Nodarbības tēma: Aritmētiskās darbības pozicionālo skaitļu sistēmās.

9. klase

Nodarbības mērķi:

    Didaktiskais: iepazīstināt studentus ar saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu binārajā sistēmā un veikt šo darbību veikšanas prasmju primāro praksi.

    Izglītības: veidot skolēnos interesi apgūt jaunas lietas, parādīt nestandarta pieejas iespēju aprēķiniem.

    Attīstās: attīstīt uzmanību, domāšanas stingrību, spēju spriest.

Nodarbības struktūra.

    Orgmoment -1 min.

    Mājas darbu pārbaude ar mutisku pārbaudījumu -15 minūtes.

    Mājasdarbs -2 minūtes.

    Problēmu risināšana ar vienlaicīgu analīzi un materiāla patstāvīgu izstrādi -25 min.

    Apkopojot stundu -2 minūtes.

NODARBĪBU LAIKĀ

    Organizatoriskais brīdis.

    Mājas darbu pārbaude (mutisks pārbaudījums) .

Skolotājs secīgi nolasa jautājumus. Studenti uzmanīgi klausās jautājumu, to nepierakstot. Tiek ierakstīta tikai atbilde, turklāt ļoti īsi. (Ja iespējams atbildēt ar vienu vārdu, tad tiek ierakstīts tikai šis vārds).

    Kas ir skaitļu sistēma? (-šī ir zīmju sistēma, kurā skaitļus raksta saskaņā ar noteiktiem noteikumiem, izmantojot kāda alfabēta rakstzīmes, ko sauc par cipariem )

    Kādas skaitļu sistēmas jūs zināt?( nepozicionāls un pozicionāls )

    Kādu sistēmu sauc par nepozicionālu? (SCH sauc par nepozicionālu, ja cipara kvantitatīvais ekvivalents (kvantitatīvā vērtība) skaitļā nav atkarīgs no tā pozīcijas skaitļa apzīmējumā ).

    Kas ir pozicionālā SSC bāze. (vienāds ar ciparu skaitu, kas veido tā alfabētu )

    Kāda matemātiskā darbība jāizmanto, lai pārvērstu veselu skaitli no decimāldaļas NSC uz jebkuru citu? (nodaļa )

    Kas jādara, lai pārvērstu skaitli no decimāldaļas uz bināru? (Konsekventi dalīt ar 2 )

    Cik reizes samazināsies skaitlis 11,1 2 pārvietojot komatu par vienu rakstzīmi pa kreisi? (2 reizes )

Tagad klausīsimies pantiņu par kādu neparastu meiteni un atbildēsim uz jautājumiem. (Izklausās pēc pantiņa )

ĀRKĀRTAS MEITENE

Viņai bija tūkstoš un simts gadu
Viņa devās uz simt pirmo klasi,
Es savā portfolio nēsāju simts grāmatu.
Tas viss ir patiesība, nevis muļķības.

Kad, noslaukot putekļus ar duci pēdu,
Viņa gāja pa ceļu.
Viņai vienmēr sekoja kucēns
Ar vienu asti, bet simtkāju.

Viņa uztvēra katru skaņu
Ar desmit ausīm
Un desmit iedegušas rokas
Viņi turēja portfeli un pavadu.

Un desmit tumši zilas acis
Uzskatot pasauli ierasti,
Bet viss kļūs pavisam normāli,
Kad sapratīsi manu stāstu.

/ N. Starikovs /

Un cik meitenei bija gadu? (12 gadus vecs ) Kurā klasē viņa gāja? (5. klase ) Cik roku un kāju viņai bija? (2 rokas, 2 kājas ) Kā kucēnam ir 100 kājas? (4 ķepas )

Pēc kontroldarba aizpildīšanas paši skolēni skaļi izrunā atbildes, tiek veikta pašpārbaude un skolēni liek sev atzīmes.

Kritērijs:

    10 pareizas atbildes (varbūt neliels trūkums) - “5”;

    9 vai 8 - “4”;

    7, 6 – “3”;

    pārējie ir “2”.

II. Mājasdarbs (2 minūtes)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Darbs ar jaunu materiālu

Aritmētiskās darbības binārajā sistēmā.

Binārās skaitļu sistēmas aritmētikas pamatā ir ciparu saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas tabulu izmantošana. Aritmētiskie operandi atrodas tabulu augšējā rindā un pirmajā kolonnā, un rezultāti ir kolonnu un rindu krustpunktā:

0

1

1

1

Papildinājums.

Binārā pievienošanas tabula ir ļoti vienkārša. Tikai vienā gadījumā, kad tiek veikta saskaitīšana 1 + 1, notiek pārsūtīšana uz nozīmīgāko bitu.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Atņemšana.

