Число 0 можна уявити, як певну межу, що відокремлює світ реальних чисел від уявних чи негативних. Завдяки двозначному положенню багато операцій з цією числовою величиною не підкоряються математичній логіці. Неможливість поділу на нуль - яскравий приклад. А дозволені арифметичні дії з нулем можуть бути виконані за допомогою загальноприйнятих визначень.

Історія нуля

Нуль є точкою відліку у всіх стандартних системах обчислення. Європейці стали використовувати це число порівняно недавно, але мудреці Стародавньої Індії користувалися нулем за тисячу років до того, як порожня кількість стала регулярно використовуватися європейськими математиками. Ще раніше індійців нуль був обов'язковою величиною у числовій системі майя. Цей американський народ використовував дванадцяткову систему числення, а банкрутом у них починався перший день кожного місяця. Цікаво, що у майя знак, що означає «нуль», повністю збігався зі знаком, що визначає «нескінченність». Таким чином, стародавні майя робили висновок про тотожність та непізнаваність цих величин.

Математичні дії з нулем

Стандартні математичні операції з нулем можна звести до кількох правил.

Додавання: якщо до довільного числа додати нуль, воно не змінить свого значення (0+x=x).

Віднімання: при відніманні нуля від будь-якого числа значення віднімається залишається незмінним (x-0=x).

Множення: будь-яке число, помножене на 0, дає у творі 0 (a * 0 = 0).

Поділ: нуль можна поділити на будь-яке число, що не дорівнює нулю. При цьому значення такого дробу буде 0. А розподіл на нуль заборонено.

Зведення в ступінь. Цю дію можна виконати з будь-яким числом. Довільне число, зведене в нульовий рівень, дасть 1 (x 0 =1).

Нуль будь-якою мірою дорівнює 0 (0 а = 0).

У цьому відразу виникає протиріччя: вираз 0 0 немає сенсу.

Парадокси математики

Про те, що розподіл на нуль неможливий, багато хто знає зі шкільної лави. Але пояснити причину такої заборони чомусь не виходить. Справді, чому формула поділу на нуль немає, тоді як інші дії з цим числом цілком розумні і можливі? Відповідь це питання дають математики.

Справа в тому, що звичні арифметичні дії, які школярі вивчають у початкових класах, насправді далеко не такі рівноправні, як нам здається. Усі прості операції з числами можуть бути зведені до двох: додавання та множення. Ці події становлять суть самого поняття числа, інші операції будуються використання цих двох.

Додавання та множення

Візьмемо стандартний приклад віднімання: 10-2=8. У школі його розглядають просто: якщо від десяти предметів відібрати два, залишиться вісім. Але математики дивляться цю операцію зовсім інакше. Адже такої операції, як віднімання, для них не існує. Цей приклад можна записати й іншим способом: х+2=10. Для математиків невідома різниця - це просто число, яке потрібно додати до двох, щоб вийшло вісім. І ніякого віднімання тут не потрібно, потрібно просто знайти відповідне числове значення.

Множення та розподіл розглядаються так само. У прикладі 12:4=3 можна зрозуміти, що йдеться про розподіл восьми предметів на дві рівні купки. Але насправді це просто перевернута формула запису 3х4 = 12. Такі приклади на поділ можна наводити нескінченно.

Приклади на поділ на 0

Ось тут і стає зрозумілим, чому не можна ділити на нуль. Множення та розподіл на нуль підпорядковується своїм правилам. Усі приклади розподіл цієї величини можна сформулювати як 6:0=х. Але це ж перевернутий запис виразу 6 * х = 0. Але, як відомо, будь-яке число, помножене на 0, дає у творі лише 0. Ця властивість закладена у самому понятті нульової величини.

Виходить, що такого числа, яке при множенні на 0 дає якусь відчутну величину, не існує, тобто це завдання не має рішення. Такої відповіді боятися не слід, це природна відповідь для таких завдань. Просто запис 6:0 не має жодного сенсу, і він нічого не може пояснити. Коротко кажучи, цей вислів можна пояснити тим самим безсмертним «поділ на нуль неможливий».

