Якщо число поділити на нескінченність, то приватне буде прагнути нуля? Продовження всередині і отримав найкращу відповідь

Відповідь від Оленька[новичок]
всі 0
Krab Вark
Оракул
(56636)
Ні. Точний нуль. При прагненні дільника до нескінченності приватне прагнутиме нуля. А, якщо ділимо не на число, що прагне до нескінченності, а на саму нескінченність (до речі, вона, якщо говорити точніше, офіційно числом взагалі не вважається, а вважається спеціальним символом, що доповнює позначення чисел) - точно нуль.

Відповідь від Аугеус Володимир[гуру]
Нуль хоч поділи, хоч помножуй на будь-яке число все одно нуль буде!

Відповідь від 1 23 [гуру]
якщо якась хер прагне до нуля то множити її на щось кінцеве (число або обмежену функцію) безпалезна, тому що все-рна ана прагне до нуля.
Але ось якщо помножити її на якусь штуку, яка прагне до безконечності, - тут можуть бути варіанти.

Відповідь від Krab Вark[гуру]
При поділі на нескінченність будь-якого числа вийде нуль. Точний нуль, ніякого прагнення до нуля. І потім, на яке число його не множи, нуль. А результатом розподілу нуля на будь-яке число, крім нуля, буде нуль, тільки при розподілі нуля на нуль результат не визначений, як приватне годиться будь-яке число.

Дуже часто багато хто задається питанням, чому ж не можна використовувати поділ на нуль? У цій статті ми детально розповімо про те, звідки з'явилося це правило, а також про те, які дії можна виконувати з нулем.

Вконтакте

Нуль можна назвати однією з найцікавіших цифр. Ця цифра не має значення, вона означає порожнечу у буквальному значенні слова. Однак, якщо нуль поставити поруч із якоюсь цифрою, то значення цієї цифри побільшає в кілька разів.

Число дуже загадкове саме собою. Його використав ще давній народ майя. У майя нуль означав "початок", а відлік календарних днів також починався з нуля.

Дуже цікавим фактом є те, що знак нуля та знак невизначеності у них були схожі. Цим майя хотіли показати, що нуль є таким самим тотожним знаком, як і невизначеність. У Європі позначення нуля з'явилося порівняно недавно.

Також багатьом відома заборона, пов'язана з нулем. Будь-яка людина скаже, що на нуль не можна ділити. Це кажуть вчителі у школі, а діти зазвичай вірять їм у слово. Зазвичай дітям просто не цікаво це знати, або вони знають, що буде, якщо, почувши важливу заборону, відразу ж запитати «А чому не можна ділити на нуль?». Але коли стаєш старшим, то прокидається інтерес, і хочеться більше дізнатися про причини такої заборони. Проте є розумний доказ.

Дії з нулем

Спочатку необхідно визначити, які дії з нулем можна виконувати. Існує кілька видів дій:

• Додавання;
• множення;
• Віднімання;
• Поділ (нуля на число);
• Зведення в ступінь.

Важливо!Якщо при додаванні до будь-якого числа додати нуль, то це число залишиться колишнім і не змінить свого числового значення. Те саме станеться, якщо від будь-якого числа відібрати нуль.

При множенні і розподілі все трохи інакше. Якщо помножити будь-яке число на нуль, те й твір теж стане нульовим.

Розглянемо приклад:

Запишемо це як додавання:

Усього складаються нулів п'ять, от і виходить, що

Спробуємо один помножити на нуль. Результат також буде нульовим.

Нуль також можна розділити на будь-яке інше число, яке не дорівнює йому. У цьому випадку вийде , значення якої також буде нульовим. Це правило діє і для негативних чисел. Якщо нуль ділити на негативне число, то вийде нуль.

Також можна звести будь-яке число у нульовий ступінь. У такому разі вийде 1. При цьому важливо пам'ятати, що вираз «нуль у нульовому ступені» абсолютно безглуздий. Якщо спробувати звести нуль у будь-яку міру, то вийде нуль. Приклад:

Користуємося правилом множення, одержуємо 0.

Так чи можна ділити на нуль

Отож ми й підійшли до головного питання. Чи можна ділити на нульвзагалі? І чому ж не можна розділити число на нуль при тому, що решта всіх дій з нулем цілком існують і застосовуються? Для відповіді це питання необхідно звернутися до вищої математики.

Почнемо взагалі з визначення поняття, що таке нуль? Шкільні вчителі стверджують, що нуль це ніщо. Порожнеча. Тобто, коли ти кажеш, що у тебе 0 ручок, це означає, що у тебе зовсім немає ручок.

