Subiectul lecției: Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale.

Clasa a 9-a

Obiectivele lecției:

    Didactic: să familiarizeze elevii cu adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea în sistemul binar și să efectueze o practică primară a abilității de a efectua aceste acțiuni.

    Educational: să dezvolte interesul elevilor pentru a învăța lucruri noi, să arate posibilitatea unei abordări non-standard a calculelor.

    În curs de dezvoltare: dezvoltă atenția, rigoarea gândirii, capacitatea de a raționa.

Structura lecției.

    Orgmoment -1 min.

    Verificarea temelor cu un test oral -15 minute.

    Teme pentru acasă -2 minute.

    Rezolvarea problemelor cu analiza simultană și dezvoltarea independentă a materialului -25 min.

    Rezumând lecția -2 minute.

ÎN CURILE CURĂRILOR

    Moment organizatoric.

    Verificarea temelor (test oral) .

Profesorul citește întrebările în ordine. Elevii ascultă cu atenție întrebarea fără să o noteze. Doar răspunsul este înregistrat, și foarte pe scurt. (Dacă este posibil să răspundeți cu un singur cuvânt, atunci este înregistrat doar acest cuvânt).

    Ce este un sistem numeric? (-acesta este un sistem de semne în care numerele sunt scrise după anumite reguli folosind caracterele unui alfabet numit numere )

    Ce sisteme numerice cunoașteți?( non-pozițional și pozițional )

    Ce sistem se numește nonpozițional? (SCH se numește nepozițional dacă echivalentul cantitativ (valoarea cantitativă) al unei cifre dintr-un număr nu depinde de poziția sa în notația numărului ).

    Care este baza SSC pozițional. (egal cu numărul de cifre care alcătuiesc alfabetul său )

    Ce operație matematică ar trebui folosită pentru a converti un întreg dintr-un NSC zecimal în oricare altul? (Divizia )

    Ce trebuie făcut pentru a converti un număr din zecimal în binar? (Împărțiți în mod constant la 2 )

    De câte ori va scădea numărul 11,1 2 când mutați virgula cu un caracter la stânga? (de 2 ori )

Acum haideți să ascultăm un verset despre o fată extraordinară și să răspundem la întrebări. (Sună ca un vers )

FATA EXTRAORDINARĂ

Avea o mie și o sută de ani
A mers la clasa o sută întâi,
Aveam o sută de cărți în portofoliu.
Toate acestea sunt adevărate, nu prostii.

Când, făcând praf cu o duzină de picioare,
Ea a mers de-a lungul drumului.
Ea a fost mereu urmată de un cățeluș
Cu o coadă, dar cu o sută de picioare.

Ea a captat fiecare sunet
Cu zece urechi
Și zece mâini bronzate
Țineau o servietă și o lesă.

Și zece ochi albaștri închis
Considerată lumea în mod obișnuit,
Dar totul va deveni destul de normal,
Când înțelegi povestea mea.

/ N. Starikov /

Și câți ani avea fata? (în vârstă de 12 ani ) La ce clasă a mers? (clasa a 5-a ) Câte braţe şi picioare avea? (2 brate, 2 picioare ) Cum are un cățel 100 de picioare? (4 labe )

După finalizarea testului, răspunsurile sunt pronunțate cu voce tare de către elevii înșiși, se efectuează un autoexaminare și elevii își acordă note.

Criteriu:

    10 răspunsuri corecte (poate un mic defect) - „5”;

    9 sau 8 - „4”;

    7, 6 – “3”;

    restul sunt „2”.

II. Teme pentru acasă (2 minute)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Lucrul cu material nou

Operații aritmetice în sistemul binar.

Aritmetica sistemului de numere binare se bazează pe utilizarea tabelelor de adunare, scădere și înmulțire a cifrelor. Operanzii aritmetici sunt localizați în rândul de sus și în prima coloană a tabelelor, iar rezultatele sunt la intersecția coloanelor și rândurilor:

0

1

1

1

Plus.

Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Numai într-un caz, când se realizează adăugarea 1 + 1, are loc un transfer la bitul cel mai semnificativ.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Scădere.

