0 raqami haqiqiy sonlar dunyosini xayoliy yoki manfiy raqamlardan ajratib turuvchi chegara sifatida ifodalanishi mumkin. Noaniq pozitsiya tufayli, bu raqamli qiymatga ega bo'lgan ko'plab operatsiyalar matematik mantiqqa bo'ysunmaydi. Nolga bo'lishning mumkin emasligi bunga yorqin misoldir. Va nol bilan ruxsat etilgan arifmetik operatsiyalar umumiy qabul qilingan ta'riflar yordamida amalga oshirilishi mumkin.

Nol tarixi

Nol barcha standart sanoq tizimlarida mos yozuvlar nuqtasidir. Ovrupoliklar bu raqamni nisbatan yaqinda qo'llashni boshladilar, ammo qadimgi Hindiston donishmandlari bo'sh raqam evropalik matematiklar tomonidan muntazam ravishda ishlatilgunga qadar ming yil davomida noldan foydalanganlar. Hindistonliklardan oldin ham nol Mayya raqamli tizimida majburiy qiymat edi. Bu Amerika xalqi o'n ikkilik tizimdan foydalangan va ular har oyning birinchi kunini nol bilan boshlashgan. Qizig'i shundaki, mayyalar orasida "nol" belgisi "cheksizlik" belgisi bilan to'liq mos keladi. Shunday qilib, qadimgi mayyalar bu miqdorlar bir xil va noma'lum degan xulosaga kelishdi.

Nol bilan matematik operatsiyalar

Nolga teng bo'lgan standart matematik operatsiyalarni bir nechta qoidalarga qisqartirish mumkin.

Qo'shish: agar siz ixtiyoriy raqamga nol qo'shsangiz, u o'z qiymatini o'zgartirmaydi (0+x=x).

Ayirish: har qanday sondan nol ayirilsa, ayirilganning qiymati o'zgarishsiz qoladi (x-0=x).

Ko'paytirish: har qanday son 0 ga ko'paytirilsa, ko'paytmada 0 hosil bo'ladi (a*0=0).

Bo'linish: Nolni nolga teng bo'lmagan har qanday raqamga bo'lish mumkin. Bunday holda, bunday kasrning qiymati 0 bo'ladi va nolga bo'linish taqiqlanadi.

Eksponentsiya. Bu harakat har qanday raqam bilan amalga oshirilishi mumkin. Nol darajasiga ko'tarilgan ixtiyoriy son 1 (x 0 =1) ni beradi.

Har qanday quvvat uchun nol 0 ga teng (0 a \u003d 0).

Bunday holda, darhol qarama-qarshilik paydo bo'ladi: 0 0 ifodasi mantiqiy emas.

Matematikaning paradokslari

Nolga bo'linish mumkin emasligini ko'pchilik maktabdan biladi. Lekin negadir bunday taqiqning sababini tushuntirish mumkin emas. Darhaqiqat, nega nolga bo'linish formulasi mavjud emas, lekin bu raqam bilan boshqa harakatlar juda oqilona va mumkinmi? Bu savolga javobni matematiklar beradi.

Gap shundaki, maktab o'quvchilari boshlang'ich sinflarda o'qiydigan odatiy arifmetik amallar aslida biz o'ylagandek teng emas. Raqamlar bilan barcha oddiy operatsiyalar ikkiga qisqartirilishi mumkin: qo'shish va ko'paytirish. Bu amallar son tushunchasining mohiyatini tashkil etadi, qolgan amallar esa shu ikkisidan foydalanishga asoslanadi.

Qo‘shish va ko‘paytirish

Oddiy ayirish misolini olaylik: 10-2=8. Maktabda bu oddiy deb hisoblanadi: agar o'nta narsadan ikkitasi olib tashlansa, sakkiztasi qoladi. Ammo matematiklar bu operatsiyaga butunlay boshqacha qarashadi. Axir, ular uchun ayirish kabi operatsiya yo'q. Bu misolni boshqa usulda yozish mumkin: x+2=10. Matematiklar uchun noma'lum farq shunchaki sakkizta qilish uchun ikkitaga qo'shilishi kerak bo'lgan raqamdir. Va bu erda hech qanday ayirish talab qilinmaydi, faqat mos keladigan raqamli qiymatni topishingiz kerak.

