Skaitli 0 var attēlot kā robežu, kas atdala reālo skaitļu pasauli no iedomātajiem vai negatīvajiem. Neskaidras pozīcijas dēļ daudzas darbības ar šo skaitlisko vērtību nepakļaujas matemātiskajai loģikai. Tas ir lielisks piemērs tam, ka nav iespējams dalīt ar nulli. Un atļautās aritmētiskās darbības ar nulli var veikt, izmantojot vispārpieņemtas definīcijas.

Nulles vēsture

Nulle ir atskaites punkts visās standarta skaitļu sistēmās. Eiropieši šo skaitli sāka lietot salīdzinoši nesen, bet senās Indijas gudrie tūkstoš gadus lietoja nulli, pirms Eiropas matemātiķi regulāri izmantoja tukšo skaitli. Jau pirms indiāņiem maiju skaitļu sistēmā nulle bija obligāta vērtība. Šī amerikāņu tauta izmantoja divpadsmitpirkstu sistēmu, un katra mēneša pirmo dienu viņi sāka ar nulli. Interesanti, ka maiju vidū "nulles" zīme pilnībā sakrita ar "bezgalības" zīmi. Tādējādi senie maiji secināja, ka šie daudzumi ir identiski un nezināmi.

Matemātikas darbības ar nulli

Standarta matemātiskās darbības ar nulli var reducēt līdz dažiem noteikumiem.

Papildinājums: ja patvaļīgam skaitlim pievienojat nulli, tas nemainīs tā vērtību (0+x=x).

Atņemšana: no jebkura skaitļa atņemot nulli, atņemtā vērtība paliek nemainīga (x-0=x).

Reizināšana: jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 0, reizinājumā iegūst 0 (a*0=0).

Dalījums: Nulle var dalīt ar jebkuru skaitli, kas nav nulle. Šajā gadījumā šādas daļas vērtība būs 0. Un dalīt ar nulli ir aizliegta.

Paaugstināšana. Šo darbību var veikt ar jebkuru numuru. Patvaļīgs skaitlis, kas palielināts līdz nulles pakāpei, dos 1 (x 0 =1).

Nulle līdz jebkurai pakāpei ir vienāda ar 0 (0 a \u003d 0).

Šajā gadījumā uzreiz rodas pretruna: izteiksmei 0 0 nav jēgas.

Matemātikas paradoksi

To, ka dalīšana ar nulli nav iespējama, daudzi cilvēki zina no skolas laikiem. Bet nez kāpēc nav iespējams izskaidrot šāda aizlieguma iemeslu. Patiešām, kāpēc dalīšanas ar nulli formula nepastāv, bet citas darbības ar šo skaitli ir diezgan saprātīgas un iespējamas? Atbildi uz šo jautājumu sniedz matemātiķi.

Lieta tāda, ka parastās aritmētiskās darbības, ko skolēni mācās pamatklasēs, patiesībā nebūt nav tik vienlīdzīgas, kā mēs domājam. Visas vienkāršās darbības ar skaitļiem var samazināt līdz divām: saskaitīšanu un reizināšanu. Šīs darbības ir paša skaitļa jēdziena būtība, un pārējās darbības ir balstītas uz šo divu izmantošanu.

Saskaitīšana un reizināšana

Ņemsim standarta atņemšanas piemēru: 10-2=8. Skolā tiek uzskatīts vienkārši: ja no desmit priekšmetiem atņem divus, paliek astoņi. Taču matemātiķi uz šo darbību skatās pavisam savādāk. Galu galā viņiem nav tādas darbības kā atņemšana. Šo piemēru var uzrakstīt citā veidā: x+2=10. Matemātiķiem nezināmā atšķirība ir vienkārši skaitlis, kas jāpievieno diviem, lai iegūtu astoņi. Un šeit nav nepieciešama atņemšana, jums vienkārši jāatrod piemērota skaitliskā vērtība.

Reizināšana un dalīšana tiek apstrādāta vienādi. Piemērā 12:4=3 var saprast, ka runa ir par astoņu objektu sadalīšanu divās vienādās kaudzēs. Bet patiesībā šī ir tikai apgriezta formula 3x4 rakstīšanai \u003d 12. Šādus sadalīšanas piemērus var sniegt bezgalīgi.

