0 саны нақты сандар әлемін ойдан шығарылған немесе теріс сандардан бөлетін шекара түрі ретінде ұсынылуы мүмкін. Екі мәнді позицияға байланысты мұндай сандық мәні бар көптеген операциялар математикалық логикаға бағынбайды. Нөлге бөлудің мүмкін еместігі осының жарқын мысалы болып табылады. Ал нөлмен рұқсат етілген арифметикалық амалдарды жалпы қабылданған анықтамаларды пайдалана отырып орындауға болады.

Нөлдің тарихы

Нөл барлық стандартты санау жүйелеріндегі анықтамалық нүкте болып табылады. Еуропалықтар бұл санды салыстырмалы түрде жақында қолдана бастады, бірақ Ежелгі Үндістанның данышпандары бос санды еуропалық математиктер үнемі пайдаланғанға дейін мың жыл бойы нөлді қолданды. Үнділерге дейін де нөл Майяның сандық жүйесінде міндетті мән болған. Бұл американдықтар он екілік жүйені қолданды және олар әр айдың бірінші күнін нөлмен бастады. Бір қызығы, майялар арасында «нөл» белгісі «шексіздік» белгісімен толығымен сәйкес келді. Осылайша, ежелгі Майя бұл шамалар бірдей және белгісіз деген қорытындыға келді.

Нөлмен орындалатын математикалық амалдар

Нөлі бар стандартты математикалық операцияларды бірнеше ережелерге дейін азайтуға болады.

Қосу: егер сіз ерікті санға нөл қоссаңыз, онда ол өз мәнін өзгертпейді (0+x=x).

Алу: кез келген саннан нөлді азайтқанда азайтылғанның мәні өзгеріссіз қалады (x-0=x).

Көбейту: кез келген санды 0-ге көбейткенде көбейтіндіде 0 шығады (a*0=0).

Бөлу: Нөлді кез келген нөл емес санға бөлуге болады. Бұл жағдайда мұндай бөлшектің мәні 0 болады. Ал нөлге бөлуге тыйым салынады.

Экспоненциалдау. Бұл әрекетті кез келген санмен орындауға болады. Нөлдің дәрежесіне көтерілген ерікті сан 1 (x 0 =1) береді.

Кез келген қуатқа нөл 0-ге тең (0 a \u003d 0).

Бұл жағдайда бірден қарама-қайшылық туындайды: 0 0 өрнегі мағынасы жоқ.

Математиканың парадокстары

Нөлге бөлу мүмкін емес екенін көп адамдар мектептен біледі. Бірақ қандай да бір себептермен мұндай тыйымның себебін түсіндіру мүмкін емес. Шынында да, неге нөлге бөлу формуласы жоқ, бірақ бұл санмен басқа әрекеттер өте орынды және мүмкін? Бұл сұрақтың жауабын математиктер береді.

Мәселе мынада, мектеп оқушыларының бастауыш сыныптарда оқитын кәдімгі арифметикалық амалдары шын мәнінде біз ойлағандай бірдей болмайды. Сандармен барлық қарапайым амалдарды екіге дейін азайтуға болады: қосу және көбейту. Бұл амалдар сан ұғымының мәнін құрайды, ал қалған амалдар осы екеуін пайдалануға негізделген.

Қосу және көбейту

Стандартты азайту мысалын алайық: 10-2=8. Мектепте бұл жай ғана қарастырылады: он нысаннан екеуін алып тастаса, сегіз қалады. Бірақ математиктер бұл операцияға мүлдем басқаша қарайды. Өйткені, олар үшін азайту сияқты операция жоқ. Бұл мысалды басқаша жазуға болады: x+2=10. Математиктер үшін белгісіз айырмашылық жай ғана сегіз болу үшін екіге қосылуы керек сан. Және бұл жерде алудың қажеті жоқ, тек қолайлы сандық мәнді табу керек.

Көбейту мен бөлу дәл осылай қарастырылады. 12:4=3 мысалында сегіз нысанды екі бірдей қадаға бөлу туралы айтып отырғанымызды түсінуге болады. Бірақ шын мәнінде, бұл 3x4 \u003d 12 жазуға арналған инверттелген формула ғана. Бөлуге арналған мұндай мысалдарды шексіз беруге болады.

