Téma lekcie: Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách.

9. ročník

Ciele lekcie:

    Didaktické: oboznámiť študentov so sčítaním, odčítaním, násobením a delením v dvojkovej sústave a precvičiť si primárnu zručnosť vykonávať tieto činnosti.

    Vzdelávacie: rozvíjať záujem žiakov učiť sa nové veci, ukázať možnosť neštandardného prístupu k výpočtom.

    vyvíja sa: rozvíjať pozornosť, prísnosť myslenia, schopnosť uvažovať.

Štruktúra lekcie.

    Orgmoment -1 minúta.

    Kontrola domácich úloh ústnym testom -15 minút.

    Domáca úloha -2 minúty.

    Riešenie problémov so simultánnou analýzou a nezávislým vývojom materiálu -25 min.

    Zhrnutie lekcie -2 minúty.

POČAS VYUČOVANIA

    Organizačný moment.

    Kontrola domácich úloh (ústny test) .

Učiteľ prečíta otázky v poradí. Študenti pozorne počúvajú otázku bez toho, aby si ju zapisovali. Zaznamenáva sa iba odpoveď, a to veľmi stručne. (Ak je možné odpovedať jedným slovom, zaznamená sa iba toto slovo).

    Čo je to číselná sústava? (-ide o znakový systém, v ktorom sa čísla píšu podľa určitých pravidiel pomocou znakov nejakej abecedy nazývaných čísla )

    Aké číselné sústavy poznáte?( nepozičné a polohové )

    Aký systém sa nazýva nepolohový? (SCH sa nazýva nepolohový, ak kvantitatívny ekvivalent (kvantitatívna hodnota) číslice v čísle nezávisí od jej polohy v zápise čísla. ).

    Čo je základom pozičného SSC. (rovná počtu číslic, ktoré tvoria jeho abecedu )

    Aká matematická operácia by sa mala použiť na prevod celého čísla z desiatkového NSC na akékoľvek iné? (divízie )

    Čo je potrebné urobiť na prevod čísla z desiatkového na binárne? (Dôsledne vydeľte 2 )

    Koľkokrát sa zníži číslo 11,1 2 pri posunutí čiarky o jeden znak doľava? (2 krát )

Teraz si vypočujme verš o výnimočnom dievčati a odpovedzme na otázky. (Znie to ako verš )

MIMORIADNE DIEVČA

Mala tisíc a sto rokov
Išla do sto prvej triedy,
V portfóliu som nosil sto kníh.
Toto všetko je pravda, nie nezmysel.

Keď sa práši tuctom nôh,
Kráčala po ceste.
Vždy ju nasledovalo šteniatko
S jedným chvostom, ale stonohý.

Zachytila ​​každý zvuk
S desiatimi ušami
A desať opálených rúk
Držali aktovku a vodítko.

A desať tmavomodrých očí
Zvyčajne považoval svet,
Ale všetko bude úplne normálne,
Keď pochopíš môj príbeh.

/ N. Starikov /

A koľko malo dievča rokov? (12 ročný ) Do akej triedy chodila? (5. trieda ) Koľko mala rúk a nôh? (2 ruky, 2 nohy ) Ako má šteniatko 100 nôh? (4 labky )

Po dokončení testu odpovede nahlas vyslovia samotní žiaci, vykoná sa samoskúšanie a žiaci si dávajú známky.

Kritérium:

    10 správnych odpovedí (možno malá chyba) - „5“;

    9 alebo 8 - "4";

    7, 6 – “3”;

    zvyšok sú „2“.

II. Domáca úloha (2 minúty)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Práca s novým materiálom

Aritmetické operácie v dvojkovej sústave.

Aritmetika binárneho číselného systému je založená na použití tabuliek sčítania, odčítania a násobenia číslic. Aritmetické operandy sú umiestnené v hornom riadku a v prvom stĺpci tabuliek a výsledky sú v priesečníku stĺpcov a riadkov:

0

1

1

1

Doplnenie.

Binárna sčítacia tabuľka je veľmi jednoduchá. Len v jednom prípade, keď sa vykoná sčítanie 1 + 1, dôjde k prenosu na najvýznamnejší bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Odčítanie.