Veicot atņemšanas darbību, no lielāka skaitļa absolūtā vērtībā vienmēr tiek atņemts mazāks skaitlis un tiek likta atbilstošā zīme. Atņemšanas tabulā 1 ar joslu nozīmē augsta līmeņa aizdevumu. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Reizināšana

Reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā ar secīgu reizinātāja reizināšanu ar nākamo reizinātāja ciparu. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Reizināšana tiek samazināta līdz reizinātāja un saskaitīšanas nobīdēm.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Nodarbības rezumēšana

Karte studentu papildu darbam.

Veiciet aritmētiskās darbības:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Papildinājums. Skaitļu saskaitīšana binārajā skaitļu sistēmā balstās uz viencipara bināro skaitļu saskaitīšanas tabulu (6.tabula).

Ir svarīgi pievērst uzmanību tam, ka, pievienojot divas vienības, pārskaitījums tiek veikts uz augstāko ciparu. Tas notiek, ja skaitļa vērtība kļūst vienāda ar skaitļu sistēmas bāzi vai lielāka par to.

Vairāku bitu bināro skaitļu pievienošana tiek veikta saskaņā ar iepriekš minēto saskaitīšanas tabulu, ņemot vērā iespējamo pārsūtīšanu no zemākiem cipariem uz augstākiem cipariem. Piemēram, kolonnā pievienosim bināros skaitļus:

Pārbaudīsim aprēķinu pareizību, saskaitot decimālskaitļu sistēmā. Pārvērsīsim bināros skaitļus decimālo skaitļu sistēmā un pievienosim tos:

Atņemšana. Bināro skaitļu atņemšanas pamatā ir viencipara bināro skaitļu atņemšanas tabula (7. tabula).

Atņemot no mazāka skaitļa (0) lielāku (1), tiek veikts aizdevums no augstākās kārtas. Tabulā aizdevums norādīts ar 1 ar stabiņu.

Daudzciparu bināro skaitļu atņemšana tiek realizēta saskaņā ar šo tabulu, ņemot vērā iespējamos aizdevumus ar augstas kārtas cipariem.

Piemēram, atņemsim bināros skaitļus:

Reizināšana. Reizināšanas pamatā ir viencipara bināro skaitļu reizināšanas tabula (8. tabula).

Daudzciparu bināro skaitļu reizināšana tiek veikta saskaņā ar šo reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā, secīgi reizinot reizinātāju ar nākamo reizinātāja ciparu. Apsveriet binārās reizināšanas piemēru