La efectuarea unei operații de scădere, un număr mai mic este întotdeauna scăzut dintr-un număr mai mare în valoare absolută și se pune semnul corespunzător. În tabelul de scădere, un 1 cu o bară înseamnă un împrumut de ordin mare. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Multiplicare

Operația de înmulțire se realizează folosind tabelul înmulțirii după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Înmulțirea se reduce la deplasări ale multiplicandului și adunări.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Rezumând lecția

Card pentru munca suplimentară a studenților.

Efectuați operații aritmetice:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Plus. Adunarea numerelor în sistemul de numere binar se bazează pe tabelul de adunare a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 6).

Este important să acordați atenție faptului că, atunci când adăugați două unități, se face un transfer către cea mai mare cifră. Acest lucru se întâmplă atunci când valoarea unui număr devine egală sau mai mare decât baza sistemului numeric.

Adăugarea numerelor binare pe mai mulți biți se efectuează în conformitate cu tabelul de adăugare de mai sus, ținând cont de posibilele transferuri de la cifrele inferioare la cifrele superioare. De exemplu, să adăugăm numere binare într-o coloană:

Să verificăm corectitudinea calculelor prin adăugare în sistemul numeric zecimal. Să convertim numerele binare în sistemul numeric zecimal și să le adăugăm:

Scădere. Scăderea numerelor binare se bazează pe tabelul de scădere a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 7).

Când se scade dintr-un număr mai mic (0) unul mai mare (1), se face un împrumut din ordinul cel mai înalt. În tabel, împrumutul este indicat cu 1 cu o bară.

Scăderea numerelor binare cu mai multe cifre este implementată în conformitate cu acest tabel, luând în considerare posibilele împrumuturi în cifre de ordin înalt.

De exemplu, să scădem numere binare:

Multiplicare. Înmulțirea se bazează pe tabelul de înmulțire a numerelor binare cu o singură cifră (Tabelul 8).

Înmulțirea numerelor binare cu mai multe cifre se realizează în conformitate cu această tabelă de înmulțire conform schemei uzuale utilizate în sistemul de numere zecimale, cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului. Luați în considerare un exemplu de înmulțire binară