Pri vykonávaní operácie odčítania sa menšie číslo vždy odčíta od väčšieho čísla v absolútnej hodnote a vloží sa zodpovedajúce znamienko. V tabuľke odčítania 1 so stĺpcom znamená pôžičku vysokej hodnoty. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Násobenie

Operácia násobenia sa vykonáva pomocou tabuľky násobenia podľa obvyklej schémy používanej v sústave desiatkových čísel s postupným násobením násobiteľa nasledujúcou číslicou násobiteľa. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Násobenie sa redukuje na posuny násobilky a sčítania.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Zhrnutie lekcie

Karta na doplnkovú prácu študentov.

Vykonajte aritmetické operácie:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Doplnenie. Sčítanie čísel v binárnej číselnej sústave vychádza zo sčítacej tabuľky jednociferných binárnych čísel (tabuľka 6).

Je dôležité venovať pozornosť skutočnosti, že pri pridávaní dvoch jednotiek sa prevod uskutoční na najvyššiu číslicu. Stáva sa to vtedy, keď sa hodnota čísla rovná alebo je väčšia ako základ číselnej sústavy.

Sčítanie viacbitových binárnych čísel sa vykonáva v súlade s vyššie uvedenou tabuľkou sčítania, berúc do úvahy možné prevody z nižších číslic na vyššie číslice. Ako príklad pridajme binárne čísla do stĺpca:

Skontrolujme si správnosť výpočtov sčítaním v desiatkovej číselnej sústave. Prevedieme binárne čísla do desiatkovej číselnej sústavy a pridáme ich:

Odčítanie. Odčítanie binárnych čísel vychádza z tabuľky odčítania jednociferných binárnych čísel (tabuľka 7).

Pri odpočítaní od menšieho čísla (0) väčšieho (1) sa pôžička uskutoční od najvyššieho poradia. V tabuľke je pôžička označená 1 s čiarkou.

Odčítanie viacciferných binárnych čísel sa realizuje v súlade s touto tabuľkou s prihliadnutím na možné pôžičky vo vyšších čísliciach.

Napríklad odčítajme binárne čísla:

Násobenie. Násobenie je založené na tabuľke násobenia jednociferných binárnych čísel (tabuľka 8).

Násobenie viacciferných binárnych čísel sa vykonáva podľa tejto tabuľky násobenia podľa obvyklej schémy používanej v sústave desiatkových čísel s postupným násobením násobiteľa ďalšou číslicou násobiteľa. Zvážte príklad binárneho násobenia