Ko'paytirish va bo'lish xuddi shu tarzda ko'rib chiqiladi. 12:4=3 misolida biz sakkiz jismni ikkita teng qoziqqa bo'lish haqida ketayotganini tushunish mumkin. Ammo, aslida, bu 3x4 \u003d 12 yozish uchun teskari formuladir. Bo'lish uchun bunday misollarni cheksiz keltirish mumkin.

0 ga bo'lish uchun misollar

Bu erda nima uchun uni nolga bo'lish mumkin emasligi biroz aniq bo'ladi. Nolga ko'paytirish va bo'lish o'z qoidalariga ega. Ushbu miqdorning har bir bo'linishidagi barcha misollar 6:0=x shaklida ifodalanishi mumkin. Ammo bu 6 * x = 0 ifodasining teskari ifodasidir. Lekin, ma'lumki, har qanday raqam 0 ga ko'paytirilsa, mahsulotda faqat 0 ni beradi.Bu xususiyat nol qiymat tushunchasiga xosdir.

Ma'lum bo'lishicha, 0 ga ko'paytirilganda har qanday moddiy qiymat beradigan bunday raqam mavjud emas, ya'ni bu muammoning echimi yo'q. Bunday javobdan qo'rqmaslik kerak, bu bunday turdagi muammolar uchun tabiiy javobdir. Shunchaki 6:0 deb yozish hech qanday ma’noga ega emas va hech narsani tushuntirib bera olmaydi. Muxtasar qilib aytganda, bu iborani o'lmas "nolga bo'linmaslik" bilan izohlash mumkin.

0:0 operatsiya bormi? Haqiqatan ham, agar 0 ga ko'paytirish amali qonuniy bo'lsa, nolni nolga bo'lish mumkinmi? Axir, 0x5=0 ko'rinishdagi tenglama mutlaqo qonuniydir. 5 raqami o'rniga siz 0 qo'yishingiz mumkin, mahsulot bundan o'zgarmaydi.

Darhaqiqat, 0x0=0. Lekin siz hali ham 0 ga bo'la olmaysiz. Aytganimizdek, bo'linish ko'paytirishning teskarisidir. Shunday qilib, agar misolda 0x5=0 bo'lsa, ikkinchi omilni aniqlash kerak bo'lsa, biz 0x0=5 olamiz. Yoki 10. Yoki cheksizlik. Cheksizlikni nolga bo'lish - bu sizga qanday yoqadi?

Ammo agar biron bir raqam ifodaga to'g'ri kelsa, unda bu mantiqiy emas, biz cheksiz sonlar to'plamidan birini tanlay olmaymiz. Va agar shunday bo'lsa, bu 0:0 ifodasi mantiqiy emasligini anglatadi. Ma'lum bo'lishicha, hatto nolning o'zini ham nolga bo'lish mumkin emas.

Oliy matematika

Nolga bo'linish o'rta maktab matematikasi uchun bosh og'rig'idir. Texnik universitetlarda o'rganiladigan matematik tahlil yechimi bo'lmagan muammolar tushunchasini biroz kengaytiradi. Masalan, allaqachon ma'lum bo'lgan 0: 0 ifodasiga maktab matematika kurslarida yechimi bo'lmagan yangilari qo'shiladi:

• cheksizlik cheksizlikka bo'linadi: ∞:∞;
• cheksizlik minus cheksizlik: ∞−∞;
• cheksiz kuchga ko'tarilgan birlik: 1 ∞ ;
• cheksizlik 0 ga ko'paytiriladi: ∞*0;
• ba'zi boshqalar.

Bunday ifodalarni elementar usullar bilan yechish mumkin emas. Ammo yuqori matematika, bir qator shunga o'xshash misollar uchun qo'shimcha imkoniyatlar tufayli yakuniy echimlarni beradi. Bu, ayniqsa, chegaralar nazariyasidan muammolarni ko'rib chiqishda yaqqol namoyon bo'ladi.

Noaniqlikni oshkor qilish

Limitlar nazariyasida 0 qiymati shartli cheksiz kichik o‘zgaruvchiga almashtiriladi. Va kerakli qiymatni almashtirishda nolga bo'linish olinadigan iboralar aylantiriladi. Quyida odatiy algebraik transformatsiyalar yordamida chegarani kengaytirishning standart namunasi keltirilgan:

Misolda ko'rib turganingizdek, kasrni oddiy qisqartirish uning qiymatini butunlay oqilona javobga olib keladi.

