Pamokos tema: Aritmetiniai veiksmai padėties skaičių sistemose.

9 klasė

Pamokos tikslai:

    Didaktika: supažindinti studentus su sudėtimi, atimti, daugyba ir dalyba dvejetainėje sistemoje ir atlikti pirminę šių veiksmų atlikimo įgūdžių praktiką.

    Švietimas: ugdyti mokinių susidomėjimą mokytis naujų dalykų, parodyti nestandartinio požiūrio į skaičiavimus galimybę.

    Kuriama: ugdyti dėmesį, mąstymo griežtumą, gebėjimą mąstyti.

Pamokos struktūra.

    Orgmoment -1 minutę.

    Namų darbų tikrinimas testu žodžiu -15 minučių.

    Namų darbai -2 minutės.

    Problemų sprendimas vienu metu analizuojant ir savarankiškai plėtojant medžiagą -25 min.

    Apibendrinant pamoką -2 minutės.

UŽSIĖMIMŲ LAIKOTARPIU

    Organizacinis momentas.

    Namų darbų tikrinimas (testas žodžiu) .

Mokytojas skaito klausimus iš eilės. Mokiniai atidžiai klausosi klausimo jo neužsirašinėdami. Tik atsakymas įrašomas, ir labai trumpai. (Jei galima atsakyti vienu žodžiu, tai įrašomas tik šis žodis).

    Kas yra skaičių sistema? (-tai ženklų sistema, kurioje skaičiai rašomi pagal tam tikras taisykles, naudojant tam tikros abėcėlės, vadinamos skaičiais, simbolius )

    Kokias skaičių sistemas žinote?( nepozicinis ir pozicinis )

    Kokia sistema vadinama nepozicine? (SCH vadinamas nepoziciniu, jei skaičiaus skaitmens kiekybinis ekvivalentas (kiekybinė reikšmė) nepriklauso nuo jo padėties skaičiaus žymėjime ).

    Kas yra pozicinio SSC pagrindas. (lygus skaitmenų, sudarančių jo abėcėlę, skaičiui )

    Kokia matematinė operacija turėtų būti naudojama norint konvertuoti sveikąjį skaičių iš dešimtainio NSC į bet kurį kitą? (padalinys )

    Ką reikia padaryti norint konvertuoti skaičių iš dešimtainio į dvejetainį? (Nuosekliai padalinkite iš 2 )

    Kiek kartų sumažės skaičius 11,1 2 perkeliant kablelį vienu simboliu į kairę? (2 kartus )

Dabar pasiklausykime eilėraščio apie nepaprastą merginą ir atsakykime į klausimus. (Skamba kaip eilėraštis )

YPATINGA MERGAINA

Jai buvo tūkstantis ir šimtas metų
Ji nuėjo į šimtą pirmą klasę,
Savo portfelyje nešiojau šimtą knygų.
Visa tai tiesa, o ne nesąmonė.

Kai tuzinu pėdų šluostydamas dulkes,
Ji ėjo keliu.
Jai visada sekdavo šuniukas
Su viena uodega, bet šimtakojais.

Ji pagavo kiekvieną garsą
Su dešimčia ausų
Ir dešimt įdegusių rankų
Jie laikė portfelį ir pavadėlį.

Ir dešimt tamsiai mėlynų akių
Įprastai žvelgiant į pasaulį,
Bet viskas taps normaliai,
Kai supranti mano istoriją.

/ N. Starikovas /

Ir kiek mergaitei buvo metų? (12 metų ) Į kokią klasę ji lankė? (5 klasė ) Kiek rankų ir kojų ji turėjo? (2 rankos, 2 kojos ) Kaip šuniukas turi 100 kojų? (4 letenos )

Atlikę testą patys mokiniai garsiai ištaria atsakymus, atliekama savikontrolė ir mokiniai save įvertina.

Kriterijus:

    10 teisingų atsakymų (gal mažas trūkumas) - „5“;

    9 arba 8 – „4“;

    7, 6 – “3”;

    likusi dalis yra „2“.

II. Namų darbai (2 minutės)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Darbas su nauja medžiaga

Aritmetiniai veiksmai dvejetainėje sistemoje.

Dvejetainės skaičių sistemos aritmetika pagrįsta skaitmenų sudėties, atimties ir daugybos lentelių naudojimu. Aritmetiniai operandai yra viršutinėje lentelių eilutėje ir pirmajame stulpelyje, o rezultatai yra stulpelių ir eilučių sankirtoje:

0

1

1

1

Papildymas.

Dvejetainė pridėjimo lentelė yra labai paprasta. Tik vienu atveju, kai atliekamas sudėjimas 1 + 1, įvyksta perkėlimas į reikšmingiausią bitą.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Atimtis.