Piemērs 1. Atrodiet X, ja Lai pārveidotu vienādības kreiso pusi, mēs secīgi izmantojam de Morgana likumu loģiskai saskaitīšanai un dubultās noliegšanas likumu: Saskaņā ar sadales likumu loģiskajai saskaitīšanai: saskaņā ar trešās un konstantas eliminācijas likums: pielīdziniet iegūto kreiso pusi ar labo: X \u003d B Visbeidzot, mēs iegūstam: X = B. Piemērs 2. Vienkāršojiet loģisko izteiksmi Pārbaudiet vienkāršošanas pareizību, izmantojot patiesības tabulas oriģinālajai un iegūtajai loģikai izteiksme. Saskaņā ar vispārējās inversijas likumu loģiskajai saskaitīšanai (de Morgana pirmais likums) un dubultās noliegšanas likumam: Saskaņā ar sadales (distributīvo) likumu loģiskajai pievienošanai: Saskaņā ar pretrunu likumu: Saskaņā ar idempotences likumu Mēs aizstājam vērtības un, izmantojot komutatīvo (komutatīvo) likumu un grupējot terminus, mēs iegūstam: Saskaņā ar izslēgšanas likumu (līmēšanas) Aizstājiet vērtības un iegūstiet: Saskaņā ar konstantu izslēgšanas likumu loģiskai pievienošanai un idempotences likums: aizstājiet vērtības un iegūstiet: saskaņā ar sadales (distributīvo) likumu loģiskajai reizināšanai: saskaņā ar vidus izslēgšanas likumu: aizstājiet vērtības un beidzot iegūstiet: 2 A loģiskos pamatus. dators Diskrētu pārveidotāju, kas pēc ieejas bināro signālu apstrādes izvadā izdod signālu, kas ir vienas no loģisko operāciju vērtība, sauc par loģisko elementu. Zemāk ir norādīti loģisko pamatelementu simboli (shēmas), kas realizē loģisko reizināšanu (konjunktoru), loģisko saskaitīšanu (disjunktoru) un noliegšanu (invertors). Rīsi. 3.1. Konjunktors, disjunktoru un invertors Datoru ierīces (sudevēji procesorā, atmiņas šūnas RAM utt.) ir veidotas uz loģikas pamatelementu bāzes. 3. piemērs. Pamatojoties uz doto loģisko funkciju F(A, B) = =B&AÚB&A, izveidojiet loģisko ķēdi. Būvniecība jāsāk ar loģisku darbību, kas jāveic pēdējā. Šajā gadījumā šāda darbība ir loģisks papildinājums, tāpēc loģiskās ķēdes izejā ir jābūt disjunktoram. Signāli uz to tiek padoti no diviem konjunktoriem, kuriem, savukārt, viens ieejas signāls ir normāls un viens invertēts (no invertoriem). 4. piemērs. Loģiskajai shēmai ir divas ieejas X un Y. Nosakiet loģiskās funkcijas F1(X,Y) un F2(X,Y), kas tiek realizētas tās divās izejās. Funkcija F1(X,Y) tiek realizēta pirmā konjunktora izejā, tas ir, F1(X,Y) = X&Y. Tajā pašā laikā signāls no konjunktora tiek padots uz invertora ieeju, kura izejā tiek realizēts X&Y signāls, kas, savukārt, tiek padots uz vienu no otrā konjunktora ieejām. Signāls Xv Y no disjunktora tiek padots uz otru konjunktoru ieeju, tāpēc funkcija F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Apsveriet divu n-bitu bināro skaitļu pievienošanas shēmu. Saskaitot i-ro cipara ciparus, tiek pievienoti ai un bi, kā arī Pi-1 - pārskaitījums no i-1 cipara. Rezultāts būs st - summa un Pi - pāreja uz augstāko secību. Tādējādi viena bita binārais papildinātājs ir ierīce ar trim ieejām un divām izejām. Piemērs 3.15. Izveidojiet patiesības tabulu viena bita binārajam summatājam, izmantojot bināro saskaitīšanas tabulu. Sprūda. Trigerus izmanto, lai saglabātu informāciju datora operatīvajā atmiņā, kā arī procesora iekšējos reģistros. Sprūda var būt vienā no diviem stabiliem stāvokļiem, kas ļauj atcerēties, saglabāt un lasīt 1 bitu informācijas. Vienkāršākais trigeris ir .RS trigeris. Tas sastāv no diviem OR-NOT vārtiem, kas realizē loģisko funkciju F9 (sk. 3.1. tabulu). Elementu ieejas un izejas ir savienotas ar gredzenu: pirmā izeja ir savienota ar otrā, bet otrā - ar pirmā. Sprūdam ir divas ieejas S (no angļu valodas komplekta - uzstādīšana) un I (no angļu valodas atiestatīšanas - atiestatīšana) un divas izejas Q (tiešā) un Q (apgrieztā). Rīsi. 2 RS flip-flop loģika Piemērs 3.16. Izveidojiet tabulu, kas apraksta RS flip-flop ieeju un izeju stāvokli. Ja ieejas saņem signālus R = 0 un S = 0, tad trigeris atrodas uzglabāšanas režīmā, izejas Q un Q saglabā iepriekš iestatītās vērtības. Ja iestatījuma ieejā S uz īsu laiku tiek piegādāts signāls 1, tad sprūda pāriet stāvoklī 1 un pēc tam, kad signāls ieejā S kļūst vienāds ar 0, trigeris saglabās šo stāvokli, tas ir, saglabās 1. Ja ievadei R tiek piemērots 1, trigeris pāries uz stāvokli 0. Lietojot loģisko abām ieejām S un R, rezultāts var būt neskaidrs, tāpēc šāda ievades signālu kombinācija ir aizliegta. Pašizpildes uzdevumi 1. Ir 16 divu mainīgo loģiskās funkcijas (sk. 3.1. tabulu). Veidojiet to loģiskās shēmas, izmantojot pamata loģikas elementus: konjunktoru, disjunktoru un invertoru. 2. Pierādiet, ka 3.10. piemērā aplūkotā loģiskā ķēde ir viena bita bināra pussummētāja (pārnešana no vismazāk nozīmīga bita netiek ņemta vērā). 3. Pierādiet, veidojot patiesības tabulu, ka loģiskā funkcija Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) nosaka pārsūtīšanu uz augstāko bitu, saskaitot bināros skaitļus (A un B ir vārdi, Po ir a pārnēsāt no vismazāk nozīmīga bita). 