Тема урока: Арифметичні операції у позиційних системах числення.

9 клас

Завдання уроку:

    Дидактична: ознайомити учнів зі складанням, відніманням, множенням та розподілом у двійковій системі числення та провести первинне відпрацювання навички проведення цих дій.

    Виховна: розвивати інтерес учнів до пізнання нового, показати можливість нестандартного підходу до обчислень.

    Розвиваюча: розвивати увагу, строгість мислення, вміння розмірковувати.

Структура уроку.

    Оргмомент –1 хв.

    Перевірка домашнього завдання за допомогою усного тесту15 хвилин.

    Домашнє завдання -2 хв.

    Розв'язання задач з одночасним аналізом та самостійним відпрацюванням матеріалу –25 хв.

    Підбиття підсумків уроку –2 хв.

ХІД УРОКУ

    Оргмомент.

    Перевірка домашнього завдання (усний тест) .

Вчитель послідовно читає запитання. Учні уважно слухають питання, не записуючи його. Записується лише відповідь, причому дуже коротко. (Якщо можна відповісти одним словом, то записується лише це слово).

    Що таке система числення? (-це знакова система, в якій числа записуються за певними правилами за допомогою символів деякого алфавіту, який називають цифрами )

    Які системи числення ви знаєте?( непозиційні та позиційні )

    Яка система називається непозиційною? (ССЧ називається непозиційною, якщо кількісний еквівалент (кількісне значення) цифри в числі не залежить від її положення у записі числа ).

    Чому дорівнює основу позиційної ССЧ. (дорівнює кількості цифр, що становлять її алфавіт )

    Якою математичною дією треба скористатися, щоб перевести ціле число з десяткової ССЧ до будь-якої іншої? (Поділом )

    Що потрібно зробити, щоб перевести число з десяткової ССЧ до двійкової? (Послідовно ділити на 2 )

    У скільки разів зменшиться число 11,1 2 при перенесенні коми на один знак вліво? (в 2 рази )

А тепер послухаємо вірш про незвичайну дівчинку та відповімо на запитання. (Звучить вірш )

НЕЗВИЧАЙНА ДІВЧИНКА

Їй було тисяча сто років,
Вона в сто перший клас ходила,
У портфелі сто книг носила.
Все це правда, а не марення.

Коли, пилячи десятком ніг,
Вона йшла дорогою.
За нею завжди бігло цуценя
З одним хвостом, зате стоногий.

Вона ловила кожен звук
Своїми десятьма вухами,
І десять засмаглих рук
Портфель та повідець тримали.

І десять темно-синіх очей
Розглядали світ звично,
Але стане все зовсім звичайним,
Коли зрозумієте мою розповідь.

/ М. Стариків /

І скільки ж років було дівчинці? (12 років ) У який вона клас ходила? (5 клас ) Скільки у неї рук і ніг було? (2 руки, 2 ноги ) Звідки у цуценя 100 ніг? (4 лапи )

Після виконання тесту відповіді вимовляються вголос самими учнями, проводиться самоперевірка і учні самі виставляють собі оцінки.

Критерій:

    10 правильних відповідей (можна невеликий недолік) - "5";

    9 або 8 - "4";

    7, 6 – “3”;

    інші - "2".

ІІ. Завдання додому (2 хв)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

ІІІ. Робота з новим матеріалом

Арифметичні операції у двійковій системі числення.

Арифметика двійкової системи числення ґрунтується на використанні таблиць додавання, віднімання та множення цифр. Арифметичні операнди розташовуються у верхньому рядку та у першому стовпці таблиць, а результати на перетині стовпців та рядків:

0

1

1

1

Додавання.

Таблиця двійкового додавання гранично проста. Тільки одному випадку, коли виробляється додавання 1+1, відбувається перенесення у старший розряд.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Віднімання.