Exemplul 1. Găsiți X dacă Pentru a transforma partea stângă a egalității, folosim succesiv legea lui de Morgan pentru adunarea logică și legea dublei negații: Conform legii distributive pentru adunarea logică: Conform legii eliminării a treia și legea eliminării constante: Echivalează partea stângă rezultată cu dreapta: X \u003d B În cele din urmă, obținem: X = B. Exemplul 2. Simplificați expresia logică Verificați corectitudinea simplificării folosind tabelele de adevăr pentru logica originală și rezultată expresie. Conform legii inversiunii generale pentru adunare logica (prima lege a lui de Morgan) si a legii dublei negatii: Conform legii distributive (distributive) pentru adunare logica: Conform legii contradictiei: Conform legii idempotitatii Inlocuim valorile și, folosind legea comutativă (comutativă) și grupând termenii, obținem: Conform legii excluderii (lipirii) Înlocuiți valorile și obțineți: Conform legii excluderii constantelor pentru adunare logică și legea idempotentei: Înlocuiți valorile și obțineți: Conform legii distributive (distributive) pentru înmulțirea logică: Conform legii eliminării mijlocului: Înlocuiți valorile și obțineți în final: 2 Fundamentele logice ale unui calculator Un convertor discret, care, după procesarea semnalelor binare de intrare, scoate la ieșire un semnal, care este valoarea uneia dintre operațiile logice, se numește element logic. Mai jos sunt simbolurile (schemele) elementelor logice de bază care implementează înmulțirea logică (conjunctor), adunarea logică (disjunctor) și negația (invertor). Orez. 3.1. Conjunctor, disjunctor și invertor Dispozitivele informatice (acumulatoare în procesor, celule de memorie în RAM etc.) sunt construite pe baza elementelor logice de bază. Exemplul 3. Pe baza funcției logice date F(A, B) = =B&AÚB&A, construiți un circuit logic. Construcția trebuie să înceapă cu o operație logică, care trebuie efectuată ultima. În acest caz, o astfel de operație este o adăugare logică, prin urmare, trebuie să existe un disjunctor la ieșirea circuitului logic. Semnalele îi sunt transmise de la doi conjunctori, la care, la rândul lor, un semnal de intrare este normal și unul inversat (de la invertoare). Exemplul 4. Circuitul logic are două intrări X și Y. Determinați funcțiile logice F1(X,Y) și F2(X,Y) care sunt implementate la cele două ieșiri ale sale. Funcția F1(X,Y) este implementată la ieșirea primului conjunctor, adică F1(X,Y) = X&Y. În același timp, semnalul de la conjunctor este alimentat la intrarea invertorului, la ieșirea căruia se realizează semnalul X&Y, care, la rândul său, este alimentat la una dintre intrările celui de-al doilea conjunctor. Semnalul Xv Y de la disjunctor este alimentat la cealaltă intrare a celui de-al doilea conjunctor, prin urmare, funcția F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Luați în considerare schema de adăugare a două numere binare de n biți. La adăugarea cifrelor cifrei i-ro, se adaugă ai și bi, precum și Pi-1 - un transfer de la cifra i-1. Rezultatul va fi st - suma și Pi - transferul la cel mai înalt nivel. Astfel, un sumator binar de un bit este un dispozitiv cu trei intrări și două ieșiri. Exemplul 3.15. Construiți un tabel de adevăr pentru un sumator binar de un bit folosind tabelul de adunare binar. Trigger. Declanșatorii sunt utilizați pentru a stoca informații în memoria RAM a computerului, precum și în registrele interne ale procesorului. Declanșatorul poate fi într-una dintre cele două stări stabile, ceea ce vă permite să vă amintiți, să stocați și să citiți 1 bit de informații. Cel mai simplu declanșator este declanșatorul .RS. Este format din două porți SAU-NU care implementează funcția logică F9 (vezi tabelul 3.1). Intrările și ieșirile elementelor sunt conectate printr-un inel: ieșirea primului este conectată la intrarea celui de-al doilea, iar ieșirea celui de-al doilea este conectată la intrarea primului. Declanșatorul are două intrări S (din setul englezesc - instalare) și I (din setul englezesc reset - reset) și două ieșiri Q (direct) și Q (invers). Orez. 2 Logica flip-flop RS Exemplul 3.16. Construiți un tabel care descrie starea intrărilor și ieșirilor flip-flop-ului RS. Dacă intrările primesc semnale R = 0 și S = 0, atunci declanșatorul este în modul de stocare, ieșirile Q și Q păstrează valorile setate anterior. Dacă un semnal 1 este furnizat intrării de setare S pentru o perioadă scurtă de timp, atunci declanșatorul intră în starea 1 și după ce semnalul de la intrarea S devine egal cu 0, declanșatorul va salva această stare, adică va stoca 1. Când se aplică 1 la intrarea R, declanșatorul va trece în starea 0. Aplicarea unuia logic la ambele intrări S și R poate duce la un rezultat ambiguu, astfel încât această combinație de semnale de intrare este interzisă. Sarcini pentru auto-împlinire 1. Există 16 funcții logice a două variabile (vezi tabelul 3.1). Construiți-le circuitele logice folosind elemente logice de bază: conjunctor, disjunctor și invertor. 2. Demonstrați că circuitul logic considerat în Exemplul 3.10 este un semi-adunator binar de un bit (nu se ia în considerare transportul de la bitul cel mai puțin semnificativ). 3. Demonstrați, prin construirea unui tabel de adevăr, că funcția logică Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) determină transferul la bitul cel mai înalt atunci când se adună numere binare (A și B sunt termeni, Po este un transportă din bitul cel mai puțin semnificativ). 