0 тоог бодит тоонуудын ертөнцийг төсөөлөл эсвэл сөрөг тооноос тусгаарлах нэг төрлийн хил гэж илэрхийлж болно. Тодорхой бус байрлалаас болж ийм тоон утгатай олон үйлдлүүд математик логикт захирагддаггүй. Тэгээр хуваах боломжгүй гэдэг нь үүний тод жишээ юм. Мөн тэгтэй зөвшөөрөгдсөн арифметик үйлдлийг нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тодорхойлолтыг ашиглан хийж болно.

Тэгийн түүх

Тэг нь бүх стандарт тооллын системийн лавлах цэг юм. Европчууд энэ тоог харьцангуй саяхан хэрэглэж эхэлсэн боловч эртний Энэтхэгийн мэргэд хоосон тоог европын математикчид тогтмол хэрэглэхээс өмнө мянган жилийн турш тэгийг ашигладаг байжээ. Индианчуудаас өмнө ч гэсэн тэг нь Майячуудын тоон системд заавал байх ёстой утга байсан. Энэ Америкийн ард түмэн арван хоёртын системийг ашигладаг байсан бөгөөд сар бүрийн эхний өдрийг тэгээр эхэлдэг. Сонирхолтой нь Майячуудын дунд "тэг" гэсэн тэмдэг нь "хязгааргүй" гэсэн тэмдэгтэй бүрэн давхцдаг. Тиймээс эртний Майячууд эдгээр хэмжигдэхүүнүүд нь ижил бөгөөд мэдэгдэхгүй гэж дүгнэжээ.

Тэгтэй математикийн үйлдлүүд

Тэгтэй стандарт математик үйлдлүүдийг цөөн хэдэн дүрэм болгон бууруулж болно.

Нэмэлт: Хэрэв та дурын тоонд тэг нэмбэл энэ нь түүний утгыг өөрчлөхгүй (0+x=x).

Хасах: дурын тооноос тэгийг хасах үед хассан тоо өөрчлөгдөхгүй (x-0=x).

Үржүүлэх: дурын тоог 0-ээр үржүүлбэл үржвэрт 0 гарна (a*0=0).

Хуваах: Тэгийг тэгээс бусад тоонд хувааж болно. Энэ тохиолдолд ийм бутархайн утга 0 байх болно. Мөн тэгээр хуваахыг хориглоно.

Экспоненциал. Энэ үйлдлийг ямар ч тоогоор хийж болно. Дурын тоог тэгийн зэрэглэлд хүргэвэл 1 (x 0 =1) болно.

Аливаа чадлын тэг нь 0-тэй тэнцүү байна (0 a \u003d 0).

Энэ тохиолдолд нэн даруй зөрчил гарч ирнэ: 0 0 илэрхийлэл нь утгагүй болно.

Математикийн парадоксууд

Тэгээр хуваах боломжгүй гэдгийг олон хүн сургуулиас нь мэддэг. Гэвч яагаад ийм хориг тавьсан шалтгааныг тайлбарлах боломжгүй байна. Үнэхээр тэгээр хуваах томьёо яагаад байдаггүй юм бэ, гэхдээ ийм тоотой бусад үйлдлүүд нэлээд үндэслэлтэй бөгөөд боломжтой юм бэ? Энэ асуултын хариултыг математикчид өгдөг.

Гол нь сургуулийн сурагчдын бага ангид сурдаг ердийн арифметик үйлдлүүд нь үнэндээ бидний бодож байгаа шиг тэнцүү биш юм. Тоотой бүх энгийн үйлдлүүдийг нэмэх, үржүүлэх гэсэн хоёр болгон багасгаж болно. Эдгээр үйлдлүүд нь тооны тухай ойлголтын мөн чанар бөгөөд бусад үйлдлүүд нь энэ хоёрыг ашиглахад суурилдаг.

Нэмэх ба үржүүлэх

Стандарт хасах жишээг авч үзье: 10-2=8. Сургуульд үүнийг энгийн гэж үздэг: арван объектоос хоёрыг нь авбал найм нь үлддэг. Гэхдээ математикчид энэ үйлдлийг огт өөрөөр хардаг. Эцсийн эцэст тэдний хувьд хасах үйлдэл гэж байдаггүй. Энэ жишээг өөр аргаар бичиж болно: x+2=10. Математикчдын хувьд үл мэдэгдэх ялгаа нь ердөө хоёр дээр нэмээд найм болгох ёстой тоо юм. Энд хасах шаардлагагүй, та зүгээр л тохирох тоон утгыг олох хэрэгтэй.