Piemēri dalīšanai ar 0

Šeit kļūst nedaudz skaidrs, kāpēc nav iespējams dalīt ar nulli. Reizināšanai un dalīšanai ar nulli ir savi noteikumi. Visus piemērus šī daudzuma dalīšanai var formulēt kā 6:0=x. Bet šī ir izteiksmes 6 * x = 0 apgriezta izteiksme. Bet, kā jūs zināt, jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 0, produktā dod tikai 0. Šī īpašība ir raksturīga pašam nulles vērtības jēdzienam.

Izrādās, ka šāds skaitlis, kas, reizinot ar 0, dod kādu taustāmu vērtību, neeksistē, tas ir, šai problēmai nav risinājuma. No šādas atbildes nevajadzētu baidīties, tā ir dabiska atbilde šāda veida problēmām. Vienkārši rakstīt 6:0 nav nekādas jēgas, un tas neko nevar izskaidrot. Īsāk sakot, šo izteicienu var izskaidrot ar nemirstīgo "nav dalīšanas ar nulli".

Vai ir 0:0 operācija? Patiešām, ja reizināšanas ar 0 darbība ir likumīga, vai nulli var dalīt ar nulli? Galu galā vienādojums formā 0x5=0 ir diezgan likumīgs. Skaitļa 5 vietā varat ievietot 0, produkts no tā nemainīsies.

Patiešām, 0x0=0. Bet jūs joprojām nevarat dalīt ar 0. Kā teikts, dalīšana ir tikai reizināšanas apgrieztā vērtība. Tādējādi, ja piemērā 0x5=0 ir jānosaka otrais faktors, mēs iegūstam 0x0=5. Vai 10. Vai bezgalība. Bezgalības dalīšana ar nulli - kā jums tas patīk?

Bet, ja kāds skaitlis iekļaujas izteiksmē, tad tam nav jēgas, mēs nevaram izvēlēties vienu no bezgalīgas skaitļu kopas. Un ja tā, tas nozīmē, ka izteiksmei 0:0 nav jēgas. Izrādās, ka pat pašu nulli nevar dalīt ar nulli.

augstākā matemātika

Dalīšana ar nulli ir galvassāpes vidusskolas matemātikai. Tehniskajās augstskolās apgūtā matemātiskā analīze nedaudz paplašina tādu problēmu jēdzienu, kurām nav risinājuma. Piemēram, jau zināmajai izteiksmei 0:0 tiek pievienotas jaunas, kurām skolas matemātikas kursos nav risinājuma:

• bezgalība dalīta ar bezgalību: ∞:∞;
• bezgalība mīnus bezgalība: ∞−∞;
• vienība, kas paaugstināta līdz bezgalīgai jaudai: 1 ∞ ;
• bezgalība reizināta ar 0: ∞*0;
• daži citi.

Šādas izteiksmes nav iespējams atrisināt ar elementārām metodēm. Taču augstākā matemātika, pateicoties papildu iespējām vairākiem līdzīgiem piemēriem, sniedz galīgos risinājumus. Tas ir īpaši redzams, aplūkojot problēmas no robežu teorijas.

Nenoteiktības atklāšana

Ierobežojumu teorijā vērtību 0 aizstāj ar nosacītu bezgalīgi mazu mainīgo. Un izteiksmes, kurās, aizstājot vēlamo vērtību, tiek iegūta dalīšana ar nulli. Zemāk ir standarta piemērs ierobežojumu paplašināšanai, izmantojot parastās algebriskās transformācijas:

Kā redzat piemērā, vienkārša daļskaitļa samazināšana piešķir tās vērtību pilnīgi racionālai atbildei.

Apsverot trigonometrisko funkciju robežas, to izteiksmes mēdz samazināties līdz pirmajai ievērojamajai robežai. Apsverot robežas, kurās saucējs sasniedz 0, kad limits tiek aizstāts, tiek izmantota otrā ievērojamā robeža.

