Az óra témája: Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben.

9. évfolyam

Az óra céljai:

    Didaktikus: megismertetni a hallgatókkal az összeadást, kivonást, szorzást és osztást a kettes rendszerben, és ezen műveletek végrehajtásának készségeinek elsődleges gyakorlatát.

    Nevelési: felkelteni a tanulók érdeklődését az új dolgok elsajátítása iránt, megmutatni a számítások nem szabványos megközelítésének lehetőségét.

    Fejlesztés: fejleszteni a figyelmet, a gondolkodás szigorúságát, az érvelési képességet.

Az óra szerkezete.

    Szervezeti momentum -1 perc.

    Házi feladat ellenőrzése szóbeli vizsgával -15 perc.

    Házi feladat -2 perc.

    Problémák megoldása az anyag egyidejű elemzésével és önálló fejlesztésével -25 perc.

    Összegezve a leckét -2 perc.

AZ ÓRÁK ALATT

    Szervezési pillanat.

    Házi feladat ellenőrzése (szóbeli teszt) .

A tanár sorban felolvassa a kérdéseket. A tanulók figyelmesen hallgassák meg a kérdést anélkül, hogy leírnák. Csak a választ rögzítjük, és nagyon röviden. (Ha egy szóval is lehet válaszolni, akkor csak ez a szó kerül rögzítésre).

    Mi az a számrendszer? (-ez egy olyan jelrendszer, amelyben a számokat bizonyos szabályok szerint írják le valamilyen számnak nevezett ábécé karakterei segítségével )

    Milyen számrendszereket ismer?( nem pozíciós és pozicionális )

    Melyik rendszert nevezzük nem pozicionálisnak? (Az SCH-t nem-pozíciósnak nevezzük, ha egy szám számjegyének kvantitatív egyenértéke (mennyiségi értéke) nem függ a szám jelölésében elfoglalt helyétől ).

    Mi a pozíciós SSC alapja. (egyenlő az ábécéjét alkotó számjegyek számával )

    Milyen matematikai művelettel konvertálhatunk egy egész számot decimális NSC-ből bármely másikra? (osztály )

    Mit kell tenni egy szám decimálisról binárisra konvertálásához? (Következetesen oszd el 2-vel )

    Hányszorosára csökken a 11,1 szám 2 amikor a vesszőt egy karakterrel balra mozgatja? (2 alkalommal )

Most pedig hallgassunk meg egy verset egy rendkívüli lányról, és válaszoljunk a kérdésekre. (Úgy hangzik, mint egy vers )

RENDKÍVÜLI LÁNY

Ezer és száz éves volt
A százegyedik osztályba járt,
Száz könyvet hordtam a tárcámban.
Mindez igaz, nem hülyeség.

Amikor egy tucat lábbal poroszkál,
Ment az úton.
Mindig egy kiskutya követte
Egy farokkal, de százlábú.

Minden hangot elkapott
Tíz füllel
És tíz cserzett kéz
Egy aktatáskát és egy pórázt tartottak.

És tíz sötétkék szem
Szokásosnak tekintve a világot,
De minden teljesen normális lesz,
Amikor megérted a történetemet.

/ N. Starikov /

És hány éves volt a lány? (12 éves ) Melyik osztályba járt? (5. osztály ) Hány karja és lába volt? (2 kar, 2 láb ) Hogyan lehet egy kiskutyának 100 lába? (4 mancs )

A teszt kitöltése után a tanulók maguk hangosan mondják ki a válaszokat, önvizsgálatot végeznek, és a tanulók saját magukat értékelik.

Kritérium:

    10 helyes válasz (talán egy kis hiba) - „5”;

    9 vagy 8 - „4”;

    7, 6 – “3”;

    a többi a „2”.

II. Házi feladat (2 perc)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Munka új anyagokkal

Aritmetikai műveletek kettes rendszerben.

A kettes számrendszer aritmetikája a számjegyek összeadási, kivonási és szorzási táblázatainak használatán alapul. Az aritmetikai operandusok a táblázatok felső sorában és első oszlopában találhatók, az eredmények pedig az oszlopok és sorok metszéspontjában:

0

1

1

1

Kiegészítés.

A bináris összeadási táblázat rendkívül egyszerű. Csak egy esetben, amikor 1 + 1 összeadás történik, történik átvitel a legjelentősebb bitre.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Kivonás.

