A 0 szám egyfajta határként ábrázolható, amely elválasztja a valós számok világát a képzeletbeli vagy negatív számoktól. A kétértelmű helyzet miatt sok ilyen számértékű művelet nem engedelmeskedik a matematikai logikának. Ennek kiváló példája a nullával való osztás lehetetlensége. És a megengedett aritmetikai műveletek nullával végrehajthatók az általánosan elfogadott definíciók segítségével.

A nulla története

A nulla a referenciapont minden szabványos számrendszerben. Az európaiak viszonylag nemrég kezdték használni ezt a számot, de az ókori India bölcsei ezer évig nullát használtak, mielőtt az üres számot rendszeresen használták az európai matematikusok. Már az indiánok előtt is a nulla kötelező érték volt a maja számrendszerben. Ez az amerikai nép a duodecimális rendszert használta, és minden hónap első napját nullával kezdték. Érdekes módon a majáknál a „nulla” jele teljesen egybeesett a „végtelen” jelével. Így az ókori maják arra a következtetésre jutottak, hogy ezek a mennyiségek azonosak és megismerhetetlenek.

Matematikai műveletek nullával

A nullával végzett szabványos matematikai műveletek néhány szabályra redukálhatók.

Összeadás: ha egy tetszőleges számhoz nullát adunk, akkor az nem változtatja meg az értékét (0+x=x).

Kivonás: bármely számból nullát kivonva a kivont értéke változatlan marad (x-0=x).

Szorzás: bármely szám 0-val szorozva 0-t ad a szorzatban (a*0=0).

Osztás: A nulla bármely nem nulla számmal osztható. Ebben az esetben egy ilyen tört értéke 0. A nullával való osztás pedig tilos.

Hatványozás. Ez a művelet tetszőleges számmal végrehajtható. A nulla hatványára emelt tetszőleges szám 1-et ad (x 0 =1).

Bármely hatvány nullája egyenlő 0-val (0 a \u003d 0).

Ebben az esetben azonnal ellentmondás keletkezik: a 0 0 kifejezésnek nincs értelme.

A matematika paradoxonai

Azt, hogy a nullával való osztás lehetetlen, sokan tudják az iskolából. De valamiért nem lehet megmagyarázni egy ilyen tilalom okát. Valóban, miért nem létezik a nullával osztás formula, de más műveletek ezzel a számmal teljesen ésszerűek és lehetségesek? Erre a kérdésre a választ matematikusok adják.

A helyzet az, hogy a szokásos számtani műveletek, amelyeket az iskolások általános osztályban tanulnak, valójában korántsem olyan egyenlőek, mint gondolnánk. A számokkal végzett összes egyszerű művelet kettőre redukálható: összeadásra és szorzásra. Ezek a műveletek a szám fogalmának lényegét képezik, a többi művelet pedig e kettő használatán alapul.

Összeadás és szorzás

Vegyünk egy szabványos kivonási példát: 10-2=8. Az iskolában egyszerűen úgy tartják: ha tíz tárgyból kettőt elvesznek, nyolc marad. De a matematikusok egészen másképp nézik ezt a műveletet. Végül is nincs olyan művelet, mint a kivonás. Ez a példa másképpen is felírható: x+2=10. A matematikusok számára az ismeretlen különbség egyszerűen az a szám, amelyet kettőhöz kell hozzáadni, hogy nyolc legyen. És itt nincs szükség kivonásra, csak találni kell egy megfelelő számértéket.

A szorzást és az osztást ugyanúgy kezeljük. A 12:4=3 példában érthető, hogy nyolc tárgy két egyenlő halomra való felosztásáról beszélünk. De a valóságban ez csak egy fordított képlet a 3x4 \u003d 12 írására. Az ilyen felosztási példákat végtelenül lehet adni.

Példák 0-val való osztásra

Itt válik kissé világossá, hogy miért lehetetlen nullával osztani. A nullával való szorzásnak és osztásnak megvannak a maga szabályai. Ennek a mennyiségnek az osztásonkénti összes példája 6:0=x formában fogalmazható meg. De ez a 6 * x = 0 kifejezés fordított kifejezése. De, mint tudod, bármely szám 0-val szorozva csak 0-t ad a szorzatban. Ez a tulajdonság a nulla érték fogalmának velejárója.

