Število 0 lahko predstavljamo kot nekakšno mejo, ki ločuje svet realnih števil od imaginarnih ali negativnih. Zaradi dvoumnega položaja veliko operacij s to številsko vrednostjo ne sledi matematični logiki. Nezmožnost deljenja z ničlo je odličen primer tega. In dovoljene aritmetične operacije z ničlo se lahko izvajajo z uporabo splošno sprejetih definicij.

Zgodovina Zero

Ničla je referenčna točka v vseh standardnih številskih sistemih. Evropejci so to številko začeli uporabljati relativno nedavno, modreci starodavne Indije pa so ničlo uporabljali tisoč let, preden so prazno številko redno uporabljali evropski matematiki. Že pred Indijanci je bila ničla obvezna vrednost v številskem sistemu Majev. To Ameriško ljudstvo je uporabljalo dvanajstiški sistem in so prvi dan v mesecu začeli z ničlo. Zanimivo je, da je pri Majih znak za "ničlo" popolnoma sovpadal z znakom za "neskončnost". Tako so stari Maji ugotovili, da so te količine enake in nespoznavne.

Matematične operacije z ničlo

Standardne matematične operacije z ničlo je mogoče zmanjšati na nekaj pravil.

Seštevanje: če poljubnemu številu dodate ničlo, to ne bo spremenilo svoje vrednosti (0+x=x).

Odštevanje: pri odštevanju ničle od poljubnega števila ostane vrednost odštetega nespremenjena (x-0=x).

Množenje: vsako število, pomnoženo z 0, daje 0 v produktu (a*0=0).

Deljenje: ničlo lahko delimo s katerim koli neničelnim številom. V tem primeru bo vrednost takega ulomka 0. In deljenje z ničlo je prepovedano.

Potencevanje. To dejanje je mogoče izvesti s katero koli številko. Poljubno število, dvignjeno na potenco nič, bo dalo 1 (x 0 =1).

Nič na katero koli potenco je enako 0 (0 a \u003d 0).

V tem primeru se takoj pojavi protislovje: izraz 0 0 nima smisla.

Paradoksi matematike

Dejstvo, da je deljenje z ničlo nemogoče, mnogi vedo iz šole. Toda iz neznanega razloga ni mogoče pojasniti razloga za takšno prepoved. Dejansko, zakaj formula deljenja z ničlo ne obstaja, vendar so druga dejanja s to številko povsem razumna in mogoča? Odgovor na to vprašanje dajejo matematiki.

Dejstvo je, da običajne aritmetične operacije, ki se jih šolarji učijo v osnovnih razredih, v resnici še zdaleč niso tako enakovredne, kot si mislimo. Vse preproste operacije s števili lahko zmanjšamo na dve: seštevanje in množenje. Te operacije so bistvo samega koncepta števila, ostale operacije pa temeljijo na uporabi teh dveh.

Seštevanje in množenje

Vzemimo standardni primer odštevanja: 10-2=8. V šoli velja preprosto: če desetim predmetom odvzamemo dva, jih ostane osem. Toda matematiki na to operacijo gledajo precej drugače. Navsezadnje zanje ne obstaja operacija, kot je odštevanje. Ta primer lahko zapišemo tudi drugače: x+2=10. Za matematike je neznana razlika preprosto število, ki ga je treba dodati dve, da dobimo osem. In tukaj ni potrebno odštevanje, le najti morate ustrezno številsko vrednost.

Množenje in deljenje obravnavamo na enak način. V primeru 12:4=3 lahko razumemo, da govorimo o razdelitvi osmih predmetov na dva enaka kupa. Toda v resnici je to le obrnjena formula za pisanje 3x4 \u003d 12. Takšne primere za delitev je mogoče dati neskončno.

Primeri deljenja z 0

Tu postane nekoliko jasno, zakaj je nemogoče deliti z nič. Množenje in deljenje z nič imata svoja pravila. Vse primere na delitev te količine je mogoče formulirati kot 6:0=x. Toda to je obrnjen izraz izraza 6 * x = 0. Toda, kot veste, vsako število, pomnoženo z 0, daje v produktu samo 0. Ta lastnost je neločljivo povezana s samim konceptom ničelne vrednosti.

