Argomento della lezione: Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali.

Grado 9

Obiettivi della lezione:

    Didattico: far conoscere agli studenti addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni nel sistema binario e condurre una pratica primaria dell'abilità di eseguire queste azioni.

    Educativo: sviluppare l'interesse degli studenti per l'apprendimento di cose nuove, mostrare la possibilità di un approccio non standard ai calcoli.

    Sviluppando: sviluppare l'attenzione, il rigore di pensiero, la capacità di ragionare.

Struttura della lezione.

    momento dell'orgasmo -1 minuto.

    Controllare i compiti con una prova orale -15 minuti.

    Compiti a casa -2 minuti.

    Risoluzione dei problemi con analisi simultanea e sviluppo indipendente del materiale -25 min.

    Riassumendo la lezione -2 minuti.

DURANTE LE LEZIONI

    Momento organizzativo.

    Controllo dei compiti (prova orale) .

L'insegnante legge le domande in sequenza. Gli studenti ascoltano attentamente la domanda senza scriverla. Viene registrata solo la risposta, e molto brevemente. (Se è possibile rispondere con una parola, viene registrata solo questa parola).

    Che cos'è un sistema numerico? (-questo è un sistema di segni in cui i numeri sono scritti secondo determinate regole usando i caratteri di un alfabeto chiamato numeri )

    Quali sistemi numerici conosci?( non posizionale e posizionale )

    Quale sistema è chiamato non posizionale? (SCH si dice non posizionale se l'equivalente quantitativo (valore quantitativo) di una cifra in un numero non dipende dalla sua posizione nella notazione del numero ).

    Qual è la base dell'SSC posizionale. (uguale al numero di cifre che compongono il suo alfabeto )

    Quale operazione matematica dovrebbe essere utilizzata per convertire un numero intero da un NSC decimale a qualsiasi altro? (divisione )

    Cosa è necessario fare per convertire un numero da decimale a binario? (Dividi costantemente per 2 )

    Quante volte diminuirà il numero 11.1 2 quando si sposta la virgola di un carattere a sinistra? (2 volte )

Ora ascoltiamo un verso su una ragazza straordinaria e rispondiamo alle domande. (Suona come un verso )

RAGAZZA STRAORDINARIA

Aveva mille e cento anni
Andò alla centounesima classe,
Ho portato un centinaio di libri nel mio portafoglio.
Tutto questo è vero, non una sciocchezza.

Quando, spolverando con una dozzina di piedi,
Ha camminato lungo la strada.
Era sempre seguita da un cucciolo
Con una coda, ma con cento zampe.

Ha catturato ogni suono
Con dieci orecchie
E dieci mani abbronzate
Tenevano una valigetta e un guinzaglio.

E dieci occhi blu scuro
Considerato abitualmente il mondo,
Ma tutto diventerà abbastanza normale,
Quando capisci la mia storia.

/ N. Starikov /

E quanti anni aveva la ragazza? (12 anni ) In che classe è andata? (5 ° grado ) Quante braccia e gambe aveva? (2 braccia, 2 gambe ) Come fa un cucciolo ad avere 100 zampe? (4 zampe )

Dopo aver completato la prova, le risposte vengono pronunciate ad alta voce dagli studenti stessi, viene effettuato un autoesame e gli studenti si danno dei voti.

Criterio:

    10 risposte corrette (forse un piccolo difetto) - “5”;

    9 o 8 - “4”;

    7, 6 – “3”;

    il resto sono "2".

II. Compiti a casa (2 minuti)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Lavorare con nuovo materiale

Operazioni aritmetiche nel sistema binario.

L'aritmetica del sistema numerico binario si basa sull'uso di tabelle di addizione, sottrazione e moltiplicazione di cifre. Gli operandi aritmetici si trovano nella riga superiore e nella prima colonna delle tabelle e i risultati si trovano all'intersezione di colonne e righe:

0

1

1

1

Aggiunta.

La tabella di addizione binaria è estremamente semplice. Solo in un caso, quando viene eseguita l'addizione 1 + 1, si verifica un trasferimento al bit più significativo.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Sottrazione.