0-ге бөлуге мысалдар

Неліктен нөлге бөлу мүмкін емес екені дәл осы жерде түсінікті болады. Нөлге көбейту мен бөлудің өз ережелері бар. Осы шаманың бөлінуіндегі барлық мысалдарды 6:0=x түрінде тұжырымдауға болады. Бірақ бұл 6 * x = 0 өрнегінің инверттелген өрнегі. Бірақ, өздеріңіз білетіндей, 0-ге көбейтілген кез келген сан туындыда тек 0-ді береді.Бұл қасиет нөлдік мән ұғымының өзіне тән.

0-ге көбейткенде қандай да бір нақты мән беретін мұндай сан жоқ болып шықты, яғни бұл есептің шешімі жоқ. Мұндай жауаптан қорықпау керек, бұл осы типтегі мәселелерге табиғи жауап. Жай ғана 6:0 деп жазудың еш мәні жоқ және ештеңені түсіндіре алмайды. Қысқасы, бұл өрнекті өлмейтін «нөлге бөлуге болмайды» деп түсіндіруге болады.

0:0 операциясы бар ма? Шынында да, 0-ге көбейту операциясы заңды болса, нөлді нөлге бөлуге бола ма? Өйткені, 0x5=0 түріндегі теңдеу әбден заңды. 5 санының орнына 0 қоюға болады, одан көбейтінді өзгермейді.

Шынында да, 0x0=0. Бірақ сіз әлі де 0-ге бөле алмайсыз. Айтылғандай, бөлу көбейтудің кері әрекеті ғана. Осылайша, егер мысалда 0x5=0 болса, екінші факторды анықтау керек болса, 0x0=5 аламыз. Немесе 10. Немесе шексіздік. Шексіздікті нөлге бөлу - бұл сізге қалай ұнайды?

Бірақ егер қандай да бір сан өрнекке сәйкес келсе, онда оның мағынасы жоқ, біз шексіз сандар жиынынан біреуін таңдай алмаймыз. Ал егер солай болса, бұл 0:0 өрнегі мағынасы жоқ дегенді білдіреді. Тіпті нөлдің өзін де нөлге бөлуге болмайды екен.

Жоғары математика

Нөлге бөлу орта мектеп математикасы үшін бас ауруы. Техникалық университеттерде оқытылатын математикалық талдау шешімі жоқ есептердің түсінігін аздап кеңейтеді. Мысалы, бұрыннан белгілі 0:0 өрнекке мектеп математика курсында шешімі жоқ жаңалары қосылады:

• шексіздікке бөлінген шексіздік: ∞:∞;
• шексіздік минус шексіздік: ∞−∞;
• шексіз қуатқа көтерілген бірлік: 1 ∞ ;
• 0-ге көбейтілген шексіздік: ∞*0;
• кейбір басқалар.

Мұндай өрнектерді элементар әдістермен шешу мүмкін емес. Бірақ жоғары математика, бірқатар ұқсас мысалдар үшін қосымша мүмкіндіктердің арқасында түпкілікті шешімдерді береді. Бұл әсіресе шектер теориясының мәселелерін қарастыруда айқын көрінеді.

Белгісіздікті ашу

Шектер теориясында 0 мәні шартты шексіз аз айнымалымен ауыстырылады. Ал қажетті мәнді ауыстыру кезінде нөлге бөлу алынатын өрнектер түрлендіріледі. Төменде әдеттегі алгебралық түрлендірулерді қолданатын шекті кеңейтудің стандартты мысалы келтірілген:

Мысалдан көріп отырғаныңыздай, бөлшекті қарапайым азайту оның мәнін толығымен ұтымды жауапқа әкеледі.

Тригонометриялық функциялардың шектерін қарастырғанда, олардың өрнектері бірінші керемет шекке дейін төмендейді. Шекті ауыстырған кезде бөлгіш 0-ге баратын шектерді қарастырғанда, екінші керемет шек қолданылады.

