0 sayısı, gerçek sayılar dünyasını hayali veya negatif olanlardan ayıran bir tür sınır olarak temsil edilebilir. Belirsiz konum nedeniyle, bu sayısal değere sahip birçok işlem matematiksel mantığa uymaz. Sıfıra bölmenin imkansızlığı bunun en iyi örneğidir. Ve sıfır ile izin verilen aritmetik işlemler, genel kabul görmüş tanımlar kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Sıfırın Tarihi

Sıfır, tüm standart sayı sistemlerinde referans noktasıdır. Avrupalılar bu sayıyı nispeten yakın zamanda kullanmaya başladılar, ancak eski Hindistan'ın bilgeleri, boş sayı Avrupalı ​​matematikçiler tarafından düzenli olarak kullanılmadan önce bin yıl boyunca sıfır kullandı. Kızılderililerden önce bile, Maya sayısal sisteminde sıfır zorunlu bir değerdi. Bu Amerikan halkı on iki basamaklı sistemi kullandı ve her ayın ilk gününe sıfırla başladılar. İlginç bir şekilde, Mayalar arasında "sıfır" işareti, "sonsuzluk" işaretiyle tamamen çakıştı. Böylece, eski Maya, bu miktarların aynı ve bilinemez olduğu sonucuna vardı.

sıfır ile matematik işlemleri

Sıfır ile standart matematiksel işlemler birkaç kurala indirgenebilir.

Toplama: rastgele bir sayıya sıfır eklerseniz, değeri değişmez (0+x=x).

Çıkarma: Herhangi bir sayıdan sıfır çıkarıldığında, çıkarılanın değeri değişmez (x-0=x).

Çarpma: 0 ile çarpılan herhangi bir sayı, üründe 0 verir (a*0=0).

Bölme: Sıfır, sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Bu durumda, böyle bir kesrin değeri 0 olacaktır. Ve sıfıra bölmek yasaktır.

üs alma. Bu işlem herhangi bir sayı ile gerçekleştirilebilir. Sıfırın gücüne yükseltilmiş rastgele bir sayı 1 (x 0 =1) verir.

Herhangi bir güce sıfır, 0'a (0 a \u003d 0) eşittir.

Bu durumda, hemen bir çelişki ortaya çıkar: 0 0 ifadesi mantıklı değil.

matematiğin paradoksları

Sıfıra bölmenin imkansız olduğu gerçeğini birçok kişi okuldan bilir. Ama nedense böyle bir yasağın nedenini açıklamak mümkün değil. Gerçekten de, neden sıfıra bölme formülü mevcut değil, ancak bu sayıya sahip diğer eylemler oldukça makul ve mümkün? Bu sorunun cevabını matematikçiler veriyor.

Mesele şu ki, okul çocuklarının ilkokullarda çalıştığı olağan aritmetik işlemler aslında düşündüğümüz kadar eşit olmaktan çok uzak. Sayılarla yapılan tüm basit işlemler ikiye indirgenebilir: toplama ve çarpma. Bu işlemler, bir sayı kavramının özüdür ve işlemlerin geri kalanı bu ikisinin kullanımına dayanır.

Toplama ve çarpma

Standart bir çıkarma örneği alalım: 10-2=8. Okulda, basit olarak kabul edilir: on nesneden ikisi alınırsa, sekiz kalır. Ancak matematikçiler bu işleme oldukça farklı bakıyorlar. Sonuçta, onlar için çıkarma gibi bir işlem yoktur. Bu örnek başka bir şekilde yazılabilir: x+2=10. Matematikçiler için bilinmeyen fark, sekiz yapmak için ikiye eklenmesi gereken sayıdır. Ve burada çıkarma gerekli değildir, sadece uygun bir sayısal değer bulmanız yeterlidir.

Çarpma ve bölme aynı şekilde ele alınır. 12:4=3 örneğinde, sekiz nesnenin iki eşit yığına bölünmesinden bahsettiğimiz anlaşılabilir. Ancak gerçekte, bu sadece 3x4 \u003d 12 yazmak için ters çevrilmiş bir formüldür. Bölme için bu tür örnekler sonsuz olarak verilebilir.