Atliekant atimties operaciją, iš didesnio skaičiaus absoliučia verte visada atimamas mažesnis skaičius ir dedamas atitinkamas ženklas. Atimties lentelėje 1 su juostele reiškia didelės eilės paskolą. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Daugyba

Daugybos operacija atliekama naudojant daugybos lentelę pagal įprastą schemą, naudojamą dešimtainėje skaičių sistemoje, nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Daugyba sumažinama iki daugiklio ir pridėjimo poslinkių.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Apibendrinant pamoką

Kortelė už papildomus mokinių darbus.

Atlikite aritmetines operacijas:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Papildymas. Skaičių sudėjimas dvejetainėje skaičių sistemoje pagrįstas vienaženklių dvejetainių skaičių sudėjimo lentele (6 lentelė).

Svarbu atkreipti dėmesį į tai, kad sudėjus du vienetus, pervedimas atliekamas į aukščiausią skaitmenį. Taip atsitinka, kai skaičiaus reikšmė tampa lygi arba didesnė už skaičių sistemos bazę.

Kelių bitų dvejetainių skaičių pridėjimas atliekamas pagal aukščiau pateiktą sudėjimo lentelę, atsižvelgiant į galimus perkėlimus iš mažesnių skaitmenų į aukštesnius skaitmenis. Pavyzdžiui, stulpelyje pridėkime dvejetainius skaičius:

Patikrinkime skaičiavimų teisingumą sudėjus dešimtainėje skaičių sistemoje. Paverskime dvejetainius skaičius į dešimtainę skaičių sistemą ir sudėkite juos:

Atimtis. Dvejetainių skaičių atėmimas pagrįstas vienaženklių dvejetainių skaičių atėmimo lentele (7 lentelė).

Iš mažesnio skaičiaus (0) atimant didesnį (1), paskola suteikiama iš didžiausios eilės. Lentelėje paskola žymima 1 su juostele.

Daugiaženklių dvejetainių skaičių atėmimas įgyvendinamas pagal šią lentelę, atsižvelgiant į galimas paskolas didelės eilės skaitmenimis.

Pavyzdžiui, atimkime dvejetainius skaičius:

Daugyba. Daugybos pagrindas yra vienaženklių dvejetainių skaičių daugybos lentelė (8 lentelė).

Daugiaženkliai dvejetainiai skaičiai dauginami pagal šią daugybos lentelę pagal įprastą dešimtainių skaičių sistemoje naudojamą schemą, nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens. Apsvarstykite dvejetainio daugybos pavyzdį