Kiderült, hogy ilyen szám, amit 0-val megszorozva bármilyen kézzelfogható értéket ad, nem létezik, vagyis ennek a problémának nincs megoldása. Nem kell félni egy ilyen választól, ez természetes válasz az ilyen típusú problémákra. Csak 6:0-nak nincs értelme, és nem magyaráz semmit. Röviden, ez a kifejezés a halhatatlan „nincs nullával osztás” kifejezéssel magyarázható.

Van 0:0 művelet? Valóban, ha a 0-val való szorzás törvényes, osztható-e nulla nullával? Végül is egy 0x5=0 alakú egyenlet teljesen törvényes. Az 5-ös szám helyett 0-t tehet, ettől nem változik a szorzat.

Valóban, 0x0=0. De még mindig nem lehet 0-val osztani. Mint mondtuk, az osztás csak a szorzás inverze. Így, ha a példában 0x5=0, meg kell határozni a második tényezőt, akkor 0x0=5-öt kapunk. Vagy 10. Vagy a végtelen. A végtelen elosztása nullával – hogy tetszik?

De ha bármilyen szám belefér a kifejezésbe, akkor annak nincs értelme, nem választhatunk egyet végtelen számhalmazból. És ha igen, az azt jelenti, hogy a 0:0 kifejezésnek nincs értelme. Kiderült, hogy magát a nullát sem lehet nullával osztani.

felsőbb matematika

A nullával való osztás fejfájást okoz a középiskolai matematikának. A műszaki egyetemeken tanult matematikai elemzés kissé kibővíti a megoldás nélküli problémák fogalmát. Például a már ismert 0:0 kifejezéshez újak kerülnek hozzáadásra, amelyeknek nincs megoldása az iskolai matematika kurzusokban:

• végtelen osztva a végtelennel: ∞:∞;
• végtelen mínusz végtelen: ∞−∞;
• végtelen hatványra emelt egység: 1 ∞ ;
• végtelen 0-val szorozva: ∞*0;
• néhány másik.

Az ilyen kifejezéseket elemi módszerekkel nem lehet megoldani. De a magasabb matematika, hála számos hasonló példa további lehetőségeinek, végső megoldásokat ad. Ez különösen nyilvánvaló a problémák határelméletből való mérlegelésében.

Bizonytalanság közzététele

A határértékek elméletében a 0 értéket egy feltételes, infinitezimális változóval helyettesítjük. És azokat a kifejezéseket, amelyekben a nullával való osztást a kívánt érték helyettesítésekor kapjuk, átváltjuk. Az alábbiakban egy szabványos példa látható a határérték kiterjesztésére a szokásos algebrai transzformációkkal:

Amint a példában is látható, egy tört egyszerű redukálása hozzáadja annak értékét egy teljesen racionális válaszhoz.

Ha figyelembe vesszük a trigonometrikus függvények határait, azok kifejezései általában az első figyelemre méltó határig redukálódnak. Ha figyelembe vesszük azokat a határértékeket, amelyekben a nevező 0-ra megy, amikor a határt helyettesítjük, akkor a második figyelemre méltó határértéket használjuk.

L'Hopital módszer

Egyes esetekben a kifejezések határértékei helyettesíthetők származékaik határértékével. Guillaume Lopital - francia matematikus, a francia matematikai elemzési iskola alapítója. Bebizonyította, hogy a kifejezések határai egyenlőek e kifejezések származékainak határaival. A matematikai jelölésben a szabálya a következő.

A határértékek megoldásának módszerei. Bizonytalanságok.
Funkció növekedési sorrend. Csere módszer

4. példa

Találd meg a határt

Ez egy egyszerűbb példa a „csináld magad” megoldásra. A javasolt példában ismét bizonytalanság (magasabb növekedési rend, mint a gyökér).

Ha az "x" inkább "mínusz végtelen"

A "mínusz végtelen" szelleme már régóta lebeg ebben a cikkben. Tekintsünk határértékeket olyan polinomokkal, amelyekben . A megoldás elvei és módszerei pontosan ugyanazok lesznek, mint a lecke első részében, néhány árnyalat kivételével.

Tekintsünk 4 chipet, amelyekre szükség lesz a gyakorlati feladatok megoldásához:

1) Számítsa ki a határértéket!