Hopital metode

Dažos gadījumos izteiksmju robežas var aizstāt ar to atvasinājumu limitu. Gijoms Lopitāls - franču matemātiķis, franču matemātiskās analīzes skolas dibinātājs. Viņš pierādīja, ka izteiksmju robežas ir vienādas ar šo izteiksmju atvasinājumu robežām. Matemātiskajā apzīmējumā viņa noteikums ir šāds.

Robežu risināšanas metodes. Neskaidrības.
Funkciju izaugsmes secība. Aizstāšanas metode

4. piemērs

Atrodi robežu

Šis ir vienkāršāks piemērs risinājumam, ko dari pats. Ierosinātajā piemērā atkal nenoteiktība (augstāka augšanas pakāpe nekā sakne).

Ja "x" mēdz būt "mīnus bezgalība"

"Mīnus bezgalības" rēgs šajā rakstā jau sen lidinās. Apsveriet ierobežojumus ar polinomiem, kuros . Risinājuma principi un metodes būs tieši tādi paši kā nodarbības pirmajā daļā, izņemot vairākas nianses.

Apsveriet 4 mikroshēmas, kas būs nepieciešamas praktisku uzdevumu risināšanai:

1) Aprēķiniet limitu

Limita vērtība ir atkarīga tikai no termiņa, jo tai ir visaugstākā pieauguma secība. Ja tad bezgalīgi liels modulis negatīvs skaitlis līdz pakāpei PAT, šajā gadījumā - ceturtajā, ir vienāds ar "plus bezgalība": . Konstante ("divi") pozitīvs, tāpēc:

2) Aprēķiniet limitu

Šeit atkal ir vecākais grāds pat, tāpēc: . Bet priekšā ir "mīnuss" ( negatīvs konstante –1), tāpēc:

3) Aprēķiniet limitu

Ierobežojuma vērtība ir atkarīga tikai no . Kā jūs atceraties no skolas laikiem, "mīnuss" "izlec" no nepāra pakāpes, tātad bezgalīgi liels modulis negatīvs skaitlis līdz nepāra pakāpei vienāds ar "mīnus bezgalība", šajā gadījumā: .
Konstante ("četri") pozitīvs, nozīmē:

4) Aprēķiniet limitu

Pirmais puisis ciematā ir atkal nepāra grādu, turklāt klēpī negatīvs konstante, kas nozīmē: Tātad:
.

5. piemērs

Atrodi robežu

Izmantojot iepriekš minētos punktus, mēs secinām, ka šeit pastāv nenoteiktība. Skaitītājs un saucējs ir vienāda pieauguma secībā, kas nozīmē, ka limitā tiks iegūts ierobežots skaitlis. Mēs uzzinām atbildi, izmetot visus mazuļus:

Risinājums ir triviāls:

6. piemērs

Atrodi robežu

Šis ir “dari pats” piemērs. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Un tagad, iespējams, vissmalkākais no gadījumiem:

7. piemērs

Atrodi robežu

Ņemot vērā augstākos termiņus, mēs nonākam pie secinājuma, ka šeit ir neskaidrības. Skaitītājam ir augstāka pieauguma pakāpe nekā saucējam, tāpēc uzreiz varam teikt, ka robeža ir bezgalība. Bet kāda veida bezgalība, "pluss" vai "mīnuss"? Uzņemšana ir tāda pati - skaitītājā un saucējā mēs atbrīvosimies no sīkumiem:

Mēs nolemjam:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

15. piemērs

Atrodi robežu

Šis ir “dari pats” piemērs. Aptuvens apdares paraugs nodarbības beigās.

Vēl pāris interesanti piemēri par mainīgo aizstāšanu:

16. piemērs

Atrodi robežu

Viena aizstāšana ar limitu rada nenoteiktību. Mainīgā aizstāšana jau liecina, bet vispirms mēs pārvēršam tangensu, izmantojot formulu. Patiešām, kāpēc mums ir vajadzīgs tangenss?

Ņemiet vērā, ka tāpēc . Ja tas nav pilnīgi skaidrs, skatiet sinusa vērtības trigonometriskā tabula. Tādējādi uzreiz tiekam vaļā no faktora , turklāt iegūstam pazīstamāko nenoteiktību 0:0. Būtu jauki, ja arī mūsu limits tiecas uz nulli.