4. Demonstrați prin construirea unui tabel de adevăr că funcția logică S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) determină suma la adăugarea numerelor binare (A și B sunt termeni, Po este un transfer de la bitul cel mai puțin semnificativ). 5. Construiți un circuit logic al unui sumator binar pe un singur bit. Câte porți de bază sunt necesare pentru a implementa un sumator binar pe 64 de biți? 6. Câte elemente logice de bază formează memoria RAM a unui computer modern cu o capacitate de 64 MB? 1. Notează numerele în formă extinsă: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Notați următoarele numere în formă îndoită: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Numerele sunt scrise corect în sistemele numerice corespunzătoare: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Care este baza minimă a sistemului numeric dacă în el sunt scrise numerele 127, 222, 111? Determinați echivalentul zecimal al acestor numere în sistemul numeric găsit. 5. Care este echivalentul zecimal al numerelor 101012, 101018 1010116? 6. Un număr zecimal din trei cifre se termină cu numărul 3. Dacă această cifră este mutată cu două cifre la stânga, adică, înregistrarea unui număr nou va începe de la ea, atunci acest număr nou va fi cu unul mai mult decât triplul numărul original. Găsiți numărul inițial. 2.22 Un număr zecimal din șase cifre începe în stânga cu numărul 1. Dacă această cifră este transferată de la primul loc din stânga la ultimul loc din dreapta, atunci valoarea numărului format va fi de trei ori mai mare decât originalul . Găsiți numărul inițial. 2.23.Care dintre numerele 1100112, 1114, 358 și 1B16 este: a) cel mai mare; b) cel mai mic? 2.27 Există un triunghi ale cărui lungimi ale laturilor sunt exprimate prin numerele 12g, 1116 și 110112? 2.28 Care este cel mai mare număr zecimal care poate fi scris ca trei cifre în sistemele de numere binar, octal și hexazecimal? 2.29 Întrebări „nu sunt grave”. Când este 2x2=100? Când este 6x6=44? Când este 4x4=20? 2.30. Notaţi numerele zecimale întregi aparţinând următoarelor intervale numerice: a) ; b) ; în) . 2.31.În clasă sunt 11112 fete și 11002 băieți. Câți elevi sunt în clasă? 2.32.În clasă sunt 36d elevi, dintre care 21q sunt fete și 15q sunt băieți. Ce sistem de numerotare a fost folosit pentru a număra elevii? 2. 33. În grădină sunt pomi fructiferi de 100q, dintre care 33q sunt meri, 22q peri, 16q pruni și 5q cireși. În ce sistem numeric sunt numărați copacii? 2.34. Erau mere 100q. După ce fiecare dintre ele a fost tăiat în jumătate, au fost 1000q jumătăți. În sistemul de numere, cu ce bază a fost ținut contul? 2.35.Am 100 de frați. Cel mai mic are 1000 de ani, iar cel mai mare 1111 ani. Cel mai mare învață în clasa 1001. Ar putea fi asta? 2.36 Era odată un iaz în mijlocul căruia creștea o singură frunză de nufăr. În fiecare zi, numărul acestor frunze s-a dublat, iar în a zecea zi întreaga suprafață a iazului era deja umplută cu frunze de crin. Câte zile a fost nevoie pentru a umple jumătate din iaz cu frunze? Câte frunze au fost după a noua zi? 2.37.Selectând puterile numărului 2, care însumează un număr dat, convertiți următoarele numere în sistemul numeric binar: a) 5; la 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Verificați corectitudinea traducerii folosind programul Advanced Converter. 2.3. Transpunerea numerelor dintr-un sistem numeric în altul 2.3.1. Conversia numerelor întregi dintr-un sistem de numere în altul Putem formula un algoritm pentru conversia numerelor întregi dintr-un sistem cu baza p într-un sistem cu baza q: 1. Exprimați baza noului sistem de numere în termeni de cifre ale sistemului de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original. 2. Efectuați în mod consecvent împărțirea numărului dat și a câterilor întregi rezultate pe baza noului sistem de numere până când obținem un cât mai mic decât divizorul. 3. Resturile rezultate, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, sunt aduse în conformitate cu alfabetul noului sistem de numere. 4. Compuneți un număr în noul sistem numeric, notându-l pornind de la ultimul rest. Exemplul 2.12 Convertiți numărul zecimal 17310 în octal: ■ Se obține: 17310=2558. Exemplul 2.13 Convertiți numărul zecimal 17310 în sistem numeric hexazecimal: - Se obține: 17310=AD16. Exemplul 2.14 Convertiți numărul zecimal 1110 în sistem de numere binar. Se obține: 111O=10112. Exemplul 2.15 Uneori este mai convenabil să scrieți algoritmul de traducere sub forma unui tabel. Să convertim numărul zecimal 36310 într-un număr binar. 2.3.2. Conversia numerelor fracționale dintr-un sistem de numere în altul Putem formula un algoritm pentru conversia unei fracții proprii cu baza p într-o fracție cu baza q: 1. Exprimați baza noului sistem de numere în termeni de cifre ale sistemului de numere original și efectuați toate acțiunile ulterioare în sistemul de numere original. 2. Înmulțiți secvențial numărul dat și părțile fracționale rezultate ale produselor cu baza noului sistem până când partea fracțională a produsului devine egală cu zero sau se ajunge la precizia necesară reprezentării numărului. 3. Părțile întregi rezultate ale produselor, care sunt cifrele unui număr din noul sistem de numere, trebuie aliniate cu alfabetul noului sistem de numere. 