A kivonási művelet végrehajtása során mindig egy kisebb számot vonunk ki egy nagyobb abszolút értékű számból, és feltesszük a megfelelő előjelet. A kivonási táblázatban az 1-es sáv magas rendű kölcsönt jelent. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Szorzás

A szorzási művelet a szorzótábla segítségével történik a tizedes számrendszerben szokásos séma szerint, a szorzót a szorzó következő számjegyével szorozva. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

A szorzás a szorzó és az összeadás eltolására redukálódik.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. A lecke összegzése

Kártya a tanulók további munkájához.

Végezzen aritmetikai műveleteket:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Kiegészítés. A kettes számrendszerben a számok összeadása az egyjegyű kettes számok összeadási táblázatán alapul (6. táblázat).

Fontos figyelni arra, hogy két egység összeadásakor a legmagasabb számjegyre történik az átutalás. Ez akkor történik, ha egy szám értéke egyenlő vagy nagyobb lesz, mint a számrendszer alapja.

A többbites bináris számok összeadása a fenti összeadási táblázat szerint történik, figyelembe véve az esetleges átviteleket az alacsonyabb számjegyekről a magasabb számjegyekre. Példaként adjunk hozzá bináris számokat egy oszlopba:

Ellenőrizzük a számítások helyességét összeadással a tizedes számrendszerben. Konvertáljuk a bináris számokat decimális számrendszerré, és adjuk össze őket:

Kivonás. A kettes számok kivonása az egyjegyű kettes számok kivonási táblázatán alapul (7. táblázat).

Ha egy kisebb számból (0) kivonunk egy nagyobbat (1), akkor a legmagasabb rendű hitelfelvétel történik. A táblázatban a kölcsönt 1-es sáv jelzi.

A többjegyű bináris számok kivonása ennek a táblázatnak megfelelően valósul meg, figyelembe véve az esetleges kölcsönöket a magasabb rendű számjegyekben.

Például vonjunk ki bináris számokat:

Szorzás. A szorzás az egyjegyű kettes számok szorzótábláján alapul (8. táblázat).

A többjegyű bináris számok szorzása ennek a szorzótáblának megfelelően történik a tizedes számrendszerben használt szokásos séma szerint, a szorzó egymást követő szorzásával a szorzó következő számjegyével. Vegyünk egy példát a bináris szorzásra