Trigonometrik funktsiyalarning chegaralarini ko'rib chiqayotganda, ularning ifodalari birinchi ajoyib chegaraga qisqartiriladi. Chegara almashtirilganda maxraj 0 ga o'tadigan chegaralarni ko'rib chiqishda ikkinchi ajoyib chegara qo'llaniladi.

L'Hopital usuli

Ayrim hollarda ifoda chegaralari ularning hosilalari chegarasi bilan almashtirilishi mumkin. Guillaume Lopital - fransuz matematigi, frantsuz matematik tahlil maktabining asoschisi. U ifodalar chegaralari bu ifodalarning hosilalari chegaralariga teng ekanligini isbotladi. Matematik yozuvda uning qoidasi quyidagicha.

Limitlarni yechish usullari. Noaniqliklar.
Funktsiyaning o'sish tartibi. O'zgartirish usuli

4-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol. Taklif etilgan misolda, yana noaniqlik (ildizdan yuqori o'sish tartibi).

Agar "x" "minus cheksizlik" ga moyil bo'lsa

Ushbu maqolada uzoq vaqtdan beri "minus cheksizlik" sharpasi aylanib yuribdi. Polinomlar bilan chegaralarni ko'rib chiqing. Yechish tamoyillari va usullari, bir qator nuanslar bundan mustasno, darsning birinchi qismida bo'lgani kabi bir xil bo'ladi.

Amaliy vazifalarni hal qilish uchun zarur bo'lgan 4 ta chipni ko'rib chiqing:

1) Limitni hisoblang

Cheklovning qiymati faqat muddatga bog'liq, chunki u o'sishning eng yuqori tartibiga ega. Agar , keyin cheksiz katta modul EVEN kuchiga manfiy son, bu holda - to'rtinchisida, "ortiqcha cheksizlik" ga teng: . Doimiy ("ikki") ijobiy, shunung uchun:

2) Limitni hisoblang

Mana yana oliy daraja hatto, shunung uchun: . Lekin oldida "minus" bor ( salbiy doimiy -1), shuning uchun:

3) Limitni hisoblang

Limitning qiymati faqat ga bog'liq. Maktabdan eslaganingizdek, g'alati darajadan "minus" "chiqib chiqadi", shuning uchun cheksiz katta modul manfiy sonni ODD quvvatga"minus cheksizlik" ga teng, bu holda: .
Doimiy ("to'rt") ijobiy, degani:

4) Limitni hisoblang

Qishloqdagi birinchi yigit yana bor g'alati daraja, bundan tashqari, bag'rida salbiy doimiy, bu degani: Shunday qilib:
.

5-misol

Chegarani toping

Yuqoridagi fikrlardan foydalanib, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator va maxraj bir xil o'sish tartibida, ya'ni chegarada chekli son olinadi. Biz javobni barcha qovurilganlarni tashlab o'rganamiz:

Yechim ahamiyatsiz:

6-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Va endi, ehtimol, eng nozik holatlar:

7-misol

Chegarani toping

Katta shartlarni hisobga olgan holda, biz bu erda noaniqlik bor degan xulosaga kelamiz. Numerator maxrajga qaraganda yuqori o'sish tartibiga ega, shuning uchun biz darhol chegara cheksizlik deb aytishimiz mumkin. Lekin qanday cheksizlik, "ortiqcha" yoki "minus"? Qabul qilish bir xil - numerator va denominatorda biz kichik narsalardan xalos bo'lamiz:

Biz qaror qilamiz:

Numerator va maxrajni ga bo'ling

15-misol

Chegarani toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida tugatishning taxminiy namunasi.

O'zgaruvchan almashtirish mavzusi bo'yicha yana bir nechta qiziqarli misollar:

16-misol

Chegarani toping

Birini chegaraga almashtirish noaniqlikka olib keladi. O'zgaruvchini almashtirish allaqachon taklif qilinmoqda, lekin avval biz formuladan foydalanib tangensni aylantiramiz. Darhaqiqat, nega bizga tangens kerak?

E'tibor bering, shuning uchun. Agar u to'liq aniq bo'lmasa, sinus qiymatlariga qarang trigonometrik jadval. Shunday qilib, biz darhol omildan xalos bo'lamiz , qo'shimcha ravishda biz ko'proq tanish noaniqlik 0:0 ni olamiz. Bizning chegaramiz ham nolga intilsa yaxshi bo'lardi.