4. Konstruējot patiesības tabulu, pierādiet, ka loģiskā funkcija S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) nosaka summu, saskaitot bināros skaitļus (A un B ir vārdi, Po ir pārnešana no vismazāk nozīmīgākā bita). 5. Izveidojiet viena bita binārā summatora loģisko shēmu. Cik pamata vārti ir nepieciešami, lai ieviestu 64 bitu bināro summētāju? 6. Cik loģisko pamatelementu veido moderna datora ar 64 MB ietilpību operatīvo atmiņu? 1. Pierakstiet skaitļus izvērstā veidā: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8 = 0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Salocītā veidā pierakstiet šādus skaitļus: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Vai skaitļi ir pareizi uzrakstīti atbilstošajās skaitļu sistēmās: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Kāda ir skaitļu sistēmas minimālā bāze, ja tajā ierakstīti skaitļi 127, 222, 111? Nosakiet šo skaitļu decimālo ekvivalentu atrastajā skaitļu sistēmā. 5. Kāds ir skaitļu 101012, 101018 1010116 decimāldaļas ekvivalents? 6. Trīsciparu decimālskaitlis beidzas ar skaitli 3. Ja šis skaitlis tiek pārvietots par diviem cipariem pa kreisi, tas ir, no tā sāksies jauna skaitļa ierakstīšana, tad šis jaunais cipars būs par vienu vairāk nekā trīskāršs. oriģinālais numurs. Atrodiet sākotnējo numuru. 2.22. Sešu ciparu decimālskaitlis sākas kreisajā pusē ar skaitli 1. Ja šo skaitli pārnes no pirmās vietas kreisajā pusē uz pēdējo vietu labajā pusē, tad izveidotā skaitļa vērtība būs trīs reizes lielāka par sākotnējo. . Atrodiet sākotnējo numuru. 2.23. Kurš no skaitļiem 1100112, 1114, 358 un 1B16 ir: a) lielākais; b) vismazāk? 2.27.Vai ir trijstūris, kura malu garumi ir izteikti ar skaitļiem 12g, 1116 un 110112? 2.28.Kāds ir lielākais decimālskaitlis, ko var uzrakstīt kā trīs cipari bināro, oktālo un heksadecimālo skaitļu sistēmā? 2.29. "Nav nopietni" jautājumi. Kad ir 2x2=100? Kad ir 6x6=44? Kad ir 4x4=20? 2.30. Pierakstiet veselus decimālskaitļus, kas pieder šādiem ciparu intervāliem: a) ; b) ; in) . 2.31.Klasē mācās 11112 meitenes un 11002 zēni. Cik skolēnu ir klasē? 2.32.Klasē mācās 36.d skolēni, no kuriem 21q ir meitenes un 15q ir zēni. Kāda numerācijas sistēma tika izmantota skolēnu skaitīšanai? 2. 33. Dārzā aug 100q augļu koki, no kuriem 33q ir ābeles, 22q bumbieres, 16q plūmes un 5q ķirši. Kādā skaitļu sistēmā tiek skaitīti koki? 2.34.Bija 100q āboli. Pēc tam, kad katrs no tiem tika pārgriezts uz pusēm, bija 1000q pusītes. Uz kāda pamata skaitļu sistēmā tika kārtots konts? 2.35. Man ir 100 brāļi. Jaunākajam ir 1000 gadu, bet vecākajam ir 1111 gadi. Vecākā mācās 1001. klasē. Vai tas varētu būt? 2.36.Kādreiz bija dīķis, kura centrā auga viena ūdensrozes lapa. Katru dienu šādu lapu skaits dubultojās, un desmitajā dienā visa dīķa virsma jau bija piepildīta ar liliju lapām. Cik dienas pagāja, lai pusi dīķa piepildītu ar lapām? Cik lapu bija pēc devītās dienas? 2.37.Izvēloties skaitļa 2 pakāpjus, kas summējas līdz noteiktam skaitlim, binārajā skaitļu sistēmā pārvērš šādus skaitļus: a) 5; pulksten 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Pārbaudiet tulkojuma pareizību, izmantojot programmu Advanced Converter. 2.3. Skaitļu tulkošana no vienas skaitļu sistēmas citā 2.3.1. Veselu skaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā Mēs varam formulēt algoritmu veselu skaitļu pārvēršanai no sistēmas ar bāzi p uz sistēmu ar bāzi q: 1. Izteikt jaunās skaitļu sistēmas bāzi sākotnējās skaitļu sistēmas cipariem un veikt visas turpmākās darbības sākotnējā skaitļu sistēmā. 2. Konsekventi veikt dotā skaitļa un iegūto veselo skaitļu dalījumu pēc jaunās skaitļu sistēmas bāzes, līdz iegūstam par dalītāju mazāku daļu. 3. Iegūtie atlikumi, kas ir skaitļa cipari jaunajā skaitļu sistēmā, tiek saskaņoti ar jaunās skaitļu sistēmas alfabētu. 4. Sastādiet skaitli jaunajā skaitļu sistēmā, pierakstot to, sākot no pēdējās atlikuma. Piemērs 2.12. Pārvērtiet decimālskaitli 17310 par oktālu: ■ Iegūstam: 17310=2558. Piemērs 2.13. Pārvērst decimālo skaitli 17310 par heksadecimālo skaitļu sistēmu: - Iegūstam: 17310=AD16. Piemērs 2.14. Pārvērst decimālo skaitli 1110 par bināro skaitļu sistēmu. Mēs iegūstam: 111O=10112. Piemērs 2.15.Dažreiz ērtāk ir tulkošanas algoritmu uzrakstīt tabulas veidā. Pārveidosim decimālo skaitli 36310 par bināru skaitli. 2.3.2. Daļskaitļu pārvēršana no vienas skaitļu sistēmas citā Mēs varam formulēt algoritmu pareizas daļskaitļa ar bāzi p pārvēršanai par daļskaitli ar bāzi q: 1. Izteikt jaunās skaitļu sistēmas bāzi sākotnējās skaitļu sistēmas cipariem un veikt visas turpmākās darbības sākotnējā skaitļu sistēmā. 2. Doto skaitli un iegūtās reizinājumu daļdaļas secīgi reiziniet ar jaunās sistēmas bāzi, līdz reizinājuma daļdaļa kļūst vienāda ar nulli vai tiek sasniegta nepieciešamā skaitļa attēlojuma precizitāte. 3. Rezultātā iegūtās produktu veselās daļas, kas ir skaitļa cipari jaunajā skaitļu sistēmā, jāsaskaņo ar jaunās skaitļu sistēmas alfabētu. 