У вищій математиці поняття «нуль» ширше. Воно зовсім не означає порожнечу. Тут нуль називають невизначеністю, тому що якщо провести невелике дослідження, то виходить, що при розподілі нуля на нуль ми можемо в результаті отримати будь-яке інше число, яке не обов'язково може бути нулем.

Чи знаєте ви, що ті прості арифметичні дії, які ви вивчали в школі, не такі рівноправні між собою? Найбільш базовими діями є додавання та множення.

Для математиків немає понять « » і «віднімання». Допустимо: якщо від п'яти відібрати три, то залишиться два. Так виглядає віднімання. Проте математики запишуть це таким чином:

Таким чином, виходить, що невідомою різницею є якесь число, яке потрібно додати до 3, щоб отримати 5. Тобто не потрібно нічого віднімати, потрібно просто знайти відповідне число. Це діє для складання.

Трохи інакше справи з правилами множення та поділу.Відомо, що множення на нуль призводить до нульового результату. Наприклад, якщо 3: 0 = х, тоді, якщо перевернути запис, вийде 3 * х = 0. А число, яке множилося на 0, дасть нуль і у творі. Виходить, що числа, яке давало б у творі з нулем якусь величину, відмінну від нуля, не існує. Отже, розподіл на нуль безглуздо, тобто він підходить до нашого правила.

Але що буде, якщо спробувати розділити сам нуль на себе? Візьмемо як х якесь невизначене число. Виходить рівняння 0х = 0. Його можна вирішити.

Якщо спробуємо взяти замість х ноль, ми отримаємо 0:0=0. Здавалося б, логічно? Але якщо спробуємо замість х взяти будь-яке інше число, наприклад, 1, то зрештою вийде 0:0=1. Та ж ситуація буде, якщо взяти будь-яке інше число і підставити його на рівняння.

В цьому випадку вийде, що ми можемо як множник взяти будь-яке інше число. Підсумком буде безліч різних чисел. Часом все ж таки розподіл на 0 у вищій математиці має сенс, але тоді зазвичай з'являється певна умова, завдяки якому ми зможемо все-таки вибрати одне відповідне число. Ця дія називається «розкриттям невизначеності». У звичайній арифметиці поділ на нуль знову втратить свій сенс, оскільки ми не зможемо вибрати з безлічі якесь одне число.

Важливо!На нуль не можна розділити нуль.

Нуль і нескінченність

Нескінченність дуже часто можна зустріти у вищій математиці. Так як школярам просто не важливо знати про те, що існують ще математичні дії з нескінченністю, то і пояснити дітям, чому ділити на нуль не можна, вчителі добре не можуть.

Основні математичні секрети учні починають впізнавати лише першому курсі інституту. Вища математика надає великий комплекс завдань, які мають рішення. Найвідомішими завданнями є завдання з нескінченністю. Їх можна вирішити за допомогою математичного аналізу

До нескінченності також можна застосувати елементарні математичні дії:додавання, множення на число. Зазвичай ще застосовують віднімання і розподіл, але зрештою вони все одно зводяться до двох найпростіших операцій.

Але що буде, якщо спробувати:

• Нескінченність помножити на нуль. За ідеєю, якщо спробуємо помножити на нуль будь-яке число, ми отримаємо нуль. Але нескінченністю є невизначена безліч чисел. Оскільки ми не можемо вибрати з цієї множини одне число, то вираз ∞*0 не має рішення і абсолютно безглуздий.
• Нуль ділити на нескінченність. Тут відбувається та сама історія, що й вище. Не можемо вибрати одне число, а значить не знаємо, на що розділити. Вираз немає сенсу.

Важливо!Нескінченність трохи відрізняється від невизначеності! Нескінченність одна із видів невизначеності.

Тепер спробуємо нескінченність ділити на нуль. Здавалося б, має вийти невизначеність. Але якщо ми спробуємо замінити поділ множенням, то вийде цілком певна відповідь.

Наприклад: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Виходить такий математичний феномен.

Відповідь, чому не можна ділити на нуль

Думковий експеримент, пробуємо ділити на нуль

Висновок

Отже, тепер нам відомо, що нуль підпорядковується практично всім операціям, які виробляють з, крім однієї єдиної. На нуль ділити не можна лише тому, що в результаті виходить невизначеність. Також ми дізналися, як робити дії з нулем та нескінченністю. Результатом таких дій буде невизначеність.

Методи розв'язання меж. Невизначеності.
Порядок зростання функції. Метод заміни

Приклад 4

Знайти межу

Це простіший приклад для самостійного рішення. У запропонованому прикладі знову невизначеність (вищого порядку зростання, ніж корінь).

Якщо "ікс" прагне до "мінус нескінченності"

Примара «мінус нескінченності» вже давно витала у цій статті. Розглянемо межі з многочленами, у яких . Принципи та методи вирішення будуть такими ж, що й у першій частині уроку, за винятком низки нюансів.