1 pavyzdys. Raskite X, jei Norėdami transformuoti kairiąją lygybės pusę, iš eilės naudojame de Morgano dėsnį loginiam sudėjimui ir dvigubo neigimo dėsnį: Pagal paskirstymo dėsnį loginiam pridėjimui: Pagal trečiosios ir pastovaus eliminavimo dėsnis: gautą kairę pusę sulyginkite su dešine: X \u003d B Galiausiai gauname: X = B. 2 pavyzdys. Supaprastinkite loginę išraišką. Patikrinkite supaprastinimo teisingumą naudodami tiesos lenteles pradinei ir gautinei loginei. išraiška. Pagal loginio sudėjimo bendrosios inversijos dėsnį (pirmasis de Morgano dėsnis) ir dvigubo neigimo dėsnį: Pagal paskirstymo (paskirstymo) dėsnį loginiam pridėjimui: Pagal prieštaravimo dėsnį: Pagal idempotencijos dėsnį pakeičiame reikšmes ir, naudodamiesi komutaciniu (komutaciniu) dėsniu ir sugrupuodami terminus, gauname: Pagal išskyrimo (klijavimo) dėsnį Pakeiskite reikšmes ir gaukite: Pagal konstantų išskyrimo dėsnį loginiam pridėjimui ir idempotencijos dėsnis: Pakeiskite reikšmes ir gaukite: Pagal paskirstymo (paskirstymo) dėsnį loginiam daugybai: Pagal vidurio pašalinimo dėsnį: pakeiskite reikšmes ir galiausiai gaukite: 2 Loginiai kompiuteris Diskretusis keitiklis, kuris, apdorojęs įvesties dvejetainius signalus, išveda signalą, kuris yra vienos iš loginių operacijų reikšmė, vadinamas loginiu elementu. Žemiau pateikiami pagrindinių loginių elementų simboliai (schemos), įgyvendinantys loginį dauginimą (jungiklis), loginį pridėjimą (disjunktorių) ir neigimą (inverteris). Ryžiai. 3.1. Jungiklis, disjunktorius ir inverteris Kompiuterių įrenginiai (procesoriaus priedai, RAM atminties ląstelės ir kt.) yra sukonstruoti pagrindinių loginių elementų pagrindu. 3 pavyzdys. Remdamiesi pateikta logine funkcija F(A, B) = =B&AÚB&A, sukurkite loginę grandinę. Konstravimas turi prasidėti nuo loginės operacijos, kuri turi būti atlikta paskutinė. Šiuo atveju tokia operacija yra loginis papildymas, todėl loginės grandinės išvestyje turi būti disjunktorius. Signalai į jį tiekiami iš dviejų jungčių, į kurias, savo ruožtu, vienas įvesties signalas yra normalus, o kitas - invertuotas (iš inverterių). 4 pavyzdys. Loginė grandinė turi du įėjimus X ir Y. Nustatykite logines funkcijas F1(X,Y) ir F2(X,Y), kurios įgyvendinamos dviejuose jos išėjimuose. Funkcija F1(X,Y) įgyvendinama pirmojo konjunktoriaus išvestyje, tai yra F1(X,Y) = X&Y. Tuo pačiu metu signalas iš konjunktoriaus tiekiamas į keitiklio įvestį, kurio išėjime realizuojamas X&Y signalas, kuris, savo ruožtu, tiekiamas į vieną iš antrojo jungiklio įėjimų. Signalas Xv Y iš disjunktoriaus tiekiamas į kitą antrojo konjunktoriaus įėjimą, todėl funkcija F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Apsvarstykite dviejų n bitų dvejetainių skaičių pridėjimo schemą. Sudedant i-ro skaitmens skaitmenis, pridedami ai ir bi, taip pat Pi-1 - perkėlimas iš i-1 skaitmens. Rezultatas bus st – suma ir Pi – perkėlimas į aukščiausią tvarką. Taigi, vieno bito dvejetainis sumatorius yra įrenginys su trimis įėjimais ir dviem išėjimais. 3.15 pavyzdys. Sukurkite tiesos lentelę vieno bito dvejetainiam sumikliui naudodami dvejetainę pridėjimo lentelę. Trigeris. Trigeriai naudojami informacijai saugoti kompiuterio RAM, taip pat vidiniuose procesoriaus registruose. Trigeris gali būti vienoje iš dviejų stabilių būsenų, leidžiančių atsiminti, saugoti ir nuskaityti 1 bitą informacijos. Paprasčiausias trigeris yra .RS paleidiklis. Jį sudaro du OR-NOT vartai, kurie įgyvendina loginę funkciją F9 (žr. 3.1 lentelę). Elementų įėjimai ir išėjimai yra sujungti žiedu: pirmojo išėjimas yra prijungtas prie antrojo, o antrojo - su pirmojo. Trigeris turi du įėjimus S (iš angliško rinkinio – diegimas) ir I (iš angliško atstatymo – atstatymo) ir du išėjimus Q (tiesioginis) ir Q (atvirkštinis). Ryžiai. 2 RS flip-flop logika 3.16 pavyzdys. Sukurkite lentelę, aprašančią RS flip-flop įėjimų ir išėjimų būseną. Jei įėjimai gauna signalus R = 0 ir S = 0, tai trigeris yra saugojimo režime, išėjimai Q ir Q išlaiko anksčiau nustatytas reikšmes. Jei signalas 1 trumpam tiekiamas į nustatymo įvestį S, tada trigeris pereina į 1 būseną ir po to, kai signalas įėjime S tampa lygus 0, trigeris išsaugos šią būseną, tai yra, išsaugos 1. Kai įėjimui R taikomas 1, trigeris pereis į būseną 0. Pritaikius loginį abiem įėjimams S ir R, rezultatas gali būti dviprasmiškas, todėl toks įvesties signalų derinys yra draudžiamas. Užduotys savirealizacijai 1. Yra 16 dviejų kintamųjų loginių funkcijų (žr. 3.1 lentelę). Sukurkite jų logines grandines naudodami pagrindinius loginius elementus: jungiklį, disjunktorių ir keitiklį. 2. Įrodykite, kad 3.10 pavyzdyje nagrinėjama loginė grandinė yra vieno bito dvejetainė pussudėtoja (neatsižvelgiama į pernešimą iš mažiausiai reikšmingo bito). 3. Sudėdami dvejetainius skaičius, įrodykite, kad loginė funkcija Р = (A&B)v(A&,P0)v(A&,P0)v(B&P0) sudedant dvejetainius skaičius (A ir B yra terminai, Po yra perkelti iš mažiausiai reikšmingo bito). 4. Sudarydami tiesos lentelę įrodykite, kad loginė funkcija S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) nustato sumą, kai pridedami dvejetainiai skaičiai (A ir B yra nariai, Po yra pernešimas iš mažiausiai reikšmingo bito). 