Прямоугольные проекции на две или три взаимно перпендикулярные плоскости принято называть ортогональными .

Зададим три взаимно перпендикулярные плоскости проекций и точку А в пространстве (Рис.2.1).

Рис. 2.1. Ортогональные проекции точки

V , H , W – плоскости проекций

V – фронтальная плоскость проекций

H – горизонтальная плоскость проекций

W – профильная плоскость проекций

Линии пересечения плоскостей проекций X , Y , Z – оси проекций.

Для того, чтобы получить три проекции точки А , следует из нее опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Точки пересечения перпендикуляров с плоскостью V – фронтальная проекция точки A v , с плоскостью Н – горизонтальная проекция точки А н , с плоскостью W – профильная проекция точки А w .

Для перехода к плоскому чертежу, эпюру (от французского слова epure – чертеж, проект) нужно плоскость Н повернуть вниз вокруг оси Х до совмещения с плоскостью V , а плоскость W совместить с плоскостью V , поворачивая ее вокруг оси Z вправо (Рис.2.2а).

Две ортогональные проекции на взаимно перпендикулярные плоскости лежат на прямых, перпендикулярных к соответствующей оси проекции и пересекают эту ось в одной и той же точке. Эти линии называются линиями связи .

Расстояние от точки до плоскостей проекций называются координатами этойточки и могут быть измерены по осям.

1) Расстояние АА w (ХА ) от профильной плоскости проекций является абсциссой точки А ;

2) Расстояние АА v (Y А ) точки А от фронтальной плоскости проекций называется ординатой (на рис.2.1 размер оси Y уменьшен в два раза, т.к. во фронтальной диметрии показатель искажения равен 0,5);

3) Расстояние АА н (Z А ) точки А от горизонтальной плоскости проекций называется аппликатой точки А .

Точка может быть задана ее координатами X , Y , Z , например,

А (,,)

Чертеж, на котором точка или система точек изображаются при совмещенном положении плоскостей проекций называется эпюром или чертежом .

Границы плоскостей проекций на эпюре обычно не показываются. Во многих случаях бывает достаточно двух плоскостей проекций, в этом случае проводится только одна ось проекции Х (Рис.2.2б).

2.1.1. Безосный эпюр

Изображения (проекции) точки, линии, плоской фигуры или пространственной формы на плоскостях проекций не изменятся, если плоскости перемещать по отношению к проецируемому объекту параллельно самим себе. При этом расстояния проецируемого объекта от плоскостей проекций изменяются, но это обстоятельство не имеет никакого значения для решения многих задач. Так, на технических чертежах оси проекций обычно не показывают. Поэтому на эпюре в ряде случаев можно не изображать осей проекций. Пример безосного чертежа точки приведен на рис.2.2в.

Рис. 2.2. Чертёж (эпюр) точки: а) на три плоскости проекции;

Б) на две плоскости проекции; в) безосный

2.2. Ортогональные проекции прямой

Чтобы построить проекции какой-либо линии, нужно задать проекции двух ее точек и соответствующие проекции этих точек соединить (Рис.2.3). Относительно плоскостей проекций прямые могут занимать частные или общие положения.

Рис. 2.3. Проекции отрезка прямой

4.1. Плоскость. Задание плоскости на
чертеже. Принадлежность точки и прямой
плоскости.
Плоскость на чертеже может быть задана:
1 – тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2 – прямой и точкой вне этой прямой;
3 – двумя пересекающимися прямыми;
4 – двумя параллельными прямыми;
5 – плоской фигурой (например, треугольник);
6 – следами (линии пересечения плоскости с плоскостями
проекций).

Принадлежность точки и прямой плоскости:
1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит
через две точки, принадлежащие данной плоскости, т.е.
пересекает другие прямые, лежащие в этой плоскости;
2. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит
через точку, принадлежащую плоскости (пересекает другую
прямую данной плоскости), и параллельна прямой, лежащей в
этой плоскости;
3. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит
прямой, лежащей в данной плоскости.
Чтобы построить точку в плоскости, нужно построить в
плоскости прямую и на ней задать точку.

Пример 1
α(a b)
l α, m α
A α

Пример 2
β(c // d)
m β, l β
m // c // d
m" ? l" ?

10.

11.

12.

13.