Keling, almashtiramiz:

Agar , keyin

Kosinus ostida bizda "x" bor, bu ham "te" orqali ifodalanishi kerak.
O'zgartirishdan biz ifodalaymiz: .

Biz yechimni yakunlaymiz:

(1) almashtirishni amalga oshirish

(2) Kosinus ostidagi qavslarni kengaytiring.

(4) Tashkil etish birinchi ajoyib chegara, sonni sun'iy ravishda ko'paytiring va ning o'zaro.

Mustaqil yechim uchun vazifa:

17-misol

Chegarani toping

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bu ularning sinfidagi oddiy vazifalar edi; amalda hamma narsa yomonroq va bundan tashqari kamaytirish formulalari, boshqacha foydalanish kerak trigonometrik formulalar, shuningdek, boshqa fokuslar. Kompleks chegaralar maqolasida men bir nechta haqiqiy misollarni tahlil qildim =)

Bayram arafasida biz yana bitta noaniqlik bilan vaziyatga oydinlik kiritamiz:

"Cheksizlik kuchiga bir" noaniqlikni yo'q qilish

Bu noaniqlik "xizmat qilinadi" ikkinchi ajoyib chegara, va o'sha darsning ikkinchi qismida biz ko'p hollarda amaliyotda uchraydigan standart echimlar misollarini batafsil ko'rib chiqdik. Endi ko'rgazma ishtirokchilari bilan rasm tugatiladi, bundan tashqari, darsning yakuniy vazifalari chegaralarga - "hiylalar" ga bag'ishlanadi, bunda 2-ajoyib chegarani qo'llash kerakdek tuyuladi, garchi bu umuman bo'lmasa ham. hol.

2-ajoyib chegaraning ikkita ishchi formulasining kamchiligi shundaki, argument "plyus cheksizlik" ga yoki nolga moyil bo'lishi kerak. Ammo argument boshqa raqamga moyil bo'lsa-chi?

Umumjahon formulasi yordamga keladi (bu aslida ikkinchi ajoyib chegaraning natijasidir):

Noaniqlikni quyidagi formula bilan bartaraf etish mumkin:

Bir joyda men allaqachon kvadrat qavslar nimani anglatishini tushuntirdim. Hech qanday maxsus narsa yo'q, qavslar faqat qavslardir. Odatda ular matematik belgilarni aniq ta'kidlash uchun ishlatiladi.

Keling, formulaning asosiy nuqtalarini ajratib ko'rsatamiz:

1) Bu haqida faqat noaniqlik haqida va boshqa emas.

2) "x" argumenti moyil bo'lishi mumkin ixtiyoriy qiymat(va nafaqat nolga yoki ), xususan, "minus cheksizlik" ga yoki to har kim yakuniy raqam.

Ushbu formuladan foydalanib, siz darsning barcha misollarini echishingiz mumkin Ajoyib chegaralar, 2-ajoyib chegaraga tegishli. Masalan, chegarani hisoblaymiz:

Ushbu holatda , va formula bo'yicha :

To'g'ri, men sizga buni qilishni maslahat bermayman, an'anaga ko'ra, siz hali ham yechimning "odatiy" dizaynidan foydalanasiz, agar uni qo'llash mumkin bo'lsa. Biroq formuladan foydalanib tekshirish juda qulay 2-ajoyib chegaraga "klassik" misollar.

Ko'pincha, ko'pchilik nega nolga bo'linishni ishlatish mumkin emasligi haqida savol tug'diradi. Ushbu maqolada biz ushbu qoida qaerdan kelib chiqqanligi, shuningdek, nol bilan qanday harakatlarni amalga oshirish mumkinligini batafsil ko'rib chiqamiz.

Bilan aloqada

Nolni eng qiziqarli raqamlardan biri deb atash mumkin. Bu raqam hech qanday ma'noga ega emas, bu so'zning to'liq ma'nosida bo'shliqni bildiradi. Biroq, agar siz biron bir raqamning yoniga nol qo'ysangiz, bu raqamning qiymati bir necha baravar katta bo'ladi.

Raqamning o'zi juda sirli. U qadimgi Mayya xalqi tomonidan ishlatilgan. Mayyalar uchun nol "boshlanish" degan ma'noni anglatardi va kalendar kunlarini ortga hisoblash ham noldan boshlandi.