При виконанні операції віднімання завжди з більшого за абсолютною величиною числа віднімається менше, і ставиться відповідний знак. У таблиці віднімання 1 з рисою означає позику у старшому розряді. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

множення

Операція множення виконується з використанням таблиці множення за звичайною схемою, що застосовується в десятковій системі числення з послідовним множенням на чергову цифру множника. 11001*1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Множення зводиться до зсувів множини і додавань.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Підбиття підсумків уроку

Картка для додаткової роботи учнів.

Виконайте арифметичні операції:

А) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

Б) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Додавання. В основі складання чисел у двійковій системі числення лежить таблиця складання однорозрядних двійкових чисел (табл. 6).

Важливо звернути увагу, що при складанні двох одиниць проводиться перенесення в старший розряд. Це відбувається тоді, коли величина числа стає рівною або більшою за основу системи числення.

Додавання багаторозрядних двійкових чисел виконується відповідно до наведеної таблиці додавання з урахуванням можливих переносів з молодших розрядів у старші. Як приклад складемо в стовпчик двійкові числа:

Перевіримо правильність обчислень додаванням у десятковій системі числення. Перекладемо двійкові числа в десяткову систему числення та складемо їх:

Віднімання. В основі віднімання двійкових чисел лежить таблиця віднімання однорозрядних двійкових чисел (табл. 7).

При відніманні з меншого числа (0) більшого (1) проводиться позика зі старшого розряду. У таблиці позику позначено 1 з характеристикою.

Віднімання багаторозрядних двійкових чисел реалізується відповідно до цієї таблиці з урахуванням можливих позик у старших розрядах.

Наприклад зробимо віднімання двійкових чисел :

множення. В основі множення лежить таблиця множення однорозрядних двійкових чисел (табл. 8).

Множення багаторозрядних двійкових чисел здійснюється відповідно до цієї таблиці множення за звичайною схемою, що застосовується в десятковій системі числення, з послідовним множенням множника на чергову цифру множника. Розглянемо приклад множення двійкових чисел