4.2. Следы плоскости
Следы плоскости – это линии, по которым плоскость
пересекает плоскости проекций.

14.

αН – горизонтальный след
αV – фронтальный след
αх – точка схода следов

15.

l α
N – фронтальный след
прямой l
M – горизонтальный след
прямой l
Если прямая принадлежит плоскости, заданной следами,
то следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

16. 4.3. Главные линии плоскости

Главные линии плоскости – это линии, лежащие в
плоскости и параллельные плоскостям проекций. Это
горизонталь и фронталь.
Горизонталь – это прямая, принадлежащая плоскости, и
параллельная горизонтальной плоскости проекций Н. Ее
фронтальная проекция h" всегда параллельна оси ОХ, а
горизонтальная проекция h" – есть натуральная величина этой
прямой.
Фронталь – это прямая, принадлежащая плоскости, и
параллельная фронтальной плоскости проекций V. Ее
горизонтальная проекция v" всегда параллельна оси ОХ, а
фронтальная проекция v" – есть натуральная величина этой
прямой.

17.

Задача 1. Плоскость задана следами.
горизонталь и фронталь плоскости.
Построить
α(αH αV)
h α, v α

18.

Н, V – нулевая горизонталь и фронталь

19.

20.

21.

22.

h // H – горизонталь плоскости α
v // V – фронталь плоскости α

23.

Задача 2. Плоскость задана пересекающимися прямыми
a и b. Построить горизонталь и фронталь плоскости.
α(a b)

24.

25.

26.

27.

28.

29. 4.4. Линии наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекций. Определение углов наклона плоскости к плоскостям проекций

Линия наибольшего наклона (л.н.н.) к плоскости Н (V) –
это
прямая,
принадлежащая
этой
плоскости
и
перпендикулярная к горизонтали (фронтали) плоскости.
Линию наибольшего наклона к плоскости Н называют еще
линией ската.
С помощью линий наибольшего наклона определяют углы
наклона заданной плоскости к плоскостям проекций.

30.

31.

Пример 3: Определить угол наклона плоскости (а ∩ b) к
горизонтальной плоскости проекций Н.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

Алгоритм решения задачи:
1. Проводим в плоскости горизонталь h;
h" // ОХ;
h" – н.в. горизонтали.
2. Из произвольной точки (т. А) строим к н.в. горизонтали
перпендикуляр А"M".
АМ есть л.н.н.; А"M" h".
3. Определяем натуральную величину отрезка
способом прямоугольного треугольника.
< А"M"А0 = <α° - угол между плоскостью и плоскостью Н.

42.

Пример 4: Определить угол наклона плоскости α (αH ∩ αV)
к фронтальной плоскости проекций V.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

1.Точку N берем
произвольно.
2.Строим из т. N
перпендикуляр
к
следу αV.
3.Определяем н.в.
перпендикуляра
MN
способом
прямоугольного
треугольника.
4. < M""N""M0 =
< ° - угол между
плоскостью α и
плоскостью V.

50.

Пример 5: Построить следы плоскости α, заданной своей
линией ската MN.
1. MN – линия наибольшего наклона. М’N’ горизонтали
плоскости.

51.

2. Из т. M" строим перпендикуляр к M"N". Это есть след αH.

52.

3. N"" αV.
Соединяем αх и N"",
получаем αV

53.

54. 4.5. Проецирующие плоскости. Прямые и точки в проецирующих плоскостях.

Плоскость по отношению к плоскостям проекций может
занимать следующие положения:
плоскости общего положения,
проецирующей плоскости,
плоскости уровня.
Плоскость общего положения – это плоскость, которая
не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.
Проецирующая
плоскость
–
плоскость,
перпендикулярная к какой либо одной плоскости проекций.
Если плоскость перпендикулярна плоскости Н, то она
называется горизонтально-проецирующая, если плоскости
V – фронтально-проецирующая, если плоскости W –
профильно-проецирующая.

55.

Горизонтально-проецирующая плоскость α.
α Н, эта плоскость проецируется на плоскость Н в
прямую линию. Этой линии принадлежат горизонтальные
проекции точек и линий, лежащих в плоскости α.
< ° угол между плоскостью α и фронтальной плоскостью
проекций V.

56.

Горизонтально-проецирующая плоскость может быть
задана на чертеже одной своей горизонтальной проекцией.

