Temat lekcji: Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych.

Stopień 9

Cele Lekcji:

    Dydaktyczny: Zapoznanie studentów z dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem w systemie binarnym oraz prowadzenie podstawowej praktyki umiejętności wykonywania tych czynności.

    Edukacyjny: rozwijanie zainteresowania uczniów nauką nowych rzeczy, pokazanie możliwości niestandardowego podejścia do obliczeń.

    Rozwijanie: rozwijać uwagę, rygor myślenia, umiejętność rozumowania.

Struktura lekcji.

    Orgmoment -1 minuta.

    Sprawdzanie pracy domowej testem ustnym -15 minut.

    Praca domowa -2 minuty.

    Rozwiązywanie problemów z równoczesną analizą i samodzielnym opracowaniem materiału -25 min.

    Podsumowując lekcję -2 minuty.

PODCZAS ZAJĘĆ

    Moment organizacyjny.

    Sprawdzanie pracy domowej (test ustny) .

Nauczyciel odczytuje pytania po kolei. Uczniowie uważnie słuchają pytania bez zapisywania go. Zapisywana jest tylko odpowiedź, i to bardzo krótko. (Jeśli można odpowiedzieć jednym słowem, rejestrowane jest tylko to słowo).

    Co to jest system liczbowy? (-jest to system znaków, w którym liczby zapisuje się według pewnych zasad za pomocą znaków pewnego alfabetu, zwanych liczbami )

    Jakie znasz systemy liczbowe?( niepozycyjne i pozycyjne )

    Jaki system nazywa się niepozycyjnym? (SCH nazywamy niepozycyjną, jeśli ilościowy ekwiwalent (wartość ilościowa) cyfry w liczbie nie zależy od jej pozycji w zapisie liczby ).

    Jaka jest podstawa pozycyjnego SSC. (równa liczbie cyfr, które składają się na jego alfabet )

    Jakiej operacji matematycznej należy użyć do przekształcenia liczby całkowitej z dziesiętnego NSC na dowolną inną? (podział )

    Co należy zrobić, aby przekonwertować liczbę z dziesiętnej na binarną? (Konsekwentnie dziel przez 2 )

    Ile razy zmniejszy się liczba 11.1 2 przesuwając przecinek o jeden znak w lewo? (2 razy )

Posłuchajmy teraz wersetu o niezwykłej dziewczynie i odpowiedzmy na pytania. (Brzmi jak werset )

NADZWYCZAJNA DZIEWCZYNA

Miała tysiąc i sto lat
Poszła do stu pierwszej klasy,
W swoim portfolio miałam sto książek.
Wszystko to prawda, a nie bzdury.

Kiedy odkurzając z kilkunastoma stopami,
Szła drogą.
Zawsze podążał za nią szczeniak
Z jednym ogonem, ale stunogim.

Złapała każdy dźwięk
Z dziesięcioma uszami
I dziesięć opalonych rąk
Trzymali teczkę i smycz.

I dziesięć ciemnoniebieskich oczu
Uważany za świat z przyzwyczajenia,
Ale wszystko stanie się całkiem normalne,
Kiedy zrozumiesz moją historię.

/ N. Starikow /

A ile lat miała dziewczynka? (12 lat ) Do jakiej klasy chodziła? (5 klasa ) Ile miała rąk i nóg? (2 ręce, 2 nogi ) Jak szczeniak ma 100 nóg? (4 łapy )

Po zakończeniu testu odpowiedzi uczniowie wypowiadają na głos, przeprowadza się samoocenę i sami wystawiają oceny.

Kryterium:

    10 poprawnych odpowiedzi (może mała wada) - „5”;

    9 lub 8 - „4”;

    7, 6 – “3”;

    reszta to „2”.

II. Praca domowa (2 minuty)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Praca z nowym materiałem

Operacje arytmetyczne w systemie binarnym.

Arytmetyka systemu liczb binarnych opiera się na wykorzystaniu tablic dodawania, odejmowania i mnożenia cyfr. Argumenty arytmetyczne znajdują się w górnym wierszu i pierwszej kolumnie tabel, a wyniki znajdują się na przecięciu kolumn i wierszy:

0

1

1

1

Dodatek.

Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Tylko w jednym przypadku, gdy wykonywane jest dodawanie 1 + 1, następuje przeniesienie do najbardziej znaczącego bitu.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Odejmowanie.

Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowania 1 z kreską oznacza pożyczkę wysokiego rzędu. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Mnożenie

Operacja mnożenia wykonywana jest za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych z kolejnym mnożeniem mnożnika przez kolejną cyfrę mnożnika. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożnika i dodawania.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Podsumowanie lekcji

Karta do dodatkowej pracy studentów.

Wykonaj operacje arytmetyczne:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatek. Dodawanie liczb w systemie liczb binarnych opiera się na tabeli dodawania jednocyfrowych liczb binarnych (Tabela 6).

Należy zwrócić uwagę na fakt, że przy dodawaniu dwóch jednostek przelew jest wykonywany na najwyższą cyfrę. Dzieje się tak, gdy wartość liczby staje się równa lub większa niż podstawa systemu liczbowego.

Dodawanie liczb binarnych wielobitowych odbywa się zgodnie z powyższą tabelą dodawania z uwzględnieniem ewentualnych przesunięć z cyfr niższych na cyfry wyższe. Jako przykład dodajmy liczby binarne w kolumnie:

Sprawdźmy poprawność obliczeń dodając w systemie liczb dziesiętnych. Przekształćmy liczby binarne na system liczb dziesiętnych i dodajmy je:

Odejmowanie. Odejmowanie liczb binarnych opiera się na tabeli odejmowania jednocyfrowych liczb binarnych (tabela 7).

Odejmując od mniejszej liczby (0) większą (1), pożyczka jest z najwyższego rzędu. W tabeli pożyczka jest oznaczona 1 z paskiem.

Odejmowanie wielocyfrowych liczb binarnych jest realizowane zgodnie z tą tabelą, z uwzględnieniem możliwych pożyczek w cyfrach wyższego rzędu.

Na przykład odejmijmy liczby binarne:

Mnożenie. Mnożenie opiera się na tabliczce mnożenia jednocyfrowych liczb binarnych (Tabela 8).

Mnożenie wielocyfrowych liczb binarnych odbywa się zgodnie z tą tablicą mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych, z kolejnym pomnożeniem mnożnika przez następną cyfrę mnożnika. Rozważ przykład mnożenia binarnego