Приклад 1. Знайдіть X, якщо Для перетворення лівої частини рівності послідовно скористаємося законом де Моргана для логічного складання та законом подвійного заперечення: Відповідно до розподільчого закону для логічного складання: Відповідно до закону виключення третього та закону виключення констант: Отриману ліву частину прирівняємо правою: X = В Остаточно отримаємо: X = В. Приклад 2. Спростіть логічний вираз Правильність спрощення перевірте за допомогою таблиць істинності для вихідного та отриманого логічного виразу. Відповідно до закону загальної інверсії для логічного складання (першого закону де Моргана) і закону подвійного заперечення: Відповідно до розподільного (дистрибутивного) закону для логічного складання: Відповідно до закону протиріччя: Відповідно до закону ідемпотентності Підставляємо значення і, використовуючи переміщувальний (комутативний) закон і : Відповідно до закону виключення (склеювання) Підставляємо значення та отримуємо: Відповідно до закону виключення констант для логічного складання та закону ідемпотентності: Підставляємо значення та отримуємо: Відповідно до розподільчого (дистрибутивного) закону для логічного множення: Відповідно до закону виключення третього: Підставляємо значення та остаточно отримуємо: 2 Логічні основи комп'ютера Дискретний перетворювач, який після обробки вхідних двійкових сигналів видає на виході сигнал, що є значенням однієї з логічних операцій, називається логічним елементом. Нижче наведено умовні позначення (схеми) базових логічних елементів, що реалізують логічне множення (кон'юнктор), логічне додавання (диз'юнктор) та заперечення (інвертор). Мал. 3.1. Кон'юнктор, диз'юнктор та інвертор Пристрої комп'ютера (суматори в процесорі, комірки пам'яті в оперативній пам'яті та ін.) будуються на основі базових логічних елементів. Приклад 3. За заданою логічною функцією F(A, B) = =B&AÚB&A побудувати логічну схему. Побудову необхідно починати з логічної операції, яка має виконуватися останньою. У разі такий операцією є логічне складання, отже, на виході логічної схеми може бути диз'юнктор. На нього сигнали подаються з двох кон'юнкторів, на які в свою чергу подаються один нормальний вхідний сигнал і один інвертований (з інверторів). Приклад 4. Логічна схема має два входи X та Y. Визначити логічні функції F1(X,Y) та F2(X,Y), які реалізуються на її двох виходах. Функція F1(X,Y) реалізується виході першого кон'юнктора, тобто F1(X,Y) = X&Y. Одночасно сигнал кон'юнктора подається на вхід інвертора, на виході якого реалізується сигнал X&Y, який, у свою чергу, подається на один з входів другого кон'юнктора. На інший вхід другого кон'юнктора подається сигнал Xv Y з диз'юнктора, отже, функція F2(X,Y) = X&Y&(XvY). Розглянемо схему складання двох n-розрядних двійкових чисел. При додаванні цифр i-ro розряду складаються ai і bi, а також Pi-1 - перенесення з i-1 розряду. Результатом буде st – сума та Pi – перенесення у старший розряд. Таким чином, однорозрядний двійковий суматор - це пристрій із трьома входами та двома виходами. Приклад 3.15. Побудувати таблицю істинності однорозрядного двійкового суматора, скориставшись таблицею додавання двійкових чисел. Тригер. Для зберігання інформації в оперативній пам'яті комп'ютера, а також у внутрішніх регістрах процесора використовують тригери. Тригер може бути в одному з двох стійких станів, що дозволяє запам'ятовувати, зберігати і зчитувати 1 біт інформації. Найпростіший тригер - .RS-тригер. Він складається з двох логічних елементів АБО-НЕ, які реалізують логічну функцію F9 (див. таблицю 3.1). Входи та виходи елементів з'єднані кільцем: вихід першого з'єднаний з входом другого та вихід другого - з входом першого. Тригер має два входи S (від англ. Set - установка) і Я (від англ. Reset - скидання) і два виходи Q (прямий) і Q (інверсний). Мал. 2 Логічна схема RS-тригера Приклад 3.16. Побудувати таблицю, що описує стан входів та виходів RS-тригера. Якщо входи надходять сигнали R = 0 і S = 0, то тригер перебуває у режимі зберігання, на виходах Q і Q зберігаються встановлені раніше значення. Якщо на настановний вхід S надходить на короткий час сигнал 1, то тригер переходить у стан 1 і після того, як сигнал на вході S дорівнюватиме 0, тригер буде зберігати цей стан, тобто зберігатиме 1. При подачі 1 на вхід R тригер перейде у стан 0. Подача на обидва входи S та R логічної одиниці може призвести до неоднозначного результату, тому така комбінація вхідних сигналів заборонена. Завдання для самостійного виконання 1. Існує 16 логічних функцій від двох змінних (див. таблицю 3.1). Побудуйте їх логічні схеми з допомогою базових логічних елементів: кон'юнктора, диз'юнктора та інвертора. 2. Довести, що розглянута у прикладі 3.10 логічна схема є однорозрядним двійковим напівсуматором (не враховується перенесення з молодшого розряду). 3. Довести, побудувавши таблицю істинності, що логічна функція Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) визначає перенесення до старшого розряду при складанні двійкових чисел (А і В - доданки, Ро - перенесення з молодшого розряду). 