Үржүүлэх, хуваах үйлдлийг ижил аргаар авч үздэг. 12:4=3-ын жишээн дээр найман объектыг хоёр тэнцүү овоонд хуваах тухай ярьж байна гэж ойлгож болно. Гэвч бодит байдал дээр энэ бол 3x4 \u003d 12 бичих урвуу томьёо юм. Ийм хуваах жишээг эцэс төгсгөлгүй өгч болно.

0-д хуваах жишээ

Эндээс яагаад тэгээр хуваах боломжгүй байгаа нь бага зэрэг тодорхой болно. Тэгээр үржүүлэх, хуваах нь өөрийн гэсэн дүрэмтэй. Энэ хэмжигдэхүүнийг хуваах бүх жишээг 6:0=x гэж томъёолж болно. Гэхдээ энэ нь 6 * x = 0 илэрхийллийн урвуу илэрхийлэл юм. Гэхдээ та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа тоог 0-ээр үржүүлбэл бүтээгдэхүүнд зөвхөн 0-ийг өгдөг.Энэ шинж чанар нь тэг утгын үзэл баримтлалд байдаг.

0-ээр үржүүлснээр ямар ч бодит утгыг өгдөг ийм тоо байхгүй, өөрөөр хэлбэл энэ асуудал шийдэлгүй болох нь харагдаж байна. Ийм хариултаас айх хэрэггүй, энэ нь ийм төрлийн асуудалд байгалийн хариулт юм. Зүгээр л 6:0 гэж бичих нь ямар ч утгагүй, юуг ч тайлбарлаж чадахгүй. Товчхондоо, энэ илэрхийллийг үхэшгүй мөнхийн "тэгээр хуваахгүй" гэж тайлбарлаж болно.

0:0 гэсэн мэс засал байгаа юу? Үнэхээр 0-ээр үржүүлэх үйлдэл хууль ёсны бол тэгийг тэгт хувааж болох уу? Эцсийн эцэст 0x5=0 хэлбэрийн тэгшитгэл нь нэлээд хууль ёсны юм. 5-ын оронд 0-г тавьж болно, үүнээс бүтээгдэхүүн өөрчлөгдөхгүй.

Үнэхээр 0x0=0. Гэхдээ та 0-д хувааж чадахгүй хэвээр байна. Дээр дурдсанчлан хуваах нь үржүүлэхийн урвуу үйлдэл юм. Тиймээс, жишээн дээр 0x5=0 бол хоёр дахь хүчин зүйлийг тодорхойлох шаардлагатай бол бид 0x0=5 болно. Эсвэл 10. Эсвэл хязгааргүй. Хязгааргүйг тэгээр хуваах нь танд ямар таалагдаж байна вэ?

Гэхдээ илэрхийлэлд ямар нэгэн тоо таарч байвал энэ нь утгагүй, бид хязгааргүй тооны тооноос нэгийг нь сонгож чадахгүй. Хэрэв тийм бол 0:0 гэсэн илэрхийлэл утгагүй гэсэн үг. Тэг ч гэсэн өөрөө тэгээр хуваагдах боломжгүй юм байна.

дээд математик

Тэгээр хуваах нь ахлах сургуулийн математикийн толгойны өвчин юм. Техникийн их дээд сургуулиудад судлагдсан математик анализ нь шийдэлгүй асуудлын тухай ойлголтыг бага зэрэг өргөжүүлдэг. Жишээлбэл, аль хэдийн мэдэгдэж байсан 0: 0 илэрхийлэлд сургуулийн математикийн хичээлд шийдэгдээгүй шинийг нэмж оруулсан болно.

• хязгааргүйд хуваагдсан хязгаар: ∞:∞;
• хязгааргүй хасах хязгааргүй: ∞−∞;
• Хязгааргүй хүчин чадалд өргөгдсөн нэгж: 1 ∞ ;
• 0-ээр үржүүлсэн хязгааргүй: ∞*0;
• бусад зарим.

Ийм илэрхийлэлийг энгийн аргаар шийдвэрлэх боломжгүй юм. Гэхдээ дээд математик нь хэд хэдэн ижил төстэй жишээнүүдийн нэмэлт боломжуудын ачаар эцсийн шийдлийг өгдөг. Энэ нь ялангуяа хязгаарын онолын асуудлуудыг авч үзэхэд тодорхой харагдаж байна.

Тодорхой бус байдлын ил тод байдал

Хязгаарын онолд 0 утгыг нөхцөлт хязгааргүй бага хувьсагчаар сольдог. Хүссэн утгыг орлуулахдаа тэгээр хуваах илэрхийлэлүүдийг хөрвүүлдэг. Ердийн алгебрийн хувиргалтыг ашиглан хязгаарыг тэлэх стандарт жишээг доор харуулав.

Жишээн дээр харж байгаагаар бутархайг энгийн байдлаар багасгах нь түүний утгыг бүрэн оновчтой хариулт болгон авчирдаг.