Чи існує операція 0:0? Справді, якщо операція множення на 0 є законною, чи можна нуль розділити на нуль? Адже рівняння виду 0х5=0 цілком легальне. Замість числа 5 можна поставити 0, твір від цього не зміниться.

Дійсно, 0х0 = 0. Але поділити на 0, як і раніше, не можна. Як було сказано, розподіл - це зворотна операція множення. Таким чином, якщо в прикладі 0х5=0 потрібно визначити другий множник, отримуємо 0х0=5. Або 10. Або нескінченність. Розподіл нескінченності на нуль - як вам це сподобається?

Але якщо у вираз підходить будь-яке число, воно не має сенсу, ми не можемо з нескінченного безлічі чисел вибрати якесь одне. А якщо так, це означає і вираз 0:0 не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть сам нуль.

Вища математика

Поділ на нуль – це головний біль для шкільної математики. Математичний аналіз, що вивчається в технічних вузах, трохи розширює поняття завдань, які не мають рішення. Наприклад, до вже відомого виразу 0:0 додаються нові, які не мають рішення у шкільних курсах математики:

• нескінченність, поділена на нескінченність: ∞:∞;
• нескінченність мінус нескінченність: ∞−∞;
• одиниця, зведена в нескінченний ступінь: 1 ∞;
• нескінченність, помножена на 0: ∞*0;
• деякі інші.

Елементарними методами вирішити такі висловлювання неможливо. Але вища математика завдяки додатковим можливостям ряду подібних прикладів дає кінцеві рішення. Особливо це видно у розгляді завдань із теорії меж.

Розкриття невизначеності

Теоретично меж значення 0 замінюється умовною нескінченно малою змінною величиною. А вирази, у яких за підставі необхідного значення виходить розподіл на нуль, перетворюються. Нижче наведено стандартний приклад розкриття межі за допомогою звичайних алгебраїчних перетворень:

Як видно з прикладу, просте скорочення дробу призводить її значення до цілком раціональної відповіді.

При розгляді меж тригонометричних функцій їх висловлювання прагнуть звести до першої чудової межі. При розгляді меж, у яких знаменник звертається в 0 під час підстави межі, використовують другий чудовий ліміт.

Метод Лопіталя

У деяких випадках межі виразів можна замінити межею їх похідних. Гійом Лопіталь – французький математик, основоположник французької школи математичного аналізу. Він довів, що межі виразів дорівнюють межам похідних цих виразів. У математичному записі його правило виглядає так.

Методи розв'язання меж. Невизначеності.
Порядок зростання функції. Метод заміни

Приклад 4

Знайти межу

Це простіший приклад для самостійного рішення. У запропонованому прикладі знову невизначеність (вищого порядку зростання, ніж корінь).

Якщо "ікс" прагне до "мінус нескінченності"

Примара «мінус нескінченності» вже давно витала у цій статті. Розглянемо межі з многочленами, у яких . Принципи та методи вирішення будуть такими ж, що й у першій частині уроку, за винятком низки нюансів.

Розглянемо 4 фішки, які будуть потрібні для вирішення практичних завдань:

1) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від доданку , оскільки він має найвищим порядком зростання. Якщо то нескінченно велике за модулемвід'ємне число ЧОРНОМУ ступені, у разі – в четвертої, і «плюс нескінченності»: . Константа («двійка») позитивнатому:

2) Обчислимо межу

Тут старший ступінь знову парна, Тому: . Але перед розташувався «мінус» ( негативнаконстанта –1), отже:

3) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від . Як ви пам'ятаєте зі школи, мінус вискакує з-під непарного ступеня, тому нескінченно велике за модулемнегативне число в непарному ступеніі «мінус нескінченності», у разі: .
Константа («четвірка») позитивна, значить:

4) Обчислимо межу

Перший хлопець на селі знову має непарнийступенем, крім того, за пазухою негативнаконстанта, а значить: Таким чином:
.