Példa 1. Keresse meg X-et, ha Az egyenlőség bal oldalának átalakításához egymás után a de Morgan törvényét használjuk a logikai összeadáshoz és a kettős tagadás törvényét: A disztributív törvény szerint a logikai összeadáshoz: A harmadik ill. az állandó elimináció törvénye: Az eredményül kapott bal oldalt tegyük egyenlővé a jobb oldallal: X \u003d B Végül a következőt kapjuk: X = B. 2. példa: Egyszerűsítsük le a logikai kifejezést. kifejezés. Az általános inverzió törvénye szerint logikai összeadásnál (de Morgan első törvénye) és a kettős tagadás törvénye szerint: A disztributív (eloszlási) törvény szerint a logikai összeadásnál: Az ellentmondás törvénye szerint: Az idempotencia törvénye szerint helyettesítjük az értékeket és a kommutatív (kommutatív) törvényt használva és a kifejezéseket csoportosítva megkapjuk: A kizárás törvénye szerint (ragasztás) Helyettesítsük be az értékeket, és kapjuk: A logikai összeadáshoz szükséges konstansok kizárásának törvénye szerint és az idempotencia törvénye: Helyettesítsd be az értékeket és kapd meg: A disztributív (eloszlási) törvény szerint a logikai szorzáshoz: A középpont kiküszöbölésének törvénye szerint: Cseréld be az értékeket, és végül kapd meg: 2 Egy logikai alapjait számítógép Logikai elemnek nevezzük a diszkrét konvertert, amely a bemeneti bináris jelek feldolgozása után a kimeneten egy jelet ad ki, amely az egyik logikai művelet értéke. Az alábbiakban a logikai szorzást (konjunktor), logikai összeadást (disjunktor) és negációt (inverter) megvalósító alapvető logikai elemek szimbólumait (sémáit) találjuk. Rizs. 3.1. Konjunktor, diszjunktor és inverter A számítógépes eszközök (adderek a processzorban, memóriacellák a RAM-ban stb.) alapvető logikai elemekre épülnek. Példa 3. A megadott F(A, B) = =B&AÚB&A logikai függvény alapján alkossunk egy logikai áramkört. A konstrukciót egy logikai művelettel kell kezdeni, amelyet utoljára kell végrehajtani. Ebben az esetben egy ilyen művelet logikai összeadás, ezért a logikai áramkör kimenetén diszjunktornak kell lennie. A jeleket két konjuktorról táplálják rá, amelyekhez viszont egy bemeneti jel normál és egy invertált (inverterekről). 4. példa: A logikai áramkörnek két X és Y bemenete van. Határozza meg a két kimenetén megvalósított F1(X,Y) és F2(X,Y) logikai függvényeket. Az F1(X,Y) függvény az első konjunktor kimenetén valósul meg, azaz F1(X,Y) = X&Y. Ezzel egyidejűleg a konjuktor jele az inverter bemenetére kerül, amelynek kimenetén az X&Y jel realizálódik, amely viszont a második konjuktor egyik bemenetére kerül. A diszjunktor Xv Y jele a második konjuktor másik bemenetére kerül, ezért az F2(X,Y) = X&Y&,(XvY) függvény. Tekintsük két n bites bináris szám összeadásának sémáját. Az i-ro számjegy számjegyeinek hozzáadásakor hozzáadódik az ai és a bi, valamint a Pi-1 - átvitel az i-1 számjegyből. Az eredmény st - az összeg és a Pi - a magas sorrendbe való átvitel lesz. Így az egybites bináris összeadó három bemenettel és két kimenettel rendelkező eszköz. 3.15. példa. Készítsen igazságtáblázatot egy egybites bináris összeadóhoz a bináris összeadási tábla segítségével. Kioldó. A triggerek információkat tárolnak a számítógép RAM-jában, valamint a processzor belső regisztereiben. A trigger két stabil állapot egyikében lehet, amely lehetővé teszi 1 bit információ emlékezését, tárolását és olvasását. A legegyszerűbb trigger az .RS trigger. Két OR-NOT kapuból áll, amelyek az F9 logikai függvényt valósítják meg (lásd a 3.1 táblázatot). Az elemek be- és kimeneteit egy gyűrű köti össze: az első kimenete a második, a második kimenete pedig az első bemenetére csatlakozik. A triggernek két S bemenete (az angol készletből - telepítés) és I (az angol resetből - reset) és két Q (direkt) és Q (inverz) kimenete van. Rizs. 2 RS flip-flop logika 3.16. példa. Készítsen táblázatot, amely leírja az RS flip-flop be- és kimeneteinek állapotát. Ha a bemenetek R = 0 és S = 0 jeleket kapnak, akkor a trigger tárolási módban van, a Q és Q kimenetek megtartják a korábban beállított értékeket. Ha az S beállító bemenetre rövid időre 1-es jel érkezik, akkor a trigger 1-es állapotba kerül, és miután az S bemeneten lévő jel 0-val egyenlővé válik, a trigger ezt az állapotot elmenti, azaz 1-et tárol. Ha 1-et alkalmazunk az R bemenetre, a trigger 0 állapotba kerül. Ha mindkét S és R bemenetre logikait alkalmazunk, az kétértelmű eredményhez vezethet, ezért a bemeneti jelek ilyen kombinációja tilos. Önmegvalósítási feladatok 1. Két változónak 16 logikai függvénye van (lásd 3.1 táblázat). Építsék fel logikai áramköreiket alapvető logikai elemek segítségével: konjunktor, diszjunktor és inverter. 2. Bizonyítsuk be, hogy a 3.10. példában tárgyalt logikai áramkör egy egybites bináris félösszeadó (a legkisebb jelentőségű bitről való átvitelt nem vesszük figyelembe). 3. Igazságtáblázat megszerkesztésével bizonyítsuk be, hogy az Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) logikai függvény határozza meg a legmagasabb bitre való átvitelt bináris számok összeadásakor (A és B tagok, Po egy átvitel a legkisebb jelentőségű bittől). 