Przykład 1. Znajdź X, jeśli Aby przekształcić lewą stronę równości, stosujemy kolejno prawo de Morgana dla dodawania logicznego i prawo podwójnej negacji: Zgodnie z prawem rozdzielności dla dodawania logicznego: Zgodnie z prawem eliminacji trzeciego i prawo ciągłej eliminacji: Zrównaj wynikową lewą stronę z prawą: X \u003d B Na koniec otrzymujemy: X = B. Przykład 2. Uprość wyrażenie logiczne Sprawdź poprawność uproszczenia za pomocą tabel prawdy dla oryginalnej i wynikowej logiki wyrażenie. Zgodnie z prawem ogólnej inwersji dla dodawania logicznego (pierwsze prawo de Morgana) i prawem podwójnej negacji: Zgodnie z prawem rozdzielczym (dystrybucyjnym) dla dodawania logicznego: Zgodnie z prawem sprzeczności: Zgodnie z prawem idempotencji Zastępujemy wartości i, używając prawa przemiennego (przemiennego) i grupując terminy, otrzymujemy: Zgodnie z prawem wykluczania (sklejania) Zastąp wartości i uzyskaj: Zgodnie z prawem wykluczania stałych dla logicznego dodawania i prawo idempotencji: Zastąp wartości i uzyskaj: Zgodnie z prawem rozdzielczym (rozdzielającym) dla mnożenia logicznego: Zgodnie z prawem eliminacji środka: Zastąp wartości i na koniec uzyskaj: 2 Logiczne podstawy komputer Dyskretny przetwornik, który po przetworzeniu wejściowych sygnałów binarnych wyprowadza na wyjście sygnał będący wartością jednej z operacji logicznych, nazywany jest elementem logicznym. Poniżej znajdują się symbole (schematy) podstawowych elementów logicznych, które realizują mnożenie logiczne (spójnik), dodawanie logiczne (dysjunctor) i negację (inwerter). Ryż. 3.1. Łącznik, rozłącznik i falownik Urządzenia komputerowe (sumatory w procesorze, komórki pamięci w pamięci RAM itp.) zbudowane są w oparciu o podstawowe elementy logiczne. Przykład 3. Na podstawie podanej funkcji logicznej F(A, B) = =B&AÚB&A skonstruuj obwód logiczny. Budowa musi zaczynać się od operacji logicznej, która musi być wykonana jako ostatnia. W takim przypadku taka operacja jest logicznym dodatkiem, dlatego na wyjściu obwodu logicznego musi znajdować się rozłącznik. Sygnały są do niego doprowadzane z dwóch łączników, do których z kolei jeden sygnał wejściowy jest normalny, a drugi odwrócony (z falowników). Przykład 4. Obwód logiczny ma dwa wejścia X i Y. Określ funkcje logiczne F1(X,Y) i F2(X,Y), które są zaimplementowane na jego dwóch wyjściach. Funkcja F1(X,Y) jest zaimplementowana na wyjściu pierwszego sprzężenia, czyli F1(X,Y) = X&Y. Jednocześnie sygnał ze złącza podawany jest na wejście falownika, na którego wyjściu realizowany jest sygnał X&Y, który z kolei podawany jest na jedno z wejść drugiego złącza. Sygnał Xv Y z łącznika jest podawany na drugie wejście drugiego łącznika, a zatem funkcja F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Rozważ schemat dodawania dwóch n-bitowych liczb binarnych. Przy dodawaniu cyfr z cyfry i-ro dodawane są ai i bi oraz Pi-1 - przelew z cyfry i-1. Wynikiem będzie st - suma i Pi - przeniesienie do wyższego rzędu. Zatem jednobitowy sumator binarny to urządzenie z trzema wejściami i dwoma wyjściami. Przykład 3.15. Skonstruuj tabelę prawdy dla jednobitowego sumatora binarnego przy użyciu tabeli dodawania binarnego. Cyngiel. Wyzwalacze służą do przechowywania informacji w pamięci RAM komputera, a także w wewnętrznych rejestrach procesora. Wyzwalacz może znajdować się w jednym z dwóch stabilnych stanów, co pozwala na zapamiętanie, przechowywanie i odczytywanie 1 bitu informacji. Najprostszym wyzwalaczem jest wyzwalacz .RS. Składa się z dwóch bramek OR-NOT, które realizują funkcję logiczną F9 (patrz tabela 3.1). Wejścia i wyjścia elementów są połączone pierścieniem: wyjście pierwszego jest połączone z wejściem drugiego, a wyjście drugiego jest połączone z wejściem pierwszego. Wyzwalacz posiada dwa wejścia S (z zestawu angielskiego - instalacja) i I (z zestawu angielskiego reset - reset) oraz dwa wyjścia Q (bezpośrednie) i Q (odwrotne). Ryż. 2 Logika przerzutnika RS Przykład 3.16. Skonstruuj tabelę opisującą stan wejść i wyjść przerzutnika RS. Jeżeli wejścia odbierają sygnały R=0 i S=0, to wyzwalacz jest w trybie przechowywania, wyjścia Q i Q zachowują poprzednio ustawione wartości. Jeżeli na wejście nastawcze S zostanie podany na krótki czas sygnał 1, to wyzwalacz przejdzie w stan 1 i po tym, jak sygnał na wejściu S stanie się równy 0, wyzwalacz zapisze ten stan, czyli zapisze 1. Gdy 1 zostanie przyłożone do wejścia R, wyzwalacz przejdzie do stanu 0. Zastosowanie logicznej jedynki na obu wejściach S i R może prowadzić do niejednoznacznego wyniku, więc ta kombinacja sygnałów wejściowych jest zabroniona. Zadania do samorealizacji 1. Istnieje 16 funkcji logicznych dwóch zmiennych (patrz tabela 3.1). Buduj swoje obwody logiczne przy użyciu podstawowych elementów logicznych: łącznika, rozłącznika i falownika. 2. Udowodnić, że układ logiczny rozważany w przykładzie 3.10 jest jednobitowym binarnym półsumatorem (przeniesienie z najmniej znaczącego bitu nie jest brane pod uwagę). 3. Udowodnij, budując tablicę prawdy, że funkcja logiczna Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) określa transfer do najwyższego bitu przy dodawaniu liczb binarnych (A i B są termami, Po jest a przenieść od najmniej znaczącego bitu). 