5. Sukurkite vieno bito dvejetainio sumatoriaus loginę grandinę. Kiek pagrindinių vartų reikia norint įdiegti 64 bitų dvejetainį sumatorių? 6. Kiek pagrindinių loginių elementų sudaro šiuolaikinio 64 MB talpos kompiuterio RAM? 1. Užrašykite skaičius išplėstine forma: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8 = 0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Užrašykite šiuos skaičius sulankstyta forma: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Ar teisingai surašyti skaičiai atitinkamose skaičių sistemose: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2 = 22,2? 4. Kokia yra minimali skaičių sistemos bazė, jei joje įrašyti skaičiai 127, 222, 111? Rastų skaičių sistemoje nustatykite šių skaičių dešimtainį ekvivalentą. 5. Koks yra skaičių 101012, 101018 1010116 dešimtainis atitikmuo? 6. Trijų skaitmenų dešimtainis skaičius baigiasi skaičiumi 3. Jei šis skaičius perkeliamas dviem skaitmenimis į kairę, tai yra, nuo jo prasidės naujo skaičiaus įrašymas, tai šis naujas skaičius bus vienu daugiau nei trigubai didesnis už originalus numeris. Raskite originalų numerį. 2.22. Šešių skaitmenų dešimtainis skaičius kairėje prasideda skaičiumi 1. Jei šis skaičius perkeliamas iš pirmosios vietos kairėje į paskutinę vietą dešinėje, tada suformuoto skaičiaus vertė bus tris kartus didesnė už pradinę . Raskite originalų numerį. 2.23. Kuris iš skaičių 1100112, 1114, 358 ir 1B16 yra: a) didžiausias; b) mažiausiai? 2.27.Ar yra trikampis, kurio kraštinių ilgiai išreikšti skaičiais 12g, 1116 ir 110112? 2.28 Koks yra didžiausias dešimtainis skaičius, kurį galima įrašyti kaip tris skaitmenis dvejetainėje, aštuntainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemose? 2.29. „Nerimti“ klausimai. Kada yra 2x2=100? Kada yra 6x6=44? Kada yra 4x4=20? 2.30. Užrašykite sveikus dešimtainius skaičius, priklausančius šiems skaitiniams intervalams: a) ; b) ; in) . 2.31 Klasėje yra 11112 mergaičių ir 11002 berniukų. Kiek mokinių yra klasėje? 2.32.Klasėje mokosi 36d mokiniai, iš kurių 21q yra mergaitės ir 15q yra berniukai. Kokia numeravimo sistema buvo naudojama mokiniams skaičiuoti? 2. 33. Sode auga 100q vaismedžių, iš kurių 33q yra obelys, 22q kriaušės, 16q slyvos ir 5q vyšnios. Kokioje skaičių sistemoje skaičiuojami medžiai? 2.34.Buvo 100q obuolių. Po to, kai kiekvienas iš jų buvo perpjautas per pusę, buvo 1000q pusės. Kokiu pagrindu buvo vedama sąskaita skaičių sistemoje? 2.35. Turiu 100 brolių. Jaunesniajam – 1000 metų, o vyresniajam – 1111 metų. Vyriausias mokosi 1001 klasėje. Ar tai gali būti? 2.36 Kadaise buvo tvenkinys, kurio centre augo vienas vandens lelijos lapas. Kiekvieną dieną tokių lapų skaičius padvigubėjo, o dešimtą dieną visas tvenkinio paviršius jau buvo užpildytas lelijų lapais. Kiek dienų prireikė pusės tvenkinio užpildyti lapais? Kiek lapų buvo po devintos dienos? 2.37.Pasirinkdami skaičiaus 2 laipsnius, kurie sumuojasi į duotą skaičių, paverskite šiuos skaičius į dvejetainę skaičių sistemą: a) 5; 12 val.; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Patikrinkite vertimo teisingumą naudodami programą Advanced Converter. 2.3. Skaičių vertimas iš vienos skaičių sistemos į kitą 2.3.1. Sveikųjų skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą Galime suformuluoti sveikųjų skaičių konvertavimo iš sistemos su baze p į sistemą su baze q algoritmą: 1. Išreikškite naujosios skaičių sistemos bazę pradinės skaičių sistemos skaitmenimis ir atlikti visus tolesnius veiksmus pradinėje skaičių sistemoje. 2. Nuosekliai atlikite duoto skaičiaus ir gautų sveikųjų skaičių dalijimą naujosios skaičių sistemos pagrindu, kol gausime daliklį, mažesnį už daliklį. 3. Gautos liekanos, kurios yra naujosios skaičių sistemos skaičiaus skaitmenys, suderinamos su naujosios skaičių sistemos abėcėle. 4. Sukurkite skaičių naujoje skaičių sistemoje, užrašydami jį nuo paskutinės liekanos. 2.12 pavyzdys Dešimtainį skaičių 17310 paverskite aštuntainiu: ■ Gauname: 17310=2558. 2.13 pavyzdys Paverskite dešimtainį skaičių 17310 į šešioliktainę skaičių sistemą: - Gauname: 17310=AD16. 2.14 pavyzdys Dešimtainio skaičiaus 1110 konvertavimas į dvejetainę skaičių sistemą. Gauname: 111O=10112. 2.15 pavyzdys Kartais patogiau vertimo algoritmą parašyti lentelės pavidalu. Paverskime dešimtainį skaičių 36310 į dvejetainį skaičių. 2.3.2. Trupmeninių skaičių konvertavimas iš vienos skaičių sistemos į kitą Galime suformuluoti algoritmą, kaip taisyklingą trupmeną su baze p paversti trupmena su baze q: 1. Išreikškite naujosios skaičių sistemos bazę pradinės skaičių sistemos skaitmenimis ir atlikti visus tolesnius veiksmus pradinėje skaičių sistemoje. 2. Gautą skaičių ir gautas sandaugų trupmenines dalis paeiliui dauginkite iš naujos sistemos pagrindo, kol sandaugos trupmeninė dalis taps lygi nuliui arba bus pasiektas reikiamas skaičiaus vaizdavimo tikslumas. 3. Gautos sveikųjų skaičių sandaugų dalys, kurios yra skaičiaus skaitmenys naujoje skaičių sistemoje, turi būti suderintos su naujos skaičių sistemos abėcėle. 4. Sudarykite trupmeninę skaičiaus dalį naujoje skaičių sistemoje, pradedant nuo pirmosios sandaugos sveikosios dalies. 2.16 pavyzdys. Konvertuokite 0,6562510 į aštuntainių skaičių sistemą. 2.17 pavyzdys. Konvertuokite skaičių 0,6562510 į šešioliktainę skaičių sistemą. 