L'Hopital әдісі

Кейбір жағдайларда өрнектердің шегі олардың туындыларының шегімен ауыстырылуы мүмкін. Гийом Лопитал – француз математигі, француз математикалық талдау мектебінің негізін салушы. Ол өрнектердің шегі осы өрнектердің туындыларының шегіне тең болатынын дәлелдеді. Математикалық жазуда оның ережесі келесідей.

Лимиттерді шешу әдістері. Белгісіздіктер.
Функцияның өсу реті. Ауыстыру әдісі

4-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз қолыңызбен шешуге арналған қарапайым мысал. Ұсынылған мысалда тағы да белгісіздік (түбірге қарағанда өсудің жоғары тәртібі).

Егер «x» «минус шексіздікке» бейім болса

Бұл мақалада «минус шексіздіктің» елесі көптен бері жүр. Көпмүшелері бар шектеулерді қарастырайық. Шешу принциптері мен әдістері, бірқатар нюанстарды қоспағанда, сабақтың бірінші бөлігіндегідей болады.

Практикалық тапсырмаларды шешу үшін қажет 4 чипті қарастырыңыз:

1) шекті есептеңіз

Шектеу мәні тек мерзімге байланысты, себебі ол өсудің ең жоғары тәртібіне ие. Егер болса, онда шексіз үлкен модульЖҰПТЫҢ дәрежесіне теріс сан, бұл жағдайда – төртінші, «плюс шексіздікке» тең: . Тұрақты («екі») оң, Сондықтан:

2) шекті есептеңіз

Міне, тағы да жоғары дәреже тіпті, Сондықтан: . Бірақ алдында «минус» бар ( терістұрақты –1), сондықтан:

3) шекті есептеңіз

Шектеу мәні тек -ге байланысты. Мектептен есіңізде болса, тақ дәреженің астынан «минус» «шығады», сондықтан шексіз үлкен модультеріс санды тақ қуатқатең «минус шексіздік», бұл жағдайда: .
Тұрақты («төрт») оң, білдіреді:

4) шекті есептеңіз

Ауылдағы бірінші жігіт тағы бар тақдәрежесі, оның үстіне, кеудеде терістұрақты, бұл дегеніміз: Осылайша:
.

5-мысал

Шекті табыңыз

Жоғарыда келтірілген тармақтарды пайдалана отырып, біз бұл жерде белгісіздік бар деген қорытындыға келеміз. Алым мен бөлгіш өсу реті бойынша бірдей, бұл шекте шекті сан алынады дегенді білдіреді. Жауапты барлық шабақтарды тастау арқылы білеміз:

Шешім тривиальды:

6-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Ал енді, мүмкін, ең нәзік жағдайлар:

7-мысал

Шекті табыңыз

Жоғары терминдерді қарастыра отырып, біз бұл жерде белгісіздік бар деген қорытындыға келеміз. Алым бөлгішке қарағанда өсу реті жоғары, сондықтан біз бірден шекті шексіздік деп айта аламыз. Бірақ қандай шексіздік, «плюс» немесе «минус»? Қабылдау бірдей - алым мен бөлгіште біз кішкентай нәрселерден құтыламыз:

Біз шешеміз:

Алым мен азайтқышты бөлу

15-мысал

Шекті табыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Сабақ соңында аяқтаудың шамамен үлгісі.

Айнымалыларды ауыстыру тақырыбы бойынша тағы бірнеше қызықты мысалдар:

16-мысал

Шекті табыңыз

Біреуін шектеуге ауыстыру белгісіздікке әкеледі. Айнымалыны ауыстыру қазірдің өзінде ұсынылған, бірақ алдымен формуланы пайдаланып тангенсті түрлендіреміз. Шынында да, бізге жанама не үшін қажет?

Назар аударыңыз, сондықтан. Егер ол толығымен түсініксіз болса, синус мәндерін қараңыз тригонометриялық кесте. Осылайша, біз бірден фактордан құтыламыз , қосымша, біз көбірек таныс белгісіздік 0:0 аламыз. Біздің шегіміз де нөлге ұмтылса жақсы болар еді.