Тригонометрийн функцүүдийн хязгаарыг авч үзэхэд тэдгээрийн илэрхийлэл нь эхний гайхалтай хязгаар хүртэл буурах хандлагатай байдаг. Хязгаарыг орлуулах үед хуваагч 0-д хүрэх хязгаарыг авч үзэхдээ хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ашиглана.

L'Hopital арга

Зарим тохиолдолд илэрхийллийн хязгаарыг тэдгээрийн деривативын хязгаараар сольж болно. Guillaume Lopital - Францын математикч, Францын математик анализын сургуулийг үндэслэгч. Илэрхийллийн хязгаар нь эдгээр илэрхийллийн деривативын хязгаартай тэнцүү гэдгийг тэрээр нотолсон. Математик тэмдэглэгээнд түүний дүрэм дараах байдалтай байна.

Хязгаарыг шийдвэрлэх аргууд. Тодорхой бус байдал.
Функцийн өсөлтийн дараалал. Орлуулах арга

Жишээ 4

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх шийдлийн энгийн жишээ юм. Санал болгож буй жишээн дээр дахин тодорхойгүй байдал (үндэсээс илүү өсөлтийн дарааллаар).

Хэрэв "x" нь "хасах хязгааргүй" хандлагатай бол

Энэ нийтлэлд "хасах хязгааргүй"-ийн сүнс эргэлдэж байна. Олон гишүүнтийн хязгаарыг авч үзье. Хэд хэдэн нюансыг эс тооцвол шийдвэрлэх зарчим, арга нь хичээлийн эхний хэсэгтэй яг адилхан байх болно.

Практик даалгавруудыг шийдвэрлэхэд шаардагдах 4 чипийг авч үзье.

1) Хязгаарыг тооцоол

Хязгаарын утга нь өсөлтийн хамгийн өндөр дараалалтай тул зөвхөн нэр томъёоноос хамаарна. Хэрэв бол хязгааргүй том модуль EVEN-ийн хүчинд сөрөг тоо, энэ тохиолдолд - дөрөв дэх нь "нэмэх хязгааргүй" -тэй тэнцүү байна: . Тогтмол ("хоёр") эерэг, ийм учраас:

2) Хязгаарыг тооцоолох

Ахиад л ахлах зэрэгтэй боллоо бүр, ийм учраас: . Гэхдээ урд нь "хасах" байна ( сөрөгтогтмол -1), тиймээс:

3) Хязгаарыг тооцоолох

Хязгаарын утга нь зөвхөн . Сургуулиасаа санаж байгаачлан "хасах" нь сондгой зэрэглэлийн доороос "гарч ирдэг" хязгааргүй том модульсөрөг тоог СОНДГОЙ хүчин чадалтай болгонотэнцүү "хасах хязгааргүй", энэ тохиолдолд: .
Тогтмол ("дөрөв") эерэг, гэсэн үг:

4) Хязгаарыг тооцоолох

Тосгоны анхны залуу дахиад л байна хачинзэрэг, үүнээс гадна, цээжинд сөрөгтогтмол, энэ нь: Тиймээс:
.

Жишээ 5

Хязгаарыг ол

Дээрх зүйлийг ашиглан бид энд тодорхойгүй байна гэж дүгнэж байна. Тоолуур ба хуваагч нь өсөлтийн дараалалтай байдаг бөгөөд энэ нь хязгаарт төгсгөлтэй тоог олж авна гэсэн үг юм. Бид бүх шарсан махыг хаяснаар хариултыг сурдаг.

Шийдэл нь өчүүхэн юм:

Жишээ 6

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Одоо, магадгүй хамгийн нарийн тохиолдлууд:

Жишээ 7

Хязгаарыг ол

Ахлах нэр томъёог авч үзвэл энд тодорхойгүй байдал байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Тоолуур нь хуваагчаас илүү өсөлтийн дараалалтай байдаг тул бид хязгаарыг хязгааргүй гэж шууд хэлж чадна. Гэхдээ "нэмэх" эсвэл "хасах" ямар хязгааргүй вэ? Хүлээн авалт нь адилхан - тоологч ба хуваарьт бид жижиг зүйлээс салах болно.

Бид шийднэ:

Тоолуур ба хуваагчийг хуваа

Жишээ 15

Хязгаарыг ол

Энэ бол өөрөө хийх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд дуусгах ойролцоо жишээ.

Хувьсагчийг орлуулах сэдвээр хэд хэдэн сонирхолтой жишээ:

Жишээ 16

Хязгаарыг ол

Хязгаарт нэгийг орлуулах нь тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Хувьсагчийг солих нь аль хэдийн санал болгож байна, гэхдээ эхлээд бид томьёог ашиглан шүргэгчийг хөрвүүлнэ. Үнэхээр бидэнд шүргэгч яагаад хэрэгтэй байна вэ?