Aizstāsim:

Ja tad

Zem kosinusa mums ir "x", kas arī jāizsaka caur "te".
No aizstāšanas mēs izsakām: .

Mēs pabeidzam risinājumu:

(1) Aizstāšanas veikšana

(2) Izvērsiet kronšteinus zem kosinusa.

(4) Organizēt pirmā brīnišķīgā robeža, mākslīgi reiziniet skaitītāju ar un apgriezto vērtību no .

Uzdevums patstāvīgam risinājumam:

17. piemērs

Atrodi robežu

Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Tie bija vienkārši uzdevumi viņu klasē, praksē viss ir sliktāk, un turklāt samazināšanas formulas, ir jāizmanto dažādi trigonometriskās formulas, kā arī citus trikus. Rakstā Sarežģītie ierobežojumi es analizēju pāris reālus piemērus =)

Svētku priekšvakarā beidzot noskaidrosim situāciju ar vēl vienu izplatītu neskaidrību:

Nenoteiktības likvidēšana "viens līdz bezgalības spēkam"

Šī nenoteiktība ir "apkalpota" otrā brīnišķīgā robeža, un šīs nodarbības otrajā daļā mēs ļoti detalizēti apskatījām standarta risinājumu piemērus, kas vairumā gadījumu tiek atrasti praksē. Tagad būs pabeigta bilde ar izstādes dalībniekiem, turklāt nodarbības noslēguma uzdevumi tiks veltīti robežām-"trikiem", kuros šķiet, ka jāpiemēro 2. brīnišķīgā robeža, lai gan tas nebūt nav lietu.

Abu 2. ievērojamās robežas darba formulu trūkums ir tāds, ka argumentam ir jātiecas uz "plus bezgalību" vai uz nulli. Bet ko darīt, ja argumentam ir tendence uz citu skaitli?

Universālā formula nāk palīgā (kas patiesībā ir otrās ievērojamās robežas sekas):

Nenoteiktību var novērst, izmantojot formulu:

Kaut kur es jau paskaidroju, ko nozīmē kvadrātiekavas. Nekas īpašs, kronšteini ir tikai kronšteini. Parasti tos izmanto, lai skaidri izceltu matemātisko apzīmējumu.

Izcelsim svarīgākos formulas punktus:

1) Runa ir par tikai par nenoteiktību un ne par ko citu.

2) Arguments "x" var būt tendence patvaļīga vērtība(un ne tikai līdz nullei vai ), jo īpaši līdz "mīnus bezgalībai" vai līdz jebkurš galīgais numurs.

Izmantojot šo formulu, jūs varat atrisināt visus nodarbības piemērus Ievērojami ierobežojumi, kas pieder pie 2. brīnišķīgās robežas. Piemēram, aprēķināsim limitu:

Šajā gadījumā , un saskaņā ar formulu :

Tiesa, es jums neiesaku to darīt, tradīcijās jūs joprojām izmantojat “parasto” risinājuma dizainu, ja to var pielietot. Tomēr izmantojot formulu, ir ļoti ērti pārbaudīt"klasiskie" piemēri līdz 2. brīnišķīgajai robežai.

Ļoti bieži daudzi cilvēki brīnās, kāpēc nav iespējams izmantot dalīšanu ar nulli? Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim, no kurienes šis noteikums ir radies, kā arī par to, kādas darbības var veikt ar nulli.

Saskarsmē ar

Nulle var saukt par vienu no interesantākajiem skaitļiem. Šim skaitlim nav nekādas nozīmes, tas nozīmē tukšumu vārda tiešākajā nozīmē. Taču, ja pie jebkura cipara ievietosiet nulli, šī cipara vērtība kļūs vairākas reizes lielāka.

Skaitlis pats par sevi ir ļoti noslēpumains. To izmantoja senie maiju cilvēki. Maijai nulle nozīmēja "sākumu", un arī kalendāro dienu skaitīšana sākās no nulles.