A határérték csak a futamidőtől függ, mert ennek a növekedési sorrendje a legmagasabb. Ha akkor végtelenül nagy modulo negatív szám PÁROS hatványáig, ebben az esetben - a negyedikben egyenlő "plusz végtelen": . Állandó ("kettő") pozitív, ezért:

2) Számítsa ki a határértéket

Ismét itt a felsőfokú végzettség még, ezért: . De van egy "mínusz" előtt ( negatív konstans –1), ezért:

3) Számítsa ki a határértéket

A határérték csak attól függ. Ahogy az iskolából emlékszel, a "mínusz" "kiugrik" a páratlan fokozat alól, szóval végtelenül nagy modulo negatív szám páratlan hatványra egyenlő "mínusz végtelen", ebben az esetben: .
Állandó ("négy") pozitív, jelentése:

4) Számítsa ki a határértéket

A falu első fickója újra páratlan fokon ráadásul keblében negatívállandó, ami azt jelenti: Így:
.

5. példa

Találd meg a határt

A fenti pontokat felhasználva arra a következtetésre jutunk, hogy itt bizonytalanság van. A számláló és a nevező azonos növekedési sorrendű, ami azt jelenti, hogy a határértékben véges számot kapunk. A választ úgy tanuljuk meg, hogy az összes sült eldobjuk:

A megoldás triviális:

6. példa

Találd meg a határt

Ez egy „csináld magad” példa. Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

És most, az esetek közül talán a legfinomabb:

7. példa

Találd meg a határt

A rangidős kifejezéseket tekintve arra a következtetésre jutunk, hogy itt bizonytalanság van. A számláló nagyobb növekedési rendű, mint a nevező, így azonnal kijelenthetjük, hogy a határ a végtelen. De miféle végtelen, "plusz" vagy "mínusz"? A fogadtatás ugyanaz - a számlálóban és a nevezőben megszabadulunk az apró dolgoktól:

Mi döntünk:

Ossza el a számlálót és a nevezőt ezzel

15. példa

Találd meg a határt

Ez egy „csináld magad” példa. Hozzávetőleges minta a befejezésről a lecke végén.

Még néhány érdekes példa a változó helyettesítés témájában:

16. példa

Találd meg a határt

Ha egyet behelyettesítünk a limitbe, az bizonytalanságot eredményez. A változó cseréje már szuggesztív, de először a képlet segítségével konvertáljuk az érintőt. Valóban, miért van szükségünk érintőre?

Vegye figyelembe, hogy ezért . Ha nem teljesen világos, nézze meg a szinuszértékeket trigonometrikus táblázat. Így azonnal megszabadulunk a faktortól, ráadásul az ismerősebb bizonytalanságot 0:0-ra kapjuk. Jó lenne, ha a limitünk is a nullára tenne.

Cseréljük:

Ha akkor

A koszinusz alatt van "x", amit szintén "te"-vel kell kifejezni.
A pótlásból kifejezzük: .

Elkészítjük a megoldást:

(1) A helyettesítés végrehajtása

(2) Bontsa ki a zárójeleket a koszinusz alatt.

(4) Szervezni első csodálatos határ, mesterségesen szorozza meg a számlálót és a reciprokát .

Feladat önálló megoldásra:

17. példa

Találd meg a határt

Teljes megoldás és válasz a lecke végén.

Ezek egyszerű feladatok voltak az osztályukban, a gyakorlatban minden rosszabb, ráadásul redukciós képletek, mást kell használni trigonometrikus képletek, valamint egyéb trükkök. A Komplex határok című cikkben néhány valós példát elemeztem =)

Az ünnep előestéjén végre tisztázzuk a helyzetet még egy gyakori bizonytalansággal:

A bizonytalanság megszüntetése "egy a végtelenség erejéig"

Ez a bizonytalanság „kiszolgált” második csodálatos határ, és a lecke második részében részletesen megvizsgáltuk a legtöbb esetben a gyakorlatban megtalálható szabványos megoldási példákat. Most elkészül a kép a kiállítókkal, ráadásul a lecke utolsó feladatait a korlátoknak- "trükköknek" szentelik, amelyekben úgy tűnik, hogy a 2. csodálatos határt kell alkalmazni, bár ez egyáltalán nem ügy.