4. Igazságtáblázat megszerkesztésével igazolja, hogy az S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) logikai függvény határozza meg az összeget bináris számok összeadásakor (A és B tagok, Po a legkisebb jelentőségű bitből származó átvitel). 5. Építsünk logikai áramkört egy egybites bináris összeadóból. Hány alapvető kapura van szükség egy 64 bites bináris összeadó megvalósításához? 6. Hány alapvető logikai elem alkotja egy modern, 64 MB kapacitású számítógép RAM-ját? 1. Írja le a számokat bővített formában: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6) A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Írja le a következő számokat hajtogatott formában: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Helyesen vannak-e felírva a számok a megfelelő számrendszerekben: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Mennyi a számrendszer minimális alapja, ha a 127, 222, 111 számokat írjuk bele? Határozza meg ezeknek a számoknak a decimális megfelelőjét a talált számrendszerben! 5. Mi a tizedes megfelelője az 101012, 101018 1010116 számoknak? 6. Egy háromjegyű tizedes szám a 3-as számmal végződik. Ha ezt a számot két számjeggyel balra toljuk, azaz egy új szám rögzítése attól kezdődik, akkor ez az új szám eggyel több lesz, mint a háromszorosa. eredeti szám. Keresse meg az eredeti számot. 2.22 Egy hatjegyű tizedes szám a bal oldalon 1-gyel kezdődik. Ha ezt a számot a bal oldali első helyről a jobb oldali utolsó helyre visszük át, akkor a képzett szám értéke az eredeti háromszorosa lesz. . Keresse meg az eredeti számot. 2.23 Az 1100112, 1114, 358 és 1B16 számok közül melyik: a) a legnagyobb; b) a legkevésbé? 2.27 Van-e olyan háromszög, amelynek oldalhosszát a 12g, 1116 és 110112 számok fejezik ki? 2.28 Mekkora a legnagyobb tizedes szám, amely bináris, oktális és hexadecimális számrendszerben háromjegyűként írható fel? 2.29 „Nem komoly” kérdések. Mikor van 2x2=100? Mikor van 6x6=44? Mikor a 4x4=20? 2.30. Jegyezze fel a következő numerikus intervallumokhoz tartozó egész decimális számokat: a) ; b) ; ban ben) . 2.31 Az osztályba 11112 lány és 11002 fiú jár. Hány diák van az osztályban? 2.32 36d tanuló van az osztályban, ebből 21q lány és 15q fiú. Milyen számozási rendszert használtak a tanulók számlálására? 2. 33. A kertben 100q gyümölcsfa van, ebből 33q almafa, 22q körtefa, 16q szilva és 5q cseresznye. Milyen számrendszerben számolják a fákat? 2.34 100q alma volt. Miután mindegyiket kettévágták, 1000q felek következtek. A számrendszerben milyen alapon vezetett a számla? 2.35 100 testvérem van. A fiatalabb 1000 éves, a nagyobbik 1111 éves. A legidősebb az 1001-es osztályban tanul. Ez lehet? 2.36 Volt egyszer egy tavacska, melynek közepén egy tavirózsa levele nőtt. Minden nap megkétszereződött az ilyen levelek száma, és a tizedik napon már a tó teljes felülete megtelt liliomlevéllel. Hány nap kellett ahhoz, hogy a tó felét megtöltsék levelekkel? Hány levél volt ott a kilencedik nap után? 2.37 A 2-es szám hatványainak kiválasztásával, amelyek egy adott számot adnak össze, alakítsuk át kettes számrendszerré a következő számokat: a) 5; 12-kor; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Ellenőrizze a fordítás helyességét az Advanced Converter programmal. 2.3. Számok fordítása egyik számrendszerből a másikba 2.3.1. Egész számok átalakítása egyik számrendszerből a másikba Megalkothatunk egy algoritmust p bázisú rendszerből q bázisú rendszerbe való egész számok konvertálására: 1. Fejezd ki az új számrendszer bázisát az eredeti számrendszer számjegyeivel, ill. minden további műveletet az eredeti számrendszerben hajtson végre. 2. Következetesen hajtsuk végre az adott szám és a kapott egész hányadosok osztását az új számrendszer alapján, amíg az osztónál kisebb hányadost nem kapunk. 3. Az így kapott maradékokat, amelyek egy szám számjegyei az új számrendszerben, összhangba hozzuk az új számrendszer ábécéjével. 4. Írjon le egy számot az új számrendszerben, az utolsó maradéktól kezdve. 2.12. példa A 17310 decimális számot oktálissá alakítjuk: ■ A következőt kapjuk: 17310=2558. 2.13. példa A 17310 decimális számot hexadecimális számrendszerré alakítjuk át: - A következőt kapjuk: 17310=AD16. 2.14. példa Az 1110 decimális szám átalakítása bináris számrendszerré. A következőt kapjuk: 111O=10112. 2.15. példa Néha kényelmesebb a fordítási algoritmust táblázat formájában megírni. Alakítsuk át a 36310 decimális számot bináris számmá. 2.3.2. Törtszámok átalakítása egyik számrendszerből a másikba Megalkothatunk egy algoritmust a p alapú megfelelő tört q bázisú törtté alakítására: 1. Fejezzük ki az új számrendszer bázisát az eredeti számrendszer számjegyeivel, ill. minden további műveletet az eredeti számrendszerben hajtson végre. 2. Sorozatosan szorozza meg a megadott számot és a szorzatok eredő törtrészeit az új rendszer alapján mindaddig, amíg a szorzat tört része nem lesz egyenlő nullával, vagy el nem éri a számábrázolás szükséges pontosságát. 3. A szorzatok eredő egész részeit, amelyek az új számrendszerben egy szám számjegyei, összhangba kell hozni az új számrendszer ábécéjével. 