Juda qiziq fakt shundaki, ular uchun nol belgisi va noaniqlik belgisi o'xshash edi. Bu bilan mayyalar noaniqlik bilan bir xil belgi ekanligini ko'rsatmoqchi edilar. Evropada nol belgisi nisbatan yaqinda paydo bo'ldi.

Bundan tashqari, ko'p odamlar nol bilan bog'liq taqiqni bilishadi. Buni har qanday odam aytadi nolga bo'linib bo'lmaydi. Buni maktabda o'qituvchilar aytadi va bolalar odatda bu so'zni qabul qilishadi. Odatda, bolalar buni bilishga qiziqmaydilar yoki muhim taqiqni eshitib, darhol "Nega siz nolga bo'la olmaysiz?" Deb so'rashsa, nima bo'lishini bilishadi. Ammo yoshi ulg'ayganingizda, qiziqish uyg'onadi va siz bunday taqiqning sabablari haqida ko'proq bilishni xohlaysiz. Biroq, mantiqiy dalillar mavjud.

Nol bilan amallar

Avval siz nol bilan qanday harakatlar bajarilishi mumkinligini aniqlashingiz kerak. Mavjud bir qancha faoliyat turlari:

• Qo'shish;
• Ko'paytirish;
• ayirish;
• Bo'linish (raqam bo'yicha nol);
• Eksponentsiya.

Muhim! Agar qo'shish paytida biron bir raqamga nol qo'shilsa, u holda bu raqam bir xil bo'lib qoladi va uning raqamli qiymatini o'zgartirmaydi. Har qanday raqamdan nolni ayirsangiz ham xuddi shunday bo'ladi.

Ko'paytirish va bo'lish bilan narsalar biroz boshqacha. Agar har qanday raqamni nolga ko'paytiring, keyin mahsulot ham nolga aylanadi.

Bir misolni ko'rib chiqing:

Keling, buni qo'shimcha sifatida yozamiz:

Hammasi bo'lib beshta nol qo'shilgan, shuning uchun ma'lum bo'ladi

Keling, birni nolga ko'paytirishga harakat qilaylik. Natija ham null bo'ladi.

Nolni unga teng bo'lmagan har qanday boshqa raqamga ham bo'lish mumkin. Bunday holda, u chiqadi, uning qiymati ham nolga teng bo'ladi. Xuddi shu qoida manfiy raqamlar uchun ham amal qiladi. Agar siz nolni manfiy songa bo'lsangiz, siz nolga erishasiz.

Bundan tashqari, istalgan raqamni ko'tarishingiz mumkin nol quvvatga. Bunday holda, siz 1 ga ega bo'lasiz. "Noldan nolga teng" iborasi mutlaqo ma'nosiz ekanligini unutmaslik kerak. Agar siz nolni istalgan kuchga ko'tarishga harakat qilsangiz, siz nolga erishasiz. Misol:

Biz ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz, biz 0 ni olamiz.

Nolga bo'lish mumkinmi

Shunday qilib, biz asosiy savolga keldik. Nolga bo'lish mumkinmi umuman? Va nima uchun nolga teng bo'lgan barcha boshqa operatsiyalar to'liq mavjud va amal qilishini hisobga olsak, raqamni nolga bo'lish mumkin emas? Bu savolga javob berish uchun siz oliy matematikaga murojaat qilishingiz kerak.

Keling, kontseptsiyaning ta'rifidan boshlaylik, nol nima? Maktab o'qituvchilari nol hech narsa emasligini da'vo qilishadi. Bo'shliq. Ya'ni sizda 0 ta qalam bor desangiz, umuman qalam yo'q degani.

Oliy matematikada “nol” tushunchasi kengroqdir. Bu umuman bo'sh degani emas. Bu erda nol noaniqlik deb ataladi, chunki agar siz ozgina tadqiq qilsangiz, nolni nolga bo'lish orqali biz har qanday boshqa raqamni olishimiz mumkin, bu nolga teng bo'lishi shart emas.

Siz maktabda o'qigan oddiy arifmetik amallar o'zaro teng emasligini bilasizmi? Eng asosiy qadamlar qo'shish va ko'paytirish.

