in realtà due regole e note su di esse):

Come mostra la formula sopra, quando si calcola il limite del rapporto di due funzioni infinitesimali o infinitamente grandi, il limite del rapporto di due funzioni può essere sostituito dal limite del rapporto delle loro derivati e quindi ottenere un certo risultato.

Passiamo a formulazioni più precise delle regole de L'Hopital.

Regola di L'Hopital per il caso del limite di due valori infinitamente piccoli. Lasciamo le funzioni f(X) e g(X un. E proprio al punto un un funzione derivata g(X) non è uguale a zero ( g"(X un sono uguali tra loro e uguali a zero:

.

Regola di L'Hôpital per il caso del limite di due quantità infinitamente grandi. Lasciamo le funzioni f(X) e g(X) hanno derivate (cioè sono differenziabili) in qualche intorno del punto un. E proprio al punto un possono o meno avere derivati. Inoltre, in prossimità del punto un funzione derivata g(X) non è uguale a zero ( g"(X)≠0 ) ei limiti di queste funzioni come x tende al valore della funzione nel punto un sono uguali tra loro e uguali all'infinito:

.

Quindi il limite del rapporto di queste funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate:

In altre parole, per incertezze della forma 0/0 o ∞/∞, il limite del rapporto di due funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate, se quest'ultimo esiste (finito, cioè uguale a un certo numero, o infinito, cioè uguale all'infinito).

Osservazioni.

1. Le regole de L'Hopital si applicano anche quando le funzioni f(X) e g(X) non sono definiti in X = un.

2. Se, quando si calcola il limite del rapporto delle derivate delle funzioni f(X) e g(X) arriviamo nuovamente a un'incertezza della forma 0/0 o ∞/∞, allora le regole di L'Hopital dovrebbero essere applicate ripetutamente (almeno due volte).

3. Le regole di L'Hopital sono applicabili anche quando l'argomento delle funzioni (x) tende a un numero non finito un, e all'infinito ( X → ∞).

Le incertezze di altro tipo possono anche essere ridotte a incertezze del tipo 0/0 e ∞/∞.

Divulgazione delle incertezze del tipo "zero diviso zero" e "infinito diviso infinito"

Esempio 1

X=2 porta a un'indeterminatezza della forma 0/0. Pertanto, la derivata di ciascuna funzione e otteniamo

Al numeratore è stata calcolata la derivata del polinomio e al denominatore - derivata di una funzione logaritmica complessa. Prima dell'ultimo segno uguale, il solito limite, sostituendo un due invece di x.

Esempio 2 Calcola il limite del rapporto tra due funzioni usando la regola di L'Hospital:

Decisione. Sostituzione in una data funzione di valore X

Esempio 3 Calcola il limite del rapporto tra due funzioni usando la regola di L'Hospital:

Decisione. Sostituzione in una data funzione di valore X=0 porta a un'indeterminatezza della forma 0/0. Pertanto, calcoliamo le derivate delle funzioni al numeratore e al denominatore e otteniamo:

Esempio 4 Calcolare

Decisione. Sostituendo il valore di x uguale a più infinito in una data funzione si ottiene un'indeterminatezza della forma ∞/∞. Pertanto, applichiamo la regola di L'Hopital:

Commento. Passiamo agli esempi in cui la regola de L'Hopital va applicata due volte, cioè per arrivare al limite del rapporto delle derivate seconde, poiché il limite del rapporto delle derivate prime è un'incertezza della forma 0/0 o ∞/∞.

Divulgazione delle incertezze della forma "zero moltiplicato per infinito"

Esempio 12. Calcolare

.

Decisione. Noi abbiamo

Questo esempio utilizza l'identità trigonometrica.

Divulgazione di incertezze dei tipi "zero alla potenza di zero", "infinito alla potenza di zero" e "uno alla potenza di infinito"

Le incertezze della forma , o sono solitamente ridotte alla forma 0/0 o ∞/∞ utilizzando il logaritmo di una funzione della forma

Per calcolare il limite dell'espressione, si dovrebbe usare l'identità logaritmica, un caso speciale del quale è la proprietà del logaritmo .

Usando l'identità logaritmica e la proprietà di continuità della funzione (per andare oltre il segno del limite), il limite dovrebbe essere calcolato come segue:

Separatamente, si dovrebbe trovare il limite dell'espressione nell'esponente e costruire e al grado trovato.

Esempio 13

Decisione. Noi abbiamo

.

.

Esempio 14 Calcola usando la regola di L'Hopital

Decisione. Noi abbiamo

Calcolare il limite dell'espressione nell'esponente

.

.

Esempio 15 Calcola usando la regola di L'Hopital

Se un numero è diviso per infinito, il quoziente tende a zero? Ha continuato all'interno e ha ottenuto una risposta migliore

Risposta da Olenka[principiante]
tutti 0
Corteccia di Krab
Oracolo
(56636)
No. Zero esatto. Poiché il divisore tende all'infinito, il quoziente tende a zero. E, se dividiamo non per un numero che tende all'infinito, ma per l'infinito stesso (a proposito, per essere più precisi, non è affatto ufficialmente considerato un numero, ma è considerato un simbolo speciale che integra le designazioni dei numeri) - esattamente zero.

Risposta da Jugeus Vladimir[guru]
Anche dividendo zero, anche moltiplicando per qualsiasi numero, sarà comunque zero!

Risposta da 1 23 [guru]
se qualche merda tende a zero, moltiplicarlo per qualcosa di finito (un numero o una funzione limitata) è indolore, perché tutto-rna tende a zero.
ma se lo moltiplichi per qualcosa che tende all'infinito, allora potrebbero esserci delle opzioni.

Risposta da Corteccia di Krab[guru]
Dividendo qualsiasi numero per infinito si ottiene zero. Zero esatto, niente "andare a zero". E poi, per qualsiasi numero lo moltiplichi, zero. E il risultato della divisione zero per qualsiasi numero diverso da zero sarà zero, solo quando si divide zero per zero, il risultato non è definito, qualsiasi numero sarà adatto come quoziente.