Тиймээс . Хэрэв энэ нь бүрэн тодорхойгүй бол синусын утгыг харна уу тригонометрийн хүснэгт. Тиймээс бид нэн даруй хүчин зүйлээс салж, үүнээс гадна бид илүү танил болсон тодорхойгүй байдлыг 0: 0-ээр авдаг. Манай хязгаар ч тэглэх хандлагатай байвал сайхан байх болно.

Орлуулъя:

Хэрэв бол

Косинусын доор бид "x" байдаг бөгөөд үүнийг "te" -ээр илэрхийлэх шаардлагатай.
Орлуулахаас бид дараахыг илэрхийлж байна.

Бид шийдлийг дуусгана:

(1) Сэлгээ хийх

(2) Косинусын доорх хаалтуудыг тэлэх.

(4) Зохион байгуулах анхны гайхалтай хязгаар, тоологчийг зохиомлоор үржүүлж, .

Бие даасан шийдлийн даалгавар:

Жишээ 17

Хязгаарыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Эдгээр нь тэдний ангийн энгийн даалгавар байсан бөгөөд практик дээр бүх зүйл улам дорддог бөгөөд үүнээс гадна бууруулах томъёо, нэг өөр ашиглах хэрэгтэй тригонометрийн томъёо, түүнчлэн бусад заль мэх. Complex Limits нийтлэлд би хэд хэдэн бодит жишээнд дүн шинжилгээ хийсэн =)

Баярын өмнөх өдөр бид нөхцөл байдлыг дахин нэг тодорхойгүй байдлаар тодруулах болно.

"Хязгааргүйн хүчинд нэг" тодорхойгүй байдлыг арилгах

Энэхүү тодорхойгүй байдал нь "үйлчилдэг" хоёр дахь гайхалтай хязгаар, мөн тэр хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт бид ихэнх тохиолдолд практикт олддог шийдлүүдийн стандарт жишээнүүдийг нарийвчлан авч үзсэн. Одоо үзэсгэлэнд оролцогчидтой хийсэн зургийг дуусгах болно, үүнээс гадна хичээлийн эцсийн даалгаврууд нь хязгаарт зориулагдсан болно - "заль мэх" нь 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах шаардлагатай мэт санагдах боловч энэ нь огтхон ч биш юм. хэрэг.

2-р гайхалтай хязгаарын ажлын хоёр томьёоны сул тал нь аргумент нь "нэмэх хязгааргүй" эсвэл тэг рүү чиглэх ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ хэрүүл маргаан өөр тоо руу чиглэж байвал яах вэ?

Бүх нийтийн томъёо нь аврах ажилд ирдэг (энэ нь үнэндээ хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дагавар юм):

Тодорхой бус байдлыг дараахь томъёогоор арилгаж болно.

Хаа нэгтээ би аль хэдийн дөрвөлжин хаалт ямар утгатай болохыг тайлбарласан. Онцгой зүйл байхгүй, хаалт нь зүгээр л хаалт юм. Ихэвчлэн тэдгээрийг математик тэмдэглэгээг тод онцлон тэмдэглэхэд ашигладаг.

Томъёоны чухал цэгүүдийг онцолж үзье:

1) Энэ тухай зөвхөн тодорхой бус байдлын тухай, өөр зүйл байхгүй.

2) Аргумент "x" хандлагатай байж болно дурын үнэ цэнэ(мөн зөвхөн тэг эсвэл ), ялангуяа "хасах хязгааргүй" эсвэл to хэн чэцсийн тоо.

Энэ томьёог ашиглан та хичээлийн бүх жишээг шийдэж болно Сонирхолтой хязгаарууд, 2-р гайхамшигтай хязгаарт хамаарах. Жишээлбэл, хязгаарыг тооцоолъё:

Энэ тохиолдолд , мөн томъёоны дагуу :

Үнэн, би танд үүнийг хийхийг зөвлөдөггүй, уламжлал ёсоор та шийдлийн "ердийн" загварыг ашиглах боломжтой бол ашигладаг хэвээр байна. Гэсэн хэдий ч томъёог ашиглах нь шалгахад маш тохиромжтой"сонгодог" жишээнүүд 2-р гайхалтай хязгаарт.

Олон хүмүүс яагаад тэгээр хуваах боломжгүй гэж гайхдаг. Энэ нийтлэлд бид энэ дүрэм хаанаас ирсэн, мөн тэгээр ямар үйлдлүүдийг хийж болох талаар нарийвчлан авч үзэх болно.

-тай холбоотой

Тэгийг хамгийн сонирхолтой тоонуудын нэг гэж нэрлэж болно. Энэ тоо ямар ч утгагүй, энэ нь жинхэнэ утгаараа хоосон гэсэн үг. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та аль нэг цифрийн хажууд тэгийг тавьбал энэ цифрийн утга хэд дахин их болно.