Розглянемо 4 фішки, які будуть потрібні для вирішення практичних завдань:

1) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від доданку , оскільки він має найвищим порядком зростання. Якщо то нескінченно велике за модулемвід'ємне число ЧОРНОМУ ступені, у разі – в четвертої, і «плюс нескінченності»: . Константа («двійка») позитивнатому:

2) Обчислимо межу

Тут старший ступінь знову парна, Тому: . Але перед розташувався «мінус» ( негативнаконстанта –1), отже:

3) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від . Як ви пам'ятаєте зі школи, мінус вискакує з-під непарного ступеня, тому нескінченно велике за модулемнегативне число в непарному ступеніі «мінус нескінченності», у разі: .
Константа («четвірка») позитивна, значить:

4) Обчислимо межу

Перший хлопець на селі знову має непарнийступенем, крім того, за пазухою негативнаконстанта, а значить: Таким чином:
.

Приклад 5

Знайти межу

Використовуючи викладені вище пункти, приходимо до висновку, що тут невизначеність . Чисельник і знаменник одного порядку зростання, отже, межі вийде кінцеве число. Дізнаємося відповідь, відкинувши всіх мальків:

Рішення тривіальне:

Приклад 6

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

А зараз, мабуть, найтонший із випадків:

Приклад 7

Знайти межу

Розглядаючи старші доданки, приходимо до висновку, що тут невизначеність. Чисельник вищого порядку зростання, ніж знаменник, тому відразу можна сказати, що межа дорівнює нескінченності. Але який нескінченності, «плюс» чи «мінус»? Прийом той же - у чисельнику і знаменнику позбудемося дрібниці:

Вирішуємо:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 15

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

Ще пара цікавих прикладів на тему заміни змінної:

Приклад 16

Знайти межу

При підстановці одиниці у межу виходить невизначеність. Заміна змінної вже напрошується, але спочатку перетворимо тангенс за формулою . Справді, навіщо нам тангенс?

Зауважте, що , Тому . Якщо не зовсім зрозуміло, подивіться значення синуса в тригонометричної таблиці . Таким чином, ми відразу позбавляємося множника, крім того, отримуємо звичнішу невизначеність 0:0. Добре б ще й межа у нас прагнула нуля.

Проведемо заміну:

Якщо то

Під косінусом у нас знаходиться «ікс», який теж необхідно виразити через «те».
Із заміни висловлюємо: .

Завершуємо рішення:

(1) Проводимо підстановку

(2) Розкриваємо дужки під косинусом.

(4) Щоб організувати перша чудова межа , штучно домножуємо чисельник і зворотне число .

Завдання для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти межу

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Це були нескладні завдання у своєму класі, на практиці все буває гіршим, і, крім формул приведення, доводиться використовувати різні тригонометричні формули , а також інші хитрощі. у статті Складні межія розібрав пару справжніх прикладів =)

Напередодні свята остаточно прояснимо ситуацію ще з однією поширеною невизначеністю:

Усунення невизначеності «одиниця ступеня нескінченність»

Цю невизначеність «обслуговує» друга чудова межа , і в другій частині того уроку ми докладно розглянули стандартні приклади рішень, які найчастіше зустрічаються практично. Зараз картину з експонентами буде завершено, крім того, заключні завдання уроку будуть присвячені межам-«обманкам», в яких ЗДАЄТЬСЯ, що необхідно застосувати 2-у чудову межу, хоча це зовсім не так.

Недолік двох робочих формул 2-го чудового краю у тому, що аргумент має прагнути «плюс нескінченності» чи нулю. Але що робити, якщо аргумент прагне іншого числа?

На допомогу приходить універсальна формула (яка насправді є наслідком другої чудової межі):

Невизначеність можна усунути за такою формулою:

Десь начебто вже пояснював, що позначають квадратні дужки. Нічого особливого, дужки як дужки. Зазвичай їх використовують, щоб чіткіше виділити математичний запис.

Виділимо суттєві моменти формули:

1) Мова йде тільки про невизначеність і жодну іншу.

2) Аргумент «ікс» може прагнути до довільному значенню(а не тільки до нуля або ), зокрема, до «мінус нескінченності» або до будь-комукінцевого числа.

За допомогою цієї формули можна вирішити усі приклади уроку Чудові межі , які відносяться до 2-ї чудової межі. Наприклад, обчислимо межу:

В даному випадку , і за формулою:

Щоправда, робити так не раджу, у традиціях таки застосовувати «звичайне» оформлення рішення, якщо його можна застосувати. Однак за допомогою формули дуже зручно виконувати перевірку«класичних» прикладів на 2-й чудовий ліміт.