4. Sastādiet skaitļa daļējo daļu jaunajā skaitļu sistēmā, sākot ar pirmā reizinājuma veselo skaitļa daļu. Piemērs 2.16. Pārvērtiet 0,6562510 par oktālo skaitļu sistēmu. Piemērs 2.17. Pārvērtiet skaitli 0,6562510 par heksadecimālo skaitļu sistēmu. Piemērs 2.18. Pārvērtiet decimāldaļu 0,562510 par bināro skaitļu sistēmu. Piemērs 2.19. Pārvērtiet decimālo daļu 0,710 par bināru. Acīmredzot šis process var turpināties bezgalīgi, dodot arvien jaunas zīmes skaitļa 0,710 binārā ekvivalenta attēlā. Tātad četros soļos mēs iegūstam skaitli 0,10112, un septiņos soļos mēs iegūstam skaitli 0,10110012, kas ir precīzāks skaitļa 0,710 attēlojums binārajā formā un tā tālāk. Šāds nebeidzams process tiek pārtraukts noteiktā solī, kad tiek uzskatīts, ka ir iegūta nepieciešamā skaitļa attēlojuma precizitāte. 2.3.3. Patvaļīgu skaitļu tulkošana Patvaļīgu skaitļu, tas ir, skaitļu, kas satur veselas un daļējas daļas, tulkošana tiek veikta divos posmos. Visa daļa tiek tulkota atsevišķi, daļēja daļa tiek tulkota atsevišķi. Iegūtā skaitļa galīgajā ierakstā veselā skaitļa daļa tiek atdalīta no komata. Piemērs 2.20. Pārvērtiet skaitli 17.2510 uz bināro skaitļu sistēmu. Mēs tulkojam veselo skaitļu daļu: Mēs tulkojam daļskaitli: Piemērs 2.21. Pārvērtiet skaitli 124.2510 par oktālu. 2.3.4. Skaitļu tulkošana no skaitļu sistēmas ar bāzi 2 uz skaitļu sistēmu ar bāzi 2n un otrādi Veselu skaitļu tulkošana - Ja q-ary skaitļu sistēmas bāze ir 2 pakāpiens, tad skaitļu pārvēršana no q-ary skaitļu sistēmas pārslēgšanu uz bināro un otrādi var veikt, izmantojot vienkāršākus noteikumus. Lai ierakstītu bināru veselu skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi q \u003d 2 ", jums ir nepieciešams: 1. Sadaliet bināro skaitli no labās puses uz kreiso n ciparu grupās katrā. 2. Ja pēdējā kreisajā grupā ir mazāk par n cipariem, tad tai ir jābūt 3. Uzskata katru grupu par n-bitu bināru skaitli un ieraksta to kā atbilstošo ciparu skaitļu sistēmā ar bāzi q = 2n Piemērs 2.22 Pārvērst skaitli 1011000010001100102 uz oktālo skaitļu sistēmu. Skaitli no labās puses uz kreiso sadalām trijās un zem katra ierakstām atbilstošo oktālo ciparu: Iegūstam oriģinālā skaitļa oktālo attēlojumu: 5410628. Piemērs 2.23. Pārveidosim skaitli 10000000001111100001112 par heksadecimālo skaitļu sistēmu. Mēs sadalām skaitli no labās puses uz kreiso tetradēs un zem katra ierakstām atbilstošo heksadecimālo ciparu: Iegūstam sākotnējā skaitļa heksadecimālo attēlojumu: 200F8716. Daļskaitļu tulkošana. Lai ierakstītu daļskaitļu bināro skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi q \u003d 2 ", jums ir nepieciešams: 1. Sadaliet bināro skaitli no kreisās puses uz labo n ciparu grupās katrā. 2. Ja pēdējā labajā grupā ir mazāk nekā n cipari, tad tā 3. Uzskatiet katru grupu par n-ciparu bināru skaitli un ierakstiet to ar atbilstošo ciparu skaitļu sistēmā ar bāzi q \u003d 2n Piemērā 2.24. pa labi trijās un zem katra no tām rakstām atbilstošo oktālo ciparu: Iegūstam oriģinālā skaitļa oktālo attēlojumu: 0.5428 2.25. piemērs. Skaitli 0.1000000000112 pārvēršam heksadecimālā skaitļu sistēmā Sadaliet skaitli no kreisās uz labo tetradēs un zem katra no tiem ierakstiet atbilstošo heksadecimālo ciparu: Iegūstiet heksadecimālo ciparu. oriģinālā numura attēlojums: 0.80316. uzrakstiet bināro skaitli skaitļu sistēmā ar bāzi q - 2n, nepieciešams: [ 1. Sadaliet šī binārā skaitļa veselo daļu no labās puses uz kreiso un daļskaitli no kreisās uz labo n ciparu grupās katrā. 2. Ja pēdējā kreisajā un/vai labajā grupā ir mazāk par n cipariem, tad tie kreisajā un/vai labajā pusē jāpapildina ar nullēm līdz vajadzīgajam ciparu skaitam. 3. Uzskatiet katru grupu par n-bitu bināru skaitli un pierakstiet to kā atbilstošo ciparu skaitļu sistēmā ar bāzi q = 2p. Piemērs 2.26. Pārtulkosim skaitli 111100101.01112 oktālo skaitļu sistēmā. Skaitļa veselās un daļskaitļa daļas sadalām triādēs un zem katras ierakstām atbilstošo oktālo ciparu: Iegūstam sākotnējā skaitļa oktālo attēlojumu: 745.34S. Piemērs 2.27. Pārtulkosim skaitli 11101001000,110100102 heksadecimālajā skaitļu sistēmā. Skaitļa veselās un daļējās daļas sadalām tetradēs un zem katra ierakstām atbilstošo heksadecimālo ciparu: Iegūstam sākotnējā skaitļa heksadecimālo attēlojumu: 748,D216. Skaitļu tulkošana no skaitļu sistēmām ar bāzi q \u003d 2p uz bināro sistēmu. Lai patvaļīgs skaitlis, kas ierakstīts skaitļu sistēmā ar bāzi q \u003d 2, tiktu pārvērsts par bināro skaitļu sistēmu, ir jāaizstāj katrs skaitļu sistēmas cipars. šis skaitlis ar tā n-ciparu ekvivalentu binārajā skaitļu sistēmā . Piemērs 2.28. Pārtulkosim heksadecimālo skaitli 4AC351b binārajā skaitļu sistēmā. Saskaņā ar algoritmu: i Iegūstam: 10010101100001101012 Pašizpildes uzdevumi 2.38. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats vesels skaitlis. 2.39. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats daļskaitlis. 2.40. Aizpildiet tabulu, kuras katrā rindā dažādās skaitļu sistēmās jāieraksta viens un tas pats patvaļīgs skaitlis (skaitlis var saturēt gan veselu, gan daļēju daļu). 2.4. Aritmētiskās darbības pozicionālo skaitļu sistēmās