Приклад 5

Знайти межу

Використовуючи викладені вище пункти, приходимо до висновку, що тут невизначеність . Чисельник і знаменник одного порядку зростання, отже, межі вийде кінцеве число. Дізнаємося відповідь, відкинувши всіх мальків:

Рішення тривіальне:

Приклад 6

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

А зараз, мабуть, найтонший із випадків:

Приклад 7

Знайти межу

Розглядаючи старші доданки, приходимо до висновку, що тут невизначеність. Чисельник вищого порядку зростання, ніж знаменник, тому відразу можна сказати, що межа дорівнює нескінченності. Але який нескінченності, «плюс» чи «мінус»? Прийом той же - у чисельнику і знаменнику позбудемося дрібниці:

Вирішуємо:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 15

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Ще пара цікавих прикладів на тему заміни змінної:

Приклад 16

Знайти межу

При підстановці одиниці у межу виходить невизначеність. Заміна змінної вже напрошується, але спочатку перетворимо тангенс за формулою . Справді, навіщо нам тангенс?

Зауважте, що , Тому . Якщо не зовсім зрозуміло, подивіться значення синуса в тригонометричної таблиці. Таким чином, ми відразу позбавляємося множника, крім того, отримуємо звичнішу невизначеність 0:0. Добре б ще й межа у нас прагнула нуля.

Проведемо заміну:

Якщо то

Під косінусом у нас знаходиться «ікс», який теж необхідно виразити через «те».
Із заміни висловлюємо: .

Завершуємо рішення:

(1) Проводимо підстановку

(2) Розкриваємо дужки під косинусом.

(4) Щоб організувати перша чудова межа, штучно домножуємо чисельник і зворотне число .

Завдання для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти межу

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Це були нескладні завдання у своєму класі, на практиці все буває гіршим, і, крім формул приведення, доводиться використовувати різні тригонометричні формули, а також інші хитрощі. Складні межі я розібрав пару справжніх прикладів =)

Напередодні свята остаточно прояснимо ситуацію ще з однією поширеною невизначеністю:

Усунення невизначеності «одиниця ступеня нескінченність»

Цю невизначеність «обслуговує» друга чудова межа, і в другій частині того уроку ми докладно розглянули стандартні приклади рішень, які найчастіше зустрічаються практично. Зараз картину з експонентами буде завершено, крім того, заключні завдання уроку будуть присвячені межам-«обманкам», в яких ЗДАЄТЬСЯ, що необхідно застосувати 2-у чудову межу, хоча це зовсім не так.

Недолік двох робочих формул 2-го чудового краю у тому, що аргумент має прагнути «плюс нескінченності» чи нулю. Але що робити, якщо аргумент прагне іншого числа?

На допомогу приходить універсальна формула (яка насправді є наслідком другої чудової межі):

Невизначеність можна усунути за такою формулою:

Десь начебто вже пояснював, що позначають квадратні дужки. Нічого особливого, дужки як дужки. Зазвичай їх використовують, щоб чіткіше виділити математичний запис.

Виділимо суттєві моменти формули:

1) Мова йде тільки про невизначеність і жодну іншу.

2) Аргумент «ікс» може прагнути до довільному значенню(а не тільки до нуля або ), зокрема, до «мінус нескінченності» або до будь-комукінцевого числа.

За допомогою цієї формули можна вирішити усі приклади уроку Чудові межі, які відносяться до 2-ї чудової межі. Наприклад, обчислимо межу:

В даному випадку , і за формулою :

Щоправда, робити так не раджу, у традиціях таки застосовувати «звичайне» оформлення рішення, якщо його можна застосувати. Однак за допомогою формули дуже зручно виконувати перевірку«класичних» прикладів на 2-й чудовий ліміт.

Дуже часто багато хто задається питанням, чому ж не можна використовувати поділ на нуль? У цій статті ми детально розповімо про те, звідки з'явилося це правило, а також про те, які дії можна виконувати з нулем.

Вконтакте

Нуль можна назвати однією з найцікавіших цифр. Ця цифра не має значення, вона означає порожнечу у буквальному значенні слова. Однак, якщо нуль поставити поруч із якоюсь цифрою, то значення цієї цифри побільшає в кілька разів.

Число дуже загадкове саме собою. Його використав ще давній народ майя. У майя нуль означав "початок", а відлік календарних днів також починався з нуля.

Дуже цікавим фактом є те, що знак нуля та знак невизначеності у них були схожі. Цим майя хотіли показати, що нуль є таким самим тотожним знаком, як і невизначеність. У Європі позначення нуля з'явилося порівняно недавно.