57.

Фронтально-проецирующая плоскость
V, эта плоскость проецируется на плоскость V в
прямую линию.
< α° угол между плоскостью и горизонтальной
плоскостью проекций H.

58.

Плоскость уровня
Плоскость уровня – плоскость, параллельная какой-либо
плоскости проекций (это частный случай проецирующей
плоскости). В зависимости от того, какой проецирующей
плоскости параллельна плоскость уровня, различают:
горизонтальную, фронтальную и профильную плоскости.
Любая фигура такой плоскости проецируется на
параллельную ей плоскость проекции в натуральную
величину, а на две другие - в прямую линию.

Плоскость – это одна из наиболее важных фигур в планиметрии, поэтому нужно хорошо понимать, что она из себя представляет. В рамках этого материала мы сформулируем само понятие плоскости, покажем, как ее обозначают на письме, и введем необходимые обозначения. Затем мы рассмотрим это понятие в сравнении с точкой, прямой или другой плоскостью и разберем варианты их взаимного расположения. Все определения будут проиллюстрированы графически, а нужные аксиомы сформулированы отдельно. В последнем пункте мы укажем, как правильно задать плоскость в пространстве несколькими способами.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Плоскость представляет собой одну из простейших фигур в геометрии наравне с прямой и точкой. Ранее мы уже объясняли, что точка и прямая размещаются на плоскости. Если эту плоскость разместить в трехмерном пространстве, то мы получим точки и прямые в пространстве.

В жизни представление о том, что такое плоскость, нам могут дать такие объекты, как поверхность пола, стола или стены. Но нужно учитывать, что в жизни их размеры ограничены, а здесь понятие плоскости связано с бесконечностью.

Прямые и точки, размещенные в пространстве, мы будем обозначать аналогично размещенным на плоскости – с помощью строчных и прописных латинских букв (B , A , d , q и др.) Если в условиях задачи у нас есть две точки, которые расположены на прямой, то можно выбрать такие обозначения, которые будут соответствовать друг другу, например, прямая D B и точки D и B .

Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α , γ или π .

Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Плоскость принято рассматривать вместе с прямыми, точками, другими плоскостями. Задачи с этим понятием обычно содержат некоторые варианты их расположения друг относительно друга. Рассмотрим отдельные случаи.

Первый способ взаимного расположения заключается в том, что точка расположена на плоскости, т.е. принадлежит ей. Можно сформулировать аксиому:

Определение 1

В любой плоскости есть точки.

Такой вариант расположения также называется прохождением плоскости через точку. Чтобы обозначить это на письме, используется символ ∈ . Так, если нам нужно записать в буквенном виде, что через точку A проходит некая плоскость π , то мы пишем: A ∈ π .

Если некая плоскость задана в пространстве, то число точек, принадлежащих ей, является бесконечным. А какого минимального количества точек будет достаточно для определения плоскости? Ответом на этот вопрос будет следующая аксиома.

Определение 2

Через три точки, которые не расположены на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Зная это правило, можно ввести новое обозначение плоскости. Вместо маленькой греческой буквы мы можем использовать названия точек, лежащих в ней, например, плоскость А В С.

Другой способ взаимного расположения точки и плоскости можно выразить с помощью третьей аксиомы:

Определение 3

Можно выделить как минимум 4 точки, которые не будут находиться в одной плоскости.

Выше мы уже отмечали, что для обозначения плоскости в пространстве будет достаточно трех точек, а четвертая может находиться как в ней, так и вне ее. Если нужно обозначить отсутствие принадлежности точки к заданной плоскости на письме, то используется знак ∉ . Запись вида A ∉ π правильно читается как «точка A не принадлежит плоскости π »

Графически последнюю аксиому можно представить так:

Самый простой вариант – прямая находится в плоскости. Тогда в ней будут расположены как минимум две точки этой прямой. Сформулируем аксиому:

Определение 4

Если хотя бы две точки заданной прямой находятся в некоторой плоскости, это значит, что все точки этой прямой расположены в данной плоскости.