Aritmētiskās darbības binārajā sistēmā.


Piemērs 2.29. Apsveriet dažus bināro skaitļu pievienošanas piemērus:

Atņemšana. Veicot atņemšanas darbību, mazākais skaitlis vienmēr tiek atņemts no lielākā skaitļa absolūtajā vērtībā un tiek likta atbilstošā zīme. Atņemšanas tabulā 1 ar joslu nozīmē augsta līmeņa aizdevumu.


Piemērs 2.31. Apsveriet dažus binārās reizināšanas piemērus:

Jūs redzat, ka reizināšana izpaužas kā reizināšanas un maiņas un saskaitīšanas.

Divīzija. Dalīšanas operācija tiek veikta pēc algoritma, kas līdzīgs dalīšanas darbības algoritmam decimālo skaitļu sistēmā.


Papildinājums citās skaitļu sistēmās. Zemāk ir saskaitīšanas tabula oktālo skaitļu sistēmā:

2.42. Sakārtojiet aritmētisko darbību zīmes tā, lai binārajā sistēmā būtu patiesas šādas vienādības:

Uzrakstiet atbildi katram skaitlim norādītajā un decimālskaitļu sistēmā. 2.44. Kurš skaitlis ir pirms katra datu:

2.45. Izrakstiet veselus skaitļus, kas pieder šādiem skaitliskiem intervāliem:

a) binārā sistēmā;

b) oktālajā sistēmā;

c) heksadecimālajā sistēmā.

Uzrakstiet atbildi katram skaitlim norādītajā un decimālskaitļu sistēmā.



2.47. Atrodiet šādu skaitļu vidējo aritmētisko:

2.48. Astotnieku skaitļu 17 8 + 1700 8 + 170 000 3 + 17000000 8 + summa
+ 1700000000 8 tika pārveidots par heksadecimālo skaitļu sistēmu.
Ierakstā atrodiet skaitli, kas vienāds ar šo summu, piekto ciparu no kreisās puses.


