Numri 0 mund të përfaqësohet si një lloj kufiri që ndan botën e numrave realë nga ata imagjinarë ose negativë. Për shkak të pozicionit të paqartë, shumë operacione me këtë vlerë numerike nuk i binden logjikës matematikore. Pamundësia e pjesëtimit me zero është një shembull kryesor i kësaj. Dhe veprimet e lejuara aritmetike me zero mund të kryhen duke përdorur përkufizime të pranuara përgjithësisht.

Historia e Zeros

Zero është pika e referencës në të gjitha sistemet standarde të numrave. Evropianët filluan ta përdorin këtë numër relativisht kohët e fundit, por të urtët e Indisë së lashtë përdorën zero për një mijë vjet përpara se numri bosh të përdorej rregullisht nga matematikanët evropianë. Edhe para indianëve, zero ishte një vlerë e detyrueshme në sistemin numerik Maya. Ky popull amerikan përdori sistemin duodecimal, dhe ata e fillonin ditën e parë të çdo muaji me një zero. Interesante, midis Majave, shenja për "zero" përkoi plotësisht me shenjën për "pafundësi". Kështu, Maja e lashtë arriti në përfundimin se këto sasi ishin identike dhe të panjohura.

Veprimet matematikore me zero

Veprimet standarde matematikore me zero mund të reduktohen në disa rregulla.

Mbledhja: nëse i shtoni zero një numri arbitrar, atëherë ai nuk do të ndryshojë vlerën e tij (0+x=x).

Zbritja: kur zbritet zero nga ndonjë numër, vlera e zbritjes mbetet e pandryshuar (x-0=x).

Shumëzimi: çdo numër i shumëzuar me 0 jep 0 në prodhim (a*0=0).

Pjesëtimi: Zero mund të pjesëtohet me çdo numër jozero. Në këtë rast, vlera e një fraksioni të tillë do të jetë 0. Dhe pjesëtimi me zero është i ndaluar.

Përhapja. Ky veprim mund të kryhet me çdo numër. Një numër arbitrar i ngritur në fuqinë zero do të japë 1 (x 0 =1).

Zero për çdo fuqi është e barabartë me 0 (0 a \u003d 0).

Në këtë rast, lind menjëherë një kontradiktë: shprehja 0 0 nuk ka kuptim.

Paradokset e matematikës

Fakti që pjesëtimi me zero është i pamundur, shumë njerëz e dinë nga shkolla. Por për disa arsye nuk është e mundur të shpjegohet arsyeja e një ndalimi të tillë. Në të vërtetë, pse formula e ndarjes me zero nuk ekziston, por veprimet e tjera me këtë numër janë mjaft të arsyeshme dhe të mundshme? Përgjigjen për këtë pyetje e japin matematikanët.

Puna është se veprimet e zakonshme aritmetike që nxënësit e shkollës studiojnë në klasat fillore janë në fakt larg nga të qenit aq të barabarta sa mendojmë ne. Të gjitha veprimet e thjeshta me numra mund të reduktohen në dy: mbledhje dhe shumëzim. Këto operacione janë thelbi i vetë konceptit të një numri, dhe pjesa tjetër e operacioneve bazohet në përdorimin e këtyre dyve.

Mbledhja dhe shumëzimi

Le të marrim një shembull standard të zbritjes: 10-2=8. Në shkollë, konsiderohet thjesht: nëse u hiqen dy nga dhjetë objekte, mbeten tetë. Por matematikanët e shohin këtë operacion krejt ndryshe. Në fund të fundit, nuk ka asnjë operacion të tillë si zbritja për ta. Ky shembull mund të shkruhet në një mënyrë tjetër: x+2=10. Për matematikanët, ndryshimi i panjohur është thjesht numri që duhet shtuar në dy për të bërë tetë. Dhe këtu nuk kërkohet zbritje, thjesht duhet të gjeni një vlerë numerike të përshtatshme.

Shumëzimi dhe pjesëtimi trajtohen në të njëjtën mënyrë. Në shembullin 12:4=3, mund të kuptohet se bëhet fjalë për ndarjen e tetë objekteve në dy pirgje të barabarta. Por në realitet, kjo është vetëm një formulë e përmbysur për të shkruar 3x4 \u003d 12. Shembuj të tillë për ndarje mund të jepen pafund.