A 2. figyelemre méltó határ két munkaképletének az a hátránya, hogy az argumentumnak "plusz végtelen"-re vagy nullára kell irányulnia. De mi van akkor, ha az érv más számra hajlik?

Az univerzális képlet jön a segítségre (ami tulajdonképpen a második figyelemre méltó határ következménye):

A bizonytalanságot a következő képlettel lehet kiküszöbölni:

Valahol, például már elmagyaráztam, mit jelentenek a szögletes zárójelek. Semmi különös, a zárójelek csak zárójelek. Általában egy matematikai jelölés egyértelmű kiemelésére használják őket.

Kiemeljük a képlet lényeges pontjait:

1) Ez kb csak a bizonytalanságról és nem másról.

2) Az "x" érv hajlamos lehet tetszőleges érték(és nem csak nullára vagy ), különösen a "mínusz végtelenre" vagy -ra bárki végső szám.

Ezzel a képlettel megoldhatja a lecke összes példáját Figyelemre méltó határok, amelyek a 2. csodálatos határhoz tartoznak. Például számítsuk ki a határértéket:

Ebben az esetben , és a képlet szerint :

Igaz, ezt nem tanácsolom, a hagyomány szerint továbbra is a „szokásos” megoldást használja, ha alkalmazható. azonban a képlet használatával nagyon kényelmes ellenőrizni"klasszikus" példák a 2. csodálatos határig.

Nagyon gyakran sokan csodálkoznak azon, hogy miért lehetetlen a nullával való osztást használni? Ebben a cikkben részletesen bemutatjuk, honnan származik ez a szabály, és milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával.

Kapcsolatban áll

A nullát az egyik legérdekesebb számnak nevezhetjük. Ennek a számnak nincs értelme, ürességet jelent a szó legigazibb értelmében. Ha azonban bármelyik számjegy mellé nullát tesz, akkor ennek a számjegynek az értéke többszöröse lesz.

A szám önmagában nagyon titokzatos. Az ókori maja emberek használták. A maják számára a nulla a "kezdetet" jelentette, és a naptári napok visszaszámlálása is nulláról indult.

Nagyon érdekes tény, hogy a nulla és a bizonytalanság jele hasonló volt számukra. Ezzel a maják azt akarták megmutatni, hogy a nulla azonos jel, mint a bizonytalanság. Európában a nulla megjelölése viszonylag nemrég jelent meg.

Emellett sokan ismerik a nullához kapcsolódó tilalmat. Bárki ezt mondja nem osztható nullával. Ezt mondják a tanárok az iskolában, és a gyerekek általában szót fogadnak. Általában a gyerekeket vagy egyszerűen nem érdekli ezt, vagy tudják, mi történik, ha egy fontos tilalom hallatán azonnal megkérdezik: „Miért nem lehet nullával osztani?”. De amikor idősebb leszel, felébred az érdeklődés, és többet akarsz tudni egy ilyen tilalom okairól. Vannak azonban ésszerű bizonyítékok.

Műveletek nullával

Először meg kell határoznia, hogy milyen műveleteket lehet végrehajtani nullával. Létezik többféle tevékenység:

• Kiegészítés;
• Szorzás;
• Kivonás;
• Osztás (nulla szám szerint);
• Hatványozás.

Fontos! Ha az összeadás során bármely számhoz nullát adunk, akkor ez a szám ugyanaz marad, és nem változtatja meg a számértékét. Ugyanez történik, ha bármely számból kivonunk nullát.

A szorzással és osztással a dolgok egy kicsit másképp állnak. Ha tetszőleges számot megszorozzuk nullával, akkor a szorzat is nullává válik.

Vegyünk egy példát:

Ezt írjuk kiegészítésként:

Összesen öt nulla van hozzáadva, így kiderül

Próbáljunk meg szorozni egyet nullával. Az eredmény is nulla lesz.

A nullát el lehet osztani bármely más számmal, amely nem egyenlő vele. Ebben az esetben kiderül, aminek az értéke is nulla lesz. Ugyanez a szabály vonatkozik a negatív számokra is. Ha a nullát elosztod egy negatív számmal, akkor nullát kapsz.