Príklad 1. Nájdite X, ak Na transformáciu ľavej strany rovnosti postupne použijeme de Morganov zákon pre logické sčítanie a zákon dvojitej negácie: Podľa distributívneho zákona pre logické sčítanie: Podľa zákona o odstránení tretieho a zákon konštantnej eliminácie: Prirovnajte výslednú ľavú stranu k pravej: X \u003d B Nakoniec dostaneme: X = B. Príklad 2. Zjednodušte logický výraz Overte správnosť zjednodušenia pomocou pravdivostných tabuliek pre pôvodnú a výslednú logickú výraz. Podľa zákona všeobecnej inverzie pre logické sčítanie (prvý de Morganov zákon) a zákona dvojitej negácie: Podľa distributívneho (distributívneho) zákona pre logické sčítanie: Podľa zákona protirečenia: Podľa zákona idempotencie Nahrádzame hodnoty a pomocou komutatívneho (komutatívneho) zákona a zoskupením pojmov získame: Podľa zákona vylúčenia (zlepenia) Dosaďte hodnoty a získajte: Podľa zákona vylúčenia konštánt pre logické sčítanie a zákon idempotencie: Dosaďte hodnoty a získajte: Podľa distributívneho (distributívneho) zákona pre logické násobenie: Podľa zákona o eliminácii stredu: Nahraďte hodnoty a nakoniec získajte: 2 Logické základy a počítač Diskrétny prevodník, ktorý po spracovaní vstupných binárnych signálov vyvedie na výstupe signál, ktorý je hodnotou niektorej z logických operácií, sa nazýva logický prvok. Nižšie sú uvedené symboly (schémy) základných logických prvkov, ktoré implementujú logické násobenie (konjunktor), logické sčítanie (disjunktor) a negáciu (invertor). Ryža. 3.1. Konjunktor, disjunktor a invertor Počítačové zariadenia (sčítačky v procesore, pamäťové bunky v RAM atď.) sú postavené na základe základných logických prvkov. Príklad 3. Na základe zadanej logickej funkcie F(A, B) = =B&AÚB&A zostrojte logický obvod. Stavba musí začať logickou operáciou, ktorá sa musí vykonať ako posledná. V tomto prípade je takáto operácia logickým sčítaním, preto musí byť na výstupe logického obvodu disjunktor. Signály sú do nej privádzané z dvoch konjunktorov, do ktorých je zasa jeden vstupný signál normálny a jeden invertovaný (z meničov). Príklad 4. Logický obvod má dva vstupy X a Y. Určite logické funkcie F1(X,Y) a F2(X,Y), ktoré sú implementované na jeho dvoch výstupoch. Funkcia F1(X,Y) je implementovaná na výstupe prvého spojovača, teda F1(X,Y) = X&Y. Súčasne je signál z konjunktora privádzaný na vstup meniča, na výstupe ktorého je realizovaný signál X&Y, ktorý je naopak privádzaný na jeden zo vstupov druhého konjunktora. Signál Xv Y z disjunktora je privedený na druhý vstup druhého konjunktora, teda funkcia F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Zvážte schému sčítania dvoch n-bitových binárnych čísel. Pri pridávaní číslic i-ro číslice sa pridávajú ai a bi, ako aj Pi-1 - prevod z číslice i-1. Výsledkom bude st - súčet a Pi - prevod do vysokého rádu. Jednobitová binárna sčítačka je teda zariadenie s tromi vstupmi a dvoma výstupmi. Príklad 3.15. Zostavte pravdivostnú tabuľku pre jednobitovú binárnu sčítačku pomocou binárnej sčítacej tabuľky. Spúšťač. Spúšťače sa používajú na ukladanie informácií do pamäte RAM počítača, ako aj do vnútorných registrov procesora. Spúšť môže byť v jednom z dvoch stabilných stavov, čo umožňuje zapamätať si, uložiť a prečítať 1 bit informácie. Najjednoduchším spúšťačom je spúšťač .RS. Pozostáva z dvoch hradel OR-NOT, ktoré implementujú logickú funkciu F9 (pozri tabuľku 3.1). Vstupy a výstupy prvkov sú spojené krúžkom: výstup prvého je spojený so vstupom druhého a výstup druhého je spojený so vstupom prvého. Spúšť má dva vstupy S (z anglického set - inštalácia) a I (z anglického reset - reset) a dva výstupy Q (priamy) a Q (inverzný). Ryža. 2 Logika klopného obvodu RS Príklad 3.16. Zostrojte tabuľku popisujúcu stav vstupov a výstupov RS klopného obvodu. Ak vstupy prijímajú signály R = 0 a S = 0, potom je spúšť v režime uloženia, výstupy Q a Q si zachovajú predtým nastavené hodnoty. Ak je na nastavovací vstup S krátkodobo privedený signál 1, potom spúšť prejde do stavu 1 a keď sa signál na vstupe S rovná 0, spúšť tento stav uloží, to znamená, že uloží 1. Keď sa na vstup R použije 1, spúšť prejde do stavu 0. Použitie logickej jednotky na oba vstupy S a R môže viesť k nejednoznačnému výsledku, takže táto kombinácia vstupných signálov je zakázaná. Úlohy na sebarealizáciu 1. Existuje 16 logických funkcií dvoch premenných (pozri tabuľku 3.1). Zostavte ich logické obvody pomocou základných logických prvkov: spojovač, disjunktor a invertor. 2. Dokážte, že logický obvod uvažovaný v príklade 3.10 je jednobitová binárna polovičná sčítačka (prenášanie z najmenej významného bitu sa neberie do úvahy). 3. Dokážte zostavením pravdivostnej tabuľky, že logická funkcia Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) určuje prenos na najvyšší bit pri sčítaní binárnych čísel (A a B sú členy, Po je a prenášať z najmenej významného bitu). 