Izkazalo se je, da takšno število, ki pomnoženo z 0 daje kakršno koli oprijemljivo vrednost, ne obstaja, torej ta problem nima rešitve. Takšnega odgovora se ne smemo bati, to je naraven odgovor za tovrstne težave. Samo pisanje 6:0 nima nobenega smisla in ne more pojasniti ničesar. Na kratko, ta izraz je mogoče razložiti z nesmrtnim "brez delitve z ničlo".

Ali obstaja operacija 0:0? Dejansko, če je operacija množenja z 0 zakonita, ali se lahko nič deli z nič? Navsezadnje je enačba oblike 0x5=0 povsem zakonita. Namesto številke 5 lahko postavite 0, izdelek se od tega ne bo spremenil.

Dejansko je 0x0=0. Ampak še vedno ne moreš deliti z 0. Kot rečeno, je deljenje le inverzna množenju. Če je torej v primeru 0x5=0, morate določiti drugi faktor, dobimo 0x0=5. Ali 10. Ali neskončnost. Deljenje neskončnosti z ničlo - kako vam je všeč?

Če pa v izraz sodi katera koli številka, potem nima smisla, ne moremo izbrati enega iz neskončne množice števil. In če je tako, pomeni, da izraz 0:0 nima smisla. Izkazalo se je, da niti same ničle ni mogoče deliti z ničlo.

višja matematika

Deljenje z ničlo je glavobol za srednješolsko matematiko. Matematična analiza, ki se preučuje na tehničnih univerzah, nekoliko razširi koncept problemov, ki nimajo rešitve. Na primer, že znanemu izrazu 0:0 se dodajo novi, ki nimajo rešitve v šolskih tečajih matematike:

• neskončnost deljeno z neskončnostjo: ∞:∞;
• neskončnost minus neskončnost: ∞−∞;
• enota dvignjena na neskončno potenco: 1 ∞ ;
• neskončnost pomnožena z 0: ∞*0;
• nekateri drugi.

Takih izrazov je nemogoče rešiti z osnovnimi metodami. Toda višja matematika, zahvaljujoč dodatnim možnostim za številne podobne primere, daje končne rešitve. To je še posebej očitno pri obravnavi problemov iz teorije limitov.

Razkritje negotovosti

V teoriji limitov se vrednost 0 nadomesti s pogojno infinitezimalno spremenljivko. In izrazi, v katerih se pri zamenjavi želene vrednosti dobi deljenje z ničlo, se pretvorijo. Spodaj je standardni primer razširitve meje z uporabo običajnih algebraičnih transformacij:

Kot lahko vidite v primeru, preprosto zmanjšanje ulomka pripelje njegovo vrednost do povsem racionalnega odgovora.

Ko upoštevamo meje trigonometričnih funkcij, se njihovi izrazi ponavadi reducirajo na prvo opazno mejo. Pri obravnavi mej, v katerih gre imenovalec na 0, ko je meja zamenjana, se uporablja druga izjemna meja.

L'Hopitalova metoda

V nekaterih primerih lahko meje izrazov nadomestimo z mejo njihovih izpeljank. Guillaume Lopital - francoski matematik, ustanovitelj francoske šole matematične analize. Dokazal je, da so limese izrazov enake mejam odvodov teh izrazov. V matematičnem zapisu je njegovo pravilo naslednje.

Metode za reševanje limitov. Negotovosti.
Vrstni red rasti funkcij. Metoda zamenjave

Primer 4

Poiščite mejo

To je enostavnejši primer za rešitev "naredi sam". V predlaganem primeru spet negotovost (višjega reda rasti kot koren).

Če se "x" nagiba k "minus neskončnosti"

V tem članku že dolgo lebdi duh "minus neskončnosti". Razmislite o omejitvah s polinomi, v katerih . Načela in metode rešitve bodo popolnoma enake kot v prvem delu lekcije, z izjemo številnih odtenkov.