Ļoti interesants fakts ir tas, ka nulles zīme un nenoteiktības zīme viņiem bija līdzīgas. Ar to maiji vēlējās parādīt, ka nulle ir tāda pati zīme kā nenoteiktība. Eiropā nulles apzīmējums parādījās salīdzinoši nesen.

Arī daudzi cilvēki zina aizliegumu, kas saistīts ar nulli. To teiks jebkurš cilvēks nevar dalīt ar nulli. To skolā saka skolotāji, un bērni parasti pieņem vārdu. Parasti bērni vai nu vienkārši nav ieinteresēti to zināt, vai arī viņi zina, kas notiks, ja, izdzirdot svarīgu aizliegumu, viņi uzreiz jautās: "Kāpēc nevar dalīt ar nulli?". Bet, kļūstot vecākam, rodas interese, un jūs vēlaties uzzināt vairāk par šāda aizlieguma iemesliem. Tomēr ir pamatoti pierādījumi.

Darbības ar nulli

Vispirms jums ir jānosaka, kādas darbības var veikt ar nulli. Pastāv vairāku veidu aktivitātes:

• Papildinājums;
• Reizināšana;
• Atņemšana;
• Dalījums (nulle pēc skaitļa);
• Paaugstināšana.

Svarīgs! Ja saskaitīšanas laikā jebkuram skaitlim tiek pievienota nulle, tad šis skaitlis paliks nemainīgs un nemainīs tā skaitlisko vērtību. Tas pats notiek, ja no jebkura skaitļa atņem nulli.

Ar reizināšanu un dalīšanu lietas ir nedaudz atšķirīgas. Ja reiziniet jebkuru skaitli ar nulli, tad produkts arī kļūs par nulli.

Apsveriet piemēru:

Uzrakstīsim šo kā papildinājumu:

Pavisam ir pievienotas piecas nulles, tātad izrādās

Mēģināsim reizināt vienu ar nulli. Rezultāts arī būs nulle.

Nulle var dalīt arī ar jebkuru citu skaitli, kas nav vienāds ar to. Šajā gadījumā tas izrādīsies, kura vērtība arī būs nulle. Tas pats noteikums attiecas uz negatīviem skaitļiem. Ja dalāt nulli ar negatīvu skaitli, jūs iegūstat nulli.

Varat arī palielināt jebkuru numuru uz nulles jaudu. Šajā gadījumā jūs saņemat 1. Ir svarīgi atcerēties, ka izteiciens "nulle līdz nullei jauda" ir absolūti bezjēdzīgs. Ja jūs mēģināt paaugstināt nulli līdz jebkurai jaudai, jūs saņemsiet nulli. Piemērs:

Mēs izmantojam reizināšanas likumu, iegūstam 0.

Vai ir iespējams dalīt ar nulli

Tātad, mēs nonākam pie galvenā jautājuma. Vai ir iespējams dalīt ar nulli pavisam? Un kāpēc nav iespējams dalīt skaitli ar nulli, ņemot vērā, ka visas pārējās darbības ar nulli pilnībā pastāv un ir piemērojamas? Lai atbildētu uz šo jautājumu, jums jāvēršas pie augstākās matemātikas.

Sāksim ar jēdziena definīciju, kas ir nulle? Skolas skolotāji apgalvo, ka nulle nav nekas. Tukšums. Tas ir, ja jūs sakāt, ka jums ir 0 pildspalvu, tas nozīmē, ka jums vispār nav pildspalvu.

Augstākajā matemātikā jēdziens "nulle" ir plašāks. Tas nebūt nenozīmē tukšu. Šeit nulle tiek saukta par nenoteiktību, jo, nedaudz papētot, izrādās, ka, dalot nulli ar nulli, mēs varam iegūt jebkuru citu skaitli, kas var nebūt nulle.

Vai zini, ka tās vienkāršās aritmētiskās darbības, kuras tu mācījies skolā, nav tik vienlīdzīgas savā starpā? Visvienkāršākie soļi ir saskaitīšanu un reizināšanu.