Bármilyen számot emelhetsz nulla teljesítményre. Ebben az esetben 1-et kap. Fontos megjegyezni, hogy a "nulla a nulla hatványhoz" kifejezés teljesen értelmetlen. Ha megpróbálja nullát emelni bármely hatványra, akkor nullát kap. Példa:

Használjuk a szorzási szabályt, 0-t kapunk.

Lehetséges-e nullával osztani

Tehát elérkeztünk a fő kérdéshez. Lehetséges-e nullával osztani egyáltalán? És miért lehetetlen egy számot nullával osztani, tekintve, hogy minden más nullával végzett művelet teljes mértékben létezik és érvényes? A kérdés megválaszolásához a felsőbb matematikához kell fordulnia.

Kezdjük a fogalom meghatározásával, mi az a nulla? Az iskolai tanárok azt állítják, hogy a nulla semmi. Üresség. Azaz, ha azt mondod, hogy 0 tollad van, az azt jelenti, hogy egyáltalán nincs tollad.

A felsőbb matematikában a "nulla" fogalma tágabb. Egyáltalán nem azt jelenti, hogy üres. Itt a nullát bizonytalanságnak nevezzük, mert ha kicsit kutakodunk, kiderül, hogy a nullát nullával elosztva bármilyen más számot kaphatunk eredményül, ami nem feltétlenül nulla.

Tudod, hogy azok az egyszerű aritmetikai műveletek, amelyeket az iskolában tanultál, nem annyira egyenlőek egymás között? A legalapvetőbb lépések a következők összeadás és szorzás.

A matematikusok számára a "" és a "kivonás" fogalma nem létezik. Tegyük fel: ha ötből kivonunk hármat, akkor kettő marad. Így néz ki a kivonás. A matematikusok azonban így írnák:

Így kiderül, hogy az ismeretlen különbség egy bizonyos szám, amelyet hozzá kell adni 3-hoz, hogy 5-öt kapjunk. Vagyis nem kell semmit kivonni, csak találni kell egy megfelelő számot. Ez a szabály az összeadásra vonatkozik.

Kicsit más a helyzet vele szorzási és osztási szabályok. Ismeretes, hogy a nullával való szorzás nulla eredményhez vezet. Például, ha 3:0=x, akkor ha megfordítja a rekordot, akkor 3*x=0 lesz. A 0-val megszorzott szám pedig nullát ad a szorzatban. Kiderült, hogy nem létezik olyan szám, amely a nullától eltérő értéket adna a nullával rendelkező szorzatban. Ez azt jelenti, hogy a nullával való osztás értelmetlen, vagyis megfelel a szabályunknak.

De mi történik, ha megpróbálod elosztani a nullát önmagával? Vegyük x-et valamilyen határozatlan számnak. Kiderül, hogy a 0 * x \u003d 0 egyenlet. Meg lehet oldani.

Ha x helyett nullát próbálunk venni, 0:0=0-t kapunk. Logikusnak tűnik? De ha megpróbálunk x helyett bármilyen más számot felvenni, például 1-et, akkor 0:0=1 lesz a vége. Ugyanez a helyzet lesz, ha bármilyen más számot és dugja be az egyenletbe.

Ebben az esetben kiderül, hogy bármilyen más számot is vehetünk tényezőnek. Az eredmény végtelen számú különböző szám lesz. Néha ennek ellenére van értelme a 0-val való osztásnak a felsőbb matematikában, de akkor általában van egy feltétel, ami miatt mégis kiválaszthatunk egy megfelelő számot. Ezt a műveletet "bizonytalansági feltárásnak" nevezik. A közönséges aritmetikában a nullával való osztás ismét elveszti értelmét, mivel nem választhatunk ki egyetlen számot sem a halmazból.

Fontos! A nullát nem lehet nullával osztani.

Nulla és végtelen

A végtelen nagyon gyakori a felsőbb matematikában. Mivel egyszerűen nem fontos, hogy az iskolások tudják, hogy vannak még matematikai műveletek a végtelennel, a tanárok nem tudják megfelelően elmagyarázni a gyerekeknek, miért lehetetlen nullával osztani.

Az alapvető matematikai titkokat a hallgatók csak az intézet első évében kezdik el tanulni. A felsőbb matematika számos olyan feladatot kínál, amelyekre nincs megoldás. A leghíresebb problémák a végtelennel kapcsolatos problémák. Ezzel meg lehet oldani matematikai elemzés.