4. Dokážte zostavením pravdivostnej tabuľky, že logická funkcia S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) určuje súčet pri sčítaní binárnych čísel (A a B sú členy, Po je prenos z najmenej významného bitu). 5. Zostavte logický obvod jednobitovej binárnej sčítačky. Koľko základných brán je potrebných na implementáciu 64-bitovej binárnej sčítačky? 6. Koľko základných logických prvkov tvorí pamäť RAM moderného počítača s kapacitou 64 MB? 1. Zapíšte čísla v rozšírenom tvare: a) A8=143511; d) A10 = 143,511; 6)A2=100111; e) A8 = 0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Zapíšte si nasledujúce čísla v zloženom tvare: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Sú čísla napísané správne v zodpovedajúcich číselných sústavách: a) A10 = A,234; c) A16 = 456,46; b) A8 = -5678; d) A2 = 22,2? 4. Aký je minimálny základ číselnej sústavy, ak sú v nej zapísané čísla 127, 222, 111? Určte desatinný ekvivalent týchto čísel v nájdenej číselnej sústave. 5. Aký je desatinný ekvivalent čísel 101012, 101018 1010116? 6. Trojmiestne desiatkové číslo končí číslom 3. Ak sa toto číslo posunie o dve číslice doľava, to znamená, že od neho sa začne zapisovať nové číslo, bude toto nové číslo o jedno viac ako trojnásobok pôvodné číslo. Nájdite pôvodné číslo. 2.22. Šesťmiestne desiatkové číslo začína vľavo číslom 1. Ak sa toto číslo prenesie z prvého miesta vľavo na posledné miesto vpravo, potom bude hodnota vytvoreného čísla trojnásobkom pôvodnej hodnoty. . Nájdite pôvodné číslo. 2.23 Ktoré z čísel 1100112, 1114, 358 a 1B16 je: a) najväčšie; b) najmenej? 2.27 Existuje trojuholník, ktorého dĺžky strán sú vyjadrené číslami 12g, 1116 a 110112? 2.28 Aké je najväčšie desatinné číslo, ktoré možno zapísať ako tri číslice v binárnych, osmičkových a šestnástkových sústavách? 2.29 „Neseriózne“ otázky. Kedy je 2x2=100? Kedy je 6x6=44? Kedy je 4x4=20? 2.30. Zapíšte si celé desatinné čísla patriace do nasledujúcich číselných intervalov: a) ; b) ; v). 2.31.V triede je 11112 dievčat a 11002 chlapcov. Koľko žiakov je v triede? 2.32.V triede je 36d žiakov, z toho 21q dievčat a 15q chlapcov. Aký systém číslovania bol použitý na počítanie študentov? 2. 33. Na záhrade je 100q ovocných stromov, z toho 33q jabloní, 22q hrušiek, 16q sliviek a 5q čerešní. V akom číselnom systéme sa stromy počítajú? 2.34 Bolo 100q jabĺk. Po rozrezaní každého z nich na polovicu bolo 1000q polovíc. V číselnej sústave s akým základom bol účet vedený? 2.35 Mám 100 bratov. Mladší má 1000 rokov a starší 1111 rokov. Najstarší študuje v triede 1001. Môže to byť? 2.36 Bolo raz jazierko, v strede ktorého rástol jediný list lekna. Každý deň sa počet takýchto listov zdvojnásobil a na desiaty deň už bola celá hladina jazierka zaplnená listami ľalie. Koľko dní trvalo naplniť polovicu jazierka listami? Koľko listov bolo po deviatom dni? 2.37 Výberom mocnín čísla 2, ktoré tvoria súčet daného čísla, preveďte do binárnej číselnej sústavy nasledujúce čísla: a) 5; v 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Skontrolujte správnosť prekladu pomocou programu Advanced Converter. 2.3. Preklad čísel z jedného číselného systému do druhého 2.3.1. Prevod celých čísel z jednej číselnej sústavy do druhej Môžeme sformulovať algoritmus na prevod celých čísel zo sústavy so základom p na sústavu so základom q: 1. Vyjadrite základ novej číselnej sústavy pomocou číslic pôvodnej číselnej sústavy a vykonať všetky nasledujúce akcie v pôvodnej číselnej sústave. 2. Dôsledne vykonávame delenie daného čísla a výsledných celočíselných podielov základom novej číselnej sústavy, až kým nedostaneme podiel menší ako deliteľ. 3. Výsledné zvyšky, ktorými sú číslice čísla v novej číselnej sústave, sa zosúladia s abecedou novej číselnej sústavy. 4. Vytvorte číslo v novej číselnej sústave a zapíšte ho od posledného zvyšku. Príklad 2.12 Preveďte desatinné číslo 17310 na osmičkové: ■ Dostaneme: 17310=2558. Príklad 2.13 Prevod desiatkového čísla 17310 do hexadecimálnej číselnej sústavy: - Dostaneme: 17310=AD16. Príklad 2.14 Preveďte desiatkové číslo 1110 na binárnu číselnú sústavu. Získame: 111O=10112. Príklad 2.15 Niekedy je vhodnejšie napísať prekladový algoritmus vo forme tabuľky. Skonvertujme desiatkové číslo 36310 na binárne číslo. 2.3.2. Prevod zlomkových čísel z jednej číselnej sústavy do druhej Môžeme sformulovať algoritmus na prevod vlastného zlomku so základom p na zlomok so základom q: 1. Vyjadrite základ novej číselnej sústavy pomocou číslic pôvodnej číselnej sústavy a vykonať všetky nasledujúce akcie v pôvodnej číselnej sústave. 2. Dané číslo a výsledné zlomkové časti súčinu postupne násobte základom nového systému, kým sa zlomková časť súčinu nerovná nule alebo kým sa nedosiahne požadovaná presnosť zobrazenia čísla. 3. Výsledné celočíselné časti súčinov, ktorými sú číslice čísla v novej číselnej sústave, musia byť zosúladené s abecedou novej číselnej sústavy. 