Shembuj të pjesëtimit me 0

Këtu bëhet pak e qartë pse është e pamundur të pjesëtohet me zero. Shumëzimi dhe pjesëtimi me zero kanë rregullat e tyre. Të gjithë shembujt për ndarje të kësaj sasie mund të formulohen si 6:0=x. Por kjo është një shprehje e përmbysur e shprehjes 6 * x = 0. Por, siç e dini, çdo numër i shumëzuar me 0 jep vetëm 0 në produkt. Kjo veti është e natyrshme në vetë konceptin e një vlere zero.

Rezulton se një numër i tillë, i cili kur shumëzohet me 0, jep ndonjë vlerë të prekshme, nuk ekziston, domethënë ky problem nuk ka zgjidhje. Nuk duhet frikësuar nga një përgjigje e tillë, është një përgjigje e natyrshme për probleme të këtij lloji. Vetëm të shkruash 6:0 nuk ka kuptim dhe nuk mund të shpjegojë asgjë. Shkurtimisht, kjo shprehje mund të shpjegohet me shprehjen e pavdekshme "nuk ka ndarje me zero".

A ka një operacion 0:0? Në të vërtetë, nëse operacioni i shumëzimit me 0 është i ligjshëm, a mund të pjesëtohet zero me zero? Në fund të fundit, një ekuacion i formës 0x5=0 është mjaft i ligjshëm. Në vend të numrit 5, mund të vendosni 0, produkti nuk do të ndryshojë nga kjo.

Në të vërtetë, 0x0=0. Por ju ende nuk mund të pjesëtoni me 0. Siç u tha, ndarja është vetëm anasjellta e shumëzimit. Kështu, nëse në shembullin 0x5=0, duhet të përcaktoni faktorin e dytë, marrim 0x0=5. Ose 10. Ose pafundësi. Pjestimi i pafundësisë me zero - si ju pëlqen?

Por nëse ndonjë numër përshtatet në shprehje, atëherë nuk ka kuptim, nuk mund të zgjedhim një nga një grup i pafund numrash. Dhe nëse po, do të thotë se shprehja 0:0 nuk ka kuptim. Rezulton se edhe vetë zero nuk mund të ndahet me zero.

matematikë e lartë

Pjesëtimi me zero është një dhimbje koke për matematikën e shkollës së mesme. Analiza matematikore e studiuar në universitetet teknike zgjeron pak konceptin e problemeve që nuk kanë zgjidhje. Për shembull, shprehjes tashmë të njohur 0:0, i shtohen të reja që nuk kanë zgjidhje në kurset e matematikës shkollore:

• pafundësia pjesëtuar me pafundësinë: ∞:∞;
• pafundësi minus pafundësi: ∞−∞;
• njësi e ngritur në një fuqi të pafundme: 1 ∞ ;
• pafundësi shumëzuar me 0: ∞*0;
• disa të tjerë.

Është e pamundur të zgjidhen shprehje të tilla me metoda elementare. Por matematika e lartë, falë mundësive shtesë për një sërë shembujsh të ngjashëm, jep zgjidhje përfundimtare. Kjo është veçanërisht e dukshme në shqyrtimin e problemeve nga teoria e kufijve.

Zbulimi i pasigurisë

Në teorinë e kufijve, vlera 0 zëvendësohet nga një ndryshore e kushtëzuar infiniteminale. Dhe shprehjet në të cilat fitohet pjesëtimi me zero kur zëvendësohet vlera e dëshiruar konvertohen. Më poshtë është një shembull standard i zgjerimit të kufirit duke përdorur transformimet e zakonshme algjebrike:

Siç mund ta shihni në shembull, një reduktim i thjeshtë i një thyese sjell vlerën e tij në një përgjigje plotësisht racionale.

Kur merren parasysh kufijtë e funksioneve trigonometrike, shprehjet e tyre priren të reduktohen në kufirin e parë të shquar. Kur merren parasysh kufijtë në të cilët emëruesi shkon në 0 kur kufiri zëvendësohet, përdoret kufiri i dytë i shquar.