4. Довести, побудувавши таблицю істинності, що логічна функція S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) визначає суму при додаванні двійкових чисел (А і В - доданки, Ро - перенесення з молодшого розряду). 5. Побудувати логічну схему однорозрядного двійкового суматора. Яка кількість базових логічних елементів потрібна для реалізації 64-розрядного суматора двійкових чисел? 6. Яка кількість базових логічних елементів утворюють оперативну пам'ять сучасного комп'ютера обсягом 64 Мбайт? 1. Запишіть у розгорнутому вигляді числа: а) A8 = 143511; г) А10 = 143,511; 6) А2 = 100111; д) А8 = 0,143511; в) А16 = 143511; е) А1е = 1АЗ, 5С1. 2. Запишіть у згорнутій формі такі числа: а)А10=9-101+1*10+5"10-1+3-10~2; б)А16=А-161+1-16°+7-16" 1+5-16~2. 3. Чи правильно записані числа у відповідних системах числення: а) А10 = А, 234; в) А16 = 456,46; б) А8 = -5678; г) А2 = 22,2? 4. Яку мінімальну основу має система числення, якщо в ній записано числа 127, 222, 111? Визначте десятковий еквівалент даних чисел у знайденій системі числення. 5. Чому дорівнює десятковий еквівалент чисел 101012, 101018 1010116? 6. Тризначне десяткове число закінчується цифрою 3. Якщо цю цифру перемістити на два розряди вліво, тобто з неї буде починатися запис нового числа, то це нове число буде на одиницю більше потроєного вихідного числа. Знайдіть вихідне число. 2.22.Шестизначне десяткове число починається зліва цифрою 1. Якщо цю цифру перенести з першого місця зліва на останнє місце справа, то значення утвореного числа буде втричі більше від вихідного. Знайдіть вихідне число. 2.23. Яке з чисел 1100112, 1114, 358 і 1В16 є: а) найбільшим; б) найменшим? 2.27.Чи існує трикутник, довжини сторін якого виражаються числами 12g, 1116 та 110112? 2.28.Яке найбільше десяткове число можна записати трьома цифрами у двійковій, вісімковій та шістнадцятковій системах зчислення? 2.29. «Несерйозні» питання. Коли 2x2 = 100? Коли 6x6 = 44? Коли 4×4=20? 2.30. Випишіть цілі десяткові числа, що належать наступним числовим проміжкам: а) ; б); в). 2.31.У класі 11112 дівчаток та 11002 хлопчиків. Скільки учнів у класі? 2.32.У класі 36д учнів, з них 21q дівчаток і 15q хлопчиків. У якій системі числення вівся рахунок учнів? 2. 33.В саду 100q фруктових дерев, з них 33q яблуні, 22q груші, 16q злив та 5q вишень. У якій системі числення пораховано дерева? 2.34.Було 100q яблука. Після того, як кожне з них розрізали пополам, стало 1000q половинок. У системі числення з яким підставою вели рахунок? 2.35.У мене 100 братів. Молодшому 1000 років, а старшому 1111 років. Старший навчається у 1001 класі. Чи може бути таке? 2.36.Колись був ставок, у центрі якого зростав один листок водяної лілії. Щодня кількість такого листя подвоювалася, і на десятий день вся поверхня ставка вже була заповнена листям лілій. Скільки днів знадобилося, щоб заповнити листям половину ставка? Скільки листя було після дев'ятого дня? 2.37.Шляхом підбору ступенів числа 2, що в сумі дають задане число, переведіть у двійкову систему числення наступні числа: а) 5; о 12; д) 32; б) 7; г) 25; е) 33. Перевірити правильність перекладу за допомогою Advanced Converter. 2.3. Переведення чисел з однієї системи числення до іншої 2.3.1. Переклад цілих чисел з однієї системи числення в іншу Можна сформулювати алгоритм переведення цілих чисел із системи з підставою р в систему з підставою q: 1. Підстава нової системи числення виразити цифрами вихідної системи числення і всі наступні дії проводити у вихідній системі числення. 2. Послідовно виконувати розподіл даного числа та одержуваних цілих приватних на підставу нової системи числення до тих пір, поки не отримаємо приватне, менше дільника. 3. Отримані залишки, що є цифрами числа бової системи числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення. 4. Скласти число у новій системі числення, записуючи його, починаючи з останнього залишку. Приклад 2.12.Перевести десяткове число 17310 у вісімкову систему числення: Отримуємо: 17310=2558. Приклад 2.13.Перевести десяткове число 17310 в шестнад-цатеричну систему числення: - Отримуємо: 17310 = AD16. Приклад 2.14.Перевести десяткове число 1110 двійкову систему числення. Отримуємо: 111O = 10112. Приклад 2.15. Іноді зручніше записати алгоритм перекладу у вигляді таблиці. Переведемо десяткове число 36310 у двійкове число. 2.3.2. Переклад дробових чисел з однієї системи числення в іншу Можна сформулювати алгоритм перекладу правильного дробу з підставою р в дріб з підставою q: 1. Основу нової системи числення виразити цифрами вихідної системи числення і всі наступні дії проводити у вихідній системі числення. 2. Послідовно множити дане число та одержувані дробові частини творів на основу нової системи доти, доки дробова частина твору не стане рівною нулю або буде досягнуто необхідної точності представлення числа. 