4. Zostavte zlomkovú časť čísla v novej číselnej sústave, počnúc celočíselnou časťou prvého súčinu. Príklad 2.16. Preveďte 0,6562510 na osmičkovú číselnú sústavu. Príklad 2.17. Preveďte číslo 0,6562510 na hexadecimálnu číselnú sústavu. Príklad 2.18. Preveďte desiatkové číslo 0,562510 na binárnu číselnú sústavu. Príklad 2.19 Preveďte desatinný zlomok 0,710 na binárny. Je zrejmé, že tento proces môže pokračovať donekonečna a dáva stále viac nových znakov v obraze binárneho ekvivalentu čísla 0,710. Takže v štyroch krokoch dostaneme číslo 0,10112 a v siedmich krokoch dostaneme číslo 0,10110012, čo je presnejšia reprezentácia čísla 0,710 v binárnom systéme atď. Takýto nekonečný proces sa v určitom kroku preruší, keď sa usúdi, že bola dosiahnutá požadovaná presnosť zobrazenia čísla. 2.3.3. Preklad ľubovoľných čísel Preklad ľubovoľných čísel, teda čísel obsahujúcich celé a zlomkové časti, sa vykonáva v dvoch fázach. Celá časť je preložená samostatne, zlomková časť je preložená samostatne. V konečnom zázname výsledného čísla je celá časť oddelená od zlomkovej čiarky. Príklad 2.20 Preveďte číslo 17.2510 do binárnej číselnej sústavy. Preložíme celočíselnú časť: Preložíme zlomkovú časť: Príklad 2.21. Preveďte číslo 124,2510 na osmičkové. 2.3.4. Preklad čísel z číselnej sústavy so základom 2 do číselnej sústavy so základom 2n a naopak Preklad celých čísel - Ak je základom q-árnej číselnej sústavy mocnina 2, potom prevod čísel z q-áru číselnú sústavu na binárne a naopak možno vykonať pomocou jednoduchších pravidiel. Ak chcete zapísať binárne celé číslo v číselnej sústave so základom q \u003d 2 ", musíte: 1. Rozdeliť binárne číslo sprava doľava na skupiny po n číslic. 2. Ak posledná ľavá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom musí 3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ju ako zodpovedajúcu číslicu v číselnej sústave so základom q = 2n Príklad 2.22 Preveďte číslo 1011000010001100102 do osmičkovej číselnej sústavy. Číslo rozdelíme sprava doľava na trojice a pod každú zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu: Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 5410628. Príklad 2.23. Preveďme číslo 10000000001111100001112 na šestnástkovú číselnú sústavu. Číslo rozdelíme sprava doľava na tetrády a pod každú napíšeme príslušnú šestnástkovú číslicu: Dostaneme šestnástkové zobrazenie pôvodného čísla: 200F8716. Preklad zlomkových čísel. Aby ste mohli zapísať zlomkové binárne číslo v číselnej sústave so základom q \u003d 2 ", musíte: 1. Rozdeliť binárne číslo zľava doprava do skupín po n číslic. 2. Ak posledná pravá skupina obsahuje menej ako n číslic, potom jej 3. Každú skupinu považujte za n-miestne binárne číslo a zapíšte ju príslušnou číslicou v číselnej sústave so základom q \u003d 2n Príklad 2.24. doprava do trojíc a pod každú zapíšeme zodpovedajúcu osmičkovú číslicu: Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 0,5428 Príklad 2.25 Číslo 0,10000000000112 preložíme do šestnástkovej číselnej sústavy Rozdeľte číslo zľava doprava na tetrády a pod každú napíšte zodpovedajúcu šestnástkovú číslicu: Získajte šestnástkovú sústavu zastúpenie pôvodného čísla: 0,80316. napíšte binárne číslo v číselnej sústave so základom q - 2n, potrebujete: [ 1. Rozdeľte celú časť tohto binárneho čísla sprava doľava a zlomkovú časť zľava doprava na skupiny po n číslic. 2. Ak je v poslednej ľavej a/alebo pravej skupine menej ako n číslic, musia sa doplniť vľavo a/alebo vpravo nulami na požadovaný počet číslic. 3. Každú skupinu považujte za n-bitové binárne číslo a zapíšte ho ako zodpovedajúcu číslicu v číselnej sústave so základom q = 2p. Príklad 2.26 Preložme číslo 111100101.01112 do osmičkovej číselnej sústavy. Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme na triády a pod každú zapíšeme príslušnú osmičkovú číslicu: Dostaneme osmičkovú reprezentáciu pôvodného čísla: 745,34S. Príklad 2.27 Preložme číslo 11101001000,110100102 do hexadecimálnej číselnej sústavy. Celú a zlomkovú časť čísla rozdelíme na tetrády a pod každú z nich napíšeme príslušnú šestnástkovú číslicu: Dostaneme šestnástkové zobrazenie pôvodného čísla: 748,D216. Preklad čísel z číselných sústav so základom q \u003d 2p do dvojkovej sústavy. Aby bolo možné ľubovoľné číslo zapísané v číselnej sústave so základom q \u003d 2 previesť do dvojkovej číselnej sústavy, musíte nahradiť každú číslicu toto číslo s jeho n-ciferným ekvivalentom v binárnej číselnej sústave . Príklad 2.28. Preložme hexadecimálne číslo 4AC351b do dvojkovej číselnej sústavy. V súlade s algoritmom: i Získame: 10010101100001101012 Úlohy na sebarealizáciu 2.38. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké celé číslo v rôznych číselných sústavách. 2.39. Doplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké zlomkové číslo v rôznych číselných sústavách. 2.40. Vyplňte tabuľku, v ktorej musí byť v každom riadku napísané rovnaké ľubovoľné číslo (číslo môže obsahovať celé číslo aj zlomkovú časť) v rôznych číselných sústavách. 2.4. Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách

Aritmetické operácie v dvojkovej sústave.


Príklad 2.29. Zvážte niekoľko príkladov sčítania binárnych čísel:

Odčítanie. Pri vykonávaní operácie odčítania sa menšie číslo vždy odčíta od väčšieho čísla v absolútnej hodnote a vloží sa zodpovedajúce znamienko. V tabuľke odčítania 1 so stĺpcom znamená pôžičku vysokej hodnoty.


Príklad 2.31. Zvážte niekoľko príkladov binárneho násobenia:

Vidíte, že násobenie vedie k multiplikačným posunom a pridávaniu.

divízie. Operácia delenia sa vykonáva podľa algoritmu podobného algoritmu operácie delenia v desiatkovej číselnej sústave.


Sčítanie v iných číselných sústavách. Nižšie je uvedená sčítacia tabuľka v osmičkovom číselnom systéme:

2.42. Usporiadajte znamienka aritmetických operácií tak, aby v binárnom systéme platili nasledujúce rovnosti:

Napíšte odpoveď pre každé číslo v uvedenej a desatinnej číselnej sústave. 2.44. Ktoré číslo predchádza každému z údajov:

2.45. Napíšte celé čísla patriace do nasledujúcich číselných intervalov:

a) v dvojkovej sústave;

b) v osmičkovej sústave;

c) v šestnástkovej sústave.

Napíšte odpoveď pre každé číslo v uvedenej a desatinnej číselnej sústave.



2.47. Nájdite aritmetický priemer nasledujúcich čísel:

2.48. Súčet osmičkových čísel 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 bolo prevedené do hexadecimálnej číselnej sústavy.
Nájdite v zázname číslo, ktoré sa rovná tejto sume, piata číslica zľava.


Obnovte neznáme čísla označené otáznikom
nasledujúce príklady sčítania a odčítania, najprv definujte
le, v akom systéme sú čísla zobrazené.

Aritmetické operácie v pozičných číselných sústavách

Pozrime sa podrobnejšie na aritmetické operácie v binárnom číselnom systéme. Aritmetika binárneho číselného systému je založená na použití tabuliek sčítania, odčítania a násobenia číslic. Aritmetické operandy sú umiestnené v hornom riadku a v prvom stĺpci tabuliek a výsledky sú v priesečníku stĺpcov a riadkov:

Zvážme každú operáciu podrobne.