Matemātiķiem jēdzieni "" un "atņemšana" nepastāv. Pieņemsim: ja no pieciem atņem trīs, tad paliks divi. Šādi izskatās atņemšana. Tomēr matemātiķi to rakstītu šādi:

Tādējādi izrādās, ka nezināmā atšķirība ir noteikts skaitlis, kas jāpievieno 3, lai iegūtu 5. Tas ir, jums nekas nav jāatņem, jums vienkārši jāatrod piemērots skaitlis. Šis noteikums attiecas uz pievienošanu.

Lietas ir nedaudz savādākas ar reizināšanas un dalīšanas noteikumi. Ir zināms, ka reizināšana ar nulli noved pie nulles rezultāta. Piemēram, ja 3:0=x, tad, apgriežot ierakstu, iegūstat 3*x=0. Un skaitlis, kas tiek reizināts ar 0, reizinājumā iedos nulli. Izrādās, ka skaitlis, kas produktā ar nulli dotu citu vērtību, izņemot nulli, neeksistē. Tas nozīmē, ka dalīšana ar nulli ir bezjēdzīga, tas ir, tas atbilst mūsu noteikumam.

Bet kas notiek, ja jūs mēģināt dalīt nulli ar sevi? Pieņemsim x kā nenoteiktu skaitli. Izrādās, vienādojums 0 * x \u003d 0. To var atrisināt.

Ja x vietā mēģinām ņemt nulli, iegūstam 0:0=0. Šķiet loģiski? Bet, ja mēģinām x vietā ņemt jebkuru citu skaitli, piemēram, 1, tad sanāk 0:0=1. Tāda pati situācija būs, ja paņemsiet jebkuru citu numuru un pievienojiet to vienādojumam.

Šajā gadījumā izrādās, ka par faktoru varam ņemt jebkuru citu skaitli. Rezultāts būs bezgalīgs dažādu skaitļu skaits. Tomēr dažreiz augstākajā matemātikā ir jēga dalīšanai ar 0, bet tad parasti ir noteikts nosacījums, kura dēļ mēs joprojām varam izvēlēties vienu piemērotu skaitli. Šo darbību sauc par "nenoteiktības izpaušanu". Parastā aritmētikā dalīšana ar nulli atkal zaudēs savu nozīmi, jo mēs nevarēsim izvēlēties nevienu skaitli no kopas.

Svarīgs! Nulle nevar dalīt ar nulli.

Nulle un bezgalība

Augstākajā matemātikā bezgalība ir ļoti izplatīta. Tā kā skolēniem vienkārši nav svarīgi zināt, ka joprojām pastāv matemātiskas darbības ar bezgalību, skolotāji nevar pareizi izskaidrot bērniem, kāpēc nav iespējams dalīt ar nulli.

Pamata matemātikas noslēpumus studenti sāk apgūt tikai institūta pirmajā kursā. Augstākā matemātika nodrošina lielu problēmu kopumu, kurām nav risinājuma. Slavenākās problēmas ir problēmas ar bezgalību. Tos var atrisināt ar matemātiskā analīze.

Var pieteikties arī uz bezgalību elementāras matemātiskās darbības: saskaitīšana, reizināšana ar skaitli. Parasti tiek izmantota arī atņemšana un dalīšana, taču galu galā tās joprojām ir divas vienkāršas darbības.

Bet kas būs ja pamēģināsi:

• Reiziniet bezgalību ar nulli. Teorētiski, ja mēs mēģināsim reizināt jebkuru skaitli ar nulli, mēs iegūsim nulli. Bet bezgalība ir nenoteikta skaitļu kopa. Tā kā mēs nevaram izvēlēties vienu skaitli no šīs kopas, izteiksmei ∞*0 nav atrisinājuma un tā ir absolūti bezjēdzīga.
• Nulle dalīta ar bezgalību. Šis ir tāds pats stāsts kā iepriekš. Mēs nevaram izvēlēties vienu skaitli, kas nozīmē, ka mēs nezinām, ar ko dalīt. Izteicienam nav jēgas.

Svarīgs! Bezgalība nedaudz atšķiras no nenoteiktības! Bezgalība ir nenoteiktības veids.

Tagad mēģināsim dalīt bezgalību ar nulli. Šķiet, ka vajadzētu būt nenoteiktībai. Bet, ja mēs mēģinām aizstāt dalīšanu ar reizināšanu, mēs iegūstam ļoti noteiktu atbildi.