Razmislite o 4 čipih, ki bodo potrebni za reševanje praktičnih nalog:

1) Izračunajte mejo

Vrednost limita je odvisna samo od termina, ker ima najvišji red rasti. Če, potem neskončno velik modulo negativno število na SODO potenco, v tem primeru - v četrtem, je enako "plus neskončnost": . Konstanta ("dva") pozitivno, Zato:

2) Izračunajte mejo

Tukaj je spet višja stopnja celo, Zato: . Toda spredaj je "minus" ( negativno konstanta –1), torej:

3) Izračunajte mejo

Vrednost meje je odvisna samo od. Kot se spomnite iz šole, "minus" "poskoči" izpod lihe stopnje, torej neskončno velik modulo negativno število na liho potenco je enako "minus neskončnost", v tem primeru: .
Konstanta ("štiri") pozitivno, Pomeni:

4) Izračunajte mejo

Prvi fant v vasi je spet Čuden stopnje, poleg tega v nedrju negativno konstantna, kar pomeni: Tako:
.

Primer 5

Poiščite mejo

Na podlagi zgornjih točk sklepamo, da tukaj obstaja negotovost. Števec in imenovalec sta istega reda rasti, kar pomeni, da bomo v limiti dobili končno število. Odgovor izvemo tako, da zavržemo vso mladico:

Rešitev je trivialna:

Primer 6

Poiščite mejo

To je primer "naredi sam". Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In zdaj, morda najbolj subtilen primer:

Primer 7

Poiščite mejo

Glede na seniorske termine ugotavljamo, da je tukaj negotovost. Števec je višjega reda rasti kot imenovalec, zato lahko takoj rečemo, da je meja neskončnost. A kakšna neskončnost, »plus« ali »minus«? Sprejem je enak - v števcu in imenovalcu se bomo znebili malenkosti:

Odločamo se:

Števec in imenovalec delite z

Primer 15

Poiščite mejo

To je primer "naredi sam". Približen vzorec zaključka na koncu lekcije.

Še nekaj zanimivih primerov na temo zamenjave spremenljivk:

Primer 16

Poiščite mejo

Zamenjava enega v mejo povzroči negotovost. Zamenjava spremenljivke je že predlagana, vendar najprej pretvorimo tangento s formulo. Dejansko, zakaj potrebujemo tangento?

Upoštevajte, da torej. Če ni povsem jasno, si oglejte sinusne vrednosti v trigonometrična tabela. Tako se takoj znebimo faktorja , poleg tega pa dobimo bolj poznano negotovost 0:0. Lepo bi bilo, če bi se tudi naša meja nagibala k ničli.

Zamenjajmo:

Če, potem

Pod kosinusom imamo "x", ki ga je treba izraziti tudi s "te".
Iz zamenjave izrazimo: .

Rešitev dokončamo:

(1) Izvedba zamenjave

(2) Razširite oklepaje pod kosinusom.

(4) Organizirati prva čudovita meja, umetno pomnožite števec z in recipročno vrednost .

Naloga za samostojno rešitev:

Primer 17

Poiščite mejo

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

To so bile preproste naloge v njihovem razredu, v praksi je vse slabše in poleg tega redukcijske formule, je treba uporabiti različne trigonometrične formule, pa tudi druge trike. V članku Complex Limits sem analiziral nekaj resničnih primerov =)

Na predvečer praznika bomo dokončno razjasnili situacijo še z eno običajno negotovostjo:

Odprava negotovosti "ena na potenco neskončnosti"

Ta negotovost je "servirana" druga čudovita meja, v drugem delu te lekcije pa smo si zelo podrobno ogledali standardne primere rešitev, ki jih v večini primerov najdemo v praksi. Zdaj bo slika z razstavljavci dopolnjena, poleg tega pa bodo zadnje naloge lekcije posvečene limitom-"trikom", pri katerih se zdi, da je treba uporabiti 2. čudovito mejo, čeprav to sploh ni Ovitek.

Pomanjkljivost obeh delovnih formul 2. izjemne meje je, da mora argument težiti k "plus neskončnosti" ali k ničli. Kaj pa, če se argument nagiba k drugemu številu?

Na pomoč priskoči univerzalna formula (ki je pravzaprav posledica druge izjemne meje):

Negotovost je mogoče odpraviti s formulo:

Nekje sem že razložil, kaj pomenijo oglati oklepaji. Nič posebnega, oklepaji so pač oklepaji. Običajno se uporabljajo za jasno poudarjanje matematične notacije.

Poudarimo bistvene točke formule:

1) Gre za samo o negotovosti in nič drugega.

2) Argument "x" se lahko nagiba k poljubna vrednost(in ne le na nič ali ), zlasti na "minus neskončnost" ali na kdorkoli končna številka.