0'a bölme örnekleri

Sıfıra bölmenin neden imkansız olduğu biraz açıklığa kavuştuğu yer burasıdır. Sıfırla çarpma ve bölmenin kendi kuralları vardır. Bu miktarın bölümü başına tüm örnekler 6:0=x olarak formüle edilebilir. Ancak bu, 6 * x = 0 ifadesinin ters çevrilmiş bir ifadesidir. Ama bildiğiniz gibi, 0 ile çarpılan herhangi bir sayı, üründe sadece 0 verir.Bu özellik, sıfır değeri kavramının doğasında vardır.

0 ile çarpıldığında somut bir değer veren böyle bir sayının olmadığı, yani bu sorunun çözümü olmadığı ortaya çıktı. Böyle bir cevaptan korkmamak gerekir, bu tür problemler için doğal bir cevaptır. Sadece 6:0 yazmak hiçbir anlam ifade etmiyor ve hiçbir şeyi açıklayamıyor. Kısacası bu ifade ölümsüz "sıfıra bölünme yok" ile açıklanabilir.

0:0 işlemi var mı? Gerçekten de 0 ile çarpma işlemi yasal ise, sıfır sıfıra bölünebilir mi? Sonuçta, 0x5=0 biçiminde bir denklem oldukça yasaldır. 5 rakamı yerine 0 koyabilirsiniz, ürün bundan değişmeyecektir.

Gerçekten de, 0x0=0. Ama yine de 0'a bölemezsiniz. Dediğim gibi bölme çarpmanın tam tersidir. Dolayısıyla örnekte 0x5=0 ise ikinci faktörü belirlemeniz gerekiyorsa 0x0=5 elde ederiz. Veya 10. Veya sonsuzluk. Sonsuzluğu sıfıra bölmek - nasıl buldunuz?

Ancak ifadeye herhangi bir sayı uyuyorsa, o zaman mantıklı değildir, sonsuz sayıda sayı kümesinden birini seçemeyiz. Ve eğer öyleyse, 0:0 ifadesinin bir anlam ifade etmediği anlamına gelir. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı.

yüksek Matematik

Sıfıra bölme, lise matematiği için bir baş ağrısıdır. Teknik üniversitelerde çalışılan matematiksel analiz, çözümü olmayan problemler kavramını biraz genişletir. Örneğin, zaten bilinen 0:0 ifadesine okul matematik derslerinde çözümü olmayan yenileri eklenir:

• sonsuz bölü sonsuz: ∞:∞;
• sonsuz eksi sonsuz: ∞−∞;
• sonsuz güce yükseltilmiş birim: 1 ∞ ;
• sonsuz çarpı 0: ∞*0;
• bazı diğerleri.

Bu tür ifadeleri temel yöntemlerle çözmek imkansızdır. Ancak daha yüksek matematik, bir dizi benzer örnek için ek olasılıklar sayesinde nihai çözümler verir. Bu, özellikle limitler teorisinden problemlerin ele alınmasında belirgindir.

Belirsizlik Açıklaması

Limitler teorisinde, 0 değeri koşullu sonsuz küçük bir değişkenle değiştirilir. Ve istenen değer değiştirilirken sıfıra bölmenin elde edildiği ifadeler dönüştürülür. Aşağıda, olağan cebirsel dönüşümleri kullanan standart bir limit genişletme örneği verilmiştir:

Örnekte görebileceğiniz gibi, bir kesrin basit bir indirgemesi, değerini tamamen rasyonel bir cevaba getirir.

Trigonometrik fonksiyonların limitleri düşünüldüğünde, ifadeleri ilk dikkate değer limite indirgenme eğilimindedir. Limit ikame edildiğinde paydanın 0'a gittiği limitler göz önüne alındığında, ikinci dikkate değer limit kullanılır.