Piemēram: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Izrādās šādi matemātiskais paradokss.

Kāpēc nevar dalīt ar nulli

Domu eksperiments, mēģini dalīt ar nulli

Izvade

Tātad, tagad mēs zinām, ka uz nulli attiecas gandrīz visas darbības, kas tiek veiktas ar, izņemot vienu. Jūs nevarat dalīt ar nulli tikai tāpēc, ka rezultāts ir nenoteiktība. Mēs arī iemācījāmies darboties ar nulli un bezgalību. Šādu darbību rezultāts būs nenoteiktība.

Funkcijas atvasinājums neietilpst tālu, un L'Hopital noteikumu gadījumā tas iekrīt tieši tur, kur atrodas sākotnējā funkcija. Šis apstāklis ​​palīdz atklāt 0/0 vai ∞/∞ formas nenoteiktības un dažas citas nenoteiktības, kas rodas aprēķinos. ierobežojums divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu funkciju attiecība. Aprēķinu ievērojami vienkāršo šis noteikums (faktiski divi noteikumi un piezīmes par tiem):

Kā parāda iepriekš sniegtā formula, aprēķinot divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu funkciju attiecības robežu, divu funkciju attiecības robežu var aizstāt ar to attiecību robežu. atvasinājumi un tādējādi iegūt noteiktu rezultātu.

Pāriesim pie precīzākiem L'Hopital noteikumu formulējumiem.

L'Hopital noteikums divu bezgalīgi mazu vērtību robežas gadījumam. Ļaujiet funkcijām f(x) un g(x a. Un pašā punktā a a funkcijas atvasinājums g(x) nav vienāds ar nulli ( g"(x a ir vienādi viens ar otru un vienādi ar nulli:

.

L'Hôpital noteikums divu bezgalīgi lielu daudzumu ierobežojuma gadījumam. Ļaujiet funkcijām f(x) un g(x) ir atvasinājumi (tas ir, tie ir diferencējami) kādā punkta apkārtnē a. Un pašā punktā a tiem var būt vai nebūt atvasinājumi. Turklāt punkta tuvumā a funkcijas atvasinājums g(x) nav vienāds ar nulli ( g"(x)≠0 ) un šo funkciju robežas kā x tiecas uz funkcijas vērtību punktā a ir vienādi viens ar otru un vienādi ar bezgalību:

.

Tad šo funkciju attiecības robeža ir vienāda ar to atvasinājumu attiecības robežu:

Citiem vārdiem sakot, formas 0/0 vai ∞/∞ nenoteiktībām divu funkciju attiecības robeža ir vienāda ar to atvasinājumu attiecības robežu, ja tāda pastāv (galīga, tas ir, vienāda ar noteikts skaitlis vai bezgalīgs, tas ir, vienāds ar bezgalību).

Piezīmes.

1. L'Hopital noteikumi ir piemērojami arī tad, kad funkcijas f(x) un g(x) nav definēti pie x = a.

2. Ja, aprēķinot funkciju atvasinājumu attiecības robežu f(x) un g(x) atkal nonākam pie formas 0/0 vai ∞/∞ nenoteiktības, tad L'Hopital noteikumi jāpiemēro atkārtoti (vismaz divas reizes).

3. L'Hopital noteikumi ir piemērojami arī tad, ja funkciju arguments (x) tiecas uz neierobežotu skaitli a, un līdz bezgalībai ( x → ∞).

Citu veidu nenoteiktības var arī reducēt līdz 0/0 un ∞/∞ tipu nenoteiktībām.

"nulle dalīta ar nulli" un "bezgalība dalīta ar bezgalību" veidu nenoteiktību atklāšana

1. piemērs

x=2 noved pie formas 0/0 nenoteiktības. Tāpēc katras funkcijas atvasinājums un mēs iegūstam

Skaitītājā tika aprēķināts polinoma atvasinājums, bet saucējā - kompleksas logaritmiskas funkcijas atvasinājums. Pirms pēdējās vienādības zīmes, parastais ierobežojums, aizstājot ar divnieku x vietā.