4. Compuneți partea fracțională a numărului în noul sistem numeric, începând cu partea întreagă a primului produs. Exemplul 2.16. Convertiți 0,6562510 în sistem de numere octale. Exemplul 2.17. Convertiți numărul 0,6562510 în sistem numeric hexazecimal. Exemplul 2.18. Convertiți zecimalul 0,562510 în sistem de numere binar. Exemplul 2.19 Convertiți fracția zecimală 0,710 în binar. Evident, acest proces poate continua la nesfârșit, dând tot mai multe semne noi în imaginea echivalentului binar al numărului 0,710. Deci, în patru pași obținem numărul 0,10112, iar în șapte pași obținem numărul 0,10110012, care este o reprezentare mai precisă a numărului 0,710 în binar și așa mai departe. Un astfel de proces nesfârșit este întrerupt la un anumit pas, când se consideră că s-a obținut precizia necesară reprezentării numărului. 2.3.3. Translația numerelor arbitrare Translația numerelor arbitrare, adică a numerelor care conțin părți întregi și fracționale, se realizează în două etape. Întreaga parte este tradusă separat, partea fracțională este tradusă separat. În înregistrarea finală a numărului rezultat, partea întreagă este separată de virgulă fracțională. Exemplul 2.20 Convertiți numărul 17,2510 în sistemul numeric binar. Traducem partea întreagă: Traducem partea fracțională: Exemplul 2.21. Convertiți numărul 124,2510 în octal. 2.3.4. Translația numerelor dintr-un sistem numeric cu baza 2 într-un sistem numeric cu baza 2n și invers Translația numerelor întregi - Dacă baza sistemului numeric q-ary este o putere a lui 2, atunci conversia numerelor din q-ary sistem de numere în binar și invers poate fi realizat folosind reguli mai simple. Pentru a scrie un întreg binar într-un sistem de numere cu baza q \u003d 2 ", trebuie să: 1. Împărțiți numărul binar de la dreapta la stânga în grupuri de n cifre fiecare. 2. Dacă ultimul grup din stânga conține mai puțin de n cifre, atunci trebuie 3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l ca cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2n Exemplul 2.22 Convertiți numărul 1011000010001100102 în sistemul de numere octale. Împărțim numărul de la dreapta la stânga în triade și scriem sub fiecare dintre ele cifra octală corespunzătoare: Obținem reprezentarea octală a numărului original: 5410628. Exemplul 2.23. Să convertim numărul 10000000001111100001112 în sistem de numere hexazecimale. Împărțim numărul de la dreapta la stânga în tetrade și scriem sub fiecare dintre ele cifra hexazecimală corespunzătoare: Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 200F8716. Traducerea numerelor fracționale. Pentru a scrie un număr binar fracționar într-un sistem numeric cu baza q \u003d 2 ", trebuie să: 1. Împărțiți numărul binar de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare. 2. Dacă ultimul grup din dreapta conține mai puține decât n cifre, apoi este 3. Considerați fiecare grup ca un număr binar cu n cifre și scrieți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q \u003d 2n Exemplul 2.24.la dreapta în triade și sub fiecare dintre ele scriem cifra octală corespunzătoare: Obținem reprezentarea octală a numărului inițial: 0,5428 Exemplul 2,25 Traducem numărul 0,1000000000112 în sistemul numeric hexazecimal Împărțim numărul de la stânga la dreapta în tetrade și scriem sub fiecare dintre ele cifra hexazecimală corespunzătoare: Obțineți cifra hexazecimală reprezentarea numărului original: 0,80316. scrieți un număr binar într-un sistem numeric cu baza q - 2n, aveți nevoie de: [ 1. Împărțiți partea întreagă a acestui număr binar de la dreapta la stânga și partea fracțională de la stânga la dreapta în grupuri de n cifre fiecare. 2. Dacă există mai puțin de n cifre în ultimele grupuri din stânga și/sau din dreapta, atunci acestea trebuie completate în stânga și/sau în dreapta cu zerouri la numărul necesar de cifre. 3. Considerați fiecare grup ca un număr binar de n biți și scrieți-l ca cifra corespunzătoare în sistemul numeric cu baza q = 2p. Exemplul 2.26 Să traducem numărul 111100101.01112 în sistemul de numere octale. Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în triade și scriem cifra octală corespunzătoare sub fiecare dintre ele: Obținem reprezentarea octală a numărului original: 745,34S. Exemplul 2.27 Să traducem numărul 11101001000,110100102 în sistemul numeric hexazecimal. Împărțim părțile întregi și fracționale ale numărului în tetrade și scriem cifra hexazecimală corespunzătoare sub fiecare dintre ele: Obținem reprezentarea hexazecimală a numărului original: 748,D216. Traducerea numerelor din sistemele de numere cu baza q \u003d 2p într-un sistem binar Pentru ca un număr arbitrar scris într-un sistem numeric cu baza q \u003d 2 să fie convertit într-un sistem de numere binar, trebuie să înlocuiți fiecare cifră a acest număr cu echivalentul său de n cifre în sistemul de numere binar. Exemplul 2.28. Să traducem numărul hexazecimal 4AC351b în sistemul numeric binar. În conformitate cu algoritmul: i Se obține: 10010101100001101012 Sarcini pentru auto-împlinire 2.38. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr întreg trebuie scris în sisteme numerice diferite. 2.39. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr fracționar trebuie scris în sisteme numerice diferite. 2.40. Completați tabelul, în fiecare rând în care același număr arbitrar (numărul poate conține atât un număr întreg, cât și o parte fracțională) trebuie scris în sisteme numerice diferite. 2.4. Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Operații aritmetice în sistemul binar.