L'Hopital yöntemi

Bazı durumlarda, ifadelerin limitleri türevlerinin limiti ile değiştirilebilir. Guillaume Lopital - Fransız matematikçi, Fransız matematiksel analiz okulunun kurucusu. İfadelerin limitlerinin, bu ifadelerin türevlerinin limitlerine eşit olduğunu kanıtladı. Matematiksel gösterimde kuralı aşağıdaki gibidir.

Limitleri çözme yöntemleri. Belirsizlikler.
Fonksiyon büyüme sırası. Değiştirme Yöntemi

Örnek 4

sınırı bul

Bu, kendin yap çözümü için daha basit bir örnektir. Önerilen örnekte, yine belirsizlik (kökten daha yüksek bir büyüme düzeni).

"x", "eksi sonsuz" olma eğilimindeyse

"Eksi sonsuz" hayaleti uzun süredir bu makalede dolaşıyor. olduğu polinomlarla limitleri göz önünde bulundurun. Çözüm ilkeleri ve yöntemleri, bir takım nüanslar dışında, dersin ilk bölümündeki ile tamamen aynı olacaktır.

Pratik görevleri çözmek için gerekli olacak 4 çipi düşünün:

1) Limiti hesaplayın

Limitin değeri sadece terime bağlıdır çünkü en yüksek büyüme sırasına sahiptir. eğer , o zaman sonsuz büyük modül EVEN'in gücüne negatif sayı, bu durumda - dördüncüde "artı sonsuz"a eşittir: . Sabit ("iki") pozitif, bu yüzden:

2) Limiti hesaplayın

İşte yine kıdemli derece Bile, bu yüzden: . Ama önünde bir "eksi" var ( olumsuz sabit –1), bu nedenle:

3) Limiti hesaplayın

Limitin değeri sadece bağlıdır. Okuldan hatırladığınız gibi, tek derecenin altından "eksi" "çıkıyor", yani sonsuz büyük modül bir ODD gücüne negatif sayı bu durumda "eksi sonsuz"a eşittir: .
Sabit ("dört") pozitif, anlamına geliyor:

4) Limiti hesaplayın

Köydeki ilk adam yine garip derece, ayrıca, koynunda olumsuz sabit, bu şu anlama gelir: Böylece:
.

Örnek 5

sınırı bul

Yukarıdaki noktaları kullanarak, burada bir belirsizlik olduğu sonucuna varıyoruz. Pay ve payda aynı büyüme düzenindedir, bu, limitte sonlu bir sayının elde edileceği anlamına gelir. Tüm yavruları atarak cevabı öğreniyoruz:

Çözüm önemsiz:

Örnek 6

sınırı bul

Bu kendin yap örneğidir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Ve şimdi, davaların belki de en ince olanı:

Örnek 7

sınırı bul

Kıdemli dönemleri göz önünde bulundurduğumuzda burada bir belirsizlik olduğu kanaatine varıyoruz. Pay, paydadan daha yüksek bir büyüme mertebesine sahiptir, bu yüzden hemen limitin sonsuz olduğunu söyleyebiliriz. Ama ne tür bir sonsuzluk, "artı" veya "eksi"? Alım aynıdır - pay ve paydada küçük şeylerden kurtulacağız:

Karar veriyoruz:

Pay ve paydayı böl

Örnek 15

sınırı bul

Bu kendin yap örneğidir. Dersin sonunda yaklaşık bir bitirme örneği.

Değişken ikamesi konusunda birkaç ilginç örnek daha:

Örnek 16

sınırı bul

Birini limitte yerine koymak belirsizlikle sonuçlanır. Değişkenin değiştirilmesi zaten öneriyor, ancak önce formülü kullanarak tanjantı dönüştürüyoruz. Gerçekten, neden bir teğete ihtiyacımız var?

Bu nedenle unutmayın. Tamamen net değilse, sinüs değerlerine bakın. trigonometrik tablo. Böylece, faktörden hemen kurtuluruz, ayrıca daha tanıdık belirsizliği 0:0 elde ederiz. Limitimiz de sıfıra yönelseydi iyi olurdu.