Також багатьом відома заборона, пов'язана з нулем. Будь-яка людина скаже, що на нуль не можна ділити. Це кажуть вчителі у школі, а діти зазвичай вірять їм у слово. Зазвичай дітям просто не цікаво це знати, або вони знають, що буде, якщо, почувши важливу заборону, відразу ж запитати «А чому не можна ділити на нуль?». Але коли стаєш старшим, то прокидається інтерес, і хочеться більше дізнатися про причини такої заборони. Проте є розумний доказ.

Дії з нулем

Спочатку необхідно визначити, які дії з нулем можна виконувати. Існує кілька видів дій:

• Додавання;
• множення;
• Віднімання;
• Поділ (нуля на число);
• Зведення в ступінь.

Важливо!Якщо при додаванні до будь-якого числа додати нуль, то це число залишиться колишнім і не змінить свого числового значення. Те саме станеться, якщо від будь-якого числа відібрати нуль.

При множенні і розподілі все трохи інакше. Якщо помножити будь-яке число на нуль, те й твір теж стане нульовим.

Розглянемо приклад:

Запишемо це як додавання:

Усього складаються нулів п'ять, от і виходить, що

Спробуємо один помножити на нуль. Результат також буде нульовим.

Нуль також можна розділити на будь-яке інше число, яке не дорівнює йому. У цьому випадку вийде , значення якої також буде нульовим. Це правило діє і для негативних чисел. Якщо нуль ділити на негативне число, то вийде нуль.

Також можна звести будь-яке число у нульовий ступінь. У такому разі вийде 1. При цьому важливо пам'ятати, що вираз «нуль у нульовому ступені» абсолютно безглуздий. Якщо спробувати звести нуль у будь-яку міру, то вийде нуль. Приклад:

Користуємося правилом множення, одержуємо 0.

Так чи можна ділити на нуль

Отож ми й підійшли до головного питання. Чи можна ділити на нульвзагалі? І чому ж не можна розділити число на нуль при тому, що решта всіх дій з нулем цілком існують і застосовуються? Для відповіді це питання необхідно звернутися до вищої математики.

Почнемо взагалі з визначення поняття, що таке нуль? Шкільні вчителі стверджують, що нуль це ніщо. Порожнеча. Тобто, коли ти кажеш, що у тебе 0 ручок, це означає, що у тебе зовсім немає ручок.

У вищій математиці поняття «нуль» ширше. Воно зовсім не означає порожнечу. Тут нуль називають невизначеністю, тому що якщо провести невелике дослідження, то виходить, що при розподілі нуля на нуль ми можемо в результаті отримати будь-яке інше число, яке не обов'язково може бути нулем.

Чи знаєте ви, що ті прості арифметичні дії, які ви вивчали в школі, не такі рівноправні між собою? Найбільш базовими діями є додавання та множення.

Для математиків немає понять « » і «віднімання». Допустимо: якщо від п'яти відібрати три, то залишиться два. Так виглядає віднімання. Проте математики запишуть це таким чином:

Таким чином, виходить, що невідомою різницею є якесь число, яке потрібно додати до 3, щоб отримати 5. Тобто не потрібно нічого віднімати, потрібно просто знайти відповідне число. Це діє для складання.

Трохи інакше справи з правилами множення та поділу.Відомо, що множення на нуль призводить до нульового результату. Наприклад, якщо 3: 0 = х, тоді, якщо перевернути запис, вийде 3 * х = 0. А число, яке множилося на 0, дасть нуль і у творі. Виходить, що числа, яке давало б у творі з нулем якусь величину, відмінну від нуля, не існує. Отже, розподіл на нуль безглуздо, тобто він підходить до нашого правила.

Але що буде, якщо спробувати розділити сам нуль на себе? Візьмемо як х якесь невизначене число. Виходить рівняння 0х = 0. Його можна вирішити.

Якщо спробуємо взяти замість х ноль, ми отримаємо 0:0=0. Здавалося б, логічно? Але якщо спробуємо замість х взяти будь-яке інше число, наприклад, 1, то зрештою вийде 0:0=1. Та ж ситуація буде, якщо взяти будь-яке інше число і підставити його на рівняння.