Doplnenie. Binárna sčítacia tabuľka je veľmi jednoduchá. Iba v jednom prípade, keď sa vykoná sčítanie 1+1, sa prenesie do vyššej hodnosti. ,

Odčítanie. Pri vykonávaní operácie odčítania sa menšie číslo vždy odčíta od väčšieho čísla v absolútnej hodnote a vloží sa zodpovedajúce znamienko. V tabuľke odčítania 1 so stĺpcom znamená pôžičku vysokej hodnoty.

Násobenie. Operácia násobenia sa vykonáva pomocou tabuľky násobenia podľa obvyklej schémy používanej v sústave desiatkových čísel s postupným násobením násobiteľa ďalšou číslicou násobiteľa.

divízie. Operácia delenia sa vykonáva podľa algoritmu podobného algoritmu operácie delenia v desiatkovej číselnej sústave.

Poznámka: Pri sčítaní dvoch čísel rovných 1 sa v tejto číslici získa 0 a prvé sa prenesie na najvýznamnejšiu číslicu.

Príklad_21: Uvádzajú sa čísla 101 (2) a 11 (2). Nájdite súčet týchto čísel.

kde 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 1000 (2) = 8 (10).

Kontrola: 5+3=8.

Pri odčítaní jednej od 0 sa jednotka berie z najvyššej najbližšej číslice, ktorá sa líši od 0. Zároveň jednotka obsadená najvyššou číslicou dáva 2 jednotky na najmenej významnej číslici a jednu vo všetkých čísliciach medzi najvyššou a najnižšie.

Príklad_22: Uvádzajú sa čísla 101 (2) a 11 (2). Nájdite rozdiel medzi týmito číslami.

kde 101 (2) = 5 (10), 11 (2) = 3 (10), 10 (2) = 2 (10).

Kontrola: 5-3=2.

Operácia násobenia sa redukuje na opakovaný posun a sčítanie.

Príklad_23: Sú uvedené čísla 11 (2) a 10 (2). Nájdite súčin týchto čísel.

kde 11(2) = 3 (10), 10 (2) = 2 (10), 110 (2) = 6 (10).

Kontrola: 3*2=6.

Aritmetické operácie v osmičkovej číselnej sústave

Pri sčítaní dvoch čísel, ktorých súčet sa rovná 8, sa v tejto kategórii získa 0 a prvé sa prenesie do najvyššieho poradia.

Príklad_24: Uvádzajú sa čísla 165 (8) a 13 (8). Nájdite súčet týchto čísel.

kde 165 (8) = 117 (10), 13 (8) = 11 (10), 200 (8) = 128 (10).

Pri odčítaní väčšieho čísla od menšieho čísla sa jednotka berie z najvyššej najbližšej číslice, ktorá je iná ako 0. Zároveň jednotka obsadená najvyššou číslicou dáva 8 na najmenej významnej číslici.

Príklad_25: Uvádzajú sa čísla 114 (8) a 15 (8). Nájdite rozdiel medzi týmito číslami.

kde 114 (8) = 76 (10), 15 (8) = 13 (10), 77 (8) = 63 (10).

Aritmetické operácie v hexadecimálnej číselnej sústave

Pri sčítaní dvoch čísel, spolu 16, sa do tejto kategórie zapíše 0 a 1 sa prenesie do najvyššieho poradia.

Príklad_26: Uvádzajú sa čísla 1B5 (16) a 53 (16). Nájdite súčet týchto čísel.

kde 1B5 (16) = 437 (10), 53 (16) = 83 (10), 208 (16) = 520 (10).

Pri odčítaní väčšieho čísla od menšieho čísla je jednotka obsadená od najvyššej najbližšej číslice, ktorá je iná ako 0. Zároveň jednotka obsadená najvyššou číslicou dáva 16 na najmenej významnej číslici.

Príklad_27: Sú uvedené čísla 11A (16) a 2C (16). Nájdite rozdiel medzi týmito číslami.

kde 11A (16) = 282 (10), 2C (16) = 44 (10), EE (16) = 238 (10).

Počítačové kódovanie dát

Dáta v počítači sú reprezentované ako kód, ktorý pozostáva z jednotiek a núl v rôznych postupnostiach.

Kód– súbor symbolov na prezentáciu informácií. Kódovanie je proces prezentácie informácií vo forme kódu.

Číselné kódy

Pri vykonávaní aritmetických operácií v počítači používajú priamy, spätný a dodatočné číselné kódy.