Matematiklar uchun "" va "ayirish" tushunchalari mavjud emas. Faraz qilaylik: agar beshdan uchtasi ayirilsa, ikkitasi qoladi. Ayirma shunday ko'rinadi. Biroq, matematiklar buni shunday yozadilar:

Shunday qilib, noma'lum farq 5 ni olish uchun 3 ga qo'shilishi kerak bo'lgan ma'lum bir raqam ekanligi ma'lum bo'ldi. Ya'ni, siz hech narsani ayirishingiz shart emas, faqat mos raqamni topishingiz kerak. Ushbu qoida qo'shimcha uchun amal qiladi.

U bilan narsalar biroz boshqacha ko'paytirish va bo'lish qoidalari. Ma'lumki, nolga ko'paytirish nol natijaga olib keladi. Masalan, agar 3:0=x bo'lsa, yozuvni aylantirsangiz, 3*x=0 bo'ladi. Va 0 ga ko'paytiriladigan raqam mahsulotda nolga teng bo'ladi. Ma'lum bo'lishicha, nolga teng bo'lgan mahsulotda noldan boshqa qiymat beradigan raqam mavjud emas. Bu degani, nolga bo'linish ma'nosiz, ya'ni bizning qoidamizga mos keladi.

Ammo nolni o'z-o'zidan ajratishga harakat qilsangiz nima bo'ladi? X ni qandaydir noaniq son sifatida olaylik. 0 * x \u003d 0 tenglamasi chiqadi. Buni hal qilish mumkin.

Agar x o‘rniga nol olishga harakat qilsak, 0:0=0 bo‘ladi. Bu mantiqiy tuyuladimi? Lekin x o‘rniga boshqa istalgan raqamni, masalan, 1ni olishga harakat qilsak, natijada 0:0=1 bo‘ladi. Agar siz boshqa raqamni olsangiz va xuddi shunday holat bo'ladi uni tenglamaga kiriting.

Bunday holda, biz omil sifatida boshqa istalgan raqamni olishimiz mumkin bo'ladi. Natijada cheksiz ko'p turli xil raqamlar bo'ladi. Ba'zida, shunga qaramay, oliy matematikada 0 ga bo'linish mantiqiy bo'ladi, lekin odatda ma'lum bir shart mavjud bo'lib, biz hali ham bitta mos raqamni tanlashimiz mumkin. Ushbu harakat "noaniqlikni oshkor qilish" deb ataladi. Oddiy arifmetikada nolga bo'linish yana o'z ma'nosini yo'qotadi, chunki biz to'plamdan bitta raqamni tanlay olmaymiz.

Muhim! Nolni nolga bo'lish mumkin emas.

Nol va cheksizlik

Oliy matematikada cheksizlik juda keng tarqalgan. Maktab o'quvchilari uchun hali ham cheksiz matematik operatsiyalar mavjudligini bilish muhim emasligi sababli, o'qituvchilar bolalarga nima uchun nolga bo'linish mumkin emasligini to'g'ri tushuntira olmaydi.

Talabalar asosiy matematik sirlarni faqat institutning birinchi yilida o'rganishni boshlaydilar. Oliy matematika yechimi bo'lmagan ko'plab muammolar to'plamini taqdim etadi. Eng mashhur muammolar cheksizlik bilan bog'liq muammolardir. Ular bilan hal qilish mumkin matematik tahlil.

Shuningdek, siz abadiylikka murojaat qilishingiz mumkin elementar matematik operatsiyalar: qo'shish, songa ko'paytirish. Ayirish va bo'lish ham keng tarqalgan bo'lib qo'llaniladi, lekin oxirida ular hali ham ikkita oddiy operatsiyaga to'g'ri keladi.

Lekin nima bo'ladi harakat qilsang:

• Cheksizlikni nolga ko'paytiring. Nazariy jihatdan, har qanday raqamni nolga ko'paytirishga harakat qilsak, biz nolga erishamiz. Ammo cheksizlik - bu noaniq raqamlar to'plami. Bu to‘plamdan bitta raqamni tanlay olmaganimiz uchun ∞*0 ifodasi yechimga ega emas va mutlaqo ma’nosizdir.
• Nol cheksizlikka bo'linadi. Bu yuqoridagi kabi bir xil hikoya. Biz bitta raqamni tanlay olmaymiz, ya'ni nimaga bo'linishimizni bilmaymiz. Bu ifoda mantiqiy emas.

Muhim! Cheksizlik noaniqlikdan biroz farq qiladi! Cheksizlik - bu noaniqlikning bir turi.