A végtelenbe is lehet jelentkezni elemi matematikai műveletek:összeadás, szorzás egy számmal. A kivonást és az osztást is gyakran használják, de végül mégis két egyszerű műveletből állnak.

De mi lesz ha megpróbálod:

• Szorozzuk meg a végtelent nullával. Elméletileg, ha bármilyen számot megpróbálunk megszorozni nullával, akkor nullát kapunk. De a végtelen a számok határozatlan halmaza. Mivel ebből a halmazból nem tudunk egy számot kiválasztani, a ∞*0 kifejezésnek nincs megoldása, és teljesen értelmetlen.
• Nulla osztva a végtelennel. Ez ugyanaz a történet, mint fent. Nem választhatunk egy számot, ami azt jelenti, hogy nem tudjuk, mivel osszuk el. A kifejezésnek nincs értelme.

Fontos! A végtelen egy kicsit más, mint a bizonytalanság! A végtelen a bizonytalanság egy fajtája.

Most próbáljuk meg elosztani a végtelent nullával. Úgy tűnik, hogy bizonytalanságnak kell lennie. De ha megpróbáljuk az osztást szorzással helyettesíteni, nagyon határozott választ kapunk.

Például: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Így derül ki matematikai paradoxon.

Miért nem lehet nullával osztani?

Gondolatkísérlet, próbálja meg nullával osztani

Kimenet

Tehát most már tudjuk, hogy a nulla szinte minden műveletnek alá van vetve, amelyet vele hajtanak végre, kivéve egyet. Nem lehet nullával osztani csak azért, mert az eredmény bizonytalan. Megtanultuk a nulla és a végtelen működését is. Az ilyen intézkedések eredménye bizonytalanság lesz.

A függvény deriváltja nem esik messzire, és L'Hopital szabályai esetén pontosan oda esik, ahol az eredeti függvény esik. Ez a körülmény segít feltárni a 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalanságokat és néhány más, a számítás során felmerülő bizonytalanságot határ két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény aránya. A számítást nagyban leegyszerűsíti ez a szabály (valójában két szabály és megjegyzések ezekhez):

Amint a fenti képlet mutatja, két végtelenül kicsi vagy végtelenül nagy függvény arányhatárának kiszámításakor két függvény arányának határa helyettesíthető azok arányának határával. származékaiés így egy bizonyos eredményt kap.

Térjünk át a L'Hopital szabályainak pontosabb megfogalmazására.

L'Hopital szabálya két végtelenül kicsi érték határának esetére. Hagyjuk a függvényeket f(x) és g(x a. És pont a ponton a a függvény deriváltja g(x) nem egyenlő nullával ( g"(x a egyenlőek egymással és egyenlők nullával:

.

L'Hôpital szabálya két végtelenül nagy mennyiség határának esetére. Hagyjuk a függvényeket f(x) és g(x) származékai vannak (vagyis differenciálhatóak) a pont valamely szomszédságában a. És pont a ponton a lehetnek származékaik, vagy nem. Ráadásul a pont környékén a függvény deriváltja g(x) nem egyenlő nullával ( g"(x)≠0 ) és ezeknek a függvényeknek a határértékei, mivel x a függvény értékéhez igazodik a pontban a egyenlőek egymással és egyenlőek a végtelennel:

.

Ekkor ezen függvények arányának határa megegyezik származékaik arányának határával:

Más szóval, 0/0 vagy ∞/∞ alakú bizonytalanságok esetén két függvény arányának határa egyenlő a származékaik arányának határával, ha ez utóbbi létezik (véges, azaz egyenlő bizonyos szám, vagy végtelen, azaz egyenlő a végtelennel).

Megjegyzések.

1. A L'Hopital szabályai a függvényekre is érvényesek f(x) és g(x) nincsenek meghatározva itt x = a.

2. Ha a függvények deriváltjainak arányának korlátjának számításakor f(x) és g(x) ismét 0/0 vagy ∞/∞ formájú bizonytalansághoz jutunk, akkor a L'Hopital szabályait ismételten (legalább kétszer) kell alkalmazni.

3. A L'Hopital-szabályok akkor is érvényesek, ha az (x) függvény argumentuma nem véges számra irányul. a, és a végtelenségig ( x → ∞).