Değiştirelim:

eğer , o zaman

Kosinüs altında "te" ile ifade edilmesi gereken "x" var.
Değiştirmeden ifade ediyoruz: .

Çözümü tamamlıyoruz:

(1) Oyuncu değişikliğinin yapılması

(2) Kosinüs altındaki parantezleri genişletin.

(4) organize etmek ilk harika limit, payı ve tersini yapay olarak çarpın .

Bağımsız çözüm için görev:

Örnek 17

sınırı bul

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Bunlar sınıflarında basit görevlerdi; pratikte her şey daha kötüydü ve buna ek olarak azaltma formülleri, farklı kullanmak zorunda trigonometrik formüller, yanı sıra diğer hileler. Karmaşık Limitler makalesinde birkaç gerçek örneği analiz ettim =)

Tatilin arifesinde, nihayet bir yaygın belirsizlikle durumu netleştireceğiz:

Belirsizliğin ortadan kaldırılması "sonsuzluğun gücüne bir"

Bu belirsizlik "hizmet edilir" ikinci harika limit ve bu dersin ikinci bölümünde, çoğu durumda pratikte bulunan standart çözüm örneklerine çok ayrıntılı olarak baktık. Şimdi katılımcılarla resim tamamlanacak, ayrıca, dersin son görevleri sınırlara ayrılacak - bu hiç de önemli olmasa da 2. harika sınırı uygulamanın gerekli olduğu görünen "püf noktaları". dava.

2. dikkate değer sınırın iki çalışma formülünün dezavantajı, argümanın "artı sonsuz" veya sıfıra eğilimli olması gerektiğidir. Ama ya argüman farklı bir sayıya yöneliyorsa?

Evrensel formül imdada yetişiyor (aslında bu ikinci dikkate değer sınırın bir sonucudur):

Belirsizlik şu formülle giderilebilir:

Köşeli parantezlerin ne anlama geldiğini zaten açıkladığım gibi bir yerde. Özel bir şey yok, parantezler sadece parantezdir. Genellikle matematiksel bir gösterimi açıkça vurgulamak için kullanılırlar.

Formülün önemli noktalarını vurgulayalım:

1) hakkında sadece belirsizlik hakkında ve başka değil.

2) "x" argümanı şu şekilde olabilir: keyfi değer(ve yalnızca sıfıra veya ), özellikle "eksi sonsuz"a veya herhangi biri son sayı.

Bu formülü kullanarak dersin tüm örneklerini çözebilirsiniz. Olağanüstü Sınırlar 2. harika sınıra ait olan. Örneğin, limiti hesaplayalım:

Bu durumda ve formüle göre :

Doğru, bunu yapmanızı önermiyorum, gelenekte, uygulanabilirse, çözümün “olağan” tasarımını kullanmaya devam edersiniz. Yine de formülü kullanmak kontrol etmek için çok uygundur 2. harika sınıra "klasik" örnekler.

Çoğu zaman, birçok insan sıfıra bölmeyi kullanmanın neden imkansız olduğunu merak ediyor? Bu yazımızda bu kuralın nereden geldiğine ve sıfır ile hangi işlemlerin yapılabileceğine çok detaylı değineceğiz.

Temas halinde

Sıfır, en ilginç sayılardan biri olarak adlandırılabilir. Bu numaranın anlamı yok, kelimenin tam anlamıyla boşluk anlamına gelir. Ancak, herhangi bir basamağın yanına sıfır koyarsanız, bu basamağın değeri birkaç kat daha büyük olacaktır.

Sayı kendi içinde çok gizemli. Eski Maya halkı tarafından kullanılmıştır. Maya için sıfır, "başlangıç" anlamına geliyordu ve takvim günlerinin geri sayımı da sıfırdan başladı.

Çok ilginç bir gerçek şu ki, sıfır işareti ve belirsizlik işareti onlar için benzerdi. Bununla Maya, sıfırın belirsizlikle aynı işaret olduğunu göstermek istedi. Avrupa'da, sıfır tanımı nispeten yakın zamanda ortaya çıktı.