Endi cheksizlikni nolga bo'lishga harakat qilaylik. Noaniqlik bo'lishi kerakdek tuyuladi. Ammo bo'linishni ko'paytirish bilan almashtirishga harakat qilsak, biz juda aniq javob olamiz.

Masalan: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Bu shunday chiqadi matematik paradoks.

Nega siz nolga bo'la olmaysiz

Fikr tajribasi, nolga bo'lishga harakat qiling

Chiqish

Shunday qilib, endi biz bilamizki, nol bitta bittadan tashqari deyarli barcha operatsiyalarga bo'ysunadi. Natija noaniq bo'lgani uchun nolga bo'linib bo'lmaydi. Shuningdek, biz nol va cheksizlikda qanday ishlashni o'rgandik. Bunday harakatlarning natijasi noaniqlik bo'ladi.

Funksiyaning hosilasi uzoqqa tushmaydi va L'Hopital qoidalarida u aynan asl funktsiya tushgan joyga tushadi. Bu holat 0/0 yoki ∞/∞ shaklidagi noaniqliklarni va hisoblashda yuzaga keladigan boshqa noaniqliklarni aniqlashga yordam beradi. chegara ikkita cheksiz kichik yoki cheksiz katta funksiyalarning nisbati. Hisoblash ushbu qoida bilan juda soddalashtirilgan (aslida ikkita qoida va ular bo'yicha eslatmalar):

Yuqoridagi formuladan ko'rinib turibdiki, ikkita cheksiz kichik yoki cheksiz katta funksiyalar nisbati chegarasini hisoblashda, ikkita funktsiyaning nisbati chegarasini ularning nisbati chegarasi bilan almashtirish mumkin. hosilalari va shuning uchun ma'lum bir natijaga erishiladi.

Keling, L'Hopital qoidalarining aniqroq formulalariga o'tamiz.

Ikki cheksiz kichik qiymat chegarasi holati uchun L'Hopital qoidasi. Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x a. Va ayni paytda a a funksiya hosilasi g(x) nolga teng emas ( g"(x a bir-biriga teng va nolga teng:

.

Ikki cheksiz katta miqdor chegarasi holati uchun L'Hopital qoidasi. Funktsiyalarga ruxsat bering f(x) va g(x) nuqtaning qaysidir qo‘shnisida hosilalarga ega (ya’ni ular farqlanadi). a. Va ayni paytda a ular hosilalari bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Bundan tashqari, punktga yaqin joyda a funksiya hosilasi g(x) nolga teng emas ( g"(x)≠0 ) va bu funksiyalarning chegaralari x nuqtadagi funksiya qiymatiga intiladi. a bir-biriga teng va cheksizlikka teng:

.

U holda bu funksiyalar nisbati chegarasi ularning hosilalari nisbati chegarasiga teng bo'ladi:

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, 0/0 yoki ∞/∞ ko'rinishdagi noaniqliklar uchun ikkita funktsiya nisbati chegarasi, agar ikkinchisi mavjud bo'lsa, ularning hosilalari nisbati chegarasiga teng (cheklangan, ya'ni a ga teng). ma'lum son yoki cheksiz, ya'ni cheksizlikka teng).

Izohlar.

1. L'Hopital qoidalari funksiyalar bajarilganda ham qo'llaniladi f(x) va g(x) da aniqlanmagan x = a.

2. Agar, funksiyalarning hosilalari nisbati chegarasini hisoblashda f(x) va g(x) biz yana 0/0 yoki ∞/∞ shaklidagi noaniqlikka kelamiz, keyin L'Hopital qoidalari qayta-qayta qo'llanilishi kerak (kamida ikki marta).

3. L'Hopital qoidalari (x) funksiyalarning argumenti chekli bo'lmagan songa moyil bo'lganda ham qo'llaniladi. a, va cheksizlik ( x → ∞).

Boshqa turdagi noaniqliklarni 0/0 va ∞/∞ turlarining noaniqliklariga ham kamaytirish mumkin.

"Nolga bo'lingan nol" va "cheksizlikka bo'lingan cheksizlik" turlarining noaniqliklarini ochib berish.

1-misol

x=2 0/0 shaklining noaniqligiga olib keladi. Shuning uchun, har bir funktsiyaning hosilasi va biz olamiz

Numeratorda ko'phadning hosilasi hisoblangan, maxrajda esa - murakkab logarifmik funktsiyaning hosilasi. Oxirgi tenglik belgisidan oldin, odatiy chegara, x o‘rniga ikkilik qo‘yish.