Quando si esegue un'operazione di sottrazione, un numero più piccolo viene sempre sottratto da un numero maggiore in valore assoluto e viene inserito il segno corrispondente. Nella tabella di sottrazione, un 1 con una barra indica un prestito di ordine elevato. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Moltiplicazione

L'operazione di moltiplicazione viene eseguita utilizzando la tabella di moltiplicazione secondo lo schema abituale utilizzato nel sistema dei numeri decimali con moltiplicazione successiva del moltiplicatore per la cifra successiva del moltiplicatore. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

La moltiplicazione è ridotta a spostamenti del moltiplicando e addizioni.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Riassumendo la lezione

Carta per il lavoro aggiuntivo degli studenti.

Eseguire operazioni aritmetiche:

R) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Aggiunta. L'aggiunta di numeri nel sistema di numeri binari si basa sulla tabella di addizione di numeri binari a una cifra (Tabella 6).

È importante prestare attenzione al fatto che quando si aggiungono due unità, viene effettuato un trasferimento alla cifra più alta. Ciò accade quando il valore di un numero diventa uguale o maggiore della base del sistema numerico.

L'aggiunta di numeri binari multi-bit viene eseguita in conformità con la tabella di addizione sopra, tenendo conto dei possibili trasferimenti da cifre inferiori a cifre superiori. Ad esempio, aggiungiamo numeri binari in una colonna:

Verifichiamo la correttezza dei calcoli mediante addizione nel sistema dei numeri decimali. Convertiamo i numeri binari nel sistema numerico decimale e aggiungiamoli:

Sottrazione. La sottrazione di numeri binari si basa sulla tabella di sottrazione di numeri binari a una cifra (Tabella 7).

Quando si sottrae da un numero più piccolo (0) uno più grande (1), viene effettuato un prestito dall'ordine più alto. Nella tabella il prestito è indicato da 1 con una barra.

La sottrazione di numeri binari a più cifre viene implementata secondo questa tabella, tenendo conto di possibili prestiti in cifre di ordine elevato.

Ad esempio, sottraiamo i numeri binari:

Moltiplicazione. La moltiplicazione si basa sulla tabella di moltiplicazione dei numeri binari a una cifra (Tabella 8).

La moltiplicazione di numeri binari a più cifre viene eseguita secondo questa tabella di moltiplicazione secondo lo schema abituale utilizzato nel sistema dei numeri decimali, con moltiplicazione successiva del moltiplicatore per la cifra successiva del moltiplicatore. Considera un esempio di moltiplicazione binaria