Atjaunojiet nezināmos skaitļus, kas atzīmēti ar jautājuma zīmi
šādi saskaitīšanas un atņemšanas piemēri, vispirms definējot
le, kādā sistēmā tiek rādīti skaitļi.

Aritmētiskās darbības pozicionālo skaitļu sistēmās

Ļaujiet mums sīkāk apsvērt aritmētiskās darbības bināro skaitļu sistēmā. Binārās skaitļu sistēmas aritmētikas pamatā ir ciparu saskaitīšanas, atņemšanas un reizināšanas tabulu izmantošana. Aritmētiskie operandi atrodas tabulu augšējā rindā un pirmajā kolonnā, un rezultāti ir kolonnu un rindu krustpunktā:

Apsvērsim katru darbību sīkāk.

Papildinājums. Binārā pievienošanas tabula ir ļoti vienkārša. Tikai vienā gadījumā, kad tiek veikta pievienošana 1+1, tiek pārcelts uz augstāko pakāpi. ,

Atņemšana. Veicot atņemšanas darbību, mazākais skaitlis vienmēr tiek atņemts no lielākā skaitļa absolūtajā vērtībā un tiek likta atbilstošā zīme. Atņemšanas tabulā 1 ar joslu nozīmē augsta līmeņa aizdevumu.

Reizināšana. Reizināšanas operācija tiek veikta, izmantojot reizināšanas tabulu saskaņā ar parasto shēmu, ko izmanto decimālo skaitļu sistēmā ar secīgu reizinātāja reizināšanu ar nākamo reizinātāja ciparu.

Divīzija. Dalīšanas operācija tiek veikta pēc algoritma, kas līdzīgs dalīšanas darbības algoritmam decimālo skaitļu sistēmā.

Piezīme: Saskaitot divus skaitļus, kas vienādi ar 1, šajā ciparā tiek iegūts 0, bet 1. tiek pārsūtīts uz nozīmīgāko ciparu.

Piemērs_21: Doti numuri 101 (2) un 11 (2). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Pārbaude: 5+3=8.

Atņemot vienu no 0, vienība tiek ņemta no augstākā tuvākā cipara, kas atšķiras no 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 2 vienības vismazāk nozīmīgajā ciparā un vienu visos ciparos starp lielāko un zemākais.

Piemērs_22: Doti numuri 101 (2) un 11 (2). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) .

Pārbaude: 5-3=2.

Reizināšanas darbība tiek samazināta līdz atkārtotai maiņai un saskaitīšanai.

Piemērs_23: Doti numuri 11 (2) un 10 (2). Atrodiet šo skaitļu reizinājumu.

kur 11 (2) = 3 (10) , 10 (2) = 2 (10) , 110 (2) = 6 (10) .

Pārbaudiet: 3*2=6.

Aritmētiskās darbības oktālo skaitļu sistēmā

Saskaitot divus skaitļus, kuru summa ir vienāda ar 8, šajā kategorijā iegūst 0, bet 1. pārceļ uz augstāko secību.

Piemērs_24: Doti numuri 165 (8) un 13 (8). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Atņemot lielāku skaitli no mazāka skaitļa, vienība tiek ņemta no lielākā tuvākā cipara, kas atšķiras no 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 8 vismazāk nozīmīgajā ciparā.

Piemērs_25: Doti numuri 114 (8) un 15 (8). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10) .

Aritmētiskās darbības heksadecimālo skaitļu sistēmā

Saskaitot divus skaitļus, kas kopā ir 16, šajā kategorijā tiek ierakstīts 0, un 1 tiek pārcelts uz augstāko secību.

Piemērs_26: Doti numuri 1B5 (16) un 53 (16). Atrodiet šo skaitļu summu.

kur 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Atņemot lielāku skaitli no mazāka skaitļa, vienība tiek aizņemta no lielākā tuvākā cipara, kas atšķiras no 0. Tajā pašā laikā vienība, kas aizņemta augstākajā ciparā, dod 16 vismazāk nozīmīgajā ciparā.

Piemērs_27: Doti numuri 11A (16) un 2C (16). Atrodiet atšķirību starp šiem skaitļiem.

kur 11A (16) = 282 (10) , 2C (16) = 44 (10) , EE (16) = 238 (10) .

Datora datu kodēšana

Dati datorā tiek attēloti kā kods, kas sastāv no vieniniekiem un nullēm dažādās secībās.

Kods– simbolu kopums informācijas pasniegšanai. Kodēšana ir informācijas sniegšanas process koda formā.

Skaitļu kodi

Veicot aritmētiskās darbības datorā, viņi izmanto tiešs, apgriezts un papildu numuru kodi.