Metoda L'Hopital

Në disa raste, kufijtë e shprehjeve mund të zëvendësohen nga kufiri i derivateve të tyre. Guillaume Lopital - matematikan francez, themelues i shkollës franceze të analizës matematikore. Ai vërtetoi se kufijtë e shprehjeve janë të barabartë me kufijtë e derivateve të këtyre shprehjeve. Në shënimin matematikor, rregulli i tij është si më poshtë.

Metodat për zgjidhjen e kufijve. Pasiguritë.
Rendi i rritjes së funksionit. Metoda e zëvendësimit

Shembulli 4

Gjeni kufirin

Ky është një shembull më i thjeshtë për një zgjidhje të bërë vetë. Në shembullin e propozuar, përsëri, pasiguria (e një rendi më të lartë rritjeje se rrënja).

Nëse "x" priret në "minus pafundësi"

Fantazma e "minus pafundësisë" ka kohë që rri pezull në këtë artikull. Konsideroni kufijtë me polinomet në të cilat . Parimet dhe metodat e zgjidhjes do të jenë saktësisht të njëjta si në pjesën e parë të mësimit, me përjashtim të një numri nuancash.

Konsideroni 4 çipa që do të kërkohen për të zgjidhur detyra praktike:

1) Llogaritni kufirin

Vlera e limitit varet vetëm nga termi sepse ka rendin më të lartë të rritjes. Nese atehere modul pafundësisht i madh numër negativ në fuqinë EVEN, në këtë rast - në të katërtin, është e barabartë me "plus pafundësi": . Konstante ("dy") pozitive, kjo është arsyeja pse:

2) Llogaritni kufirin

Këtu është përsëri diploma e lartë madje, prandaj: . Por ka një "minus" përpara ( negativ konstante –1), pra:

3) Llogaritni kufirin

Vlera e kufirit varet vetëm nga . Siç e mbani mend nga shkolla, "minus" "shfaqet" nën shkallën tek, kështu modul pafundësisht i madh numër negativ në një fuqi tek barazohet me "minus pafundësi", në këtë rast: .
Konstante ("katër") pozitive, do të thotë:

4) Llogaritni kufirin

Djali i parë në fshat ka përsëri i çuditshëm shkallë, për më tepër, në gji negativ konstante, që do të thotë: Kështu:
.

Shembulli 5

Gjeni kufirin

Duke përdorur pikat e mësipërme, arrijmë në përfundimin se këtu ka pasiguri. Numëruesi dhe emëruesi janë të rendit të njëjtë të rritjes, që do të thotë se në kufi do të fitohet një numër i fundëm. Përgjigjen e mësojmë duke i hedhur të gjitha skuqjet:

Zgjidhja është e parëndësishme:

Shembulli 6

Gjeni kufirin

Ky është një shembull bëjeni vetë. Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Dhe tani, ndoshta rastet më delikate:

Shembulli 7

Gjeni kufirin

Duke marrë parasysh mandatet e larta, arrijmë në përfundimin se këtu ka pasiguri. Numëruesi është i një radhe më të lartë rritjeje se emëruesi, kështu që menjëherë mund të themi se kufiri është pafundësi. Por çfarë lloj pafundësie, "plus" apo "minus"? Pritja është e njëjtë - në numërues dhe emërues do të shpëtojmë nga gjërat e vogla:

Ne vendosim:

Ndani numëruesin dhe emëruesin me

Shembulli 15

Gjeni kufirin

Ky është një shembull bëjeni vetë. Një shembull i përafërt i përfundimit në fund të mësimit.

Disa shembuj më interesantë mbi temën e zëvendësimit të ndryshoreve:

Shembulli 16

Gjeni kufirin

Zëvendësimi i njërit në kufi rezulton në pasiguri. Zëvendësimi i ndryshores tashmë sugjeron, por së pari ne konvertojmë tangjenten duke përdorur formulën. Në të vërtetë, pse na duhet një tangjente?

Vini re se, prandaj. Nëse nuk është plotësisht e qartë, shikoni vlerat e sinusit në tabelë trigonometrike. Kështu, ne heqim qafe menjëherë faktorin , përveç kësaj, marrim pasigurinë më të njohur 0:0. Do të ishte mirë nëse kufiri ynë gjithashtu prirej në zero.