Esempio 1. Trova X se Per trasformare il lato sinistro dell'uguaglianza, utilizziamo successivamente la legge di de Morgan per l'addizione logica e la legge della doppia negazione: Secondo la legge distributiva per l'addizione logica: Secondo la legge di eliminazione del terzo e la legge dell'eliminazione costante: uguaglia il lato sinistro risultante con il destro: X \u003d B Infine, otteniamo: X = B. Esempio 2. Semplifica l'espressione logica Verifica la correttezza della semplificazione usando le tavole di verità per la logica originale e risultante espressione. Secondo la legge dell'inversione generale per l'addizione logica (prima legge di de Morgan) e la legge della doppia negazione: Secondo la legge distributiva (distributiva) per l'addizione logica: Secondo la legge di contraddizione: Secondo la legge di idempotenza Sostituiamo i valori e, usando la legge commutativa (commutativa) e raggruppando i termini, otteniamo: Secondo la legge di esclusione (incollaggio) Sostituisci i valori e otteniamo: Secondo la legge di esclusione delle costanti per addizione logica e la legge di idempotenza: Sostituisci i valori e ottieni: Secondo la legge distributiva (distributiva) per la moltiplicazione logica: Secondo la legge di eliminazione del mezzo: Sostituisci i valori e infine ottieni: 2 I fondamenti logici di un computer Un convertitore discreto che, dopo aver elaborato i segnali binari di ingresso, emette un segnale in uscita, che è il valore di una delle operazioni logiche, è chiamato elemento logico. Di seguito sono riportati i simboli (schemi) degli elementi logici di base che implementano la moltiplicazione logica (congiuntore), l'addizione logica (disgiuntore) e la negazione (invertitore). Riso. 3.1. Congiuntore, disgiuntore e inverter I dispositivi informatici (sommatori nel processore, celle di memoria nella RAM, ecc.) sono costruiti sulla base di elementi logici di base. Esempio 3. Sulla base della funzione logica data F(A, B) = =B&AÚB&A, costruisci un circuito logico. La costruzione deve iniziare con un'operazione logica, che deve essere eseguita per ultima. In questo caso, tale operazione è un'aggiunta logica, quindi deve esserci un disgiuntore all'uscita del circuito logico. I segnali gli vengono inviati da due congiuntori, ai quali, a sua volta, un segnale di ingresso è normale e uno invertito (dagli inverter). Esempio 4. Il circuito logico ha due ingressi X e Y. Determinare le funzioni logiche F1(X,Y) e F2(X,Y) implementate alle sue due uscite. La funzione F1(X,Y) è implementata all'uscita del primo congiuntore, cioè F1(X,Y) = X&Y. Allo stesso tempo, il segnale del congiuntore viene inviato all'ingresso dell'inverter, all'uscita del quale viene realizzato il segnale X&Y, che, a sua volta, viene inviato a uno degli ingressi del secondo congiuntore. Il segnale Xv Y dal disgiuntore viene inviato all'altro ingresso del secondo congiuntore, quindi la funzione F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Considera lo schema di somma di due numeri binari di n bit. Quando si aggiungono le cifre della cifra i-ro, vengono aggiunti ai e bi, oltre a Pi-1, un trasferimento dalla cifra i-1. Il risultato sarà st - la somma e Pi - il trasferimento all'ordine superiore. Pertanto, un sommatore binario a un bit è un dispositivo con tre ingressi e due uscite. Esempio 3.15. Costruisci una tabella di verità per un sommatore binario a un bit usando la tabella di addizione binaria. Grilletto. I trigger vengono utilizzati per memorizzare informazioni nella RAM del computer, nonché nei registri interni del processore. Il trigger può trovarsi in uno dei due stati stabili, che consentono di ricordare, archiviare e leggere 1 bit di informazioni. Il trigger più semplice è il trigger .RS. Si compone di due porte OR-NOT che implementano la funzione logica F9 (vedi tabella 3.1). Gli ingressi e le uscite degli elementi sono collegati da un anello: l'uscita del primo è collegata all'ingresso del secondo e l'uscita del secondo è collegata all'ingresso del primo. Il trigger ha due ingressi S (dall'inglese set - installazione) e I (dall'inglese reset - reset) e due uscite Q (diretta) e Q (inversa). Riso. 2 Logica flip-flop RS Esempio 3.16. Costruire una tabella che descrive lo stato degli ingressi e delle uscite del flip-flop RS. Se gli ingressi ricevono i segnali R = 0 e S = 0, allora il trigger è in modalità di memorizzazione, le uscite Q e Q mantengono i valori precedentemente impostati. Se un segnale 1 viene fornito all'ingresso di impostazione S per un breve periodo, il trigger passa allo stato 1 e dopo che il segnale all'ingresso S diventa uguale a 0, il trigger salverà questo stato, ovvero memorizzerà 1. Quando viene applicato 1 all'ingresso R, il trigger andrà allo stato 0. L'applicazione di uno logico a entrambi gli ingressi S e R può portare a un risultato ambiguo, quindi questa combinazione di segnali di ingresso è vietata. Compiti per l'autorealizzazione 1. Ci sono 16 funzioni logiche di due variabili (vedi tabella 3.1). Costruisci i loro circuiti logici utilizzando elementi logici di base: congiuntore, disgiuntore e invertitore. 2. Dimostrare che il circuito logico considerato nell'Esempio 3.10 è un semi sommatore binario a un bit (non si tiene conto del riporto dal bit meno significativo). 3. Dimostrare, costruendo una tavola di verità, che la funzione logica Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) determina il trasferimento al bit più alto quando si sommano numeri binari (A e B sono termini, Po è un riporto dal bit meno significativo). 