Priamy kód

Rovno kód (zobrazenie vo forme absolútnej hodnoty so znamienkom) binárneho čísla je samotné binárne číslo, v ktorom sú všetky číslice reprezentujúce jeho hodnotu zapísané ako v matematickom zápise a znamienko čísla je zapísané ako Binárna číslica.

Celé čísla môžu byť v počítači reprezentované so znamienkom alebo bez neho.

Celé čísla bez znamienka zvyčajne zaberajú jeden alebo dva bajty pamäte. Na uloženie celých čísel so znamienkom sa pridelí jeden, dva alebo štyri bajty, pričom najvýznamnejší (najviac ľavý) bit sa pridelí pod znamienkom čísla. Ak je číslo kladné, potom sa do tohto bitu zapíše 0, ak záporné, potom 1.

Príklad_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Kladné čísla v počítači sú vždy reprezentované pomocou priameho kódu. Priamy kód čísla sa úplne zhoduje so zadaním samotného čísla do bunky stroja. Priamy kód záporného čísla sa od priameho kódu zodpovedajúceho kladného čísla líši len obsahom znamienkového bitu.

Priamy kód sa používa pri ukladaní čísel do pamäte počítača, ako aj pri vykonávaní operácií násobenia a delenia, ale formát na reprezentáciu čísel v priamom kóde je nepohodlný na použitie vo výpočtoch, pretože sa vykonáva sčítanie a odčítanie kladných a záporných čísel. odlišne, a preto je potrebné analyzovať bity znamienkového operandu. Pri implementácii aritmetických operácií s celými číslami v ALU sa preto priamy kód prakticky nepoužíva. Ale záporné celé čísla nie sú v počítači reprezentované priamym kódom. Namiesto tohto formátu sa rozšírili formáty na reprezentáciu čísel v opačnom poradí a dodatočné kódy.

Obrátený kód

Obrátený kód kladné číslo sa zhoduje s priamym a pri písaní záporného čísla sa všetky jeho číslice okrem číslice predstavujúcej znamienko čísla nahradia opačnými (0 sa nahradí 1 a 1 sa nahradí 0 ).

Príklad_29:

Príklad_30:

Ak chcete obnoviť priamy kód záporného čísla z reverzného kódu, všetky číslice, okrem číslice predstavujúcej znamienko čísla, musia byť nahradené opačnými číslicami.

Dodatočný kód

Dodatočný kód kladného čísla sa zhoduje s priamym a kód záporného čísla sa vytvorí pridaním 1 k inverznému kódu.

Príklad_31:

Príklad_32:

Príklad_33:

Pre celé číslo -32 (10) napíšte dodatočný kód.

1. Po prevedení čísla 32 (10) do dvojkovej číselnej sústavy dostaneme:

32 (10) =100000 (2) .

2. Priamy kód pre kladné číslo 32 (10) je 0010 0000.

3. Pre záporné číslo -32 (10) je priamy kód 1010 0000.

4. Reverzný kód čísla -32 (10) je 1101 1111.

5. Doplnkový kód čísla -32 (10) je 1110 0000.

Príklad_34:

Doplnkový kód čísla je 0011 1011. Nájdite hodnotu čísla v desiatkovej sústave.

1. Prvá (znaková) číslica čísla 0 011 1011 je 0, takže číslo je kladné.

2. Pre kladné číslo sú dodatočné, inverzné a priame kódy rovnaké.

3. Číslo v dvojkovej sústave získame zo záznamu priameho kódu - 111011 (2) (nuly z najvyšších číslic vyhodíme).

4. Číslo 111011 (2) po prevedení do desiatkovej číselnej sústavy je 59 (10).

Príklad_35:

Doplnkový kód čísla je 1011 1011. Nájdite hodnotu čísla v desiatkovej sústave.

1. Znamienko čísla 1 011 1011 je 1, takže číslo je záporné.

2. Ak chcete určiť spätný kód čísla, odčítajte jeden od dodatočného kódu. Obrátený kód je 1 011 1010.

3. Priamy kód sa získa z rubu nahradením všetkých dvojkových číslic čísla opačnými (1 za 0, 0 za 1). Priamy kód čísla je 1 100 0101 (v bite znamienka píšeme 1).

4. Číslo v dvojkovej sústave sa získa zo záznamu priameho kódu -100 0101 (2).

4. Číslo -1000101 (2) po prevode na desatinné číslo sa rovná -69 (10).


Podobné informácie.