Exemplul 2.29. Luați în considerare câteva exemple de adăugare de numere binare:

Scădere. La efectuarea unei operații de scădere, numărul mai mic este întotdeauna scăzut din numărul mai mare în valoare absolută și se pune semnul corespunzător. În tabelul de scădere, un 1 cu o bară înseamnă un împrumut de ordin mare.


Exemplul 2.31. Luați în considerare câteva exemple de înmulțire binară:

Vedeți că înmulțirea se reduce la deplasări și adunări de multiplicand.

Divizia. Operația de împărțire se efectuează conform unui algoritm similar cu algoritmul de divizare în sistemul numeric zecimal.


Adunarea în alte sisteme numerice. Mai jos este tabelul de adunare în sistemul de numere octale:

2.42. Aranjați semnele operațiilor aritmetice astfel încât următoarele egalități să fie adevărate în sistemul binar:

Scrieți răspunsul pentru fiecare număr în sistemele numerice indicate și zecimal. 2.44. Care număr precede fiecare dintre date:

2.45. Scrieți numerele întregi care aparțin următoarelor intervale numerice:

a) în sistem binar;

b) în sistemul octal;

c) în sistem hexazecimal.

Scrieți răspunsul pentru fiecare număr în sistemele numerice indicate și zecimal.



2.47. Aflați media aritmetică a următoarelor numere:

2.48.Suma numerelor octale 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 a fost convertit în sistemul numeric hexazecimal.
Găsiți în intrare un număr egal cu această sumă, a cincea cifră din stânga.


Restaurați numerele necunoscute marcate cu un semn de întrebare
următoarele exemple de adunare și scădere, definind mai întâi
le, în ce sistem sunt afișate numerele.