3. Отримані цілі частини творів, які є цифрами числа в новій системі числення, привести у відповідність до алфавіту нової системи числення. 4. Скласти дробову частину числа в новій системі числення, починаючи з цілої частини першого твору. Приклад 2.16. Перевести число 0,6562510 у вісімкову систему числення. Приклад 2.17. Перевести число 0,6562510 в шістнадцяткову систему числення. приклад 2.18. Перевести десятковий дріб 0,562510 у двійкову систему числення. Приклад 2.19.Перевести в двійкову систему числення десятковий дріб 0.710. Очевидно, що цей процес може продовжуватися нескінченно, даючи нові і нові знаки в зображенні двійкового еквівалента числа 0,710. Так, за чотири кроки ми отримуємо число 0,10112, а за сім кроків число 0,10110012, яке є точнішим уявленням числа 0,710 у двійковій системі числення, і так далі. Такий нескінченний процес обривають на деякому кроці, коли вважають, що отримана необхідна точність уявлення числа. 2.3.3. Переклад довільних чисел Переклад довільних чисел, тобто чисел, що містять цілу та дробову частини, здійснюється у два етапи. Окремо перекладається ціла частина, окремо – дробова. У підсумковому записі отриманого числа ціла частина відокремлюється від дробової коми. Приклад 2.20.Перевести число 17,2510 двійкову систему числення. Перекладаємо цілу частину: Перекладаємо дрібну частину: Приклад 2.21. Перевести число 124,2510 у вісімкову систему. 2.3.4. Переклад чисел із системи числення з основою 2 у систему числення з основою 2п і назад Переклад цілих чисел- Якщо основа q-їчної системи числення є ступенем числа 2, то переведення чисел з q-їчної системи числення в двійкову і назад можна проводити за більш простим правилам. Для того щоб ціле двійкове число записати в системі числення з основою q = 2", потрібно: 1. Двійкове число розбити праворуч наліво на групи по п цифр у кожній. 2. Якщо в останній лівій групі виявиться менше п розрядів, то її треба доповнити зліва нулями до потрібного числа розрядів 3. Розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою в системі числення з підставою q = 2. Приклад 2.22. Розбиваємо число праворуч наліво на тріади і під кожною з них записуємо відповідну вісімкову цифру: Отримуємо вісімкове уявлення вихідного числа: 5410628. Приклад 2.23. Число 10000000001111100001112 переведемо в шістнадцяткову систему числення. Розбиваємо число праворуч наліво на зошити і під кожною з них записуємо відповідну шістнадцяткову цифру: Отримуємо шістнадцяткове уявлення вихідного числа: 200F8716. Переклад дробових чисел. Для того, щоб дробове двійкове число записати в системі числення з основою q = 2", потрібно: 1. Двійкове число розбити зліва направо на групи по п цифр у кожній. 2. Якщо в останній правій групі виявиться менше п рядів, то її 3. Розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число і записати її відповідною цифрою в системі числення з основою q = 2 п. Приклад 2.24. праворуч на тріади і під кожною з них записуємо відповідну восьмеричну цифру: Отримуємо восьмеричне подання вихідного числа: 0,5428.Приклад 2.25. відповідну шістнадцяткову цифру: Отримуємо шістнадцяткове уявлення вихідного числа: 0,80316. Переклад довільних чисел. ное двійкове число записати в системі числення з підставою q - 2n, потрібно: [1. Цілу частину даного двійкового числа розбити праворуч на ліво, а дробову - зліва направо на групи по п цифр у кожній. 2. Якщо в останніх лівій та/або правій групах виявиться менше n розрядів, то їх треба доповнити ліворуч та/або праворуч нулями до потрібного числа розрядів. 3. Розглянути кожну групу як n-розрядне двійкове число та записати її відповідною цифрою у системі числення з основою q = 2п. Приклад 2.26. Число 111100101,01112 переведемо у вісімкову систему числення. Розбиваємо цілу та дробову частини числа на тріади і під кожною з них записуємо відповідну вісімкову цифру: Отримуємо вісімкове уявлення вихідного числа: 745,34S. Приклад 2.27. Число 11101001000,110100102 переведемо в шістнадцяткову систему числення. Розбиваємо цілу та дробову частини числа на зошити та під кожною з них записуємо відповідну шістнадцяткову цифру: Отримуємо шістнадцяткове уявлення вихідного числа: 748, D216. Для того, щоб довільне число, записане в системі числення з основою q = 2, перевести в двійкову систему числення, потрібно кожну цифру цього числа замінити її n-значним еквівалентом у двійковій системі числення. . Приклад2.28. Перекладемо шістнадцяткове число 4АС351б у двійкову систему числення. Відповідно до алгоритму: i Отримуємо: 10010101100001101012. Завдання для самостійного виконання 2.38. Заповніть таблицю, у кожному рядку якої те саме ціле число має бути записано в різних системах числення. 2.39. Заповніть таблицю, в кожному рядку якої те саме дробове число має бути записано в різних системах числення. 2.40. Заповніть таблицю, у кожному рядку якої те саме довільне число (число може містити як цілу, так і дробову частину) повинно бути записано в різних системах числення. 2.4. Арифметичні операції у позиційних системах числення