2.18 pavyzdys. Konvertuokite dešimtainę 0,562510 į dvejetainę skaičių sistemą. 2.19 pavyzdys Paverskite dešimtainę trupmeną 0,710 į dvejetainę. Akivaizdu, kad šis procesas gali tęstis neribotą laiką, suteikdamas vis daugiau naujų ženklų skaičiaus 0,710 dvejetainio ekvivalento vaizde. Taigi keturiais žingsniais gauname skaičių 0,10112, o septyniais – skaičių 0,10110012, kuris yra tikslesnis skaičiaus 0,710 atvaizdavimas dvejetainiu formatu ir pan. Toks nesibaigiantis procesas nutrūksta tam tikru žingsniu, kai manoma, kad gautas reikiamas skaičiaus vaizdavimo tikslumas. 2.3.3. Savavališkų skaičių vertimas Savavališki skaičiai, tai yra skaičių, kuriuose yra sveikųjų ir trupmeninių dalių, verčiami dviem etapais. Visa dalis verčiama atskirai, trupmeninė dalis verčiama atskirai. Galutiniame gauto skaičiaus įraše sveikoji dalis atskiriama nuo trupmenos kablelio. 2.20 pavyzdys Paverskite skaičių 17.2510 į dvejetainę skaičių sistemą. Išverčiame sveikąją dalį: Išverčiame trupmeninę dalį: 2.21 pavyzdys. Konvertuokite skaičių 124.2510 į aštuntainį. 2.3.4. Skaičių vertimas iš skaičių sistemos su baze 2 į skaičių sistemą su baze 2n ir atvirkščiai. Sveikųjų skaičių vertimas – jei q-arinės skaičių sistemos pagrindas yra 2 laipsnis, tada skaičių konvertavimas iš ketvirčio skaičių sistemą į dvejetainę ir atvirkščiai galima atlikti naudojant paprastesnes taisykles. Norint įrašyti dvejetainį sveikąjį skaičių skaičių sistemoje, kurios bazė yra q \u003d 2 ", jums reikia: 1. Padalyti dvejetainį skaičių iš dešinės į kairę į grupes po n skaitmenų. 2. Jei paskutinėje kairėje grupėje yra mažiau nei n skaitmenų, tai turi būti 3. Kiekvieną grupę laikykite n bitų dvejetainiu skaičiumi ir įrašykite kaip atitinkamą skaitmenį skaičių sistemoje su baze q = 2n Pavyzdys 2.22 Skaičių 1011000010001100102 paverskite aštuntainių skaičių sistema. Skaičių iš dešinės į kairę padalijame į triadas ir po kiekvienu užrašome atitinkamą aštuntainį skaitmenį: Gauname pradinio skaičiaus aštuntainį vaizdą: 5410628. 2.23 pavyzdys. Paverskime skaičių 10000000001111100001112 į šešioliktainę skaičių sistemą. Skaičius iš dešinės į kairę padalijame į tetradas ir po kiekvienu užrašome atitinkamą šešioliktainį skaitmenį: Gauname šešioliktainį pradinio skaičiaus vaizdą: 200F8716. Trupmeninių skaičių vertimas. Norėdami parašyti trupmeninį dvejetainį skaičių skaičių sistemoje, kurios bazė yra q \u003d 2 ", turite: 1. Padalyti dvejetainį skaičių iš kairės į dešinę į grupes po n skaitmenų. 2. Jei paskutinėje dešinėje grupėje yra mažiau nei n skaitmenų, tada jos 3. Laikykite kiekvieną grupę n skaitmenų dvejetainiu skaičiumi ir įrašykite ją su atitinkamu skaitmeniu skaičių sistemoje su baze q \u003d 2n 2.24 pavyzdys dešinėje į triadas ir po kiekvienu iš jų rašome atitinkamas aštuntainis skaitmuo: Gauname pradinio skaičiaus aštuntainį vaizdą: 0,5428 2.25 pavyzdys Skaičius 0,1000000000112 išverčiame į šešioliktainę skaičių sistemą Padalinkite skaičių iš kairės į dešinę į tetradas ir po kiekvienu parašykite atitinkamą šešioliktainį skaitmenį: Gaukite šešioliktainį skaitmenį. originalaus numerio atvaizdas: 0.80316. parašyti dvejetainį skaičių skaičių sistemoje su baze q - 2n, jums reikia: [ 1. Šio dvejetainio skaičiaus sveikąją dalį iš dešinės į kairę, o trupmeninę dalį iš kairės į dešinę padalinkite į grupes po n skaitmenų. 2. Jei paskutinėje kairėje ir (arba) dešinėje grupėse yra mažiau nei n skaitmenų, tada kairėje ir (arba) dešinėje juos reikia papildyti nuliais iki reikiamo skaitmenų skaičiaus. 3. Laikykite kiekvieną grupę n bitų dvejetainiu skaičiumi ir užrašykite kaip atitinkamą skaitmenį skaičių sistemoje su baze q = 2p. 2.26 pavyzdys Išverskime skaičių 111100101.01112 į aštuntųjų skaičių sistemą. Skaičiaus sveikąją ir trupmeninę dalis padalijame į triadas ir po kiekvienu užrašome atitinkamą aštuntąjį skaitmenį: Gauname pradinio skaičiaus aštuntainį vaizdą: 745.34S. 2.27 pavyzdys. Išverskime skaičių 11101001000,110100102 į šešioliktainę skaičių sistemą. Skaičiaus sveikąsias ir trupmenines dalis padalijame į tetradas ir po kiekvienu užrašome atitinkamą šešioliktainį skaitmenį: Gauname pirminio skaičiaus šešioliktainį vaizdą: 748,D216. Skaičių vertimas iš skaičių sistemų su bazine q \u003d 2p į dvejetainę sistemą. Kad savavališkas skaičius, parašytas skaičių sistemoje su bazine q \u003d 2, būtų paverstas dvejetaine skaičių sistema, turite pakeisti kiekvieną skaitmenį šis skaičius su jo n skaitmens atitikmeniu dvejetainėje skaičių sistemoje . 2.28 pavyzdys. Išverskime šešioliktainį skaičių 4AC351b į dvejetainę skaičių sistemą. Pagal algoritmą: i Gauname: 10010101100001101012 Užduotys savipildai 2.38. Užpildykite lentelę, kurios kiekvienoje eilutėje turi būti įrašytas tas pats sveikasis skaičius skirtingomis skaičių sistemomis. 2.39. Užpildykite lentelę, kurios kiekvienoje eilutėje turi būti įrašytas tas pats trupmeninis skaičius skirtingomis skaičių sistemomis. 2.40. Užpildykite lentelę, kurios kiekvienoje eilutėje turi būti įrašytas tas pats savavališkas skaičius (skaičiuje gali būti ir sveikasis skaičius, ir trupmeninė dalis) skirtingomis skaičių sistemomis. 2.4. Aritmetiniai veiksmai padėties skaičių sistemose