2. piemērs Aprēķiniet divu funkciju attiecības robežu, izmantojot L'Hospital noteikumu:

Lēmums. Aizstāšana ar noteiktu vērtību funkciju x

3. piemērs Aprēķiniet divu funkciju attiecības robežu, izmantojot L'Hospital noteikumu:

Lēmums. Aizstāšana ar noteiktu vērtību funkciju x=0 noved pie formas 0/0 nenoteiktības. Tāpēc mēs aprēķinām funkciju atvasinājumus skaitītājā un saucējā un iegūstam:

4. piemērs Aprēķināt

Lēmums. Aizvietojot x vērtību, kas vienāda ar plus bezgalību, noteiktā funkcijā noved pie formas ∞/∞ nenoteiktības. Tāpēc mēs izmantojam L'Hopital noteikumu:

komentēt. Pāriesim pie piemēriem, kuros L'Hopital noteikums ir jāpiemēro divreiz, tas ir, lai nonāktu līdz otro atvasinājumu attiecības robežai, jo pirmo atvasinājumu attiecības robeža ir formas nenoteiktība. 0/0 vai ∞/∞.

Formas "nulle reizināta ar bezgalību" nenoteiktību atklāšana

12. piemērs. Aprēķināt

.

Lēmums. Mēs saņemam

Šajā piemērā tiek izmantota trigonometriskā identitāte.

Atklājot nenoteiktības veidu "nulle līdz nulles pakāpei", "bezgalība līdz nulles pakāpei" un "viens līdz bezgalības pakāpei"

Formas nenoteiktības vai parasti tiek reducētas līdz formai 0/0 vai ∞/∞ , izmantojot formas funkcijas logaritmu

Lai aprēķinātu izteiksmes robežu, jāizmanto logaritmiskā identitāte, kuras īpašs gadījums ir logaritma īpašība .

Izmantojot logaritmisko identitāti un funkcijas nepārtrauktības īpašību (lai pārsniegtu robežas zīmi), robeža jāaprēķina šādi:

Atsevišķi ir jāatrod izteiksmes robeža eksponentā un jāveido e līdz atrastajai pakāpei.

13. piemērs

Lēmums. Mēs saņemam

.

.

14. piemērs Aprēķiniet, izmantojot L'Hopital likumu

Lēmums. Mēs saņemam

Aprēķiniet izteiksmes robežu eksponentā

.

.

15. piemērs Aprēķiniet, izmantojot L'Hopital likumu

Ja skaitli dala ar bezgalību, vai koeficientam ir tendence uz nulli? Turpināja iekšā un ieguva labāku atbildi

Atbilde no Olenka [iesācējs]
visi 0
Krabju miza
Orākuls
(56636)
Nē. Precīza nulle. Tā kā dalītājam ir tendence uz bezgalību, koeficientam ir tendence uz nulli. Un, ja dalām nevis ar uz bezgalību tendētu skaitli, bet ar pašu bezgalību (starp citu, precīzāk, oficiāli tas nemaz netiek uzskatīts par skaitli, bet tiek uzskatīts par īpašu simbolu, kas papildina skaitļu apzīmējumus) - tieši nulle.

Atbilde no Tiesnesis Vladimirs[guru]
Pat dalot nulli, pat reizinot ar jebkuru skaitli, tā joprojām būs nulle!

Atbilde no 1 23 [guru]
ja daži sūdi mēdz uz nulli, tad reizināt ar kaut ko galīgu (skaitli vai ierobežotu funkciju) ir nesāpīgi, jo all-rna mēdz uz nulli.
bet ja to reizina ar kaut kādu lietu, kas tiecas uz bezgalību, tad var būt varianti.

Atbilde no Krabju miza[guru]
Jebkuru skaitli dalot ar bezgalību, tiek iegūta nulle. Precīza nulle, nekāda "uz nulli". Un tad, neatkarīgi no tā, ar kādu skaitli jūs to reizinat, nulle. Un rezultāts, dalot nulli ar jebkuru skaitli, kas nav nulles, būs nulle, tikai dalot nulli ar nulli, rezultāts nav definēts, kā koeficients derēs jebkurš skaitlis.