4. Állítsa össze a szám tört részét az új számrendszerben, az első szorzat egész részével kezdve! 2.16. példa. A 0,6562510 konvertálása oktális számrendszerré. 2.17. példa. Alakítsa át a 0,6562510 számot hexadecimális számrendszerré. 2.18. példa. A decimális 0,562510 konvertálása bináris számrendszerré. 2.19. példa Alakítsa át a 0,710 tizedes törtet binárisra. Nyilvánvalóan ez a folyamat a végtelenségig folytatódhat, egyre több új jelet adva a 0,710-es szám bináris megfelelőjének képében. Tehát négy lépésben megkapjuk a 0,10112 számot, hét lépésben pedig a 0,10110012 számot, amely a 0,710 szám pontosabb ábrázolása binárisan, és így tovább. Egy ilyen végtelen folyamat megszakad egy bizonyos lépésnél, amikor úgy tekintjük, hogy a számábrázolás szükséges pontosságát elértük. 2.3.3. Tetszőleges számok fordítása Tetszőleges számok, azaz egész és tört részeket tartalmazó számok fordítása két lépésben történik. A teljes részt külön, a töredékét külön fordítjuk. Az eredményül kapott szám végső rekordjában az egész részt elválasztjuk a tört vesszőtől. 2.20. példa: Alakítsa át a 17.2510 számot kettes számrendszerré. Lefordítjuk az egész részt: Lefordítjuk a tört részt: 2.21. példa. Alakítsa át a 124.2510 számot oktálisra. 2.3.4. Számok fordítása 2-es bázisú számrendszerből 2n-es bázisú számrendszerbe és fordítva Egész számok fordítása - Ha a q-áris számrendszer alapja 2 hatványa, akkor a számok átszámítása a q-árból számrendszer binárissá és fordítva egyszerűbb szabályokkal is végrehajtható. Ahhoz, hogy egy bináris egész számot q \u003d 2" bázisú számrendszerbe írhasson, a következőket kell tennie: 1. A bináris számot jobbról balra ossza fel n számjegyű csoportokra. 2. Ha az utolsó bal oldali csoport kevesebbet tartalmaz, mint n számjegy, akkor 3. Tekintsünk minden csoportot n-bites bináris számnak, és írjuk be a megfelelő számjegyként a számrendszerbe, amelynek alapja q = 2n 2.22. példa Alakítsa át az 1011000010001100102 számot oktális számrendszerré. A jobbról balra haladó számot háromszögekre osztjuk, és mindegyik alá írjuk a megfelelő oktális számjegyet: Az eredeti szám oktális reprezentációját kapjuk: 5410628. 2.23. példa. Alakítsuk át az 10000000001111100001112 számot hexadecimális számrendszerré. A számot jobbról balra tetradokra osztjuk, és mindegyik alá írjuk a megfelelő hexadecimális számjegyet: Az eredeti szám hexadecimális ábrázolását kapjuk: 200F8716. Törtszámok fordítása. Ha tört bináris számot szeretne írni egy q \u003d 2" bázisú számrendszerbe, a következőket kell tennie: 1. A bináris számot balról jobbra kell felosztani n számjegyű csoportokra. 2. Ha az utolsó jobb oldali csoport kevesebbet tartalmaz mint n számjegy, akkor a 3. Tekintsünk minden csoportot n-jegyű bináris számnak, és írjuk be a megfelelő számrendszerbe a q bázisú számrendszerbe \u003d 2n 2.24. példa jobbra hármasokba, és mindegyik alá írjuk a megfelelő oktális számjegy: Megkapjuk az eredeti szám oktális reprezentációját: 0,5428 2.25-ös példa A 0,1000000000112 számot hexadecimális számrendszerbe fordítjuk. A számot balról jobbra osszuk tetradokra, és írjuk mindegyik alá a megfelelő hexadecimális számjegyet: Szerezzük meg a hexadecimális számjegyet. az eredeti szám ábrázolása: 0.80316. q - 2n bázisú számrendszerbe írjunk egy kettes számot, szükségünk van: [ 1. Oszd fel ennek a bináris számnak az egész részét jobbról balra, a tört részét pedig balról jobbra n számjegyű csoportokra. 2. Ha az utolsó bal és/vagy jobboldali csoportban kevesebb, mint n számjegy van, akkor azokat a bal és/vagy jobb oldalon nullákkal kell kiegészíteni a kívánt számjegyig. 3. Tekintsünk minden csoportot n-bites bináris számnak, és írjuk fel a megfelelő számjegyként a számrendszerbe q = 2p bázissal. 2.26. példa Fordítsuk le az 111100101.01112 számot oktális számrendszerbe. A szám egész és tört részét hármasrészekre osztjuk, és mindegyik alá írjuk a megfelelő oktális számjegyet: Az eredeti szám oktális reprezentációját kapjuk: 745,34S. 2.27. példa Fordítsuk le az 11101001000,110100102 számot hexadecimális számrendszerbe. A szám egész és tört részét tetradokra osztjuk, és mindegyik alá írjuk a megfelelő hexadecimális számjegyet: Az eredeti szám hexadecimális ábrázolását kapjuk: 748,D216. Számok fordítása q \u003d 2p bázisú számrendszerekből kettes rendszerré. Ahhoz, hogy egy q \u003d 2 bázisú számrendszerbe írt tetszőleges szám kettes számrendszerré alakuljon, ki kell cserélni a számjegyeket ez a szám n-jegyű megfelelőjével a kettes számrendszerben . 2.28. példa. Fordítsuk le a 4AC351b hexadecimális számot kettes számrendszerre. Az algoritmusnak megfelelően: i Kapjuk: 10010101100001101012 Önmegvalósítási feladatok 2.38. Töltse ki a táblázatot, amelynek minden sorába ugyanazt az egész számot kell írni különböző számrendszerekben! 2.39. Töltse ki a táblázatot, amelynek minden sorába ugyanazt a törtszámot kell írni különböző számrendszerekben! 2.40. Töltse ki a táblázatot, melynek minden sorába ugyanazt a tetszőleges számot (a szám tartalmazhat egész és tört részt is) különböző számrendszerekben kell beírni! 2.4. Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben

Aritmetikai műveletek kettes rendszerben.


2.29. példa. Vegyünk néhány példát a bináris számok összeadására:

Kivonás. Kivonási művelet végrehajtása során mindig a kisebb számot vonjuk ki a nagyobb abszolút értékből, és a megfelelő előjelet helyezzük el. A kivonási táblázatban az 1-es sáv magas rendű kölcsönt jelent.


2.31. példa. Vegyünk néhány példát a bináris szorzásra:

Látja, hogy a szorzás szorzás, eltolás és összeadás.

Osztály. Az osztási művelet a decimális számrendszer osztási műveleti algoritmusához hasonló algoritmus szerint történik.


Összeadás más számrendszerekben. Alább látható az összeadási táblázat oktális számrendszerben:

2.42. Rendezzük az aritmetikai műveletek előjeleit úgy, hogy a következő egyenlőségek igazak legyenek a kettes rendszerben:

Írja le minden számra a választ a jelzett és a decimális számrendszerben! 2.44. Melyik szám előzi meg az egyes adatokat:

2.45. Írja ki a következő numerikus intervallumokhoz tartozó egész számokat:

a) bináris rendszerben;

b) oktális rendszerben;

c) hexadecimális rendszerben.

Írja le minden számra a választ a jelzett és a decimális számrendszerben!



2.47. Határozza meg a következő számok számtani átlagát:

2.48 A 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 + oktális számok összege
A + 1700000000 8 hexadecimális számrendszerré lett konvertálva.
Keressen a bejegyzésben ezzel az összeggel egyenlő számot, az ötödik számjegyet balról.


Állítsa vissza a kérdőjellel jelölt ismeretlen számokat
a következő összeadási és kivonási példák, először meghatározva
le, milyen rendszerben jelennek meg a számok.