Aritmetiniai veiksmai dvejetainėje sistemoje.


2.29 pavyzdys. Apsvarstykite keletą dvejetainių skaičių pridėjimo pavyzdžių:

Atimtis. Atliekant atimties operaciją, mažesnis skaičius visada atimamas iš didesnio skaičiaus absoliučia verte ir dedamas atitinkamas ženklas. Atimties lentelėje 1 su juostele reiškia didelės eilės paskolą.


2.31 pavyzdys. Apsvarstykite keletą dvejetainio daugybos pavyzdžių:

Matote, kad daugyba susiveda į daugybos ir poslinkius bei pridėjimus.

Padalinys. Dalybos operacija atliekama pagal algoritmą, panašų į dalybos operacijos algoritmą dešimtainėje skaičių sistemoje.


Sudėtis kitose skaičių sistemose. Žemiau yra pridėjimo lentelė aštuntainių skaičių sistemoje:

2.42. Išdėstykite aritmetinių operacijų ženklus taip, kad dvejetainėje sistemoje būtų teisingos šios lygybės:

Kiekvieno skaičiaus atsakymą parašykite nurodytoje ir dešimtainėje skaičių sistemomis. 2.44. Kuris skaičius yra prieš kiekvieną iš duomenų:

2.45. Išrašykite sveikuosius skaičius, priklausančius šiems skaitiniams intervalams:

a) dvejetainėje sistemoje;

b) aštuntojoje sistemoje;

c) šešioliktainėje sistemoje.

Kiekvieno skaičiaus atsakymą parašykite nurodytoje ir dešimtainėje skaičių sistemomis.



2.47. Raskite šių skaičių aritmetinį vidurkį:

2.48. Aštuntainių skaičių 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 + suma
+ 1700000000 8 buvo konvertuotas į šešioliktainę skaičių sistemą.
Įraše raskite skaičių, lygų šiai sumai, penktą skaitmenį iš kairės.