ауыстырайық:

Егер болса, онда

Косинус астында бізде «x» бар, оны «te» арқылы көрсету керек.
Ауыстырудан біз: .

Шешімді аяқтаймыз:

(1) Ауыстыруды орындау

(2) Косинус астындағы жақшаларды кеңейтіңіз.

(4) Ұйымдастыру бірінші керемет шек, алымын жасанды түрде көбейтіңіз және санының кері.

Тәуелсіз шешімге арналған тапсырма:

17-мысал

Шекті табыңыз

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Бұл олардың сыныбында қарапайым тапсырмалар болды; іс жүзінде бәрі нашар, сонымен қатар азайту формулалары, басқаша пайдалану керек тригонометриялық формулалар, сондай-ақ басқа амалдар. Кешенді шектеулер мақаласында мен бірнеше нақты мысалдарды талдадым =)

Мереке қарсаңында біз тағы бір жалпы белгісіздікпен жағдайды анықтаймыз:

«шексіздік күшіне бір» белгісіздікті жою

Бұл белгісіздік «қолданылады» екінші керемет шек, және сол сабақтың екінші бөлігінде біз көп жағдайда тәжірибеде кездесетін шешімдердің стандартты мысалдарын егжей-тегжейлі қарастырдық. Енді көрмеге қатысушылармен сурет аяқталады, сонымен қатар, сабақтың қорытынды тапсырмалары шектерге - «трюктерге» арналады, онда 2-ші тамаша шекті қолдану қажет сияқты көрінеді, бірақ бұл мүлдем жоқ. іс.

2-ші тамаша шектің екі жұмыс формуласының кемшілігі мынада: аргумент «плюс шексіздікке» немесе нөлге бейім болуы керек. Бірақ аргумент басқа санға бейім болса ше?

Әмбебап формула құтқаруға келеді (бұл екінші керемет шектеудің салдары):

Белгісіздікті мына формуламен жоюға болады:

Мен төртбұрышты жақшалардың нені білдіретінін түсіндірдім. Ерекше ештеңе жоқ, жақшалар жай жақшалар. Әдетте олар математикалық белгілерді айқын көрсету үшін қолданылады.

Формуланың маңызды тұстарын бөліп көрсетейік:

1) Бұл туралы тек белгісіздік туралы және басқа емес.

2) "x" аргументі ұмтылуы мүмкін ерікті мән(және тек нөлге немесе ), атап айтқанда, «минус шексіздікке» немесе кез келгенсоңғы сан.

Осы формуланы пайдалана отырып, сабақтың барлық мысалдарын шешуге болады Керемет шектеулер, олар 2-ші тамаша шекке жатады. Мысалы, шекті есептейік:

Бұл жағдайда , және формула бойынша :

Рас, мен сізге мұны істеуге кеңес бермеймін, дәстүр бойынша сіз әлі де шешімнің «әдеттегі» дизайнын қолданасыз, егер оны қолдануға болады. Дегенмен формуланы қолдану арқылы тексеру өте ыңғайлы 2-ші тамаша шекке «классикалық» мысалдар.

Көбінесе көптеген адамдар неге нөлге бөлуді пайдалану мүмкін емес деп ойлайды. Бұл мақалада біз бұл ереженің қайдан шыққанын, сондай-ақ нөлмен қандай әрекеттерді орындауға болатынын егжей-тегжейлі қарастырамыз.

Байланыста

Нөлді ең қызықты сандардың бірі деп атауға болады. Бұл санның мағынасы жоқ, бұл сөздің шын мағынасында бос дегенді білдіреді. Дегенмен, кез келген цифрдың жанына нөл қойсаңыз, онда бұл цифрдың мәні бірнеше есе үлкен болады.

Санның өзі өте жұмбақ. Оны ежелгі майя халқы қолданған. Майялар үшін нөл «бастау» дегенді білдіреді, ал күнтізбелік күндердің кері санағы да нөлден басталды.