4. Dimostrare costruendo una tavola di verità che la funzione logica S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) determina la somma quando si sommano numeri binari (A e B sono termini, Po è un riporto dal bit meno significativo). 5. Costruisci un circuito logico di un sommatore binario a bit singolo. Quante porte di base sono necessarie per implementare un sommatore binario a 64 bit? 6. Quanti elementi logici di base formano la RAM di un moderno computer con una capacità di 64 MB? 1. Annotare i numeri in forma estesa: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Annota i seguenti numeri in forma piegata: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. I numeri sono scritti correttamente nei corrispondenti sistemi numerici: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) LA8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Qual è la base minima del sistema numerico se vi sono scritti i numeri 127, 222, 111? Determinare l'equivalente decimale di questi numeri nel sistema numerico trovato. 5. Qual è l'equivalente decimale dei numeri 101012, 101018 1010116? 6. Un numero decimale di tre cifre termina con il numero 3. Se questa cifra viene spostata di due cifre a sinistra, cioè da essa inizierà la registrazione di un nuovo numero, allora questo nuovo numero sarà uno in più del triplo numero originale. Trova il numero originale. 2.22 Un numero decimale di sei cifre inizia a sinistra con il numero 1. Se questa cifra viene trasferita dal primo posto a sinistra all'ultimo posto a destra, il valore del numero formato sarà tre volte l'originale . Trova il numero originale. 2.23 Quale dei numeri 1100112, 1114, 358 e 1B16 è: a) il più grande; b) il minimo? 2.27 Esiste un triangolo le cui lunghezze dei lati sono espresse dai numeri 12g, 1116 e 110112? 2.28 Qual è il numero decimale più grande che può essere scritto come tre cifre nei sistemi di numeri binari, ottali ed esadecimali? 2.29 Domande "non serie". Quando è 2x2=100? Quando è 6x6=44? Quando è 4x4=20? 2.30. Annotare i numeri decimali interi appartenenti ai seguenti intervalli numerici: a) ; b) ; in) . 2.31 Ci sono 11112 ragazze e 11002 ragazzi nella classe. Quanti studenti ci sono in classe? 2.32 Ci sono 36d studenti nella classe, di cui 21q sono ragazze e 15q sono ragazzi. Quale sistema di numerazione è stato utilizzato per contare gli studenti? 2. 33. Nel giardino sono presenti 100q di alberi da frutto, di cui 33q di meli, 22q di peri, 16q di prugne e 5q di ciliegie. In quale sistema numerico vengono contati gli alberi? 2.34 C'erano 100 q di mele. Dopo che ognuno di loro è stato tagliato a metà, c'erano 1000q di metà. Nel sistema numerico, con quale base veniva tenuto il conto? 2.35 Ho 100 fratelli. Il più giovane ha 1000 anni e quello più vecchio 1111 anni. Il maggiore studia nella classe 1001. Potrebbe essere questo? 2.36 C'era una volta uno stagno al centro del quale cresceva una sola foglia di ninfea. Ogni giorno il numero di tali foglie raddoppiava e il decimo giorno l'intera superficie dello stagno era già piena di foglie di giglio. Quanti giorni ci sono voluti per riempire metà dello stagno di foglie? Quante foglie c'erano dopo il nono giorno? 2.37 Selezionando le potenze del numero 2, che si sommano a un dato numero, convertire i seguenti numeri nel sistema numerico binario: a) 5; alle 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Verificare la correttezza della traduzione utilizzando il programma Advanced Converter. 2.3. Traduzione dei numeri da un sistema numerico all'altro 2.3.1. Conversione di interi da un sistema numerico a un altro Possiamo formulare un algoritmo per convertire interi da un sistema con base p a un sistema con base q: 1. Esprimere la base del nuovo sistema numerico in termini di cifre del sistema numerico originale e eseguire tutte le azioni successive nel sistema di numerazione originale. 2. Eseguire costantemente la divisione del numero dato e dei quozienti interi risultanti in base al nuovo sistema numerico fino a ottenere un quoziente inferiore al divisore. 3. I resti risultanti, che sono le cifre di un numero nel nuovo sistema numerico, vengono allineati con l'alfabeto del nuovo sistema numerico. 4. Comporre un numero nel nuovo sistema numerico, annotandolo partendo dall'ultimo resto. Esempio 2.12 Convertire il numero decimale 17310 in ottale: ■ Otteniamo: 17310=2558. Esempio 2.13 Convertire il numero decimale 17310 nel sistema numerico esadecimale: - Otteniamo: 17310=AD16. Esempio 2.14 Converti il ​​numero decimale 1110 in un sistema di numeri binari. Otteniamo: 111O=10112. Esempio 2.15 A volte è più conveniente scrivere l'algoritmo di traduzione sotto forma di tabella. Convertiamo il numero decimale 36310 in un numero binario. 2.3.2. Conversione di numeri frazionari da un sistema numerico a un altro Possiamo formulare un algoritmo per convertire una frazione propria con base p in una frazione con base q: 1. Esprimere la base del nuovo sistema numerico in termini di cifre del sistema numerico originale e eseguire tutte le azioni successive nel sistema di numerazione originale. 2. Moltiplicare in sequenza il numero dato e le parti frazionarie risultanti dei prodotti sulla base del nuovo sistema fino a quando la parte frazionaria del prodotto diventa uguale a zero o viene raggiunta l'accuratezza richiesta per la rappresentazione del numero. 3. Le parti intere risultanti dei prodotti, che sono le cifre di un numero nel nuovo sistema di numerazione, devono essere allineate con l'alfabeto del nuovo sistema di numerazione. 