2-misol L'Hospital qoidasi yordamida ikkita funktsiya nisbati chegarasini hisoblang:

Qaror. Berilgan qiymat funksiyasiga almashtirish x

3-misol L'Hospital qoidasi yordamida ikkita funktsiya nisbati chegarasini hisoblang:

Qaror. Berilgan qiymat funksiyasiga almashtirish x=0 0/0 shaklining noaniqligiga olib keladi. Shuning uchun biz pay va maxrajdagi funksiyalarning hosilalarini hisoblaymiz va olamiz:

4-misol Hisoblash

Qaror. Berilgan funksiyaga x ning ortiqcha cheksizlikka teng qiymatini o‘rniga qo‘yish ∞/∞ ko‘rinishining noaniq bo‘lishiga olib keladi. Shuning uchun biz L'Hopital qoidasini qo'llaymiz:

Izoh. Keling, L'Hopital qoidasini ikki marta qo'llash kerak bo'lgan misollarga o'tamiz, ya'ni ikkinchi hosilalarning nisbati chegarasiga kelish kerak, chunki birinchi hosilalarning nisbati chegarasi shaklning noaniqligi hisoblanadi. 0/0 yoki ∞/∞.

"Nol cheksizlikka ko'paytiriladi" shaklidagi noaniqliklarni oshkor qilish

12-misol. Hisoblash

.

Qaror. olamiz

Ushbu misol trigonometrik identifikatsiyadan foydalanadi.

"Noldan nol kuchiga", "cheksizlik nol kuchiga" va "cheksizlik kuchiga bir" turlarining noaniqliklarini ochib berish.

Shaklning noaniqliklari yoki odatda funktsiyaning logarifmasi yordamida 0/0 yoki ∞/∞ ko'rinishga tushiriladi.

Ifodaning chegarasini hisoblash uchun logarifmik identifikatsiyadan foydalanish kerak, uning alohida holati logarifmning xususiyatidir. .

Funksiyaning logarifmik identifikatori va uzluksizlik xususiyatidan foydalangan holda (chegara belgisidan tashqariga chiqish uchun) limitni quyidagicha hisoblash kerak:

Alohida-alohida, ko'rsatkichdagi ifoda chegarasini topish va qurish kerak e topilgan darajaga.

13-misol

Qaror. olamiz

.

.

14-misol L'Hopital qoidasi yordamida hisoblang

Qaror. olamiz

Ko‘rsatkichdagi ifoda chegarasini hisoblang

.

.

15-misol L'Hopital qoidasi yordamida hisoblang

Agar raqam cheksizlikka bo'linsa, qism nolga moyil bo'ladimi? Ichkarida davom etdi va yaxshiroq javob oldi

Olenkadan javob[yangi]
hammasi 0
Qisqichbaqa qobig'i
Oracle
(56636)
Yo'q. Aniq nol. Bo'luvchi cheksizlikka moyil bo'lganidek, qism nolga intiladi. Va agar biz cheksizlikka moyil bo'lgan raqamga emas, balki cheksizlikning o'ziga bo'linadigan bo'lsak (aytmoqchi, aniqrog'i, u rasman umuman raqam hisoblanmaydi, lekin raqamlarning belgilarini to'ldiradigan maxsus belgi hisoblanadi) - aniq nol.

dan javob Jugeus Vladimir[guru]
Hatto nolga bo'linib, hatto istalgan raqamga ko'paytirilsa ham, u nol bo'ladi!

dan javob 1 23 [guru]
agar ba'zi shit nolga moyil bo'lsa, uni cheklangan narsaga (son yoki cheklangan funktsiya) ko'paytirish og'riqsizdir, chunki all-rna nolga intiladi.
lekin agar siz uni abadiylikka moyil bo'lgan biron bir narsaga ko'paytirsangiz, unda variantlar bo'lishi mumkin.

dan javob Qisqichbaqa qobig'i[guru]
Har qanday sonni cheksizlikka bo'lish nolga olib keladi. Aniq nol, "nolga o'tish" yo'q. Va keyin, qaysi raqamga ko'paytirsangiz, nolga teng. Va nolni noldan boshqa har qanday raqamga bo'lish natijasi nolga teng bo'ladi, faqat nolni nolga bo'lishda natija aniqlanmaydi, har qanday raqam bo'linma sifatida mos keladi.