Чтобы записать принадлежность прямой некой плоскости, используем тот же символ, что и для точки. Если мы напишем « a ∈ π », то это будет означать, что у нас есть прямая a , которая расположена в плоскости π . Изобразим это на рисунке:

Второй вариант взаимного расположения – это когда прямая пересекает плоскость. В таком случае у них будет всего одна общая точка – точка пересечения. Для записи такого расположения в буквенном виде используем символ ∩ . Например, выражение a ∩ π = M читается как «прямая a пересекает плоскость π в некоторой точке M ». Если у нас есть точка пересечения, значит, у нас есть и угол, под которым прямая пересекает плоскость.

Графически этот вариант расположения выглядит так:

Если у нас есть две прямые, одна из которых лежит в плоскости, а другая ее пересекает, то они являются перпендикулярными друг другу. На письме это обозначается символом ⊥ . Особенности такой позиции мы рассмотрим в отдельной статье. На рисунке это расположение будет выглядеть следующим образом:

Если мы решаем задачу, в которой есть плоскость, нам необходимо знать, что из себя представляет нормальный вектор плоскости.

Определение 5

Нормальный вектор плоскости – это такой вектор, который лежит на перпендикулярной прямой по отношению к плоскости и не равен при этом нулю.

Примеры нормальных векторов плоскости показаны на рисунке:

Третий случай взаимного расположения прямой и плоскости – это их параллельность. В таком случае ни одной общей точки у них нет. Для указания таких отношений на письме используется символ ∥ . Если у нас есть запись вида a ∥ π , то ее следует читать так: «прямая a является параллельной плоскости ∥ ». Подробнее этот случай мы разберем в статье про параллельные плоскости и прямые.

Если прямая расположена внутри плоскости, то она делит ее на две равные или неравные части (полуплоскости). Тогда такая прямая будет называться границей полуплоскостей.

Любые 2 точки, расположенные в одной полуплоскости, лежат по одной сторону от границы, а две точки, принадлежащие разным полуплоскостям, лежат по разную сторону от границы.

1. Наиболее простой вариант – две плоскости совпадают друг с другом. Тогда они будут иметь минимум три общие точки.

2. Одна плоскость может пересекать другую. При этом образуется прямая. Выведем аксиому:

Определение 6

Если две плоскости пересекаются, то между ними образуется общая прямая, на которой лежат все возможные точки пересечения.

На графике это будет выглядеть так:

В таком случае между плоскостями образуется угол. Если он будет равен 90 градусам, то плоскости будут перпендикулярны друг другу.

3. Две плоскости могут быть параллельными друг другу, то есть не иметь ни одной точки пересечения.

Если у нас есть не две, а три и больше пересекающихся плоскостей, то такую комбинацию принято называть пучком или связкой плоскостей. Подробнее об этом мы напишем в отдельном материале.

В этом пункте мы посмотрим, какие существуют способы задания плоскости в пространстве.

1. Первый способ основан на одной из аксиом: единственная плоскость проходит через 3 точки, не лежащие на одной прямой. Следовательно, мы можем задать плоскость, просто указав три таких точки.

Если у нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой задана плоскость с помощью этого способа, то мы можем составить уравнение этой плоскости (подробнее см, соответствующую статью). Изобразим данный способ на рисунке:

2. Второй способ – задание плоскости с помощью прямой и точки, не лежащей на этой прямой. Это следует из аксиомы о плоскости, проходящей через 3 точки. См. рисунок:

3. Третий способ заключается в задании плоскости, которая проходит через две пересекающиеся прямые (как мы помним, в таком случае тоже есть только одна плоскость.) Проиллюстрируем способ так:

4. Четвертый способ основан на параллельных прямых. Вспомним, какие прямые называются параллельными: они должны лежать в одной плоскости и не иметь ни одной точки пересечения. Получается, что если мы укажем в пространстве две такие прямые, то мы тем самым сможем определить для них ту самую единственную плоскость. Если у нас есть прямоугольная система координат в пространстве, в которой уже задана плоскость этим способом, то мы можем вывести уравнение такой плоскости.

На рисунке этот способ будет выглядеть так:

Если мы вспомним, что такое признак параллельности, то сможем вывести еще один способ задания плоскости:

Определение 7

Если у нас есть две пересекающиеся прямые, которые лежат в некоторой плоскости, которые параллельны двум прямым в другой плоскости, то и сами эти плоскости будут параллельны.