Le të zëvendësojmë:

Nese atehere

Nën kosinusin kemi "x", i cili gjithashtu duhet të shprehet me "te".
Nga zëvendësimi shprehim: .

Ne plotësojmë zgjidhjen:

(1) Kryerja e zëvendësimit

(2) Zgjeroni kllapat nën kosinus.

(4) Për të organizuar kufiri i parë i mrekullueshëm, shumëzoni artificialisht numëruesin me dhe reciprokun e .

Detyra për zgjidhje të pavarur:

Shembulli 17

Gjeni kufirin

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit.

Këto ishin detyra të thjeshta në klasën e tyre; në praktikë, gjithçka është më keq, dhe, përveç kësaj formulat e reduktimit, duhet përdorur ndryshe formulat trigonometrike, si dhe truke të tjera. Në artikullin Kufijtë komplekse, unë analizova disa shembuj realë =)

Në prag të festës, më në fund do të sqarojmë situatën me një pasiguri më të zakonshme:

Eliminimi i pasigurisë "një në fuqinë e pafundësisë"

Kjo pasiguri është "shërbyer" kufiri i dytë i mrekullueshëm, dhe në pjesën e dytë të atij mësimi, ne shikuam me shumë detaje shembujt standardë të zgjidhjeve që gjenden në praktikë në shumicën e rasteve. Tani fotografia me ekspozuesit do të përfundojë, përveç kësaj, detyrat përfundimtare të mësimit do t'i kushtohen kufijve-"mashtrimeve" në të cilat duket se është e nevojshme të zbatohet kufiri i 2-të i mrekullueshëm, megjithëse kjo nuk është aspak rast.

Disavantazhi i dy formulave të punës të kufirit të 2-të të shquar është se argumenti duhet të priret në "plus pafundësi" ose në zero. Por, çka nëse argumenti priret në një numër tjetër?

Formula universale vjen në shpëtim (e cila në fakt është pasojë e kufirit të dytë të jashtëzakonshëm):

Pasiguria mund të eliminohet me formulën:

Diku siç e kam shpjeguar tashmë se çfarë kuptimi kanë kllapat katrore. Asgjë e veçantë, kllapat janë vetëm kllapa. Zakonisht ato përdoren për të theksuar qartë një shënim matematikor.

Le të theksojmë pikat thelbësore të formulës:

1) Bëhet fjalë për vetëm për pasigurinë dhe asnjë tjetër.

2) Argumenti "x" mund të priret vlerë arbitrare(dhe jo vetëm në zero ose ), në veçanti, në "minus pafundësi" ose në kushdo numri përfundimtar.

Duke përdorur këtë formulë, ju mund të zgjidhni të gjithë shembujt e mësimit Kufij të shquar, të cilat i përkasin kufirit të 2-të të mrekullueshëm. Për shembull, le të llogarisim kufirin:

Në këtë rast , dhe sipas formulës :

Vërtetë, unë nuk ju këshilloj ta bëni këtë, në traditë, ju ende përdorni modelin "i zakonshëm" të zgjidhjes, nëse mund të aplikohet. Megjithatë përdorimi i formulës është shumë i përshtatshëm për t'u kontrolluar Shembuj "klasikë" deri në kufirin e 2-të të mrekullueshëm.

Shumë shpesh, shumë njerëz pyesin pse është e pamundur të përdoret pjesëtimi me zero? Në këtë artikull, ne do të hyjmë në detaje se nga erdhi ky rregull, si dhe çfarë veprimesh mund të kryhen me zero.

Në kontakt me

Zero mund të quhet një nga numrat më interesantë. Ky numër nuk ka asnjë kuptim, do të thotë zbrazëti në kuptimin e vërtetë të fjalës. Sidoqoftë, nëse vendosni zero pranë ndonjë shifre, atëherë vlera e kësaj shifre do të bëhet disa herë më e madhe.

Numri është shumë misterioz në vetvete. Ajo u përdor nga njerëzit e lashtë Mayan. Për Majat, zero do të thoshte "fillim", dhe numërimi mbrapsht i ditëve kalendarike gjithashtu filloi nga zero.