Өте қызық факт, олар үшін нөл белгісі мен белгісіздік белгісі ұқсас болды. Осы арқылы майялар нөлдің белгісіздікпен бірдей таңба екенін көрсеткісі келді. Еуропада нөлді белгілеу салыстырмалы түрде жақында пайда болды.

Сондай-ақ, көптеген адамдар нөлмен байланысты тыйымды біледі. Оны кез келген адам айтады нөлге бөлуге болмайды. Мұны мектептегі мұғалімдер айтады, ал балалар әдетте олардың сөзін қабылдайды. Әдетте, балалар мұны білуге ​​қызығушылық танытпайды немесе маңызды тыйымды естігенде, олар бірден «Неліктен нөлге бөле алмайсың?» Деп сұраса, не болатынын біледі. Бірақ қартайған кезде қызығушылық оянады және мұндай тыйым салудың себептері туралы көбірек білгіңіз келеді. Дегенмен, ақылға қонымды дәлелдер бар.

Нөлмен орындалатын әрекеттер

Алдымен нөлмен қандай әрекеттерді орындауға болатынын анықтау керек. Бар қызметтің бірнеше түрі:

• Қосу;
• Көбейту;
• азайту;
• Бөлу (сан бойынша нөл);
• Экспоненциалдау.

Маңызды!Егер қосу кезінде кез келген санға нөл қосылса, онда бұл сан өзгеріссіз қалады және оның сандық мәнін өзгертпейді. Кез келген саннан нөлді алып тастасаңыз, дәл солай болады.

Көбейту және бөлу кезінде бәрі сәл басқаша болады. Егер кез келген санды нөлге көбейту, сонда өнім де нөлге айналады.

Мысал қарастырайық:

Мұны қосымша ретінде жазайық:

Барлығы бес нөл қосылды, сондықтан бұл шығады

Бірді нөлге көбейтіп көрейік. Нәтиже де нөл болады.

Нөлді оған тең емес кез келген басқа санға бөлуге болады. Бұл жағдайда мәні де нөлге тең болады. Сол ереже теріс сандарға да қолданылады. Егер нөлді теріс санға бөлсеңіз, нөл шығады.

Сондай-ақ кез келген нөмірді көтеруге болады нөлдік қуатқа. Бұл жағдайда сіз 1 аласыз. «Нөлден нөлге дейін» өрнегі мүлдем мағынасыз екенін есте ұстаған жөн. Кез келген қуатқа нөлді көтеруге тырыссаңыз, сіз нөлге ие боласыз. Мысалы:

Біз көбейту ережесін қолданамыз, біз 0 аламыз.

Нөлге бөлуге болады ма

Сонымен, біз негізгі сұраққа келеміз. Нөлге бөлуге болады мамүлде? Неліктен нөлге тең басқа амалдар толығымен бар және қолданылатынын ескере отырып, санды нөлге бөлу мүмкін емес? Бұл сұраққа жауап беру үшін жоғары математикаға жүгіну керек.

Ұғымның анықтамасынан бастайық, нөл дегеніміз не? Мектеп мұғалімдері нөл ештеңе емес деп мәлімдейді. Бостық. Яғни, сізде 0 қалам бар десе, бұл сізде мүлдем қалам жоқ дегенді білдіреді.

Жоғары математикада «нөл» ұғымы кеңірек. Бұл мүлдем бос дегенді білдірмейді. Мұнда нөл белгісіздік деп аталады, өйткені егер сіз аздап зерттесеңіз, нөлді нөлге бөлу арқылы нәтиже ретінде кез келген басқа санды алуға болады, ол міндетті түрде нөл болмауы мүмкін.

Сіз мектепте оқыған қарапайым арифметикалық амалдар бір-бірімен бірдей емес екенін білесіз бе? Ең негізгі қадамдар қосу және көбейту.

Математиктер үшін «» және «алу» ұғымдары жоқ. Айталық: бестен үшеу алынып тасталса, екеуі қалады. Алып тастау осылай көрінеді. Дегенмен, математиктер оны былай жазады:

Осылайша, белгісіз айырмашылық 5-ті алу үшін 3-ке қосылуы керек белгілі бір сан екені белгілі болды. Яғни, ештеңені азайтудың қажеті жоқ, тек қолайлы санды табу керек. Бұл ереже қосуға қолданылады.