S to formulo lahko rešite vse primere lekcije Izjemne meje, ki spadajo v 2. imenitno mejo. Na primer, izračunajmo mejo:

V tem primeru , in po formuli :

Res je, da vam tega ne svetujem, po tradiciji še vedno uporabljate "običajno" zasnovo rešitve, če jo je mogoče uporabiti. Vendar uporaba formule je zelo priročna za preverjanje"klasični" primeri do 2. čudovite meje.

Zelo pogosto se mnogi sprašujejo, zakaj ni mogoče uporabiti deljenja z nič? V tem članku bomo zelo podrobno razložili, od kod prihaja to pravilo, pa tudi, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo.

V stiku z

Ničlo lahko imenujemo ena najbolj zanimivih številk. Ta številka nima pomena, pomeni praznino v pravem pomenu besede. Če pa poleg katere koli števke postavite ničlo, bo vrednost te števke nekajkrat večja.

Številka je sama po sebi zelo skrivnostna. Uporabljali so ga stari Maji. Pri Majih je ničla pomenila »začetek«, od nič se je začelo tudi odštevanje koledarskih dni.

Zelo zanimiv podatek je, da sta si bila predznak nič in predznak negotovosti pri njih podobna. S tem so Maji želeli pokazati, da je nič enak znak kot negotovost. V Evropi se je oznaka nič pojavila relativno nedavno.

Veliko ljudi pozna tudi prepoved, povezano z ničlo. Vsaka oseba bo to rekla ni mogoče deliti z nič. To govorijo učitelji v šoli, otroci pa jim običajno verjamejo na besedo. Običajno otrok to preprosto ne zanima ali pa vedo, kaj se bo zgodilo, če bodo, ko bodo slišali pomembno prepoved, takoj vprašali: "Zakaj ne moreš deliti z nič?". Toda, ko postanete starejši, se zanimanje prebudi in želite izvedeti več o razlogih za takšno prepoved. Vendar pa obstajajo razumni dokazi.

Dejanja z ničlo

Najprej morate ugotoviti, katera dejanja je mogoče izvesti z ničlo. obstaja več vrst dejavnosti:

• Dodatek;
• Množenje;
• odštevanje;
• Deljenje (ničla s številom);
• Potencevanje.

Pomembno!Če kateremu koli številu med seštevanjem dodamo ničlo, bo to število ostalo enako in ne bo spremenilo svoje številske vrednosti. Enako se zgodi, če poljubnemu številu odštejete nič.

Pri množenju in deljenju je stvar nekoliko drugačna. če pomnoži poljubno število z nič, potem bo tudi produkt postal nič.

Razmislite o primeru:

Zapišimo to kot dodatek:

Skupaj je dodanih pet ničel, tako se izkaže, da

Poskusimo pomnožiti ena z nič. Tudi rezultat bo nič.

Ničlo lahko delimo tudi s katerim koli drugim številom, ki ji ni enako. V tem primeru se bo izkazalo, da bo vrednost tudi enaka nič. Enako pravilo velja za negativna števila. Če ničlo delite z negativnim številom, dobite nič.

Lahko tudi dvignete poljubno število na nič moči. V tem primeru dobite 1. Pomembno si je zapomniti, da je izraz "ničla na ničelno moč" popolnoma brez pomena. Če poskusite nič povišati na katero koli potenco, dobite nič. primer:

Uporabimo pravilo množenja, dobimo 0.

Ali je mogoče deliti z nič

Tako smo prišli do glavnega vprašanja. Ali je mogoče deliti z nič nasploh? In zakaj je nemogoče deliti število z ničlo, glede na to, da vse druge operacije z ničlo v celoti obstajajo in veljajo? Če želite odgovoriti na to vprašanje, se morate obrniti na višjo matematiko.

Začnimo z definicijo pojma, kaj je nič? Šolski učitelji trdijo, da nič ni nič. Praznina. To pomeni, da ko rečete, da imate 0 pisal, to pomeni, da sploh nimate pisal.

V višji matematiki je koncept "ničle" širši. To sploh ne pomeni prazno. Tukaj ničlo imenujemo negotovost, ker če malo raziščeš, se izkaže, da lahko z delitvijo ničle z ničlo kot rezultat dobimo katerokoli drugo število, ki morda ni nujno ničlo.