Një fakt shumë interesant është se shenja zero dhe shenja e pasigurisë ishin të ngjashme për ta. Me këtë, Majat donin të tregonin se zero është e njëjta shenjë identike si pasiguria. Në Evropë, përcaktimi i zeros u shfaq relativisht kohët e fundit.

Gjithashtu, shumë njerëz e dinë ndalimin që lidhet me zero. Çdo person do ta thotë këtë nuk mund të pjesëtohet me zero. Këtë e thonë mësuesit në shkollë dhe fëmijët zakonisht e marrin fjalën për këtë. Zakonisht, fëmijët ose thjesht nuk janë të interesuar ta dinë këtë, ose ata e dinë se çfarë do të ndodhë nëse, pasi dëgjojnë një ndalim të rëndësishëm, pyesin menjëherë "Pse nuk mund të ndash me zero?". Por kur plakeni, zgjohet interesi dhe dëshironi të dini më shumë për arsyet e një ndalimi të tillë. Megjithatë, ka prova të arsyeshme.

Veprimet me zero

Së pari ju duhet të përcaktoni se cilat veprime mund të kryhen me zero. ekzistojnë disa lloje aktivitetesh:

• Shtesa;
• Shumëzimi;
• Zbritja;
• Pjestimi (zero sipas numrit);
• Përhapja.

E rëndësishme! Nëse çdo numri i shtohet zero gjatë mbledhjes, atëherë ky numër do të mbetet i njëjtë dhe nuk do të ndryshojë vlerën e tij numerike. E njëjta gjë ndodh nëse zbritni zero nga një numër.

Me shumëzim dhe pjesëtim, gjërat janë pak më ndryshe. Nëse shumëzoni çdo numër me zero, atëherë edhe produkti do të bëhet zero.

Konsideroni një shembull:

Le ta shkruajmë këtë si shtesë:

Janë pesë zero të shtuara gjithsej, kështu që rezulton se

Le të përpiqemi të shumëzojmë një me zero. Rezultati gjithashtu do të jetë i pavlefshëm.

Zero gjithashtu mund të pjesëtohet me çdo numër tjetër që nuk është i barabartë me të. Në këtë rast, do të dalë, vlera e së cilës do të jetë gjithashtu zero. I njëjti rregull vlen edhe për numrat negativë. Nëse e pjesëtoni zeron me një numër negativ, merrni zero.

Ju gjithashtu mund të ngrini çdo numër në fuqi zero. Në këtë rast, ju merrni 1. Është e rëndësishme të mbani mend se shprehja "zero në fuqinë zero" është absolutisht e pakuptimtë. Nëse përpiqeni të ngrini zero në ndonjë fuqi, ju merrni zero. Shembull:

Ne përdorim rregullin e shumëzimit, marrim 0.

A është e mundur të pjesëtohet me zero

Pra, këtu vijmë te pyetja kryesore. A është e mundur të pjesëtohet me zero fare? Dhe pse është e pamundur të pjesëtohet një numër me zero, duke qenë se të gjitha veprimet e tjera me zero ekzistojnë plotësisht dhe zbatohen? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet t'i drejtoheni matematikës së lartë.

Le të fillojmë me përkufizimin e konceptit, çfarë është zero? Mësuesit e shkollës pohojnë se zero nuk është asgjë. Zbrazëti. Kjo do të thotë, kur thoni se keni 0 stilolapsa, do të thotë se nuk keni fare stilolapsa.

Në matematikën e lartë, koncepti "zero" është më i gjerë. Nuk do të thotë fare bosh. Këtu zero quhet pasiguri, sepse nëse bëni pak kërkime, rezulton se duke pjesëtuar zeron me zero, mund të marrim çdo numër tjetër, i cili mund të mos jetë domosdoshmërisht zero.

A e dini se ato veprime të thjeshta aritmetike që keni studiuar në shkollë nuk janë aq të barabarta mes tyre? Hapat më themelorë janë mbledhjen dhe shumëzimin.