Ayrıca, birçok kişi sıfırla ilgili yasağı biliyor. Herhangi bir kişi bunu söyleyecektir sıfıra bölünemez. Bu, okuldaki öğretmenler tarafından söylenir ve çocuklar genellikle bunun için sözlerini alırlar. Genellikle çocuklar ya bunu bilmekle ilgilenmezler ya da önemli bir yasağı duyunca hemen “Neden sıfıra bölemiyorsunuz?” diye sorarlarsa ne olacağını bilirler. Ancak yaşlandıkça ilgi uyanır ve böyle bir yasağın nedenleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istersiniz. Ancak, makul kanıtlar var.

Sıfır ile eylemler

İlk önce sıfır ile hangi eylemlerin gerçekleştirilebileceğini belirlemeniz gerekir. var birkaç tür aktivite:

• İlave;
• Çarpma işlemi;
• Çıkarma;
• Bölme (sayıya göre sıfır);
• üs alma.

Önemli! Toplama sırasında herhangi bir sayıya sıfır eklenirse, bu sayı aynı kalacak ve sayısal değerini değiştirmeyecektir. Herhangi bir sayıdan sıfır çıkarırsanız da aynı şey olur.

Çarpma ve bölme ile işler biraz farklıdır. Eğer bir herhangi bir sayıyı sıfırla çarp, o zaman ürün de sıfır olur.

Bir örnek düşünün:

Bunu bir ek olarak yazalım:

Toplamda beş ek sıfır var, yani öyle görünüyor ki

sıfırla bir ile çarpmaya çalışalım. Sonuç da null olacaktır.

Sıfır, kendisine eşit olmayan herhangi bir sayıya da bölünebilir. Bu durumda, değeri de sıfır olacak şekilde ortaya çıkacaktır. Aynı kural negatif sayılar için de geçerlidir. Sıfırı negatif bir sayıya bölersen sıfır olur.

Ayrıca herhangi bir sayıyı yükseltebilirsiniz sıfır güce. Bu durumda 1 elde edersiniz. "Sıfırdan sıfıra kuvvet" ifadesinin kesinlikle anlamsız olduğunu hatırlamak önemlidir. Sıfırı herhangi bir güce yükseltmeye çalışırsanız, sıfır alırsınız. Örnek:

Çarpma kuralını kullanırız, 0 alırız.

sıfıra bölmek mümkün mü

Yani, işte asıl soruya geliyoruz. sıfıra bölmek mümkün mü genel olarak? Ve sıfıra sahip diğer tüm işlemlerin tamamen var olduğu ve uygulandığı göz önüne alındığında, bir sayıyı sıfıra bölmek neden imkansız? Bu soruyu cevaplamak için daha yüksek matematiğe dönmeniz gerekir.

Kavramın tanımıyla başlayalım, sıfır nedir? Okul öğretmenleri sıfırın hiçbir şey olmadığını iddia ediyor. Boşluk. Yani 0 kaleminiz var dediğinizde hiç kaleminiz yok demektir.

Yüksek matematikte "sıfır" kavramı daha geniştir. Hiç boş demek değil. Burada sıfıra belirsizlik denir, çünkü biraz araştırma yaparsanız, sıfırı sıfıra bölerek sonuç olarak sıfır olmayabilecek başka herhangi bir sayı elde edebileceğimiz ortaya çıkıyor.

Okulda okuduğunuz bu basit aritmetik işlemlerin kendi aralarında o kadar da eşit olmadığını biliyor musunuz? En temel adımlar şunlardır: toplama ve çarpma.