4. Udowodnij, konstruując tabelę prawdy, że funkcja logiczna S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) określa sumę przy dodawaniu liczb binarnych (A i B są termami, Po jest przeniesieniem z najmniej znaczącego bitu). 5. Zbuduj obwód logiczny jednobitowego sumatora binarnego. Ile podstawowych bramek jest wymaganych do zaimplementowania 64-bitowego sumatora binarnego? 6. Ile podstawowych elementów logicznych tworzy pamięć RAM współczesnego komputera o pojemności 64 MB? 1. Zapisz liczby w rozwiniętej formie: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Zapisz następujące liczby w formie złożonej: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 „10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Czy liczby wpisane poprawnie w odpowiednich systemach liczbowych: a) A10 = A,234; c) A16 = 456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Jaka jest minimalna podstawa systemu liczbowego, jeśli są w nim zapisane liczby 127, 222, 111? Określ dziesiętny odpowiednik tych liczb w znalezionym systemie liczbowym. 5. Jaki jest dziesiętny odpowiednik liczb 101012, 101018 1010116? 6. Trzycyfrowa liczba dziesiętna kończy się liczbą 3. Jeśli liczba ta zostanie przesunięta o dwie cyfry w lewo, to znaczy rozpocznie się od niej rejestracja nowej liczby, to ta nowa liczba będzie o jeden więcej niż trzykrotna oryginalny numer. Znajdź oryginalny numer. 2.22 Sześciocyfrowa liczba dziesiętna zaczyna się po lewej stronie od liczby 1. Jeśli liczba ta zostanie przeniesiona z pierwszego miejsca po lewej do ostatniego miejsca po prawej stronie, wówczas wartość utworzonej liczby będzie trzykrotnie większa od pierwotnej . Znajdź oryginalny numer. 2.23 Która z liczb 1100112, 1114, 358 i 1B16 jest: a) największa; b) najmniej? 2.27 Czy istnieje trójkąt, którego długość boków wyrażona jest liczbami 12g, 1116 i 110112? 2.28 Jaka jest największa liczba dziesiętna, którą można zapisać jako trzy cyfry w systemie liczb binarnych, ósemkowych i szesnastkowych? 2.29 Pytania „niepoważne”. Kiedy jest 2x2=100? Kiedy jest 6x6=44? Kiedy jest 4x4=20? 2.30. Zapisz całe liczby dziesiętne należące do następujących przedziałów liczbowych: a) ; b) ; w) . 2.31 W klasie jest 11112 dziewczynek i 11002 chłopców. Ilu uczniów jest w klasie? 2.32 W klasie jest 36 uczniów, z czego 21q to dziewczęta, a 15q to chłopcy. Jaki system numeracji został użyty do liczenia uczniów? 2. 33. W ogrodzie rośnie 100q drzew owocowych, z czego 33q to jabłonie, 22q grusze, 16q śliwki i 5q wiśnie. W jakim systemie liczbowym liczone są drzewa? 2.34 Było 100q jabłek. Po przecięciu każdej z nich na pół, były połówki 1000q. W systemie liczbowym, na jakiej podstawie prowadzone było konto? 2.35 Mam 100 braci. Młodszy ma 1000 lat, a starszy 1111 lat. Najstarszy uczy się w klasie 1001. Czy to może być? 2.36 Dawno, dawno temu był staw, pośrodku którego rósł pojedynczy liść lilii wodnej. Każdego dnia liczba takich liści podwajała się, a dziesiątego dnia cała powierzchnia stawu była już wypełniona liśćmi lilii. Ile dni zajęło wypełnienie połowy stawu liśćmi? Ile liści było po dziewiątym dniu? 2.37. Wybierając potęgi liczby 2, które składają się na daną liczbę, przekształć następujące liczby na system liczb binarnych: a) 5; o 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Sprawdź poprawność tłumaczenia za pomocą programu Advanced Converter. 2.3. Tłumaczenie liczb z jednego systemu liczbowego na drugi 2.3.1. Przeliczanie liczb całkowitych z jednego systemu liczbowego na drugi Możemy sformułować algorytm konwersji liczb całkowitych z systemu o podstawie p na system o podstawie q: 1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego za pomocą cyfr pierwotnego systemu liczbowego i wykonaj wszystkie kolejne czynności w oryginalnym systemie liczbowym. 2. Konsekwentnie wykonuj dzielenie danej liczby i otrzymanych ilorazów całkowitych przez podstawę nowego systemu liczbowego, aż otrzymamy iloraz mniejszy od dzielnika. 3. Otrzymane reszty, które są cyframi liczby w nowym systemie liczbowym, są dopasowywane do alfabetu nowego systemu liczbowego. 4. Skomponuj liczbę w nowym systemie liczbowym, zapisując ją od ostatniej reszty. Przykład 2.12 Przekształć liczbę dziesiętną 17310 na ósemkową: ■ Otrzymujemy: 17310=2558. Przykład 2.13 Konwersja liczby dziesiętnej 17310 na system szesnastkowy: - Otrzymujemy: 17310=AD16. Przykład 2.14 Konwersja liczby dziesiętnej 1110 na system liczb binarnych. Otrzymujemy: 111O=10112. Przykład 2.15 Czasami wygodniej jest napisać algorytm tłumaczenia w formie tabeli. Przekształćmy liczbę dziesiętną 36310 na liczbę dwójkową. 2.3.2. Zamiana liczb ułamkowych z jednego systemu liczbowego na drugi Możemy sformułować algorytm konwersji właściwego ułamka o podstawie p na ułamek o podstawie q: 1. Wyraź podstawę nowego systemu liczbowego za pomocą cyfr pierwotnego systemu liczbowego i wykonaj wszystkie kolejne czynności w oryginalnym systemie liczbowym. 2. Pomnóż kolejno podaną liczbę i powstałe części ułamkowe produktów przez podstawę nowego systemu, aż ułamkowa część produktu stanie się równa zeru lub zostanie osiągnięta wymagana dokładność reprezentacji liczby. 3. Otrzymane części całkowite produktów, które są cyframi numeru w nowym systemie liczbowym, muszą być zgodne z alfabetem nowego systemu liczbowego. 