Энэ тоо нь өөрөө маш нууцлаг юм. Үүнийг эртний Майячууд хэрэглэж байсан. Майячуудын хувьд тэг нь "эхлэл" гэсэн утгатай бөгөөд хуанлийн өдрүүдийн тоолол мөн тэгээс эхэлдэг.

Маш сонирхолтой баримт бол тэгийн тэмдэг ба тодорхойгүй байдлын тэмдэг нь тэдний хувьд ижил төстэй байсан явдал юм. Үүгээрээ Майячууд тэг гэдэг нь тодорхойгүй байдалтай ижил тэмдэг гэдгийг харуулахыг хүссэн юм. Европт тэг гэсэн тэмдэглэгээ харьцангуй саяхан гарч ирсэн.

Мөн тэгтэй холбоотой хоригийг олон хүн мэддэг. Үүнийг ямар ч хүн хэлэх болно тэгээр хувааж болохгүй. Үүнийг сургуулийн багш нар хэлдэг бөгөөд хүүхдүүд ихэвчлэн үгэнд нь ордог. Ихэвчлэн хүүхдүүд үүнийг мэдэх сонирхолгүй байдаг, эсвэл чухал хоригийг сонсоод шууд "Чи яагаад тэгээр хувааж болохгүй гэж?" Гэж асуувал юу болохыг мэддэг. Харин нас ахих тусам сонирхол сэрж, ийм хориг тавьсан шалтгааны талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсдэг. Гэсэн хэдий ч үндэслэлтэй нотлох баримт бий.

Тэгтэй үйлдлүүд

Эхлээд та ямар үйлдлийг тэгээр хийж болохыг тодорхойлох хэрэгтэй. Орших хэд хэдэн төрлийн үйл ажиллагаа:

• Нэмэлт;
• Үржүүлэх;
• хасах;
• Хуваалт (тоогоор тэг);
• Экспоненциал.

Чухал!Хэрэв нэмэх явцад аль нэг тоонд тэг нэмбэл энэ тоо хэвээр байх бөгөөд тоон утгыг нь өөрчлөхгүй. Хэрэв та дурын тооноос тэгийг хасвал ижил зүйл тохиолддог.

Үржүүлэх, хуваах үйлдлүүд нь арай өөр юм. Хэрэв дурын тоог тэгээр үржүүлнэ, дараа нь бүтээгдэхүүн мөн тэг болно.

Жишээ авч үзье:

Үүнийг нэмэлт болгон бичье:

Нийтдээ таван тэг нэмсэн тул ийм зүйл болж байна

Нэгийг тэгээр үржүүлэхийг хичээцгээе. Үр дүн нь мөн хүчингүй болно.

Тэгийг түүнтэй тэнцүү биш өөр тоонд хувааж болно. Энэ тохиолдолд энэ нь гарч ирэх бөгөөд утга нь тэг болно. Үүнтэй ижил дүрэм нь сөрөг тоонд хамаарна. Хэрэв та тэгийг сөрөг тоонд хуваавал тэг болно.

Мөн та ямар ч тоог өсгөж болно тэг хүч хүртэл. Энэ тохиолдолд та 1-ийг авна. "Тэгээс тэг хүртэл" гэсэн илэрхийлэл нь туйлын утгагүй гэдгийг санах нь чухал юм. Хэрэв та ямар ч хүчин чадалд тэгийг өсгөх гэж оролдвол тэг болно. Жишээ:

Бид үржүүлэх дүрмийг ашигладаг, бид 0 авдаг.

Тэгээр хуваах боломжтой юу

Тиймээс бид гол асуулт руугаа орлоо. Тэгээр хуваах боломжтой юубүх? Мөн тэгтэй бусад бүх үйлдлүүд бүрэн оршиж, хэрэгжиж байгаа тул тоог тэг болгон хуваах боломжгүй гэж юу вэ? Энэ асуултад хариулахын тулд та дээд математикт хандах хэрэгтэй.

Үзэл баримтлалын тодорхойлолтоос эхэлье, тэг гэж юу вэ? Сургуулийн багш нар тэгийг юу ч биш гэж хэлдэг. Хоосон байдал. Өөрөөр хэлбэл, та 0 үзэгтэй гэж хэлбэл, та үзэггүй байна гэсэн үг юм.

Дээд математикт "тэг" гэсэн ойлголт илүү өргөн байдаг. Энэ нь огт хоосон гэсэн үг биш юм. Энд тэгийг тодорхойгүй байдал гэж нэрлэдэг, учир нь хэрэв та бага зэрэг судалгаа хийвэл тэгийг тэг болгон хуваах замаар үр дүнд нь бид тэг байх албагүй өөр ямар ч тоо гарч ирдэг.