В цьому випадку вийде, що ми можемо як множник взяти будь-яке інше число. Підсумком буде безліч різних чисел. Часом все ж таки розподіл на 0 у вищій математиці має сенс, але тоді зазвичай з'являється певна умова, завдяки якому ми зможемо все-таки вибрати одне відповідне число. Ця дія називається «розкриттям невизначеності». У звичайній арифметиці поділ на нуль знову втратить свій сенс, оскільки ми не зможемо вибрати з безлічі якесь одне число.

Важливо!На нуль не можна розділити нуль.

Нуль і нескінченність

Нескінченність дуже часто можна зустріти у вищій математиці. Так як школярам просто не важливо знати про те, що існують ще математичні дії з нескінченністю, то і пояснити дітям, чому ділити на нуль не можна, вчителі добре не можуть.

Основні математичні секрети учні починають впізнавати лише першому курсі інституту. Вища математика надає великий комплекс завдань, які мають рішення. Найвідомішими завданнями є завдання з нескінченністю. Їх можна вирішити за допомогою математичного аналізу

До нескінченності також можна застосувати елементарні математичні дії:додавання, множення на число. Зазвичай ще застосовують віднімання і розподіл, але зрештою вони все одно зводяться до двох найпростіших операцій.

Але що буде, якщо спробувати:

• Нескінченність помножити на нуль. За ідеєю, якщо спробуємо помножити на нуль будь-яке число, ми отримаємо нуль. Але нескінченністю є невизначена безліч чисел. Оскільки ми не можемо вибрати з цієї множини одне число, то вираз ∞*0 не має рішення і абсолютно безглуздий.
• Нуль ділити на нескінченність. Тут відбувається та сама історія, що й вище. Не можемо вибрати одне число, а значить не знаємо, на що розділити. Вираз немає сенсу.

Важливо!Нескінченність трохи відрізняється від невизначеності! Нескінченність одна із видів невизначеності.

Тепер спробуємо нескінченність ділити на нуль. Здавалося б, має вийти невизначеність. Але якщо ми спробуємо замінити поділ множенням, то вийде цілком певна відповідь.

Наприклад: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Виходить такий математичний феномен.

Відповідь, чому не можна ділити на нуль

Думковий експеримент, пробуємо ділити на нуль

Висновок

Отже, тепер нам відомо, що нуль підпорядковується практично всім операціям, які виробляють з, крім однієї єдиної. На нуль ділити не можна лише тому, що в результаті виходить невизначеність. Також ми дізналися, як робити дії з нулем та нескінченністю. Результатом таких дій буде невизначеність.

Похідна від функції недалеко падає, а у разі правил Лопіталя вона падає точно туди, куди падає вихідна функція. Ця обставина допомагає у розкритті невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ та деяких інших невизначеностей, що виникають при обчисленні межівідносини двох нескінченно малих чи нескінченно великих функцій. Обчислення значно спрощується за допомогою цього правила (насправді двох правил та зауважень до них):

Як показує формула вище, при обчисленні межі відносин двох нескінченно малих або нескінченно великих функцій межу відношення двох функцій можна замінити межею відношення їх похіднихі, таким чином, одержати певний результат.

Перейдемо до точніших формулювань правил Лопіталя.

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно малих величин. Нехай функції f(x) та g(x a. А в самій точці a aпохідна функції g(x) не дорівнює нулю ( g"(x aрівні між собою і дорівнюють нулю:

.

Правило Лопіталя для випадку межі двох нескінченно великих величин. Нехай функції f(x) та g(x) мають похідні (тобто диференційовані) в деякій околиці точки a. А в самій точці aвони можуть не мати похідних. При цьому на околиці точки aпохідна функції g(x) не дорівнює нулю ( g"(x)≠0 ) та межі цих функцій при прагненні іксу до значення функції в точці aрівні між собою і рівні нескінченності:

.

Тоді межа відношення цих функцій дорівнює межі відношення їх похідних:

Іншими словами, для невизначеностей виду 0/0 або ∞/∞ межа відношення двох функцій дорівнює межі відношення їх похідних, якщо останній існує (кінцевий, тобто рівний певному числу, або нескінченний, тобто рівний нескінченності).