Atkurkite nežinomus skaičius, pažymėtus klaustuku
toliau pateikiami sudėjimo ir atimties pavyzdžiai, pirmiausia apibrėžiant
le, kokioje sistemoje rodomi skaičiai.

Aritmetiniai veiksmai padėties skaičių sistemose

Išsamiau panagrinėkime aritmetines operacijas dvejetainėje skaičių sistemoje. Dvejetainės skaičių sistemos aritmetika pagrįsta skaitmenų sudėties, atimties ir daugybos lentelių naudojimu. Aritmetiniai operandai yra viršutinėje lentelių eilutėje ir pirmajame stulpelyje, o rezultatai yra stulpelių ir eilučių sankirtoje:

Išsamiai apsvarstykime kiekvieną operaciją.

Papildymas. Dvejetainė pridėjimo lentelė yra labai paprasta. Tik vienu atveju, kai atliekamas papildymas 1+1, perkeliamas į aukščiausią rangą. ,

Atimtis. Atliekant atimties operaciją, mažesnis skaičius visada atimamas iš didesnio skaičiaus absoliučia verte ir dedamas atitinkamas ženklas. Atimties lentelėje 1 su juostele reiškia didelės eilės paskolą.

Daugyba. Daugybos operacija atliekama naudojant daugybos lentelę pagal įprastą schemą, naudojamą dešimtainėje skaičių sistemoje, nuosekliai dauginant daugiklį iš kito daugiklio skaitmens.

Padalinys. Dalybos operacija atliekama pagal algoritmą, panašų į dalybos operacijos algoritmą dešimtainėje skaičių sistemoje.

Pastaba: Sudėjus du skaičius, lygius 1, šiame skaitmenyje gaunamas 0, o 1-asis perkeliamas į reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdys_21: Pateikiami skaičiai 101 (2) ir 11 (2). Raskite šių skaičių sumą.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Patikrinkite: 5+3=8.

Atimant vienetą iš 0, vienetas imamas iš didžiausio artimiausio skaitmens, kuris skiriasi nuo 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimantis didžiausią skaitmenį, duoda 2 vienetus mažiausiai reikšmingame skaitmenyje ir vieną iš visų skaitmenų tarp didžiausio ir Žemiausia.

Pavyzdys_22: Pateikiami skaičiai 101 (2) ir 11 (2). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Patikrinkite: 5-3=2.

Daugybos operacija sumažinama iki pakartotinio poslinkio ir pridėjimo.

Pavyzdys_23: Pateikiami skaičiai 11 (2) ir 10 (2). Raskite šių skaičių sandaugą.

kur 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Patikrinkite: 3*2=6.

Aritmetiniai veiksmai aštuntainių skaičių sistemoje

Sudėjus du skaičius, kurių suma lygi 8, šioje kategorijoje gaunamas 0, o 1-asis perkeliamas į aukščiausią eilę.

Pavyzdys_24: Pateikti numeriai 165 (8) ir 13 (8). Raskite šių skaičių sumą.

kur 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10) .

Atimant didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, vienetas imamas iš didžiausio artimiausio skaitmens, kuris skiriasi nuo 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimantis didžiausią skaitmenį, duoda 8 mažiausiai reikšmingame skaitmenyje.

Pavyzdys_25: Pateikti numeriai 114 (8) ir 15 (8). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10) .

Aritmetiniai veiksmai šešioliktainėje skaičių sistemoje

Sudėjus du skaičius, iš viso 16, šioje kategorijoje įrašomas 0, o 1 perkeliamas į aukščiausią eilę.

Pavyzdys_26: Pateikti numeriai 1B5 (16) ir 53 (16). Raskite šių skaičių sumą.

kur 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10) .

Atimant didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus, vienetas užimamas nuo didžiausio artimiausio skaitmens, kuris skiriasi nuo 0. Tuo pačiu metu vienetas, užimtas didžiausiu skaitmeniu, duoda 16 mažiausiai reikšmingame skaitmenyje.

Pavyzdys_27: Pateikti numeriai 11A (16) ir 2C (16). Raskite skirtumą tarp šių skaičių.

kur 11A (16) = 282 (10) , 2C (16) = 44 (10), EE (16) = 238 (10) .

Kompiuterinis duomenų kodavimas

Duomenys kompiuteryje pateikiami kaip kodas, susidedantis iš vienetų ir nulių skirtingose ​​sekose.

Kodas– informacijos pateikimo simbolių rinkinys. Kodavimas yra informacijos pateikimo kodo forma procesas.

Skaičių kodai

Atlikdami aritmetinius veiksmus kompiuteriu, jie naudoja tiesioginis, atvirkštinis ir papildomas skaičių kodai.

Tiesioginis kodas

Tiesiai dvejetainio skaičiaus kodas (vaizdas absoliučios reikšmės pavidalu su ženklu) yra pats dvejetainis skaičius, kuriame visi jo reikšmę žymintys skaitmenys įrašyti kaip matematiniu žymėjimu, o skaičiaus ženklas – kaip dvejetainis skaitmuo.