Таким образом, если мы зададим точку, то мы сможем задать плоскость, которая проходит через нее, и ту плоскость, которой она будет параллельна. В таком случае мы тоже можем вывести уравнение плоскости (об этом у нас есть отдельный материал).

Вспомним одну теорему, изученную в рамках курса по геометрии:

Определение 8

Через определенную точку пространства может проходить только одна плоскость, которая будет параллельна заданной прямой.

Это значит, что можно задать плоскость путем указания конкретной точки, через которую она будет проходить, и прямой, которая будет перпендикулярна по отношению к ней. Если плоскость задана этим способом в прямоугольной системе координат, то мы можем составить уравнение плоскости для нее.

Также мы можем указать не прямую, а нормальный вектор плоскости. Тогда можно будет сформулировать общее уравнение.

Мы рассмотрели основные способы, с помощью которых можно задать плоскость в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Возможны следующие положения плоскости относительно плоскостей проекций H,V,W:

1) плоскость не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций;

2) плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей проекций;

3) плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций.

1.Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций , является плоскостью общего положения (см, рис. 3,1-3.5), Плоскость общего положения (см рис. 3.9) ,пересекает все плоскости проекций. Следы плоскости общего положения не перпендикулярны к осям проекций

2. Если плоскость перпендикулярна к одной из плоскостей

проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекции. Такие плоскости называютсягоризонтально проецирующими (рис.3,21, 3.22).

Рис.3.21 Рис.3.22

На рис.3.21 плоскость задана проекциями треугольника АВС. Горизонтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 2 равен углу между заданной плоскостью и плоскостью V. На рис. 3,22 изображена горизонтально проецирующая плоскость b, которая задана следами. Фронтальный след плоскости b перпендикулярен к плоскости Н и к оси проекций X. Угол ф 2 является

линейным углом двугранного угла между горизонтально проецирующей плоскостью b и плоскостью V.

б) плоскость перпендикулярна к фронтальной плоскости проекции. Такие плоскости называются фронтальнопроецирующими.

Рис.3.23 Рис.3.24

На рис, 3.23 фронтально - проецирующая плоскость задана треугольником DEF, фронтальная проекция представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 1 равен углу между плоскостью DEF и плоскостью Н.

На рис.3,24 фронтально - проецирующая плоскость g задана следами. Горизонтальный след g н перпендикулярен к плоскости V и к оси X. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости g к плоскости Н;

в) плоскость перпендикулярна к профильной плоскости проекций. Такие плоскости называются профильно- проецирующи-ми,

На рис,3,25 профильно - проецирующая плоскость задана треугольником АВС. Горизонталь этой плоскости перпендикулярна к плоскости W и представляет собой отрезок прямой линии. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости треугольника АВС к плоскости Н.


31


Рис.3.25 Рис.3.26

На рис.3.26 профильно - проецирующая плоскость b задана следами. Угол ф 1 равен углу наклона плоскости b к плоскости Н,

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси Хи, следовательно, параллельны между собой.

3. Если плоскость перпендикулярна к двум плоскостям проекций, то возможны три случая:

а) плоскость перпендикулярна к плоскостям V, W т.е. параллельна плоскости Н. Такие плоскости называютгоризонталь-

ными.

Рис.3.27 Рис.3.28

На рис.3.27 горизонтальная плоскость задана треугольником АВС. Фронтальная проекция этой плоскости апробировалась в прямую линию, параллельную оси Х.

На рис.3.28 горизонтальная плоскость задана следами. Фронтальный след этой плоскости параллелен оси X.

б) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и W, т.е. параллельна плоскости V. Такие плоскости называютфронтальными

Рис.3.29 Рис.3.30

На рис.3.29 фронтальная плоскость задана треугольником CDE, Горизонтальная проекция этой плоскости представляет прямую линию, параллельную оси X.

На рис. 3.30 фронтальная плоскость b задана следами. Горизонтальный след этой плоскости параллелен оси X,

в) плоскость перпендикулярна к плоскостям Н и V, т.е. параллельна W. Такие плоскости называютпрофильными.

Рис.3.31 Рис.3.32

На рис.3.31 профильная плоскость задана треугольником EFG, Фронтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, параллельную оси Z

На рис.3.32 профильная плоскость a задана следами. Фронтальный и горизонтальный следыэтой плоскости перпендикулярны к оси X.