Арифметичні операції у двійковій системі числення.


Приклад 2.29.Розглянемо кілька прикладів складання двійкових чисел:

Віднімання. При виконанні операції віднімання завжди від більшого за абсолютною величиною числа віднімається менше і ставиться відповідний знак. У таблиці віднімання 1 з рисою означає позику у старшому розряді.


Приклад 2.31. Розглянемо кілька прикладів множення двійкових чисел:

Ви бачите, що множення зводиться до зсувів множини і додань.

Розподіл. Операція поділу виконується за алгоритмом, подібним до алгоритму виконання операції поділу в десятковій системі числення.


Додавання в інших системах числення. Нижче наведено таблицю додавання у восьмеричній системі числення:

2.42. Розставте знаки арифметичних операцій так, щоб були вірні наступні рівності у двійковій системі:

Відповідь для кожного числа запишіть у зазначеній та десятковій системах числення. 2.44. Яке число передує кожному з даних:

2.45. Випишіть цілі числа, що належать наступним числовим проміжкам:

а) у двійковій системі;

б) у вісімковій системі;

в) у шістнадцятковій системі.

Відповідь для кожного числа запишіть у зазначеній та десятковій системах числення.



2.47. Знайдіть середнє арифметичне наступних чисел:

2.48.Суму вісімкових чисел 17 8 + 1700 8 + 170 000 3 + 17000000 8 +
+ 17000000008 перевели в шістнадцяткову систему числення.
Знайдіть у записі числа, що дорівнює цій сумі, п'яту цифру зліва.


Відновіть невідомі цифри, позначені знаком питання,
наступних прикладах на додавання та віднімання, визначивши спочатку
ле, в якій системі зображені числа.