Таны сургуульд сурч байсан эдгээр энгийн арифметик үйлдлүүд хоорондоо тийм ч тэнцүү биш гэдгийг та мэдэх үү? Хамгийн үндсэн алхамууд нэмэх ба үржүүлэх.

Математикчдын хувьд "" болон "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. Хэрэв таваас гурвыг хасвал хоёр нь үлдэнэ гэж бодъё. Хасах нь иймэрхүү харагдаж байна. Гэсэн хэдий ч математикчид үүнийг дараах байдлаар бичдэг.

Тиймээс үл мэдэгдэх ялгаа нь 5-ыг авахын тулд 3 дээр нэмэх шаардлагатай тодорхой тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, та юу ч хасах шаардлагагүй, зүгээр л тохирох тоог олох хэрэгтэй. Энэ дүрэм нь нэмэлт зүйлд хамаарна.

Үүнтэй холбоотой зүйл арай өөр байна үржүүлэх, хуваах дүрэм.Тэгээр үржүүлэх нь тэг үр дүнд хүргэдэг гэдгийг мэддэг. Жишээлбэл, хэрэв 3:0=x бол бичлэгийг эргүүлбэл 3*x=0 болно. Мөн 0-ээр үржүүлсэн тоо нь үржвэрт тэг болно. Тэгтэй үржвэрт тэгээс өөр утга өгөх тоо байхгүй болох нь харагдаж байна. Энэ нь тэгээр хуваагдах нь утгагүй, өөрөөр хэлбэл энэ нь бидний дүрэмд нийцдэг гэсэн үг юм.

Гэхдээ тэгийг өөрөө хуваах гэж оролдвол юу болох вэ? x-г тодорхойгүй тоо гэж үзье. 0 * x \u003d 0 тэгшитгэл гарч ирнэ. Үүнийг шийдэж болно.

Хэрэв бид x-ийн оронд тэг авахыг оролдвол 0:0=0 болно. Энэ нь логик юм шиг санагдаж байна уу? Гэхдээ хэрэв бид x-ийн оронд өөр ямар ч тоо, жишээ нь 1 гэж оролдвол 0:0=1 болно. Хэрэв та өөр дугаар авбал ижил нөхцөл байдал үүснэ тэгшитгэлд оруулна уу.

Энэ тохиолдолд бид өөр ямар ч тоог хүчин зүйл болгон авч болно. Үр дүн нь хязгааргүй тооны өөр өөр тоо байх болно. Гэсэн хэдий ч заримдаа дээд математикийн хувьд 0-д хуваах нь утга учиртай байдаг, гэхдээ ихэвчлэн тодорхой нөхцөл байдаг бөгөөд үүний улмаас бид нэг тохирох тоог сонгох боломжтой хэвээр байна. Энэ үйлдлийг "тодорхойгүй байдлын тодруулга" гэж нэрлэдэг. Энгийн арифметикийн хувьд бид олонлогоос нэг тоог сонгох боломжгүй тул тэгээр хуваах нь дахин утгаа алдах болно.

Чухал!Тэгийг тэгээр хувааж болохгүй.

Тэг ба хязгааргүй

Дээд математикт хязгааргүй байдал маш түгээмэл байдаг. Сургуулийн хүүхдүүдэд хязгааргүй математикийн үйлдлүүд байсаар байгааг мэдэх нь тийм ч чухал биш тул багш нар яагаад тэгээр хуваах боломжгүй болохыг хүүхдүүдэд зөв тайлбарлаж чадахгүй.

Оюутнууд институтын эхний жилээс л математикийн үндсэн нууцыг сурч эхэлдэг. Дээд математик нь ямар ч шийдэлгүй олон тооны асуудлыг өгдөг. Хамгийн алдартай асуудлууд бол хязгааргүй байдлын асуудлууд юм. Тэдгээрийг ашиглан шийдэж болно математик шинжилгээ.

Та мөн хязгааргүйд хэрэглэх боломжтой Анхан шатны математик үйлдлүүд:нэмэх, тоогоор үржүүлэх. Хасах, хуваах үйлдлүүд бас түгээмэл хэрэглэгддэг боловч эцэст нь хоёр энгийн үйлдэлд хүрдэг.

Гэхдээ яах бол оролдвол:

• Хязгааргүйг тэгээр үржүүл. Онолын хувьд ямар ч тоог тэгээр үржүүлэх гэж оролдвол тэг болно. Гэхдээ хязгааргүй гэдэг нь тодорхойгүй тооны багц юм. Бид энэ олонлогоос нэг тоог сонгох боломжгүй тул ∞*0 илэрхийлэл шийдэлгүй бөгөөд туйлын утгагүй болно.
• Тэгийг хязгааргүйд хуваана. Энэ бол дээрхтэй ижил түүх юм. Бид нэг тоог сонгож чадахгүй байгаа нь бид юугаар хувахаа мэдэхгүй байна гэсэн үг. Энэ илэрхийлэл нь утгагүй юм.