Matematikçiler için "" ve "çıkarma" kavramları yoktur. Diyelim ki, beşten üç çıkarılırsa, geriye iki kalır. Çıkarma böyle görünüyor. Ancak, matematikçiler bunu şu şekilde yazarlardı:

Böylece, bilinmeyen farkın, 5'i elde etmek için 3'e eklenmesi gereken belirli bir sayı olduğu ortaya çıkıyor. Yani, hiçbir şey çıkarmanıza gerek yok, sadece uygun bir sayı bulmanız gerekiyor. Bu kural ekleme için geçerlidir.

ile işler biraz farklı çarpma ve bölme kuralları. Sıfırla çarpmanın sıfır sonuca yol açtığı bilinmektedir. Örneğin, 3:0=x ise, kaydı çevirirseniz 3*x=0 elde edersiniz. Ve 0 ile çarpılan sayı üründe sıfır verecektir. Sıfır olan üründe sıfırdan başka değer verecek bir sayının olmadığı ortaya çıktı. Bu, sıfıra bölmenin anlamsız olduğu, yani kuralımıza uyduğu anlamına gelir.

Ama sıfırı kendisine bölmeye çalışırsanız ne olur? x'i belirsiz bir sayı olarak alalım. 0 * x \u003d 0 denklemi ortaya çıkıyor. Çözülebilir.

x yerine sıfır almaya çalışırsak 0:0=0 elde ederiz. Mantıklı görünüyor mu? Ancak x yerine başka bir sayı almaya çalışırsak, örneğin 1, o zaman 0:0=1 olur. Aynı durum, başka bir numara alırsanız ve denklemin içine yerleştir.

Bu durumda, başka bir sayıyı faktör olarak alabileceğimiz ortaya çıkıyor. Sonuç, sonsuz sayıda farklı sayı olacaktır. Yine de bazen yüksek matematikte 0'a bölme mantıklıdır, ancak genellikle hala uygun bir sayı seçebileceğimiz belirli bir koşul vardır. Bu eyleme "belirsizlik ifşası" denir. Sıradan aritmetikte, kümeden herhangi bir sayı seçemeyeceğimiz için sıfıra bölme yine anlamını yitirecektir.

Önemli! Sıfır sıfıra bölünemez.

sıfır ve sonsuzluk

Sonsuzluk yüksek matematikte çok yaygındır. Okul çocuklarının hala sonsuzda matematiksel işlemler olduğunu bilmeleri önemli olmadığından, öğretmenler çocuklara neden sıfıra bölmenin imkansız olduğunu tam olarak açıklayamazlar.

Öğrenciler temel matematik sırlarını ancak enstitünün ilk yılında öğrenmeye başlarlar. Yüksek matematik, çözümü olmayan çok sayıda problem sağlar. En ünlü problemler, sonsuzlukla ilgili problemlerdir. ile çözülebilirler matematiksel analiz.

Sonsuzluğa da başvurabilirsiniz temel matematiksel işlemler: toplama, bir sayı ile çarpma. Çıkarma ve bölme de yaygın olarak kullanılır, ancak sonunda hala iki basit işleme indirgenirler.

Ama ne olacak Eğer denersen:

• Sonsuzluğu sıfırla çarpın. Teoride, herhangi bir sayıyı sıfırla çarpmaya çalışırsak sıfır alırız. Ancak sonsuz, belirsiz bir sayılar kümesidir. Bu kümeden bir sayı seçemeyeceğimiz için ∞*0 ifadesinin çözümü yoktur ve kesinlikle anlamsızdır.
• Sıfır bölü sonsuza. Bu, yukarıdakiyle aynı hikaye. Tek bir sayı seçemeyiz, bu da neye böleceğimizi bilmediğimiz anlamına gelir. İfade mantıklı değil.

Önemli! Sonsuzluk, belirsizlikten biraz farklıdır! Sonsuzluk bir tür belirsizliktir.

Şimdi sonsuzu sıfıra bölmeye çalışalım. Belirsizlik olması gerektiği anlaşılıyor. Ama bölmeyi çarpma ile değiştirmeye çalışırsak, çok kesin bir cevap alırız.