Арифметичні операції у позиційних системах числення

Розглянемо докладніше арифметичні операції у двійковій системі числення. Арифметика двійкової системи числення ґрунтується на використанні таблиць додавання, віднімання та множення цифр. Арифметичні операнди розташовуються у верхньому рядку та у першому стовпці таблиць, а результати на перетині стовпців та рядків:

Розглянемо докладно кожну операцію.

Додавання.Таблиця двійкового додавання гранично проста. Тільки в одному випадку, коли проводиться додавання 1+1, відбувається перенесення до старшого розряду. ,

Віднімання.При виконанні операції віднімання завжди від більшого за абсолютною величиною числа віднімається менше і ставиться відповідний знак. У таблиці віднімання 1 з рисою означає позику у старшому розряді.

множення.Операція множення виконується з використанням таблиці множення за звичайною схемою, що застосовується в десятковій системі числення з послідовним множенням на чергову цифру множника.

Розподіл.Операція поділу виконується за алгоритмом, подібним до алгоритму виконання операції поділу в десятковій системі числення.

Примітка: При додаванні двох чисел, рівних 1, в даному розряді виходить 0, а 1 переноситься в старший розряд.

Приклад_21: Дані числа 101 (2) та 11 (2) . Знайти суму цих чисел.

де 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10).

Перевірка: 5+3=8.

При відніманні з 0 одиниці, займається одиниця зі старшого найближчого розряду, відмінного від 0. При цьому, одиниця зайнята у старшому розряді, дає 2 одиниці в молодшому розряді та по одиниці у всіх розрядах між старшим та молодшим.

Приклад_22: Дані числа 101 (2) та 11 (2) . Знайти різницю цих чисел.

де 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 10 (2) = 2 (10).

Перевірка: 5-3 = 2.

Операція множення зводиться до багаторазового зсуву та додавання.

Приклад_23: Дані числа 11 (2) та 10 (2) . Знайти добуток цих чисел.

де 11 (2) = 3 (10), 10 (2) = 2 (10), 110 (2) = 6 (10).

Перевірка: 3 * 2 = 6.

Арифметичні операції у восьмеричній системі числення

При додаванні двох чисел, у сумі рівних 8, у цьому розряді виходить 0, а 1-ця переноситься у старший розряд.

Приклад_24: Дані числа 165 (8) та 13 (8) . Знайти суму цих чисел.

де 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10).

При відніманні з меншого числа більшого займається одиниця зі старшого найближчого розряду, відмінного від 0. При цьому, одиниця зайнята в старшому розряді, дає 8 у молодшому розряді.

Приклад_25: Дані числа 114 (8) та 15 (8) . Знайти різницю цих чисел.

де 114 (8) = 76 (10), 15 (8) = 13 (10), 77 (8) = 63 (10).

Арифметичні операції у шістнадцятковій системі числення

При додаванні двох чисел, у сумі рівних 16, у цьому розряді записують 0, а 1-ця переносять у старший розряд.

Приклад_26: Дані числа 1B5 (16) та 53 (16) . Знайти суму цих чисел.

де 1B5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10).

При відніманні з меншого числа більшого, займається одиниця зі старшого найближчого розряду, відмінного від 0. При цьому, одиниця зайнята у старшому розряді, дає 16 у молодшому розряді.

Приклад_27: Дані числа 11A (16) та 2C (16) . Знайти різницю цих чисел.

де 11A (16) = 282 (10), 2C (16) = 44 (10), EE (16) = 238 (10).

Кодування даних в ЕОМ

Дані в комп'ютері подаються у вигляді коду, який складається з одиниць та нулів у різній послідовності.

Код- Набір умовних позначень для подання інформації. Кодування – процес представлення інформації як коду.

Коди чисел

При виконанні арифметичних операцій на ЕОМ застосовують прямий, зворотний і додатковий коди чисел.