4. Componi la parte frazionaria del numero nel nuovo sistema numerico, iniziando dalla parte intera del primo prodotto. Esempio 2.16. Converti 0,6562510 in un sistema di numeri ottali. Esempio 2.17. Converti il ​​numero 0.6562510 nel sistema numerico esadecimale. Esempio 2.18. Converti 0,562510 decimale in sistema di numeri binari. Esempio 2.19 Convertire la frazione decimale 0.710 in binario. Ovviamente, questo processo può continuare all'infinito, dando sempre più nuovi segni nell'immagine dell'equivalente binario del numero 0,710. Quindi, in quattro passaggi otteniamo il numero 0,10112 e in sette passaggi otteniamo il numero 0,10110012, che è una rappresentazione più accurata del numero 0,710 in binario e così via. Tale processo infinito viene interrotto ad un certo punto, quando si ritiene che sia stata ottenuta l'accuratezza richiesta della rappresentazione del numero. 2.3.3. Traduzione di numeri arbitrari La traduzione di numeri arbitrari, cioè numeri contenenti parti intere e frazionarie, avviene in due fasi. La parte intera viene tradotta separatamente, la parte frazionaria viene tradotta separatamente. Nel record finale del numero risultante, la parte intera è separata dalla virgola frazionaria. Esempio 2.20 Convertire il numero 17.2510 nel sistema numerico binario. Traduciamo la parte intera: Traduciamo la parte frazionaria: Esempio 2.21. Converti il ​​numero 124.2510 in ottale. 2.3.4. Traduzione di numeri da un sistema numerico con base 2 a un sistema numerico con base 2n e viceversa Traduzione di interi - Se la base del sistema numerico q-ary è una potenza di 2, allora la conversione dei numeri da q-ary sistema numerico in binario e viceversa può essere eseguito utilizzando regole più semplici. Per scrivere un intero binario in un sistema numerico con base q \u003d 2 ", è necessario: 1. Dividere il numero binario da destra a sinistra in gruppi di n cifre ciascuno. 2. Se l'ultimo gruppo a sinistra contiene meno di n cifre, allora deve 3. Considera ogni gruppo come un numero binario di n bit e scrivilo come cifra corrispondente nel sistema numerico con base q = 2n Esempio 2.22 Converti il ​​numero 1011000010001100102 nel sistema numerico ottale. Dividiamo il numero da destra a sinistra in triadi e scriviamo la cifra ottale corrispondente sotto ciascuna di esse: Otteniamo la rappresentazione ottale del numero originale: 5410628. Esempio 2.23. Convertiamo il numero 100000000011111100001112 nel sistema numerico esadecimale. Dividiamo il numero da destra a sinistra in tetradi e scriviamo la cifra esadecimale corrispondente sotto ciascuna di esse: Otteniamo la rappresentazione esadecimale del numero originale: 200F8716. Traduzione di numeri frazionari. Per scrivere un numero binario frazionario in un sistema numerico con base q \u003d 2 ", è necessario: 1. Dividere il numero binario da sinistra a destra in gruppi di n cifre ciascuno. 2. Se l'ultimo gruppo a destra contiene meno di n cifre, quindi è 3. Considera ogni gruppo come un numero binario di n cifre e scrivilo con la cifra corrispondente nel sistema numerico con base q \u003d 2n Esempio 2.24 a destra in triadi e sotto ciascuna di esse scriviamo la cifra ottale corrispondente: Otteniamo la rappresentazione ottale del numero originale: 0.5428 Esempio 2.25 Traduciamo il numero 0.10000000000112 nel sistema numerico esadecimale Dividiamo il numero da sinistra a destra in tetradi e scrivi sotto ciascuna di esse la cifra esadecimale corrispondente: Ottieni l'esadecimale rappresentazione del numero originale: 0,80316. scrivi un numero binario in un sistema numerico con base q - 2n, hai bisogno di: [ 1. Dividi la parte intera di questo numero binario da destra a sinistra e la parte frazionaria da sinistra a destra in gruppi di n cifre ciascuno. 2. Se negli ultimi gruppi a sinistra e/oa destra sono presenti meno di n cifre, è necessario integrarle a sinistra e/oa destra con zeri fino al numero di cifre richiesto. 3. Considera ogni gruppo come un numero binario di n bit e scrivilo come la cifra corrispondente nel sistema numerico con base q = 2p. Esempio 2.26 Traduciamo il numero 111100101.01112 nel sistema dei numeri ottali. Dividiamo la parte intera e frazionaria del numero in triadi e scriviamo la cifra ottale corrispondente sotto ciascuna di esse: Otteniamo la rappresentazione ottale del numero originale: 745.34S. Esempio 2.27 Traduciamo il numero 11101001000,110100102 nel sistema numerico esadecimale. Dividiamo la parte intera e frazionaria del numero in tetradi e scriviamo la cifra esadecimale corrispondente sotto ciascuna di esse: Otteniamo la rappresentazione esadecimale del numero originale: 748,D216. Traduzione di numeri da sistemi numerici con base q \u003d 2p in un sistema binario Affinché un numero arbitrario scritto in un sistema numerico con base q \u003d 2 possa essere convertito in un sistema numerico binario, è necessario sostituire ogni cifra di questo numero con il suo equivalente di n cifre nel sistema di numeri binari. Esempio 2.28. Traduciamo il numero esadecimale 4AC351b nel sistema numerico binario. In accordo con l'algoritmo: i Otteniamo: 10010101100001101012 Compiti per l'autorealizzazione 2.38. Compila la tabella, in ogni riga della quale lo stesso intero deve essere scritto in diversi sistemi numerici. 2.39. Compila la tabella, in ogni riga della quale lo stesso numero frazionario deve essere scritto in diversi sistemi numerici. 2.40. Compila la tabella, in ogni riga di cui lo stesso numero arbitrario (il numero può contenere sia una parte intera che una parte frazionaria) deve essere scritto in diversi sistemi numerici. 2.4. Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali

Operazioni aritmetiche nel sistema binario.


Esempio 2.29. Considera alcuni esempi di addizione di numeri binari:

Sottrazione. Quando si esegue un'operazione di sottrazione, il numero più piccolo viene sempre sottratto dal numero maggiore in valore assoluto e viene inserito il segno corrispondente. Nella tabella di sottrazione, un 1 con una barra indica un prestito di ordine elevato.


Esempio 2.31. Considera alcuni esempi di moltiplicazione binaria:

Vedete che la moltiplicazione si riduce a moltiplicazioni e addizioni.

Divisione. L'operazione di divisione viene eseguita secondo un algoritmo simile all'algoritmo dell'operazione di divisione nel sistema dei numeri decimali.


Aggiunta in altri sistemi numerici. Di seguito è riportata la tabella delle addizioni nel sistema dei numeri ottali:

2.42. Disporre i segni delle operazioni aritmetiche in modo che le seguenti uguaglianze siano vere nel sistema binario:

Scrivi la risposta per ogni numero nei sistemi di numeri indicati e decimali. 2.44. Quale numero precede ciascuno dei dati:

2.45. Scrivi gli interi appartenenti ai seguenti intervalli numerici:

a) in sistema binario;

b) nel sistema ottale;

c) in sistema esadecimale.

Scrivi la risposta per ogni numero nei sistemi di numeri indicati e decimali.



2.47. Trova la media aritmetica dei seguenti numeri:

2.48 La somma dei numeri ottali 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 è stato convertito nel sistema numerico esadecimale.
Trova nella voce un numero uguale a questo importo, la quinta cifra da sinistra.


Ripristina i numeri sconosciuti contrassegnati da un punto interrogativo
i seguenti esempi di addizione e sottrazione, prima definendo
le, in quale sistema vengono mostrati i numeri.