Operații aritmetice în sisteme numerice poziționale

Să luăm în considerare mai detaliat operațiile aritmetice din sistemul numeric binar. Aritmetica sistemului de numere binare se bazează pe utilizarea tabelelor de adunare, scădere și înmulțire a cifrelor. Operanzii aritmetici sunt localizați în rândul de sus și în prima coloană a tabelelor, iar rezultatele sunt la intersecția coloanelor și rândurilor:

Să luăm în considerare fiecare operație în detaliu.

Plus. Tabelul de adunare binară este extrem de simplu. Doar într-un caz, când se efectuează adăugarea 1+1, este transferat la rangul superior. ,

Scădere. La efectuarea unei operații de scădere, numărul mai mic este întotdeauna scăzut din numărul mai mare în valoare absolută și se pune semnul corespunzător. În tabelul de scădere, un 1 cu o bară înseamnă un împrumut de ordin mare.

Multiplicare. Operația de înmulțire se realizează folosind tabelul înmulțirii după schema uzuală folosită în sistemul numeric zecimal cu înmulțirea succesivă a multiplicatorului cu următoarea cifră a multiplicatorului.

Divizia. Operația de împărțire se efectuează conform unui algoritm similar cu algoritmul de divizare în sistemul numeric zecimal.

Notă: La adăugarea a două numere egale cu 1, se obține 0 în această cifră, iar prima este transferată la cea mai semnificativă cifră.

Exemplul_21: Sunt date numerele 101 (2) și 11 (2). Aflați suma acestor numere.

unde 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Verificați: 5+3=8.

Când scădeți unul din 0, se ia o unitate din cifra cea mai mare cea mai apropiată, care este diferită de 0. În același timp, o unitate ocupată în cifra cea mai mare dă 2 unități în cifra cea mai puțin semnificativă și una în toate cifrele dintre cifra cea mai mare și cel mai jos.

Exemplul_22: Sunt date numerele 101 (2) și 11 (2). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Verificați: 5-3=2.

Operația de înmulțire se reduce la schimbare și adunare repetată.

Exemplul_23: Sunt date numerele 11 (2) și 10 (2). Găsiți produsul acestor numere.

unde 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Verificați: 3*2=6.

Operații aritmetice în sistemul de numere octale

Când se adună două numere, a căror sumă este egală cu 8, în această categorie se obține 0, iar primul este transferat în ordinea cea mai înaltă.

Exemplul_24: Sunt date numerele 165 (8) și 13 (8). Aflați suma acestor numere.

unde 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

La scăderea unui număr mai mare dintr-un număr mai mic, se ia o unitate din cifra cea mai mare cea mai apropiată, care este diferită de 0. În același timp, o unitate ocupată în cifra cea mai mare dă 8 în cifra cea mai puțin semnificativă.

Exemplul_25: Sunt date numerele 114 (8) și 15 (8). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Operații aritmetice în sistem numeric hexazecimal

Când se adună două numere, însumând 16, în această categorie se scrie 0, iar 1 este transferat în ordinea cea mai mare.

Exemplul_26: sunt date numerele 1B5 (16) și 53 (16). Aflați suma acestor numere.

unde 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Când scădeți un număr mai mare dintr-un număr mai mic, o unitate este ocupată din cifra cea mai mare cea mai apropiată, care este diferită de 0. În același timp, o unitate ocupată în cifra cea mai mare dă 16 în cifra cea mai puțin semnificativă.

Exemplul_27: Sunt date numerele 11A (16) și 2C (16). Găsiți diferența dintre aceste numere.

unde 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Codificarea datelor computerizate

Datele dintr-un computer sunt reprezentate ca un cod, care constă din unu și zerouri în secvențe diferite.

Codul– un set de simboluri pentru prezentarea informațiilor. Codificarea este procesul de prezentare a informațiilor sub forma unui cod.

Codurile numerice

Atunci când efectuează operații aritmetice într-un computer, ei folosesc direct, invers și adiţional coduri numerice.

Cod direct

Drept codul (reprezentarea sub forma unei valori absolute cu semn) a unui număr binar este numărul binar însuși, în care toate cifrele care reprezintă valoarea acestuia sunt scrise ca în notație matematică, iar semnul numărului este scris ca un Cifră binară.