Прямий код

Прямийкод (подання у вигляді абсолютної величини зі знаком) двійкового числа - це саме двійкове число, в якому всі цифри, що зображують його значення, записуються як у математичному записі, а знак числа записується двійковою цифрою.

Цілі числа можуть бути представлені в комп'ютері зі знаком або без знака.

Цілі числа без знака зазвичай займають у пам'яті один або два байти. Для зберігання цілих чисел зі знаком відводиться один, два чи чотири байти, причому старший (крайній лівий) розряд відводиться під знак числа. Якщо число позитивне, то цей розряд записується 0, якщо негативне,- то 1.

Приклад_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Позитивні числа в ЕОМ завжди надаються за допомогою прямого коду. Прямий код числа повністю збігається із записом самого числа в комірці машини. Прямий код від'ємного числа відрізняється від прямого коду відповідного додатного числа лише вмістом знакового розряду.

Прямий код використовується при зберіганні чисел у пам'яті ЕОМ, а також при виконанні операцій множення та поділу, але формат подання чисел у прямому коді незручний для використання у обчисленнях, оскільки додавання та віднімання позитивних та негативних чисел виконується по-різному, а тому потрібно аналізувати знакові розряди операндів. Тому прямий код практично не застосовується при реалізації АЛУ арифметичних операцій над цілими числами. Але негативні цілі числа не видаються в ЕОМ за допомогою прямого коду. Натомість формату широкого поширення набули формати представлення чисел у зворотному та додатковому кодах.

Зворотній код

Зворотній кодпозитивного числа збігається з прямим, а при записі від'ємного числа усі його цифри, крім цифри, що зображує знак числа, замінюються на протилежні (0 замінюється на 1, а 1 – на 0).

Приклад_29:

Приклад_30:

Для відновлення прямого коду від'ємного числа із зворотного коду треба всі цифри, крім цифри, що зображує знак числа, замінити на протилежні.

Додатковий код

Додатковий кодпозитивного числа збігається з прямим, а код негативного числа утворюється шляхом додавання 1 до зворотного коду.

Приклад_31:

Приклад_32:

Приклад_33:

Для цілого числа –32 (10) записати додатковий код.

1. Після переведення числа 32 (10) у двійкову систему числення отримаємо:

32 (10) =100000 (2) .

2. Прямий код позитивного числа 32 (10) дорівнює 00100000.

3. Для від'ємного числа -32 (10) прямий код дорівнює 1010 0000.

4. Зворотний код числа -32 (10) дорівнює 11011111.

5. Додатковий код числа -32 (10) дорівнює 11100000.

Приклад_34:

Додатковий код числа дорівнює 0011 1011. Знайти значення числа у десятковій системі числення.

1. Перший (знаковий) розряд числа 0 011 1011 дорівнює 0, отже число позитивне.

2. У позитивного числа додатковий, зворотний та прямий код збігаються.

3. Число в двійковій системі числення отримуємо із запису прямого коду - 111011 (2) (нулі зі старших розрядів відкидаємо).

4. Число 111011 (2) після переведення в десяткову систему числення дорівнює 59 (10) .

Приклад_35:

Додатковий код числа дорівнює 1011 1011. Знайти значення числа у десятковій системі числення.

1. Знаковий розряд числа 1 011 1011 дорівнює 1, отже число негативне.

2. Для визначення зворотного коду числа із додаткового коду віднімаємо одиницю. Зворотний код дорівнює 1 011 1010.

3. Прямий код отримуємо із зворотного заміною всіх двійкових цифр числа на протилежні (1 на 0, 0 на 1). Прямий код числа дорівнює 1 1000101 (у знаковому розряді записуємо 1).

4. Число в двійковій системі числення отримуємо із запису прямого коду -100 0101 (2) .

4. Число -1000101 (2) після переведення в десяткову систему числення дорівнює -69 (10) .


Подібна інформація.