Operazioni aritmetiche nei sistemi numerici posizionali

Consideriamo più in dettaglio le operazioni aritmetiche nel sistema di numeri binari. L'aritmetica del sistema numerico binario si basa sull'uso di tabelle di addizione, sottrazione e moltiplicazione di cifre. Gli operandi aritmetici si trovano nella riga superiore e nella prima colonna delle tabelle e i risultati si trovano all'intersezione di colonne e righe:

Consideriamo ogni operazione in dettaglio.

Aggiunta. La tabella di addizione binaria è estremamente semplice. Solo in un caso, quando viene eseguita l'aggiunta 1+1, viene trasferito al rango superiore. ,

Sottrazione. Quando si esegue un'operazione di sottrazione, il numero più piccolo viene sempre sottratto dal numero maggiore in valore assoluto e viene inserito il segno corrispondente. Nella tabella di sottrazione, un 1 con una barra indica un prestito di ordine elevato.

Moltiplicazione. L'operazione di moltiplicazione viene eseguita utilizzando la tabella di moltiplicazione secondo lo schema abituale utilizzato nel sistema dei numeri decimali con moltiplicazione successiva del moltiplicatore per la cifra successiva del moltiplicatore.

Divisione. L'operazione di divisione viene eseguita secondo un algoritmo simile all'algoritmo dell'operazione di divisione nel sistema dei numeri decimali.

Nota: Sommando due numeri uguali a 1, in questa cifra si ottiene 0 e il 1° viene trasferito alla cifra più significativa.

Esempio_21: Vengono forniti i numeri 101 (2) e 11 (2). Trova la somma di questi numeri.

dove 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Verifica: 5+3=8.

Quando si sottrae uno da 0, viene presa un'unità dalla cifra più vicina che è diversa da 0. Allo stesso tempo, un'unità occupata nella cifra più alta fornisce 2 unità nella cifra meno significativa e una in tutte le cifre tra la cifra più alta e più basso.

Esempio_22: Vengono forniti i numeri 101 (2) e 11 (2). Trova la differenza tra questi numeri.

dove 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Verifica: 5-3=2.

L'operazione di moltiplicazione è ridotta a spostamento e addizione ripetuti.

Esempio_23: Vengono forniti i numeri 11 (2) e 10 (2). Trova il prodotto di questi numeri.

dove 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Verifica: 3*2=6.

Operazioni aritmetiche nel sistema dei numeri ottali

Quando si sommano due numeri, la cui somma è uguale a 8, in questa categoria si ottiene 0 e il primo viene trasferito all'ordine più alto.

Esempio_24: Si riportano i numeri 165 (8) e 13 (8). Trova la somma di questi numeri.

dove 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Quando si sottrae un numero più grande da un numero più piccolo, viene presa un'unità dalla cifra più vicina più alta, che è diversa da 0. Allo stesso tempo, un'unità occupata nella cifra più alta dà 8 nella cifra meno significativa.

Esempio_25: Si riportano i numeri 114 (8) e 15 (8). Trova la differenza tra questi numeri.

dove 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operazioni aritmetiche nel sistema numerico esadecimale

Quando si sommano due numeri, per un totale di 16, in questa categoria viene scritto 0 e l'1 viene trasferito all'ordine più alto.

Esempio_26: Vengono forniti i numeri 1B5 (16) e 53 (16). Trova la somma di questi numeri.

dove 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Quando si sottrae un numero più grande da un numero più piccolo, un'unità è occupata dalla cifra più vicina più alta, che è diversa da 0. Allo stesso tempo, un'unità occupata nella cifra più alta dà 16 nella cifra meno significativa.

Esempio_27: Vengono forniti i numeri 11A (16) e 2C (16). Trova la differenza tra questi numeri.

dove 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Codifica dei dati del computer

I dati in un computer sono rappresentati come un codice, composto da uno e zero in diverse sequenze.

Il codice– un insieme di simboli per la presentazione delle informazioni. La codifica è il processo di presentazione delle informazioni sotto forma di codice.

Codici numerici

Quando eseguono operazioni aritmetiche su un computer, usano diretto, inverso e aggiuntivo codici numerici.