Барлығы сәл басқаша көбейту және бөлу ережелері.Нөлге көбейту нөлдік нәтижеге әкелетіні белгілі. Мысалы, егер 3:0=x болса, онда жазбаны аударсаңыз, сіз 3*x=0 аласыз. Ал 0-ге көбейтілген сан көбейтіндіде нөлді береді. Нөлге тең туындыда нөлден басқа кез келген мән беретін сан жоқ екен. Бұл нөлге бөлудің мағынасыз екенін білдіреді, яғни ол біздің ережеге сәйкес келеді.

Бірақ егер сіз нөлді өздігінен бөлуге тырыссаңыз не болады? Қандай да бір белгісіз сан ретінде х алайық. 0 * x \u003d 0 теңдеуі шығады. Оны шешуге болады.

Егер х орнына нөл алуға тырыссақ, 0:0=0 аламыз. Бұл логикалық болып көрінеді ме? Бірақ хтың орнына кез келген басқа санды, мысалы, 1-ді алуға тырыссақ, онда 0:0=1 болады. Егер сіз кез келген басқа нөмірді алсаңыз, дәл осындай жағдай болады оны теңдеуге қосыңыз.

Бұл жағдайда фактор ретінде кез келген басқа санды алуға болады екен. Нәтижесінде әртүрлі сандардың шексіз саны болады. Кейде, соған қарамастан, жоғары математикада 0-ге бөлу мағынасы бар, бірақ әдетте белгілі бір шарт бар, соның арқасында біз әлі де бір қолайлы санды таңдай аламыз. Бұл әрекет «белгісіздікті ашу» деп аталады. Кәдімгі арифметикада нөлге бөлу қайтадан мағынасын жоғалтады, өйткені біз жиынтықтан ешбір санды таңдай алмаймыз.

Маңызды!Нөлді нөлге бөлуге болмайды.

Нөл және шексіздік

Шексіздік жоғары математикада өте кең таралған. Мектеп оқушылары үшін әлі де шексіздікпен математикалық амалдар бар екенін білу маңызды емес болғандықтан, мұғалімдер балаларға неге нөлге бөлуге болмайтынын дұрыс түсіндіре алмайды.

Студенттер негізгі математикалық құпияларды институттың бірінші курсында ғана меңгере бастайды. Жоғары математика шешімі жоқ мәселелердің үлкен жинағын ұсынады. Ең танымал мәселелер - шексіздік мәселелері. Олар көмегімен шешуге болады математикалық талдау.

Шексіздікке де қолдануға болады қарапайым математикалық амалдар:қосу, санға көбейту. Алу және бөлу де жиі қолданылады, бірақ соңында олар екі қарапайым операцияға дейін жетеді.

Бірақ не болады тырыссаңыз:

• Шексіздікті нөлге көбейтіңіз. Теориялық тұрғыдан кез келген санды нөлге көбейтуге тырыссақ, біз нөлге ие боламыз. Бірақ шексіздік - сандардың белгісіз жиынтығы. Бұл жиыннан бір сан таңдай алмайтындықтан, ∞*0 өрнегі шешімі жоқ және абсолютті мағынасыз.
• Нөлді шексіздікке бөлу. Бұл жоғарыда айтылған әңгіме. Біз бір санды таңдай алмаймыз, яғни нені бөлу керектігін білмейміз. Өрнек мағынасы жоқ.

Маңызды!Шексіздік белгісіздіктен біршама ерекшеленеді! Шексіздік – белгісіздік түрі.

Енді шексіздікті нөлге бөлуге тырысайық. Белгісіздік болуы керек сияқты. Бірақ бөлуді көбейтумен алмастыруға тырыссақ, өте нақты жауап аламыз.

Мысалы: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Мынадай болып шығады математикалық парадокс.