4. Utwórz część ułamkową liczby w nowym systemie liczbowym, zaczynając od części całkowitej pierwszego iloczynu. Przykład 2.16. Konwertuj 0,6562510 na system ósemkowy. Przykład 2.17. Przekształć liczbę 0,6562510 na system liczb szesnastkowych. Przykład 2.18. Konwertuj dziesiętne 0.562510 na binarny system liczbowy. Przykład 2.19. Przekształć ułamek dziesiętny 0,710 na binarny. Oczywiście proces ten może trwać w nieskończoność, dając coraz więcej nowych znaków w obrazie binarnego odpowiednika liczby 0,710. Tak więc w czterech krokach otrzymujemy liczbę 0,10112, aw siedmiu krokach otrzymujemy liczbę 0,10110012, która jest dokładniejszą reprezentacją liczby 0,710 w systemie binarnym i tak dalej. Taki niekończący się proces jest przerywany na pewnym etapie, gdy uważa się, że osiągnięto wymaganą dokładność reprezentacji liczby. 2.3.3. Translacja liczb dowolnych Translacja liczb dowolnych, czyli liczb zawierających części całkowite i ułamkowe, odbywa się w dwóch etapach. Cała część jest tłumaczona osobno, część ułamkowa jest tłumaczona osobno. W końcowym zapisie otrzymanej liczby część całkowita jest oddzielana od przecinka ułamkowego. Przykład 2.20 Przekształć liczbę 17.2510 na system liczb binarnych. Tłumaczymy część całkowitą: Tłumaczymy część ułamkową: Przykład 2.21. Zamień liczbę 124.2510 na ósemkową. 2.3.4. Translacja liczb z systemu liczbowego o podstawie 2 na system liczbowy o podstawie 2n i na odwrót Translacja liczb całkowitych - Jeżeli podstawą systemu liczb q-ary jest potęga 2, to konwersja liczb z systemu q-ary System liczbowy na binarny i odwrotnie można przeprowadzić przy użyciu prostszych reguł. Aby zapisać binarną liczbę całkowitą w systemie liczbowym o podstawie q \u003d 2 ”, musisz: 1. Podziel liczbę binarną od prawej do lewej na grupy składające się z n cyfr. 2. Jeśli ostatnia lewa grupa zawiera mniej niż n cyfr, to musi 3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją jako odpowiednią cyfrę w systemie liczbowym o podstawie q = 2n Przykład 2.22 Przekształć liczbę 1011000010001100102 na system ósemkowy. Liczbę dzielimy od prawej do lewej na triady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową: Otrzymujemy ósemkową reprezentację oryginalnej liczby: 5410628. Przykład 2.23. Przekształćmy liczbę 10000000001111100001112 na system liczb szesnastkowych. Dzielimy liczbę od prawej do lewej na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową: Otrzymujemy szesnastkową reprezentację oryginalnej liczby: 200F8716. Tłumaczenie liczb ułamkowych. Aby zapisać ułamkową liczbę binarną w systemie liczbowym o podstawie q \u003d 2 ”, musisz: 1. Podziel liczbę binarną od lewej do prawej na grupy składające się z n cyfr. 2. Jeśli ostatnia prawa grupa zawiera mniej niż n cyfr, a następnie jego 3. Rozważ każdą grupę jako n-cyfrową liczbę binarną i zapisz ją odpowiednią cyfrą w systemie liczbowym o podstawie q \u003d 2n Przykład 2.24 po prawej stronie w triady i pod każdą z nich piszemy odpowiednia cyfra ósemkowa: Otrzymujemy ósemkową reprezentację oryginalnej liczby: 0.5428 Przykład 2.25 Tłumaczymy liczbę 0.1000000000112 na system szesnastkowy Podziel liczbę od lewej do prawej na tetrady i pod każdą z nich wpisz odpowiednią cyfrę szesnastkową: Pobierz szesnastkowy reprezentacja oryginalnego numeru: 0.80316. wpisz liczbę binarną w systemie liczbowym o podstawie q - 2n, potrzebujesz: [ 1. Podziel część całkowitą tej liczby binarnej od prawej do lewej, a część ułamkową od lewej do prawej na grupy po n cyfr każda. 2. Jeżeli w ostatniej lewej i/lub prawej grupie jest mniej niż n cyfr, należy je uzupełnić z lewej i/lub prawej strony zerami do wymaganej liczby cyfr. 3. Rozważ każdą grupę jako n-bitową liczbę binarną i zapisz ją jako odpowiednią cyfrę w systemie liczbowym o podstawie q = 2p. Przykład 2.26 Przetłumaczmy liczbę 111100101.01112 na system ósemkowy. Dzielimy części całkowite i ułamkowe liczby na triady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę ósemkową: Otrzymujemy ósemkową reprezentację oryginalnej liczby: 745,34S. Przykład 2.27 Przetłumaczmy liczbę 11101001000,110100102 na szesnastkowy system liczbowy. Dzielimy części całkowite i ułamkowe liczby na tetrady i pod każdą z nich wpisujemy odpowiednią cyfrę szesnastkową: Otrzymujemy szesnastkową reprezentację oryginalnej liczby: 748,D216. Tłumaczenie liczb z systemów liczbowych o podstawie q \u003d 2p na system binarny Aby dowolną liczbę zapisaną w systemie liczbowym o podstawie q \u003d 2 przekonwertować na system liczb binarnych, należy zastąpić każdą cyfrę ta liczba wraz z jej n-cyfrowym odpowiednikiem w systemie liczb binarnych . Przykład 2.28. Przetłumaczmy liczbę szesnastkową 4AC351b na system liczb binarnych. Zgodnie z algorytmem: i Otrzymujemy: 10010101100001101012 Zadania do samorealizacji 2.38. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu należy wpisać tę samą liczbę całkowitą w różnych systemach liczbowych. 2.39. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu należy wpisać tę samą liczbę ułamkową w różnych systemach liczbowych. 2.40. Wypełnij tabelę, w której w każdym wierszu musi być wpisana ta sama dowolna liczba (liczba może zawierać zarówno część całkowitą, jak i część ułamkową) w różnych systemach liczbowych. 2.4. Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych

Operacje arytmetyczne w systemie binarnym.


Przykład 2.29. Rozważ kilka przykładów dodawania liczb binarnych:

Odejmowanie. Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowania 1 z kreską oznacza pożyczkę wysokiego rzędu.


Przykład 2.31. Rozważ kilka przykładów mnożenia binarnego:

Widzisz, że mnożenie sprowadza się do przesunięć mnożenia i dodawania.

Podział. Operacja dzielenia jest wykonywana według algorytmu podobnego do algorytmu operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych.


Dodawanie w innych systemach liczbowych. Poniżej znajduje się tabela dodawania w systemie ósemkowym:

2.42. Ułóż znaki operacji arytmetycznych tak, aby następujące równości były prawdziwe w systemie binarnym:

Napisz odpowiedź dla każdej liczby we wskazanym i dziesiętnym systemie liczbowym. 2.44. Która liczba poprzedza każdą z danych:

2.45. Wypisz liczby całkowite należące do następujących przedziałów liczbowych:

a) w systemie binarnym;

b) w systemie ósemkowym;

c) w systemie szesnastkowym.

Napisz odpowiedź dla każdej liczby we wskazanym i dziesiętnym systemie liczbowym.



2.47. Znajdź średnią arytmetyczną następujących liczb:

2.48 Suma liczb ósemkowych 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 zostało przekonwertowane na system liczb szesnastkowych.
Znajdź we wpisie liczbę równą tej kwocie, piątą cyfrę od lewej.


Przywróć nieznane liczby oznaczone znakiem zapytania w
następujące przykłady dodawania i odejmowania, najpierw definiowanie
le, w jakim systemie wyświetlane są liczby.