Për matematikanët, konceptet "" dhe "zbritje" nuk ekzistojnë. Supozoni: nëse nga pesë zbriten tre, atëherë do të mbeten dy. Kështu duket zbritja. Sidoqoftë, matematikanët do ta shkruanin atë në këtë mënyrë:

Kështu, rezulton se ndryshimi i panjohur është një numër i caktuar që duhet t'i shtohet 3 për të marrë 5. Kjo do të thotë, nuk keni nevojë të zbrisni asgjë, thjesht duhet të gjeni një numër të përshtatshëm. Ky rregull vlen për shtimin.

Gjërat janë pak më ndryshe me rregullat e shumëzimit dhe pjesëtimit. Dihet se shumëzimi me zero çon në zero rezultat. Për shembull, nëse 3:0=x, atëherë nëse ktheni rekordin, merrni 3*x=0. Dhe numri që shumëzohet me 0 do të japë zero në produkt. Rezulton se një numër që do të jepte ndonjë vlerë tjetër përveç zeros në produktin me zero nuk ekziston. Kjo do të thotë se pjesëtimi me zero është i pakuptimtë, domethënë i përshtatet rregullit tonë.

Por çfarë ndodh nëse përpiqeni të ndani zeron me vetveten? Le të marrim x si një numër të pacaktuar. Rezulton ekuacioni 0 * x \u003d 0. Mund të zgjidhet.

Nëse përpiqemi të marrim zero në vend të x, marrim 0:0=0. Do të duket logjike? Por nëse përpiqemi të marrim ndonjë numër tjetër në vend të x, për shembull, 1, atëherë përfundojmë me 0:0=1. E njëjta situatë do të jetë nëse merrni ndonjë numër tjetër dhe futeni në ekuacion.

Në këtë rast, rezulton se mund të marrim si faktor çdo numër tjetër. Rezultati do të jetë një numër i pafund numrash të ndryshëm. Ndonjëherë, megjithatë, ndarja me 0 në matematikën më të lartë ka kuptim, por atëherë zakonisht ekziston një kusht i caktuar për shkak të të cilit ne ende mund të zgjedhim një numër të përshtatshëm. Ky veprim quhet "zbulimi i pasigurisë". Në aritmetikën e zakonshme, pjesëtimi me zero do të humbasë përsëri kuptimin e tij, pasi nuk do të jemi në gjendje të zgjedhim asnjë numër të vetëm nga bashkësia.

E rëndësishme! Zero nuk mund të pjesëtohet me zero.

Zero dhe pafundësi

Pafundësia është shumë e zakonshme në matematikën e lartë. Meqenëse nuk është thjesht e rëndësishme që nxënësit e shkollës të dinë se ka ende operacione matematikore me pafundësi, mësuesit nuk mund t'u shpjegojnë siç duhet fëmijëve pse është e pamundur të pjestohet me zero.

Studentët fillojnë të mësojnë sekretet themelore matematikore vetëm në vitin e parë të institutit. Matematika e lartë ofron një grup të madh problemesh që nuk kanë zgjidhje. Problemet më të famshme janë problemet me pafundësinë. Ato mund të zgjidhen me analiza matematikore.

Ju gjithashtu mund të aplikoni në pafundësi veprimet elementare matematikore: mbledhje, shumëzim me një numër. Zbritja dhe ndarja përdoren gjithashtu zakonisht, por në fund ato ende zbresin në dy operacione të thjeshta.

Por çfarë do nëse provoni:

• Shumëzoni pafundësinë me zero. Në teori, nëse përpiqemi të shumëzojmë një numër me zero, do të marrim zero. Por pafundësia është një grup i pacaktuar numrash. Meqenëse nuk mund të zgjedhim një numër nga kjo bashkësi, shprehja ∞*0 nuk ka zgjidhje dhe është absolutisht e pakuptimtë.
• Zero pjesëtuar me pafundësinë. Kjo është e njëjta histori si më sipër. Ne nuk mund të zgjedhim një numër, që do të thotë se nuk dimë me çfarë të pjesëtojmë. Shprehja nuk ka kuptim.

E rëndësishme! Pafundësia është pak më ndryshe nga pasiguria! Pafundësia është një lloj pasigurie.

Tani le të përpiqemi të ndajmë pafundësinë me zero. Duket se duhet të ketë pasiguri. Por nëse përpiqemi të zëvendësojmë pjesëtimin me shumëzim, marrim një përgjigje shumë të caktuar.