Чухал!Хязгааргүй байдал нь тодорхойгүй байдлаас арай өөр юм! Хязгааргүй байдал нь тодорхойгүй байдлын нэг төрөл юм.

Одоо хязгааргүйг тэгээр хуваахыг хичээцгээе. Тодорхойгүй байдал байх ёстой юм шиг санагдаж байна. Харин хуваахыг үржүүлэхээр солихыг оролдвол маш тодорхой хариултыг авна.

Жишээ нь: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Энэ нь иймэрхүү болж байна математикийн парадокс.

Яагаад тэгээр хувааж болохгүй гэж

Бодлын туршилт, тэгээр хуваахыг хичээ

Гаралт

Тиймээс одоо бид тэг нь нэгээс бусад бүх үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг гэдгийг мэдэж байна. Үр дүн нь тодорхойгүй байна гээд л тэгээр хувааж болохгүй. Мөн бид тэг болон хязгааргүй дээр хэрхэн ажиллах талаар сурсан. Ийм үйлдлийн үр дүн нь тодорхойгүй байдал байх болно.

Функцийн дериватив нь хол унахгүй бөгөөд L'Hopital-ийн дүрмийн хувьд анхны функц унасан газар яг унадаг. Энэ нөхцөл байдал нь 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал болон тооцоололд үүссэн бусад тодорхой бус байдлыг илрүүлэхэд тусалдаг. хязгаархоёр хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй том функцийн харьцаа. Энэ дүрмээр тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулсан (үнэндээ хоёр дүрэм, тэдгээрийн талаархи тэмдэглэл):

Дээрх томъёоноос харахад хоёр хязгааргүй жижиг эсвэл хязгааргүй том функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоолохдоо хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тэдгээрийн харьцааны хязгаараар сольж болно. деривативуудулмаар тодорхой үр дүнд хүрнэ.

L'Hopital-ийн дүрмийн илүү нарийн томъёолол руу шилжье.

Хязгааргүй жижиг хоёр утгын хязгаарын тухай Л'Хопиталын дүрэм. Функцуудыг зөвшөөр е(x) ба g(x а. Тэгээд яг тэр мөчид а афункцийн дериватив g(x) тэгтэй тэнцүү биш ( g"(x ахоорондоо тэнцүү ба тэгтэй тэнцүү байна:

.

Хязгааргүй их хоёр хэмжигдэхүүний хязгаарын тухай Л'Хопиталын дүрэм. Функцуудыг зөвшөөр е(x) ба g(x) тухайн цэгийн зарим хэсэгт деривативтай (өөрөөр хэлбэл ялгах боломжтой). а. Тэгээд яг тэр мөчид атэдгээр нь деривативтай байж болно, үгүй ​​ч байж болно. Түүнээс гадна цэгийн ойролцоо афункцийн дериватив g(x) тэгтэй тэнцүү биш ( g"(x)≠0 ) ба эдгээр функцуудын хязгаар нь x цэг дээрх функцийн утга руу чиглэдэг. ахоорондоо тэнцүү ба хязгааргүйтэй тэнцүү байна:

.

Дараа нь эдгээр функцүүдийн харьцааны хязгаар нь тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын хувьд хоёр функцийн харьцааны хязгаар нь хэрэв сүүлийнх нь байгаа бол тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна (хязгаарлагдмал, өөрөөр хэлбэл тодорхой тоо, эсвэл хязгааргүй, өөрөөр хэлбэл хязгааргүйтэй тэнцүү).

Тайлбар.

1. Функц ажиллах үед L'Hopital-ийн дүрэм мөн хамаарна е(x) ба g(x)-д тодорхойлогдоогүй x = а.

2. Хэрэв функцын деривативын харьцааны хязгаарыг тооцохдоо е(x) ба g(x) бид дахин 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүрвэл L'Hopital-ийн дүрмийг дахин дахин (дор хаяж хоёр удаа) хэрэглэх ёстой.

3. (x) функцын аргумент нь төгсгөлгүй тоо руу чиглэх үед L'Hopital-ийн дүрэм мөн хамаарна. а, мөн хязгааргүй хүртэл ( x → ∞).

Бусад төрлийн тодорхойгүй байдлыг мөн 0/0 ба ∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдал болгон бууруулж болно.

"Тэгийг тэгээр хуваасан", "хязгааргүйг хязгааргүй хуваасан" төрлийн тодорхойгүй байдлын тодруулга.