Örneğin: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Böyle çıkıyor matematiksel paradoks.

neden sıfıra bölemiyorsun

Düşünce deneyi, sıfıra bölmeye çalışın

Çözüm

Böylece, sıfırın, tek bir işlem dışında, gerçekleştirilen hemen hemen tüm işlemlere tabi olduğunu biliyoruz. Sonuç belirsizlik diye sıfıra bölemezsiniz. Sıfır ve sonsuz üzerinde çalışmayı da öğrendik. Bu tür eylemlerin sonucu belirsizlik olacaktır.

Fonksiyonun türevi uzaklara düşmez ve L'Hopital kuralları söz konusu olduğunda, tam olarak orijinal fonksiyonun düştüğü yere düşer. Bu durum, 0/0 veya ∞/∞ şeklindeki belirsizliklerin ve hesaplamada ortaya çıkan diğer bazı belirsizliklerin ortaya çıkarılmasına yardımcı olur. sınır iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük fonksiyonun oranı. Hesaplama bu kuralla büyük ölçüde basitleştirilmiştir (aslında iki kural ve bunlarla ilgili notlar):

Yukarıdaki formülün gösterdiği gibi, iki sonsuz küçük veya sonsuz büyük fonksiyonun oranının limitini hesaplarken, iki fonksiyonun oranının limiti, ikisinin oranının limiti ile değiştirilebilir. türevler ve böylece kesin bir sonuç elde edin.

L'Hopital kurallarının daha kesin formülasyonlarına geçelim.

İki Sonsuz Küçük Değerin Sınırı Durumunda L'Hopital Kuralı. fonksiyonlar olsun f(x) ve g(x a. Ve en noktada a a fonksiyon türevi g(x) sıfıra eşit değildir ( g"(x a birbirine ve sıfıra eşittir:

.

L'Hôpital'in iki sonsuz büyük niceliğin limiti durumu için kuralı. fonksiyonlar olsun f(x) ve g(x) noktanın bazı komşuluklarında türevleri var (yani türevlenebilirler) a. Ve en noktada a türevleri olabilir veya olmayabilir. Ayrıca, noktanın yakınında a fonksiyon türevi g(x) sıfıra eşit değildir ( g"(x)≠0 ) ve x noktasındaki fonksiyonun değerine eğilim gösterdiğinden bu fonksiyonların limitleri a birbirine ve sonsuza eşittir:

.

O zaman bu fonksiyonların oranının limiti, türevlerinin oranının limitine eşittir:

Başka bir deyişle, 0/0 veya ∞/∞ biçimindeki belirsizlikler için, iki fonksiyonun oranının sınırı, türevlerinin oranının sınırına eşittir, eğer ikincisi varsa (sonlu, yani bir belirli bir sayı veya sonsuz, yani sonsuza eşittir).

Notlar.

1. L'Hopital'in kuralları, işlevler aşağıdaki durumlarda da geçerlidir. f(x) ve g(x) tanımlı değil x = a.

2. Eğer, fonksiyonların türevlerinin oranının limitini hesaplarken f(x) ve g(x) yine 0/0 veya ∞/∞ şeklinde bir belirsizliğe geldiğimizde, L'Hopital'in kuralları tekrar tekrar uygulanmalıdır (en az iki kez).

3. L'Hopital kuralları, (x) fonksiyonlarının argümanı sonlu olmayan bir sayıya yöneldiğinde de geçerlidir. a, ve sonsuza ( x → ∞).

Diğer türlerin belirsizlikleri de 0/0 ve ∞/∞ türlerinin belirsizliklerine indirgenebilir.

"Sıfır bölü sıfır" ve "sonsuz bölü sonsuz" türlerindeki belirsizliklerin açıklanması

örnek 1

x=2, 0/0 biçiminde bir belirsizliğe yol açar. Bu nedenle, her fonksiyonun türevi ve elde ederiz

Payda, polinomun türevi hesaplandı ve paydada - karmaşık bir logaritmik fonksiyonun türevi. Son eşittir işaretinden önce, olağan sınır, x yerine bir ikili koyarak.