Për shembull: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Rezulton kështu paradoksi matematik.

Pse nuk mund të pjesëtohet me zero

Eksperiment mendimi, përpiquni të pjesëtoni me zero

Prodhimi

Pra, tani e dimë se zero i nënshtrohet pothuajse të gjitha operacioneve me të cilat kryhen, përveç një të vetme. Ju nuk mund të pjesëtoni me zero vetëm sepse rezultati është pasiguri. Ne gjithashtu mësuam se si të operojmë në zero dhe pafundësi. Rezultati i veprimeve të tilla do të jetë pasiguri.

Derivati ​​i funksionit nuk bie larg, dhe në rastin e rregullave të L'Hopital, ai bie pikërisht aty ku bie funksioni origjinal. Kjo rrethanë ndihmon në zbulimin e pasigurive të formës 0/0 ose ∞/∞ dhe disa pasigurive të tjera që dalin në llogaritje limit raporti i dy funksioneve pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha. Llogaritja thjeshtohet shumë nga ky rregull (në fakt dy rregulla dhe shënime mbi to):

Siç tregon formula e mësipërme, kur llogaritet kufiri i raportit të dy funksioneve pafundësisht të vogla ose pafundësisht të mëdha, kufiri i raportit të dy funksioneve mund të zëvendësohet me kufirin e raportit të tyre. derivatet dhe kështu merrni një rezultat të caktuar.

Le të kalojmë në formulime më të sakta të rregullave të L'Hopital.

Rregulli i L'Hopital për rastin e kufirit të dy vlerave pafundësisht të vogla. Lërini funksionet f(x) dhe g(x a. Dhe pikërisht në pikën a a derivati ​​i funksionit g(x) nuk është e barabartë me zero ( g"(x a janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe të barabarta me zero:

.

Rregulli i L'Hôpital për rastin e kufirit të dy sasive pafundësisht të mëdha. Lërini funksionet f(x) dhe g(x) kanë derivate (d.m.th. janë të diferencueshëm) në ndonjë lagje të pikës a. Dhe pikërisht në pikën a ato mund të kenë ose jo derivate. Për më tepër, në afërsi të pikës a derivati ​​i funksionit g(x) nuk është e barabartë me zero ( g"(x)≠0 ) dhe kufijtë e këtyre funksioneve pasi x tenton në vlerën e funksionit në pikën a janë të barabartë me njëri-tjetrin dhe të barabartë me pafundësinë:

.

Atëherë kufiri i raportit të këtyre funksioneve është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre:

Me fjalë të tjera, për pasiguritë e formës 0/0 ose ∞/∞, kufiri i raportit të dy funksioneve është i barabartë me kufirin e raportit të derivateve të tyre, nëse ky i fundit ekziston (i fundëm, domethënë i barabartë me një numër i caktuar, ose i pafund, domethënë i barabartë me pafundësinë).

Vërejtje.

1. Rregullat e L'Hopital janë të zbatueshme edhe kur funksionon f(x) dhe g(x) nuk janë përcaktuar në x = a.

2. Nëse gjatë llogaritjes së kufirit të raportit të derivateve të funksioneve f(x) dhe g(x) vijmë përsëri në një pasiguri të formës 0/0 ose ∞/∞, atëherë rregullat e L'Hopital duhet të zbatohen në mënyrë të përsëritur (të paktën dy herë).

3. Rregullat e L'Hopital janë gjithashtu të zbatueshme kur argumenti i funksionit (x) tenton në një numër jo të fundëm a dhe deri në pafundësi ( x → ∞).

Pasiguritë e llojeve të tjera gjithashtu mund të reduktohen në pasiguritë e llojeve 0/0 dhe ∞/∞.

Zbulimi i pasigurive të llojeve "zero pjesëtuar me zero" dhe "pafundësi pjesëtuar me pafundësi"

Shembulli 1

x=2 çon në një papërcaktueshmëri të formës 0/0. Prandaj, derivatin e secilit funksion dhe marrim

Në numërues është llogaritur derivati ​​i polinomit, dhe në emërues - derivat i një funksioni logaritmik kompleks. Para shenjës së fundit të barazimit, e zakonshme limit, duke zëvendësuar një deuce në vend të x.