Działania arytmetyczne w systemach liczb pozycyjnych

Rozważmy bardziej szczegółowo operacje arytmetyczne w systemie liczb binarnych. Arytmetyka systemu liczb binarnych opiera się na wykorzystaniu tablic dodawania, odejmowania i mnożenia cyfr. Argumenty arytmetyczne znajdują się w górnym wierszu i pierwszej kolumnie tabel, a wyniki znajdują się na przecięciu kolumn i wierszy:

Rozważmy szczegółowo każdą operację.

Dodatek. Tabela dodawania binarnego jest niezwykle prosta. Tylko w jednym przypadku, gdy wykonywane jest dodawanie 1+1, zostaje przeniesiony do wyższej rangi. ,

Odejmowanie. Podczas wykonywania operacji odejmowania mniejsza liczba jest zawsze odejmowana od większej liczby w wartości bezwzględnej i umieszczany jest odpowiedni znak. W tabeli odejmowania 1 z kreską oznacza pożyczkę wysokiego rzędu.

Mnożenie. Operacja mnożenia wykonywana jest za pomocą tabliczki mnożenia według zwykłego schematu stosowanego w systemie liczb dziesiętnych z kolejnym mnożeniem mnożnika przez kolejną cyfrę mnożnika.

Podział. Operacja dzielenia jest wykonywana według algorytmu podobnego do algorytmu operacji dzielenia w systemie liczb dziesiętnych.

Uwaga: Przy dodawaniu dwóch liczb równych 1, w tej cyfrze otrzymuje się 0, a pierwsza jest przenoszona do najbardziej znaczącej cyfry.

Przykład_21: Podano numery 101 (2) i 11 (2). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Sprawdź: 5+3=8.

Odejmując jedną od 0, jednostka jest brana z najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta na najwyższej cyfrze daje 2 jednostki w najmniej znaczącej cyfrze i jedną we wszystkich cyfrach pomiędzy najwyższą i najniższy.

Przykład_22: Podano numery 101 (2) i 11 (2). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 101 (2) =5 (10), 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10).

Sprawdź: 5-3=2.

Operacja mnożenia sprowadza się do wielokrotnego przesuwania i dodawania.

Przykład_23: Podano numery 11 (2) i 10 (2). Znajdź iloczyn tych liczb.

gdzie 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10), 110 (2) =6 (10).

Sprawdź: 3*2=6.

Działania arytmetyczne w systemie ósemkowym

Przy dodawaniu dwóch liczb, których suma jest równa 8, w tej kategorii otrzymuje się 0, a pierwsza jest przenoszona do najwyższego rzędu.

Przykład_24: Podano numery 165 (8) i 13 (8). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Przy odejmowaniu większej liczby od mniejszej, jednostka jest brana z najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta w najwyższej cyfrze daje 8 w najmniej znaczącej cyfrze.

Przykład_25: Podano numery 114 (8) i 15 (8). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operacje arytmetyczne w systemie liczb szesnastkowych

Podczas dodawania dwóch liczb, w sumie 16, 0 jest zapisywane w tej kategorii, a 1 jest przenoszona do najwyższego rzędu.

Przykład_26: Podano numery 1B5 (16) i 53 (16). Znajdź sumę tych liczb.

gdzie 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Odejmując większą liczbę od mniejszej, jednostka jest zajęta od najwyższej najbliższej cyfry, która jest różna od 0. Jednocześnie jednostka zajęta w najwyższej cyfrze daje 16 w najmniej znaczącej cyfrze.

Przykład_27: Podano numery 11A (16) i 2C (16). Znajdź różnicę między tymi liczbami.

gdzie 11A (16) =282 (10), 2C (16) =44 (10), EE (16) =238 (10).

Komputerowe kodowanie danych

Dane w komputerze są reprezentowane jako kod, który składa się z jedynek i zer w różnych sekwencjach.

Kod– zestaw symboli do prezentacji informacji. Kodowanie to proces prezentowania informacji w postaci kodu.

Kody numeryczne

Wykonując operacje arytmetyczne w komputerze, używają bezpośredni, odwrotny oraz dodatkowy kody numeryczne.

Kod bezpośredni

Prosty kodem (reprezentacja w postaci wartości bezwzględnej ze znakiem) liczby binarnej jest sama liczba binarna, w której wszystkie cyfry reprezentujące jej wartość są zapisane jak w notacji matematycznej, a znak liczby jest zapisany jako cyfra binarna.

Liczby całkowite mogą być reprezentowane w komputerze ze znakiem lub bez.