Codice diretto

Dritto il codice (rappresentazione sotto forma di valore assoluto con segno) di un numero binario è il numero binario stesso, in cui tutte le cifre che rappresentano il suo valore sono scritte come in notazione matematica, e il segno del numero è scritto come un cifra binaria.

Gli interi possono essere rappresentati in un computer con o senza un segno.

Gli interi senza segno di solito occupano uno o due byte di memoria. Per memorizzare numeri interi con segno, vengono allocati uno, due o quattro byte, mentre il bit più significativo (più a sinistra) viene allocato sotto il segno del numero. Se il numero è positivo, in questo bit viene scritto 0, se negativo, allora 1.

Esempio_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


I numeri positivi nel computer sono sempre rappresentati utilizzando un codice diretto. Il codice diretto del numero coincide completamente con l'inserimento del numero stesso nella cella della macchina. Il codice diretto di un numero negativo differisce dal codice diretto del corrispondente numero positivo solo per il contenuto del bit del segno.

Il codice diretto viene utilizzato durante la memorizzazione di numeri nella memoria del computer, nonché durante l'esecuzione di operazioni di moltiplicazione e divisione, ma il formato per rappresentare i numeri in un codice diretto è scomodo per l'uso nei calcoli, poiché vengono eseguite l'addizione e la sottrazione di numeri positivi e negativi diversamente, e quindi è necessario analizzare i bit dell'operando di segno. Pertanto, il codice diretto non viene praticamente utilizzato quando si implementano operazioni aritmetiche su numeri interi nell'ALU. Ma gli interi negativi non sono rappresentati nel computer con un codice diretto. Invece di questo formato, si sono diffusi formati per rappresentare i numeri al contrario e codici aggiuntivi.

Codice inverso

Codice inverso di un numero positivo coincide con uno diretto, e quando si scrive un numero negativo, tutte le sue cifre, ad eccezione della cifra che rappresenta il segno del numero, vengono sostituite da quelle opposte (0 è sostituito da 1 e 1 è sostituito da 0 ).

Esempio_29:

Esempio_30:

Per ripristinare il codice diretto di un numero negativo dal codice inverso, tutte le cifre, ad eccezione della cifra che rappresenta il segno del numero, devono essere sostituite con quelle opposte.

Codice aggiuntivo

Codice aggiuntivo di un numero positivo coincide con quello diretto, e il codice di un numero negativo si forma aggiungendo 1 al codice inverso.

Esempio_31:

Esempio_32:

Esempio_33:

Per un numero intero -32 (10) scrivi un codice aggiuntivo.

1. Dopo aver convertito il numero 32 (10) nel sistema numerico binario, otteniamo:

32 (10) =100000 (2) .

2. Il codice diretto per il numero positivo 32 (10) è 0010 0000.

3. Per un numero negativo -32 (10), il codice diretto è 1010 0000.

4. Il codice inverso del numero -32 (10) è 1101 1111.

5. Il codice aggiuntivo del numero -32 (10) è 1110 0000.

Esempio_34:

Il codice aggiuntivo del numero è 0011 1011. Trova il valore del numero in notazione decimale.

1. La prima cifra (segno) del numero 0 011 1011 è 0, quindi il numero è positivo.

2. Per un numero positivo, i codici addizionali, inversi e diretti sono gli stessi.

3. Il numero nel sistema binario è ottenuto dal record del codice diretto - 111011 (2) (eliminiamo gli zeri dalle cifre più alte).

4. Il numero 111011 (2) dopo essere stato convertito nel sistema numerico decimale è 59 (10).

Esempio_35:

Il codice aggiuntivo del numero è 1011 1011. Trova il valore del numero in notazione decimale.

1. Firma la cifra di un numero 1 011 1011 è 1, quindi il numero è negativo.

2. Per determinare il codice inverso del numero, sottrarre uno dal codice aggiuntivo. Il codice inverso è 1 011 1010.

3. Il codice diretto si ottiene dal rovescio sostituendo tutte le cifre binarie del numero con quelle opposte (1 per 0, 0 per 1). Il codice diretto del numero è 1 100 0101 (nel bit di segno scriviamo 1).

4. Il numero nel sistema binario si ottiene dalla registrazione del codice diretto - -100 0101 (2).

4. Il numero -1000101 (2) dopo la conversione in decimale è uguale a -69 (10).


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