Жишээ 1

x=2 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс функц бүрийн дериватив ба бид авна

Тоолуур дээр олон гишүүнтийн деривативыг тооцоолж, хуваагч дээр - нийлмэл логарифм функцийн дериватив. Сүүлчийн тэнцүү тэмдгийн өмнө ердийн хязгаар, x-ийн оронд deuce-г орлуулах.

Жишээ 2 L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоол.

Шийдвэр. Өгөгдсөн утгын функцэд орлуулах x

Жишээ 3 L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хоёр функцийн харьцааны хязгаарыг тооцоол.

Шийдвэр. Өгөгдсөн утгын функцэд орлуулах x=0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс бид тоологч ба хуваагч дахь функцүүдийн деривативуудыг тооцоод дараахь зүйлийг авна.

Жишээ 4Тооцоол

Шийдвэр. Өгөгдсөн функцэд х-ийн утгыг нэмэх хязгаартай тэнцүү болгох нь ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Тиймээс бид L'Hopital-ийн дүрмийг баримтална:

Сэтгэгдэл. Эхний деривативуудын харьцааны хязгаар нь хэлбэрийн тодорхой бус байдал тул L'Hopital дүрмийг хоёр удаа хэрэглэх, өөрөөр хэлбэл хоёр дахь деривативуудын харьцааны хязгаарт хүрэх жишээнүүд рүү шилжье. 0/0 эсвэл ∞/∞.

"Тэгийг хязгааргүй үржүүлсэн" хэлбэрийн тодорхойгүй байдлын тодруулга

Жишээ 12.Тооцоол

.

Шийдвэр. Бид авдаг

Энэ жишээнд тригонометрийн таних тэмдэг ашигладаг.

"Тэгээс тэг хүртэл", "хязгааргүй нь тэгтэй тэнцүү", "хязгааргүй байдлын нэг" гэсэн төрлүүдийн тодорхойгүй байдлын тодруулга.

Маягтын тодорхойгүй байдал , эсвэл ихэвчлэн 0/0 эсвэл ∞/∞ хэлбэрийн функцийн логарифмыг ашиглан багасгадаг.

Илэрхийллийн хязгаарыг тооцоолохын тулд логарифмын ижил төстэй байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд үүний онцгой тохиолдол нь логарифмын өмч юм. .

Функцийн логарифмын ижилсэл ба тасралтгүй байдлын шинж чанарыг ашиглан (хязгаарын тэмдгээс давахын тулд) хязгаарыг дараах байдлаар тооцоолно.

Тус тусад нь экспонент дахь илэрхийллийн хязгаарыг олж, бүтээх хэрэгтэй долсон хэмжээнд хүртэл.

Жишээ 13

Шийдвэр. Бид авдаг

.

.

Жишээ 14 L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоол

Шийдвэр. Бид авдаг

Экспонент дахь илэрхийллийн хязгаарыг тооцоол

.

.

Жишээ 15 L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоол

Хэрэв тоог хязгааргүйд хуваасан бол энэ хэсэг нь тэг болох хандлагатай юу? Дотор нь үргэлжлүүлж, илүү сайн хариулт авсан

Оленкагийн хариулт[шинэхэн]
бүгд 0
Краб холтос
Oracle
(56636)
Үгүй Яг тэг. Хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул хуваагч нь тэг рүү чиглэдэг. Хэрэв бид хязгааргүйд чиглэсэн тоогоор биш, харин хязгааргүй байдлаар хуваах юм бол (дашрамд хэлэхэд, энэ нь албан ёсоор огт тоо биш, харин тоонуудын тэмдэглэгээг нөхдөг тусгай тэмдэг гэж тооцогддог) - яг тэг.

-аас хариу Жугеус Владимир[гуру]
Тэгийг хуваах ч, дурын тоогоор үржүүлэхэд ч тэг байх болно!

-аас хариу 1 23 [гуру]
хэрвээ зарим новш тэг болох хандлагатай бол түүнийг хязгаарлагдмал зүйлээр (тоо эсвэл хязгаарлагдмал функцээр) үржүүлэх нь өвдөлтгүй, учир нь бүх rna тэг рүү чиглэдэг.
гэхдээ эцэс төгсгөлгүй байх хандлагатай ямар нэгэн зүйлээр үржүүлбэл сонголтууд байж болно.

-аас хариу Краб холтос[гуру]
Дурын тоог хязгааргүйд хуваахад тэг гарна. Яг тэг, "тэг рүү явахгүй". Тэгээд ямар ч тоогоор үржүүлбэл тэг болно. Тэгийг тэгээс өөр тоонд хуваахад үр дүн нь тэг байх болно, зөвхөн тэгийг тэг болгон хуваахад үр дүн нь тодорхойлогдоогүй, ямар ч тоо нь quotient байдлаар тохиромжтой байх болно.