Tiešais kods

Taisni binārā skaitļa kods (absolūtas vērtības attēlojums ar zīmi) ir pats binārais skaitlis, kurā visi cipari, kas attēlo tā vērtību, ir ierakstīti kā matemātiskā apzīmējumā, un skaitļa zīme ir ierakstīta kā binārais cipars.

Veselus skaitļus datorā var attēlot ar zīmi vai bez tās.

Neparakstīti veseli skaitļi parasti aizņem vienu vai divus baitus atmiņā. Parakstītu veselu skaitļu saglabāšanai tiek piešķirts viens, divi vai četri baiti, bet nozīmīgākais (kreisais) bits tiek piešķirts zem skaitļa zīmes. Ja skaitlis ir pozitīvs, tad šim bitam tiek ierakstīts 0, ja negatīvs, tad 1.

Piemērs_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Pozitīvie skaitļi datorā vienmēr tiek attēloti, izmantojot tiešo kodu. Tiešais numura kods pilnībā sakrīt ar paša numura ievadīšanu mašīnas šūnā. Negatīvā skaitļa tiešais kods no atbilstošā pozitīvā skaitļa tiešā koda atšķiras tikai ar zīmes bita saturu.

Tiešo kodu izmanto, saglabājot skaitļus datora atmiņā, kā arī veicot reizināšanas un dalīšanas darbības, taču skaitļu attēlošanas formāts tiešajā kodā ir neērts lietošanai aprēķinos, jo tiek veikta pozitīvo un negatīvo skaitļu saskaitīšana un atņemšana atšķirīgi, un tāpēc ir nepieciešams analizēt zīmju operanda bitus. Tāpēc tiešais kods praktiski netiek izmantots, īstenojot aritmētiskās darbības ar veseliem skaitļiem ALU. Bet negatīvi veseli skaitļi datorā netiek attēloti ar tiešu kodu. Šī formāta vietā ir kļuvuši plaši izplatīti formāti skaitļu attēlošanai apgrieztā veidā un papildu kodi.

Apgrieztais kods

Apgrieztais kods pozitīvs skaitlis sakrīt ar tiešo, un, rakstot negatīvu skaitli, visi tā cipari, izņemot ciparu, kas apzīmē skaitļa zīmi, tiek aizstāti ar pretējiem (0 tiek aizstāti ar 1 un 1 tiek aizstāti ar 0 ).

Piemērs_29:

Piemērs_30:

Lai atjaunotu negatīva skaitļa tiešo kodu no apgrieztā koda, visi cipari, izņemot ciparu, kas apzīmē skaitļa zīmi, jāaizstāj ar pretējiem.

Papildu kods

Papildu kods pozitīva skaitļa sakrīt ar tiešo, un negatīvā skaitļa kodu veido, apgrieztajam kodam pievienojot 1.

Piemērs_31:

Piemērs_32:

Piemērs_33:

Veselam skaitlim -32 (10) ierakstiet papildu kodu.

1. Pēc skaitļa 32 (10) pārvēršanas binārajā skaitļu sistēmā mēs iegūstam:

32 (10) =100000 (2) .

2. Pozitīvā skaitļa 32 (10) tiešais kods ir 0010 0000.

3. Negatīvam skaitlim -32 (10) tiešais kods ir 1010 0000.

4. Skaitļa -32 (10) reversais kods ir 1101 1111.

5. Numura -32 (10) papildu kods ir 1110 0000.

Piemērs_34:

Skaitļa papildu kods ir 0011 1011. Atrodiet skaitļa vērtību decimāldaļās.

1. Skaitļa pirmais (zīmes) cipars 0 011 1011 ir 0, tāpēc skaitlis ir pozitīvs.

2. Pozitīvam skaitlim papildu, apgrieztais un tiešais kods ir vienāds.

3. Skaitlis binārajā sistēmā tiek iegūts no tiešā koda ieraksta - 111011 (2) (no augstākajiem cipariem mēs atmetam nulles).

4. Skaitlis 111011 (2) pēc pārvēršanas decimālskaitļu sistēmā ir 59 (10).

Piemērs_35:

Skaitļa papildu kods ir 1011 1011. Atrodiet skaitļa vērtību decimāldaļās.

1. Skaitļa zīmes cipars 1 011 1011 ir 1, tāpēc skaitlis ir negatīvs.

2. Lai noteiktu skaitļa apgriezto kodu, atņemiet vienu no papildu koda. Apgrieztais kods ir 1 011 1010.

3. Tiešo kodu iegūst no reversa, aizstājot visus skaitļa bināros ciparus ar pretējiem (1 pret 0, 0 pret 1). Tiešais numura kods ir 1 100 0101 (zīmes bitā rakstām 1).

4. Skaitlis binārajā sistēmā tiek iegūts no tiešā koda ieraksta - -100 0101 (2).

4. Skaitlis -1000101 (2) pēc pārvēršanas decimāldaļās ir vienāds ar -69 (10).


Līdzīga informācija.