Liczby całkowite bez znaku zajmują zwykle jeden lub dwa bajty pamięci. Do przechowywania liczb całkowitych ze znakiem przydzielany jest jeden, dwa lub cztery bajty, podczas gdy najbardziej znaczący (najbardziej lewy) bit jest przydzielany pod znakiem liczby. Jeśli liczba jest dodatnia, to do tego bitu jest zapisywane 0, jeśli ujemna, to 1.

Przykład_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Liczby dodatnie w komputerze są zawsze przedstawiane za pomocą kodu bezpośredniego. Bezpośredni kod numeru całkowicie pokrywa się z wprowadzeniem samego numeru w komórce maszyny. Kod bezpośredni liczby ujemnej różni się od kodu bezpośredniego odpowiedniej liczby dodatniej tylko zawartością bitu znaku.

Kod bezpośredni jest używany podczas przechowywania liczb w pamięci komputera, a także podczas wykonywania operacji mnożenia i dzielenia, ale format przedstawiania liczb w kodzie bezpośrednim jest niewygodny do użycia w obliczeniach, ponieważ wykonywane jest dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych inaczej i dlatego konieczne jest przeanalizowanie bitów operandu znaku. Dlatego kod bezpośredni praktycznie nie jest używany podczas implementacji operacji arytmetycznych na liczbach całkowitych w jednostce ALU. Ale ujemne liczby całkowite nie są reprezentowane w komputerze za pomocą kodu bezpośredniego. Zamiast tego formatu rozpowszechniły się formaty przedstawiania liczb w odwrotnej kolejności i dodatkowe kody.

Odwrotny kod

Odwrotny kod liczby dodatniej pokrywa się z liczbą bezpośrednią, a przy zapisie liczby ujemnej wszystkie jej cyfry, z wyjątkiem cyfry reprezentującej znak liczby, są zastępowane przez przeciwne (0 zastępuje 1, a 1 jest zastępowane 0 ).

Przykład_29:

Przykład_30:

Aby przywrócić kod bezpośredni liczby ujemnej z kodu odwrotnego, wszystkie cyfry, z wyjątkiem cyfry reprezentującej znak liczby, należy zastąpić cyframi przeciwstawnymi.

Dodatkowy kod

Dodatkowy kod liczby dodatniej pokrywa się z liczbą prostą, a kod liczby ujemnej tworzy się przez dodanie 1 do kodu odwrotnego.

Przykład_31:

Przykład_32:

Przykład_33:

Dla liczby całkowitej -32 (10) napisz dodatkowy kod.

1. Po zamianie liczby 32 (10) na system liczb binarnych otrzymujemy:

32 (10) =100000 (2) .

2. Bezpośredni kod liczby dodatniej 32 (10) to 0010 0000.

3. Dla liczby ujemnej -32 (10) kod bezpośredni to 1010 0000.

4. Odwrotny kod liczby -32 (10) to 1101 1111.

5. Dodatkowy kod numeru -32 (10) to 1110 0000.

Przykład_34:

Dodatkowy kod liczby to 0011 1011. Znajdź wartość liczby w notacji dziesiętnej.

1. Pierwsza (znakowa) cyfra liczby 0 011 1011 to 0, więc liczba jest dodatnia.

2. Dla liczby dodatniej kody dodatkowy, odwrotny i bezpośredni są takie same.

3. Liczbę w systemie binarnym otrzymujemy z zapisu kodu bezpośredniego - 111011 (2) (odrzucamy zera z najwyższych cyfr).

4. Liczba 111011 (2) po przekonwertowaniu na system liczb dziesiętnych to 59 (10).

Przykład_35:

Dodatkowy kod liczby to 1011 1011. Znajdź wartość liczby w notacji dziesiętnej.

1. Cyfra znaku liczby 1 011 1011 to 1, więc liczba jest ujemna.

2. Aby określić odwrotny kod numeru, odejmij jeden od dodatkowego kodu. Kod odwrotny to 1 011 1010.

3. Kod bezpośredni uzyskuje się z odwrotnej strony, zastępując wszystkie cyfry binarne liczby przeciwnymi (1 dla 0, 0 dla 1). Bezpośredni kod numeru to 1 100 0101 (w bicie znaku zapisujemy 1).

4. Liczbę w systemie binarnym otrzymujemy z zapisu kodu bezpośredniego - -100 0101 (2).

4. Liczba -1000101 (2) po przeliczeniu na dziesiętną jest równa -69 (10).


Podobne informacje.