Неліктен нөлге бөлуге болмайды

Ой эксперименті, нөлге бөлуге тырысыңыз

Шығару

Сонымен, қазір біз нөл бір ғана операциядан басқа орындалатын барлық дерлік операцияларға бағынатынын білеміз. Нәтиже белгісіз болғандықтан ғана нөлге бөлуге болмайды. Біз сондай-ақ нөлге және шексіздікке қалай әрекет ету керектігін білдік. Мұндай әрекеттердің нәтижесі белгісіздік болады.

Функцияның туындысы алысқа түспейді, ал L'Hopital ережелері жағдайында ол бастапқы функция түсетін жерге дәл түседі. Бұл жағдай 0/0 немесе ∞/∞ түріндегі белгісіздіктерді және есептеу кезінде туындайтын кейбір басқа да белгісіздіктерді анықтауға көмектеседі. шектеуекі шексіз аз немесе шексіз үлкен функциялардың қатынасы. Есептеу осы ережемен айтарлықтай жеңілдетілген (шын мәнінде екі ереже және олар бойынша ескертулер):

Жоғарыдағы формула көрсеткендей, екі шексіз аз немесе шексіз үлкен функциялардың қатынасының шегін есептегенде, екі функцияның қатынасының шегін олардың қатынасының шегімен ауыстыруға болады. туындыларжәне осылайша белгілі бір нәтижеге қол жеткізеді.

L'Hopital ережелерінің нақты тұжырымдарына көшейік.

Екі шексіз кіші мәннің шегінің жағдайына арналған L'Hopital ережесі. Функцияларға рұқсат етіңіз f(x) және g(x а. Және дәл осы сәтте а афункцияның туындысы g(x) нөлге тең емес ( g"(x абір-біріне тең және нөлге тең:

.

Екі шексіз үлкен шама шегінің жағдайына арналған Л'Гопитал ережесі. Функцияларға рұқсат етіңіз f(x) және g(x) нүктенің кейбір маңайында туындылары бар (яғни олар дифференциалданады). а. Және дәл осы сәтте аолардың туындылары болуы немесе болмауы мүмкін. Оның үстіне пунктке жақын жерде афункцияның туындысы g(x) нөлге тең емес ( g"(x)≠0 ) және осы функциялардың шектері х нүктесіндегі функцияның мәніне ұмтылады абір-біріне тең және шексіздікке тең:

.

Сонда бұл функциялардың қатынасының шегі олардың туындыларының қатынасының шегіне тең болады:

Басқаша айтқанда, 0/0 немесе ∞/∞ түріндегі белгісіздіктер үшін екі функцияның қатынасының шегі олардың туындыларының қатынасының шегіне тең, егер соңғысы бар болса (ақырлы, яғни белгілі бір сан немесе шексіз, яғни шексіздікке тең).

Ескертпелер.

1. L'Hopital ережелері функциялар болған кезде де қолданылады f(x) және g(x) анықталмаған x = а.

2. Егер функциялардың туындыларының қатынасының шегін есептегенде f(x) және g(x) біз қайтадан 0/0 немесе ∞/∞ түріндегі белгісіздікке келеміз, онда L'Hopital ережелерін қайталап (кемінде екі рет) қолдану керек.

3. L'Hopital ережелері (x) функцияларының аргументі шекті емес санға ұмтылғанда да қолданылады. а, және шексіздікке ( x → ∞).

Басқа түрлердегі белгісіздіктерді 0/0 және ∞/∞ түрлерінің белгісіздіктеріне де азайтуға болады.

«Нөлге бөлінген нөл» және «шексіздікке бөлінген шексіздік» түрлерінің белгісіздіктерін ашу

1-мысал

x=2 0/0 түрінің анықталмағандығына әкеледі. Демек, әрбір функцияның туындысы және біз аламыз

Бөлімшеде көпмүшенің туындысы есептелді, ал бөлгіште - күрделі логарифмдік функцияның туындысы. Соңғы теңдік белгісінің алдында әдеттегі шектеу, x орнына екілік қосындысын қою.