Shembulli 2 Llogaritni kufirin e raportit të dy funksioneve duke përdorur rregullin e L'Spitalit:

Vendimi. Zëvendësimi në një funksion me vlerë të caktuar x

Shembulli 3 Llogaritni kufirin e raportit të dy funksioneve duke përdorur rregullin e L'Spitalit:

Vendimi. Zëvendësimi në një funksion me vlerë të caktuar x=0 çon në një papërcaktueshmëri të formës 0/0. Prandaj, ne llogarisim derivatet e funksioneve në numërues dhe emërues dhe marrim:

Shembulli 4 Llogaritni

Vendimi. Zëvendësimi i vlerës së x të barabartë me plus pafundësi në një funksion të caktuar çon në një papërcaktueshmëri të formës ∞/∞. Prandaj, ne zbatojmë rregullin e L'Hopital:

Komentoni. Le të kalojmë te shembujt në të cilët rregulli L'Hopital duhet të zbatohet dy herë, pra të arrihet në kufirin e raportit të derivateve të dytë, pasi kufiri i raportit të derivateve të parë është një pasiguri e formës. 0/0 ose ∞/∞.

Zbulimi i pasigurive të formës "zero shumëzuar me pafundësinë"

Shembulli 12. Llogaritni

.

Vendimi. marrim

Ky shembull përdor identitetin trigonometrik.

Zbulimi i pasigurive të llojeve "zero në fuqinë e zeros", "pafundësi në fuqinë e zeros" dhe "një në fuqinë e pafundësisë"

Pasiguritë e formës , ose zakonisht reduktohen në formën 0/0 ose ∞/∞ duke përdorur logaritmin e një funksioni të formës

Për të llogaritur kufirin e shprehjes, duhet të përdoret identiteti logaritmik, një rast i veçantë i të cilit është veti e logaritmit. .

Duke përdorur identitetin logaritmik dhe vetinë e vazhdimësisë së funksionit (për të shkuar përtej shenjës së kufirit), kufiri duhet të llogaritet si më poshtë:

Më vete, duhet gjetur kufiri i shprehjes në eksponent dhe të ndërtohet e në shkallën e gjetur.

Shembulli 13

Vendimi. marrim

.

.

Shembulli 14 Llogaritni duke përdorur rregullin e L'Hopital

Vendimi. marrim

Llogaritni kufirin e shprehjes në eksponent

.

.

Shembulli 15 Llogaritni duke përdorur rregullin e L'Hopital

Nëse një numër pjesëtohet me pafundësinë, a priret herësi në zero? Vazhdoi brenda dhe mori një përgjigje më të mirë

Përgjigje nga Olenka[i ri]
te gjitha 0
Lëvorja e Krab
Orakulli
(56636)
Nr. E saktë zero. Ndërsa pjesëtuesi priret në pafundësi, herësi priret në zero. Dhe, nëse pjesëtojmë jo me një numër që priret në pafundësi, por nga vetë pafundësia (nga rruga, për të qenë më të saktë, zyrtarisht nuk konsiderohet fare numër, por konsiderohet një simbol i veçantë që plotëson përcaktimet e numrave) - saktësisht zero.

Përgjigje nga Jugeus Vladimir[guru]
Edhe pjesëtojeni zeron, madje shumëzojeni me ndonjë numër, prapë do të jetë zero!

Përgjigje nga 1 23 [guru]
nëse një mut priret në zero, atëherë shumëzimi i tij me diçka të fundme (një numër ose një funksion i kufizuar) është pa dhimbje, sepse all-rna priret në zero.
por nëse e shumëzoni me një lloj gjëje që priret drejt pafundësisë, atëherë mund të ketë opsione.

Përgjigje nga Lëvorja e Krab[guru]
Pjestimi i çdo numri me pafundësinë rezulton në zero. E saktë zero, nuk ka "duke shkuar në zero". Dhe pastaj, me cilindo numër që ta shumëzoni, zero. Dhe rezultati i pjesëtimit të zeros me ndonjë numër tjetër përveç zeros do të jetë zero, vetëm kur pjesëtohet zero me zero, rezultati nuk përcaktohet, çdo numër do të jetë i përshtatshëm si herës.