Aritmetikai műveletek helyszámrendszerekben

Tekintsük részletesebben a kettes számrendszerben végzett aritmetikai műveleteket. A kettes számrendszer aritmetikája a számjegyek összeadási, kivonási és szorzási táblázatainak használatán alapul. Az aritmetikai operandusok a táblázatok felső sorában és első oszlopában találhatók, az eredmények pedig az oszlopok és sorok metszéspontjában:

Nézzük meg részletesen az egyes műveleteket.

Kiegészítés. A bináris összeadási táblázat rendkívül egyszerű. Csak egy esetben, amikor az összeadás megtörténik 1+1, átkerül a felső rangra. ,

Kivonás. Kivonási művelet végrehajtása során mindig a kisebb számot vonjuk ki a nagyobb abszolút értékből, és a megfelelő előjelet helyezzük el. A kivonási táblázatban az 1-es sáv magas rendű kölcsönt jelent.

Szorzás. A szorzási művelet a szorzótábla segítségével történik a tizedes számrendszerben szokásos séma szerint, a szorzót a szorzó következő számjegyével szorozva.

Osztály. Az osztási művelet a decimális számrendszer osztási műveleti algoritmusához hasonló algoritmus szerint történik.

Megjegyzés: Ha két 1-gyel egyenlő számot adunk össze, akkor ebben a számjegyben 0-t kapunk, és az 1.-et a rendszer a legjelentősebb számjegybe viszi át.

Példa_21: A 101 (2) és a 11 (2) számok vannak megadva. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10).

Ellenőrzés: 5+3=8.

Ha 0-ból kivonunk egyet, akkor a legközelebbi, 0-tól eltérő legmagasabb számjegyből egy egységet veszünk. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben elfoglalt egység 2 egységet ad a legkisebb jelentőségű számjegyben, és egyet a legmagasabb és a legmagasabb számjegy között lévő összes számjegyben. legalacsonyabb.

Példa_22: A 101 (2) és a 11 (2) számok vannak megadva. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10), 10 (2) =2 (10) .

Ellenőrzés: 5-3=2.

A szorzási művelet ismételt eltolásra és összeadásra redukálódik.

Példa_23: A 11 (2) és a 10 (2) számok adottak. Keresse meg ezeknek a számoknak a szorzatát!

ahol 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10), 110 (2) =6 (10) .

Ellenőrzés: 3*2=6.

Aritmetikai műveletek oktális számrendszerben

Két olyan szám összeadásakor, amelyek összege 8, ebben a kategóriában 0-t kapunk, és az 1-es a legmagasabb sorrendbe kerül.

Példa_24: 165 (8) és 13 (8) számok vannak megadva. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10).

Ha egy nagyobb számot kivonunk egy kisebb számból, akkor a legközelebbi legmagasabb számjegyből veszünk egy mértékegységet, amely különbözik 0-tól. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben foglalt egység 8-at ad a legkisebb jelentőségű számjegyben.

Példa_25: A 114 (8) és a 15 (8) számok vannak megadva. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 114 (8) =76 (10), 15 (8) =13 (10), 77 (8) =63 (10).

Aritmetikai műveletek hexadecimális számrendszerben

Két szám összeadásakor, összesen 16, 0-t írunk ebbe a kategóriába, és az 1-et a legmagasabb sorrendbe helyezzük át.

Példa_26: Az 1B5 (16) és az 53 (16) számok adottak. Keresse meg ezeknek a számoknak az összegét!

ahol 1B5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10).

Ha egy nagyobb számot kivonunk egy kisebb számból, az egység a legközelebbi legmagasabb számjegytől van elfoglalva, ami különbözik 0-tól. Ugyanakkor a legmagasabb számjegyben foglalt egység 16-ot ad a legkisebb jelentőségű számjegyben.

Példa_27: A 11A (16) és a 2C (16) számok adottak. Keresse meg a különbséget ezek között a számok között.

ahol 11A(16)=282(10), 2C(16)=44(10), EE(16)=238(10).

Számítógépes adatkódolás

A számítógépben lévő adatok kódként jelennek meg, amely egyesekből és nullákból áll különböző sorrendben.

A kód– szimbólumok halmaza az információ megjelenítésére. A kódolás az információ kód formájában történő bemutatásának folyamata.

Számkódok

Számítógépen végzett aritmetikai műveletek során használják közvetlen, fordított és további számkódok.