Зауваження.

1. Правила Лопіталя застосовні і тоді, коли функції f(x) та g(x) не визначені при x = a.

2. Якщо при обчисленні межі відношення похідних функцій f(x) та g(x) знову приходимо до невизначеності виду 0/0 або ∞/∞, то правила Лопіталя слід застосовувати багаторазово (мінімум двічі).

3. Правила Лопіталя застосовні і тоді, коли аргумент функцій (ікс) прагне не до кінцевого числа a, а до нескінченності ( x → ∞).

До невизначеності видів 0/0 та ∞/∞ можуть бути зведені і невизначеності інших видів.

Розкриття невизначеностей видів "нуль ділити на нуль" і "нескінченність ділити на нескінченність"

приклад 1.

x=2 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому похідну кожної функції і отримуємо

У чисельнику обчислювали похідну многочлена, а знаменнику - похідну складної логарифмічної функції. Перед останнім знаком рівності обчислювали звичайний межа, підставляючи замість ікса двійку.

приклад 2.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка у задану функцію значення x

приклад 3.Обчислити межу відношення двох функцій, користуючись правилом Лопіталя:

Рішення. Підстановка у задану функцію значення x=0 призводить до невизначеності виду 0/0. Тому обчислюємо похідні функцій у чисельнику та знаменнику та отримуємо:

приклад 4.Обчислити

Рішення. Підстановка в задану функцію значення ікса, що дорівнює плюсу нескінченності, призводить до невизначеності виду ∞/∞. Тому застосуємо правило Лопіталя:

Зауваження. Переходимо до прикладів, у яких правило Лопіталя доводиться застосовувати двічі, тобто приходити до межі відносин других похідних, оскільки межа відношення перших похідних є невизначеністю виду 0/0 або ∞/∞.

Розкриття невизначеностей виду "нуль помножити на нескінченність"

приклад 12.Обчислити

.

Рішення. Отримуємо

У цьому прикладі використано тригонометричну тотожність.

Розкриття невизначеностей видів "нуль у ступені нуль", "нескінченність у ступені нуль" та "один у ступені нескінченність"

Невизначеності виду, або зазвичай наводяться до вигляду 0/0 або ∞/∞ за допомогою логарифмування функції виду

Щоб обчислити межу виразу, слід використовувати логарифмічну тотожність, окремим випадком якого є і властивість логарифму .

Використовуючи логарифмічну тотожність та властивість безперервності функції (для переходу за знак межі), межу слід обчислювати таким чином:

Окремо слід знаходити межу вираження у показнику ступеня та зводити eу знайдений ступінь.

приклад 13.

Рішення. Отримуємо

.

.

приклад 14.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя

Рішення. Отримуємо

Обчислюємо межу вираження у показнику ступеня

.

.

приклад 15.Обчислити, користуючись правилом Лопіталя

Якщо число поділити на нескінченність, то приватне буде прагнути нуля? Продовження всередині і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Оленька[новичок]
всі 0
Krab Вark
Оракул
(56636)
Ні. Точний нуль. При прагненні дільника до нескінченності приватне прагнутиме нуля. А, якщо ділимо не на число, що прагне до нескінченності, а на саму нескінченність (до речі, вона, якщо говорити точніше, офіційно числом взагалі не вважається, а вважається спеціальним символом, що доповнює позначення чисел) - точно нуль.

Відповідь від Аугеус Володимир[гуру]
Нуль хоч поділи, хоч помножуй на будь-яке число все одно нуль буде!

Відповідь від 1 23 [гуру]
якщо якась хер прагне до нуля то множити її на щось кінцеве (число або обмежену функцію) безпальна, тому що все-рна ана прагне до нуля.
Але ось якщо помножити її на якусь штуку, яка прагне до безконечності, - тут можуть бути варіанти.

Відповідь від Krab Вark[гуру]
При поділі на нескінченність будь-якого числа вийде нуль. Точний нуль, ніякого прагнення до нуля. І потім, на яке число його не множи, нуль. А результатом розподілу нуля на будь-яке число, крім нуля, буде нуль, тільки при розподілі нуля на нуль результат не визначений, як приватне годиться будь-яке число.