Más típusú bizonytalanságok is redukálhatók a 0/0 és ∞/∞ típusú bizonytalanságokra.

A "nulla osztva nullával" és a "végtelen osztva a végtelennel" típusú bizonytalanságok közzététele

1. példa

x=2 0/0 alakú határozatlansághoz vezet. Ezért az egyes függvények deriváltját és kapjuk

A számlálóban a polinom deriváltját, a nevezőben pedig - komplex logaritmikus függvény deriváltja. Az utolsó egyenlőségjel előtt a szokásos határ, az x helyett kettős számmal helyettesítve.

2. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hospital szabály segítségével:

Döntés. Behelyettesítés egy adott értékfüggvénybe x

3. példa Számítsa ki két függvény arányának határát a L'Hospital szabály segítségével:

Döntés. Behelyettesítés egy adott értékfüggvénybe x=0 0/0 formájú határozatlansághoz vezet. Ezért kiszámítjuk a számlálóban és a nevezőben lévő függvények deriváltjait, és megkapjuk:

4. példa Kiszámítja

Döntés. Ha a plusz végtelennel egyenlő x értékét behelyettesítjük egy adott függvénybe, az ∞/∞ alakú határozatlansághoz vezet. Ezért alkalmazzuk a L'Hopital szabályát:

Megjegyzés. Térjünk át azokra a példákra, amelyekben az L'Hopital-szabályt kétszer kell alkalmazni, vagyis el kell jutni a második deriváltak arányának határához, mivel az első deriváltak arányának határa a forma bizonytalansága. 0/0 vagy ∞/∞.

A "nulla szorozva a végtelennel" formájú bizonytalanságok közzététele

12. példa. Kiszámítja

.

Döntés. Kapunk

Ez a példa a trigonometrikus azonosságot használja.

A "nulla a nulla hatványa", a "végtelen a nulla hatványa" és az "egy a végtelen hatványa" típusú bizonytalanságok közzététele

Az alak bizonytalanságait, vagy általában 0/0 vagy ∞/∞ alakra redukálják az alak függvényének logaritmusával

A kifejezés határának kiszámításához a logaritmikus azonosságot kell használni, aminek egy speciális esete a logaritmus tulajdonsága .

A logaritmikus azonosság és a függvény folytonossági tulajdonságának felhasználásával (a határ előjelének túllépéséhez) a határértéket a következőképpen kell kiszámítani:

Külön meg kell találni a kifejezés határát a kitevőben és a buildben e a talált fokig.

13. példa

Döntés. Kapunk

.

.

14. példa Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével

Döntés. Kapunk

Számítsa ki a kifejezés határát a kitevőben!

.

.

15. példa Számítsa ki a L'Hopital-szabály segítségével

Ha egy számot elosztunk a végtelennel, akkor a hányados zérus lesz? Bent folytatta, és jobb választ kapott

Olenka válasza[újonc]
mind 0
Krab Bark
Jóslat
(56636)
Nem. Pontos nulla. Mivel az osztó a végtelen felé hajlik, a hányados nullára hajlik. És ha nem a végtelenbe hajló számmal osztunk, hanem magával a végtelennel (mellesleg, hogy pontosabban fogalmazzunk, hivatalosan egyáltalán nem számít számnak, hanem egy speciális szimbólumnak, amely kiegészíti a számok megjelölését) - pontosan nulla.

Válasz tőle Jugeus Vladimir[guru]
Még ha nullát is osztunk, akár tetszőleges számmal szorozunk, akkor is nulla lesz!

Válasz tőle 1 23 [guru]
ha valami szar nullára hajlik, akkor valami végessel (számmal vagy korlátozott függvénnyel) megszorozni fájdalommentes, mert az all-rna nullára hajlik.
de ha megszorozod valami végtelenségre hajló dologgal, akkor lehetnek lehetőségek.

Válasz tőle Krab Bark[guru]
Bármely szám végtelennel való elosztása nullát eredményez. Pontos nulla, nincs "nullára megy". És akkor bármilyen számmal megszorozod, nulla. A nulla nullától eltérő számmal való osztásának eredménye pedig nulla lesz, csak a nulla nullával való osztásakor az eredmény nincs definiálva, hányadosnak bármelyik szám megfelelő lesz.