Közvetlen kód

Egyenes egy bináris szám kódja (abszolút érték előjeles ábrázolása) maga a bináris szám, amelybe az értékét reprezentáló összes számjegy a matematikai jelölés szerint, a szám előjele pedig egy bináris számjegy.

Az egész számokat számítógépen előjellel vagy anélkül is ábrázolhatjuk.

Az előjel nélküli egész számok általában egy vagy két bájtot foglalnak el a memóriából. Az előjeles egész számok tárolására egy, kettő vagy négy bájt, míg a legjelentősebb (bal szélső) bit a szám előjele alatt kerül lefoglalásra. Ha a szám pozitív, akkor 0-t írunk erre a bitre, ha negatív, akkor 1-et.

Példa_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


A számítógépben lévő pozitív számok mindig közvetlen kóddal jelennek meg. A szám közvetlen kódja teljesen egybeesik magának a számnak a gép cellájába való beírásával. Egy negatív szám közvetlen kódja csak az előjelbit tartalmában tér el a megfelelő pozitív szám közvetlen kódjától.

A közvetlen kódot a számok számítógépmemóriában való tárolásakor, valamint szorzási és osztási műveletek végrehajtásakor használják, de a számok közvetlen kódban történő megjelenítésének formátuma kényelmetlen a számításokhoz, mivel a pozitív és negatív számok összeadása és kivonása történik. eltérően, ezért szükséges az előjel-operandus bitek elemzése. Ezért a közvetlen kódot gyakorlatilag nem használják az ALU-ban lévő egész számokra vonatkozó aritmetikai műveletek végrehajtása során. De a negatív egész számok nem jelennek meg közvetlen kóddal a számítógépben. E formátum helyett elterjedtek a számok fordított és további kódok ábrázolására szolgáló formátumok.

Fordított kód

Fordított kód pozitív szám egybeesik egy közvetlen számmal, és negatív szám írásakor a szám előjelét képviselő számjegy kivételével minden számjegye ellentétesre cserélődik (0 helyett 1, 1 helyett 0 ).

Példa_29:

Példa_30:

A negatív szám közvetlen kódjának visszaállításához a fordított kódból minden számjegyet, kivéve a számjelet képviselő számjegyet, ellentétes számjegyekre kell cserélni.

Kiegészítő kód

Kiegészítő kód egy pozitív szám egybeesik a közvetlen számmal, és a negatív szám kódja úgy keletkezik, hogy az inverz kódhoz hozzáadunk 1-et.

Példa_31:

Példa_32:

Példa_33:

A -32 (10) egész számhoz írjon be egy további kódot.

1. Miután a 32 (10) számot kettes számrendszerré alakítjuk, a következőt kapjuk:

32 (10) =100000 (2) .

2. A 32 (10) pozitív szám közvetlen kódja 0010 0000.

3. A -32 (10) negatív szám esetén a közvetlen kód 1010 0000.

4. A -32 (10) szám fordított kódja 1101 1111.

5. A -32 (10) szám kiegészítő kódja 1110 0000.

Példa_34:

A szám kiegészítő kódja: 0011 1011. Keresse meg a szám értékét decimális jelöléssel!

1. A szám első (jele) számjegye 0 A 011 1011 0, tehát a szám pozitív.

2. Pozitív szám esetén a járulékos, inverz és közvetlen kódok megegyeznek.

3. A bináris rendszerben lévő számot a közvetlen kód rekordjából kapjuk - 111011 (2) (a legmagasabb számjegyekből a nullákat eldobjuk).

4. A 111011 (2) szám a decimális számrendszerre való átszámítás után 59 (10).

Példa_35:

A szám kiegészítő kódja 1011 1011. Keresse meg a szám értékét decimális jelöléssel!

1. Egy szám előjelű számjegye 1 A 011 1011 1, tehát a szám negatív.

2. A szám fordított kódjának meghatározásához vonjon le egyet a kiegészítő kódból. A fordított kód az 1 011 1010.

3. A közvetlen kódot fordítva kapjuk meg úgy, hogy a szám összes bináris számjegyét az ellentétes számjegyekre cseréljük (1 a 0, 0 az 1). A szám közvetlen kódja 1 100 0101 (az előjelbitbe 1-et írunk).

4. A bináris rendszerben lévő szám a közvetlen kód -100 0101 (2) rekordjából származik.

4. A -1000101 (2) szám a tizedesjegyre történő átalakítás után egyenlő -69 (10).


Hasonló információk.