2-мысал L'Hospital ережесі арқылы екі функцияның қатынасының шегін есептеңіз:

Шешім. Берілген мән функциясына ауыстыру x

3-мысал L'Hospital ережесі арқылы екі функцияның қатынасының шегін есептеңіз:

Шешім. Берілген мән функциясына ауыстыру x=0 0/0 түрінің анықталмағандығына әкеледі. Сондықтан алымдағы және бөлгіштегі функциялардың туындыларын есептеп, мынаны аламыз:

4-мысалЕсептеу

Шешім. Берілген функцияға плюс шексіздікке тең x мәнін ауыстыру ∞/∞ түрінің анықталмағандығына әкеледі. Сондықтан біз L'Hopital ережесін қолданамыз:

Түсініктеме. Бірінші туындылардың қатынасының шегі форманың белгісіздігі болғандықтан, L'Hopital ережесін екі рет қолдануға, яғни екінші туындылардың қатынасының шегіне жетуге болатын мысалдарға көшейік. 0/0 немесе ∞/∞.

«Шексіздікке көбейтілген нөл» түріндегі белгісіздіктерді ашу

12-мысал.Есептеу

.

Шешім. Біз алып жатырмыз

Бұл мысал тригонометриялық сәйкестікті пайдаланады.

«Нөлдің нөл дәрежесіне», «нөлдің дәрежесіне шексіздік» және «шексіздік дәрежесіне бір» түрлерінің белгісіздіктерін ашу.

Пішіннің белгісіздіктері немесе әдетте пішін функциясының логарифмінің көмегімен 0/0 немесе ∞/∞ пішініне келтіріледі

Өрнектің шегін есептеу үшін логарифмдік сәйкестікті пайдалану керек, оның ерекше жағдайы логарифмнің қасиеті болып табылады. .

Логарифмдік сәйкестікті және функцияның үздіксіздік қасиетін пайдаланып (шек белгісінен шығу үшін) шекті келесідей есептеу керек:

Бөлек дәрежедегі өрнектің шегін тауып, құрастыру керек eтабылған дәрежеге дейін.

13-мысал

Шешім. Біз алып жатырмыз

.

.

14-мысал L'Hopital ережесін пайдаланып есептеңіз

Шешім. Біз алып жатырмыз

Көрсеткіштегі өрнектің шегін есептеңіз

.

.

15-мысал L'Hopital ережесін пайдаланып есептеңіз

Егер сан шексіздікке бөлінсе, бөлім нөлге ұмтылады ма? Ішінде жалғастырып, жақсырақ жауап алды

Оленкадан жауап[жаңадан]
барлығы 0
Краб қабығы
Oracle
(56636)
Жоқ. Нақты нөл. Бөлгіш шексіздікке ұмтылатындықтан, бөлім нөлге ұмтылады. Ал, егер біз шексіздікке ұмтылатын санға емес, шексіздіктің өзіне бөлетін болсақ (айтпақшы, дәлірек айтқанда, ол ресми түрде мүлде сан болып саналмайды, бірақ сандардың белгіленуін толықтыратын ерекше таңба болып саналады) - дәл нөл.

Жауабы Югей Владимир[гуру]
Тіпті нөлді бөлсеңіз де, кез келген санға көбейтсеңіз де, ол бәрібір нөл болады!

Жауабы 1 23 [гуру]
егер кейбір бок нөлге бейім болса, онда оны ақырлы нәрсеге (санға немесе шектеулі функцияға) көбейту ауыртпалықсыз, өйткені all-rna нөлге ұмтылады.
бірақ егер сіз оны шексіздікке бейім нәрсеге көбейтсеңіз, онда нұсқалар болуы мүмкін.

Жауабы Краб қабығы[гуру]
Кез келген санды шексіздікке бөлу нөлге әкеледі. Дәл нөл, «нөлге бару» жоқ. Содан кейін оны қандай санға көбейтсеңіз де, нөл. Ал нөлді нөлден басқа кез келген санға бөлудің нәтижесі нөлге тең болады, тек нөлді нөлге бөлгенде ғана нәтиже анықталмайды, кез келген сан бөлшек ретінде қолайлы болады.