Numerele întregi pot fi reprezentate într-un computer cu sau fără semn.

Numerele întregi fără semn ocupă de obicei unul sau doi octeți de memorie. Pentru a stoca numere întregi cu semn, sunt alocați unul, doi sau patru octeți, în timp ce bitul cel mai semnificativ (cel mai din stânga) este alocat sub semnul numărului. Dacă numărul este pozitiv, atunci 0 este scris în acest bit, dacă este negativ, atunci 1.

Exemplul_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Numerele pozitive din computer sunt întotdeauna reprezentate folosind un cod direct. Codul direct al numărului coincide complet cu introducerea numărului în sine în celula mașinii. Codul direct al unui număr negativ diferă de codul direct al numărului pozitiv corespunzător numai în conținutul bitului de semn.

Codul direct este folosit la stocarea numerelor în memoria computerului, precum și la efectuarea operațiilor de înmulțire și împărțire, dar formatul de reprezentare a numerelor într-un cod direct este incomod pentru utilizare în calcule, deoarece se efectuează adunarea și scăderea numerelor pozitive și negative. diferit și, prin urmare, este necesar să se analizeze biții de operand de semn. Prin urmare, codul direct nu este practic utilizat la implementarea operațiilor aritmetice pe numere întregi în ALU. Dar numerele întregi negative nu sunt reprezentate în computer cu un cod direct. În locul acestui format, formatele pentru reprezentarea numerelor în sens invers și codurile suplimentare au devenit larg răspândite.

Cod invers

Cod invers a unui număr pozitiv coincide cu unul direct, iar la scrierea unui număr negativ, toate cifrele acestuia, cu excepția cifrei care reprezintă semnul numărului, sunt înlocuite cu unele opuse (0 este înlocuit cu 1, iar 1 este înlocuit cu 0 ).

Exemplul_29:

Exemplul_30:

Pentru a restabili codul direct al unui număr negativ din codul invers, toate cifrele, cu excepția cifrei care reprezintă semnul numărului, trebuie înlocuite cu unele opuse.

Cod suplimentar

Cod suplimentar a unui număr pozitiv coincide cu cel direct, iar codul unui număr negativ se formează adunând 1 la codul invers.

Exemplul_31:

Exemplul_32:

Exemplul_33:

Pentru un număr întreg -32 (10), scrieți un cod suplimentar.

1. După convertirea numărului 32 (10) în sistemul numeric binar, obținem:

32 (10) =100000 (2) .

2. Codul direct pentru numărul pozitiv 32 (10) este 0010 0000.

3. Pentru un număr negativ -32 (10), codul direct este 1010 0000.

4. Codul invers al numărului -32 (10) este 1101 1111.

5. Codul suplimentar al numărului -32 (10) este 1110 0000.

Exemplul_34:

Codul suplimentar al numărului este 0011 1011. Aflați valoarea numărului în notație zecimală.

1. Prima (semn) cifră a numărului 0 011 1011 este 0, deci numărul este pozitiv.

2. Pentru un număr pozitiv, codurile suplimentare, inverse și directe sunt aceleași.

3. Numărul din sistemul binar se obține din înregistrarea codului direct - 111011 (2) (aruncăm zerourile din cifrele cele mai mari).

4. Numărul 111011 (2) după ce a fost convertit în sistemul numeric zecimal este 59 (10).

Exemplul_35:

Codul suplimentar al numărului este 1011 1011. Găsiți valoarea numărului în notație zecimală.

1. Cifra semnului unui număr 1 011 1011 este 1, deci numărul este negativ.

2. Pentru a determina codul invers al numărului, scădeți unul din codul suplimentar. Codul invers este 1 011 1010.

3. Codul direct se obține din revers prin înlocuirea tuturor cifrelor binare ale numărului cu cele opuse (1 pentru 0, 0 pentru 1). Codul direct al numărului este 1 100 0101 (în bitul semn scriem 1).

4. Numărul din sistemul binar se obține din înregistrarea codului direct - -100 0101 (2).

4. Numărul -1000101 (2) după conversia în zecimală este egal cu -69 (10).


Informații similare.