Örnek 2 L'Hospital kuralını kullanarak iki fonksiyonun oranının limitini hesaplayın:

Çözüm. Belirli bir değer fonksiyonuna ikame x

Örnek 3 L'Hospital kuralını kullanarak iki fonksiyonun oranının limitini hesaplayın:

Çözüm. Belirli bir değer fonksiyonuna ikame x=0, 0/0 biçiminin belirsizliğine yol açar. Bu nedenle, pay ve paydadaki fonksiyonların türevlerini hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Örnek 4 Hesaplamak

Çözüm. Verilen bir fonksiyona x eşittir artı sonsuz değerini koymak, ∞/∞ formunun belirsizliğine yol açar. Bu nedenle, L'Hopital kuralını uygularız:

Yorum. L'Hopital kuralının iki kez uygulanması, yani ikinci türevlerin oranının sınırına gelmesi gereken örneklere geçelim, çünkü birinci türevlerin oranının sınırı, formun belirsizliğidir. 0/0 veya ∞/∞.

"Sıfır çarpı sonsuz" şeklindeki belirsizliklerin açıklanması

Örnek 12. Hesaplamak

.

Çözüm. alırız

Bu örnek, trigonometrik kimliği kullanır.

"Sıfırdan sıfırın kuvvetine", "sonsuzdan sıfırın kuvvetine" ve "birden sonsuzun kuvvetine" türlerindeki belirsizliklerin açıklanması

Formun belirsizlikleri veya genellikle formun bir fonksiyonunun logaritması kullanılarak 0/0 veya ∞/∞ formuna indirgenir.

İfadenin sınırını hesaplamak için, özel bir durumu logaritmanın özelliği olan logaritmik özdeşlik kullanılmalıdır. .

Logaritmik özdeşlik ve fonksiyonun süreklilik özelliği kullanılarak (limitin işaretinin ötesine geçmek için) limit aşağıdaki gibi hesaplanmalıdır:

Ayrı olarak, üsteki ifadenin limiti bulunmalı ve oluşturulmalıdır. e bulunan derecede.

Örnek 13

Çözüm. alırız

.

.

Örnek 14 L'Hopital kuralını kullanarak hesaplayın

Çözüm. alırız

Üsteki ifadenin sınırını hesaplayın

.

.

Örnek 15 L'Hopital kuralını kullanarak hesaplayın

Bir sayı sonsuza bölünürse, bölüm sıfır olma eğiliminde midir? İçeride devam etti ve daha iyi bir cevap aldı

Olenka'dan yanıt[yeni]
hepsi 0
yengeç kabuğu
kehanet
(56636)
Numara. Tam sıfır. Bölen sonsuza meyledince, bölüm de sıfıra meyillidir. Ve, sonsuza giden bir sayıya değil, sonsuzluğun kendisine bölersek (bu arada, daha kesin olmak gerekirse, resmi olarak bir sayı olarak kabul edilmez, ancak sayıların tanımlarını tamamlayan özel bir sembol olarak kabul edilir) - tam olarak sıfır.

yanıt Jugeus Vladimir[guru]
Sıfırı bölmek, herhangi bir sayıyla çarpmak bile yine sıfır olacak!

yanıt 1 23 [guru]
eğer bir bok sıfıra meyilliyse, o zaman onu sonlu bir şeyle (sayı veya sınırlı bir fonksiyon) çarpmak acısızdır, çünkü all-rna sıfıra meyleder.
ama onu sonsuzluğa meyilli bir şeyle çarparsanız, o zaman seçenekler olabilir.

yanıt yengeç kabuğu[guru]
Herhangi bir sayıyı sonsuza bölmek sıfır ile sonuçlanır. Tam sıfır, "sıfıra gitmek" yok. Ve sonra, hangi sayıyla çarparsan çarp, sıfır. Ve sıfırdan başka bir sayıya bölmenin sonucu sıfır olacaktır, sadece sıfırı sıfıra bölerken sonuç tanımlanmamıştır, herhangi bir sayı bölüm olarak uygun olacaktır.