Sveikieji skaičiai gali būti pavaizduoti kompiuteryje su ženklu arba be jo.

Nepaženklinti sveikieji skaičiai paprastai užima vieną ar du baitus atminties. Ženkliniams sveikiesiems skaičiams saugoti skiriamas vienas, du arba keturi baitai, o reikšmingiausias (kairysis) bitas – po skaičiaus ženklu. Jei skaičius yra teigiamas, į šį bitą įrašomas 0, jei neigiamas, tada 1.

Pavyzdys_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Teigiami skaičiai kompiuteryje visada pateikiami naudojant tiesioginį kodą. Tiesioginis numerio kodas visiškai sutampa su paties numerio įvedimu į mašinos langelį. Tiesioginis neigiamo skaičiaus kodas skiriasi nuo tiesioginio atitinkamo teigiamo skaičiaus kodo tik ženklo bito turiniu.

Tiesioginis kodas naudojamas saugant skaičius kompiuterio atmintyje, taip pat atliekant daugybos ir dalybos operacijas, tačiau skaičių vaizdavimo tiesioginiame kode formatas yra nepatogus naudoti skaičiavimuose, nes atliekamas teigiamų ir neigiamų skaičių sudėjimas ir atėmimas. skirtingai, todėl būtina analizuoti ženklų operandų bitus. Todėl tiesioginis kodas praktiškai nenaudojamas įgyvendinant aritmetines operacijas su sveikaisiais skaičiais ALU. Tačiau neigiami sveikieji skaičiai kompiuteryje neatvaizduojami tiesioginiu kodu. Vietoj šio formato paplito atvirkštinio skaičių vaizdavimo formatai ir papildomi kodai.

Atvirkštinis kodas

Atvirkštinis kodas teigiamo skaičiaus sutampa su tiesioginiu, o rašant neigiamą skaičių visi jo skaitmenys, išskyrus skaičiaus ženklą žymintį skaitmenį, pakeičiami priešingaisiais (0 pakeičiamas 1, o 1 pakeičiamas 0 ).

Pavyzdys_29:

Pavyzdys_30:

Norint atkurti tiesioginį neigiamo skaičiaus kodą iš atvirkštinio kodo, visi skaitmenys, išskyrus skaitmenį, reiškiantį skaičiaus ženklą, turi būti pakeisti priešingais.

Papildomas kodas

Papildomas kodas teigiamo skaičiaus sutampa su tiesioginiu, o neigiamo skaičiaus kodas susidaro prie atvirkštinio kodo pridedant 1.

Pavyzdys_31:

Pavyzdys_32:

Pavyzdys_33:

Sveikajam skaičiui -32 (10) parašykite papildomą kodą.

1. Pavertę skaičių 32 (10) į dvejetainę skaičių sistemą, gauname:

32 (10) =100000 (2) .

2. Tiesioginis teigiamo skaičiaus 32 (10) kodas yra 0010 0000.

3. Neigiamojo skaičiaus -32 (10) tiesioginis kodas yra 1010 0000.

4. Skaičiaus -32 (10) atvirkštinis kodas yra 1101 1111.

5. Skaičiaus -32 (10) papildomas kodas yra 1110 0000.

Pavyzdys_34:

Papildomas skaičiaus kodas yra 0011 1011. Raskite skaičiaus reikšmę dešimtainiu būdu.

1. Skaičiaus pirmasis (ženklas) skaitmuo 0 011 1011 yra 0, taigi skaičius yra teigiamas.

2. Teigiamo skaičiaus papildomi, atvirkštiniai ir tiesioginiai kodai yra vienodi.

3. Skaičius dvejetainėje sistemoje gaunamas iš tiesioginio kodo įrašo - 111011 (2) (nulius iš didžiausių skaičių atmetame).

4. Skaičius 111011 (2), pavertus dešimtainę skaičių sistemą, yra 59 (10).

Pavyzdys_35:

Papildomas skaičiaus kodas yra 1011 1011. Raskite skaičiaus reikšmę dešimtainiu būdu.

1. Pažymėkite skaičiaus skaitmenį 1 011 1011 yra 1, todėl skaičius yra neigiamas.

2. Norėdami nustatyti atvirkštinį skaičiaus kodą, atimkite vieną iš papildomo kodo. Atvirkštinis kodas yra 1 011 1010.

3. Tiesioginis kodas gaunamas iš atvirkštinės pusės, visus dvejetainius skaičiaus skaitmenis pakeičiant priešingais (1 – 0, 0 – 1). Tiesioginis numerio kodas yra 1 100 0101 (ženklo bite rašome 1).

4. Skaičius dvejetainėje sistemoje gaunamas iš tiesioginio kodo įrašo -100 0101 (2).

4. Skaičius -1000101 (2) po konvertavimo į dešimtainę yra lygus -69 (10).


Panaši informacija.