Ali veste, da tiste preproste aritmetične operacije, ki ste se jih učili v šoli, med seboj niso tako enake? Najosnovnejši koraki so seštevanje in množenje.

Za matematike pojma "" in "odštevanje" ne obstajata. Denimo: če od pet odštejemo tri, ostaneta dva. Takole izgleda odštevanje. Vendar bi matematiki to zapisali takole:

Tako se izkaže, da je neznana razlika določeno število, ki ga je treba dodati 3, da dobimo 5. To pomeni, da vam ni treba ničesar odšteti, samo najti morate ustrezno število. To pravilo velja za dodajanje.

Stvari so nekoliko drugačne z pravila množenja in deljenja. Znano je, da množenje z nič vodi do ničelnega rezultata. Na primer, če je 3:0=x, potem če obrnete zapis, dobite 3*x=0. In število, ki je pomnoženo z 0, bo dalo nič v produktu. Izkazalo se je, da število, ki bi v zmnožku z ničlo dalo kakršno koli drugo vrednost razen nič, ne obstaja. To pomeni, da je deljenje z nič nesmiselno, to pomeni, da ustreza našemu pravilu.

Toda kaj se zgodi, če poskusite ničlo deliti samo s seboj? Vzemimo x kot neko nedoločeno število. Izkazalo se je, da je enačba 0 * x \u003d 0. Lahko se reši.

Če poskusimo namesto x vzeti ničlo, dobimo 0:0=0. Bi se zdelo logično? Če pa poskušamo namesto x vzeti katero koli drugo številko, na primer 1, potem dobimo 0:0=1. Enaka situacija bo, če vzamete katero koli drugo številko in vključite v enačbo.

V tem primeru se izkaže, da lahko kot faktor vzamemo katerokoli drugo število. Rezultat bo neskončno število različnih števil. Včasih je kljub temu deljenje z 0 v višji matematiki smiselno, a takrat običajno obstaja določen pogoj, zaradi katerega še vedno lahko izberemo eno primerno število. To dejanje se imenuje "razkritje negotovosti". V običajni aritmetiki bo deljenje z ničlo spet izgubilo pomen, saj iz množice ne bomo mogli izbrati nobenega števila.

Pomembno! Ničle ni mogoče deliti z ničlo.

Nič in neskončnost

Neskončnost je zelo pogosta v višji matematiki. Ker za šolarje preprosto ni pomembno, da vedo, da še vedno obstajajo matematične operacije z neskončnostjo, učitelji otrokom ne morejo pravilno razložiti, zakaj je nemogoče deliti z nič.

Študenti se začnejo učiti osnovnih matematičnih skrivnosti šele v prvem letniku inštituta. Višja matematika ponuja velik nabor problemov, ki nimajo rešitve. Najbolj znani problemi so problemi z neskončnostjo. Rešiti jih je mogoče z matematična analiza.

Uporabite se lahko tudi v neskončnost elementarne matematične operacije: seštevanje, množenje s številom. Pogosto se uporabljata tudi odštevanje in deljenje, vendar se na koncu vseeno zmanjšata na dve preprosti operaciji.

Ampak kaj bo če poskusiš:

• Pomnožite neskončnost z nič. V teoriji, če poskušamo katero koli število pomnožiti z nič, bomo dobili nič. Toda neskončnost je nedoločen niz števil. Ker iz tega niza ne moremo izbrati enega števila, izraz ∞*0 nima rešitve in je popolnoma brez pomena.
• Nič deljena z neskončnostjo. To je ista zgodba kot zgoraj. Ne moremo izbrati enega števila, kar pomeni, da ne vemo, s čim bi delili. Izraz nima smisla.

Pomembno! Neskončnost je malo drugačna od negotovosti! Neskončnost je vrsta negotovosti.

Zdaj pa poskusimo neskončnost deliti z nič. Zdi se, da bi morala biti negotovost. Če pa poskušamo deljenje zamenjati z množenjem, dobimo zelo jasen odgovor.

Na primer: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Tako se izkaže matematični paradoks.

Zakaj ne moreš deliti z nič

Miselni poskus, poskusite deliti z nič

Zaključek

Torej, zdaj vemo, da je nič predmet skoraj vseh operacij, ki se izvajajo z, razen ene same. Ne morete deliti z nič samo zato, ker je rezultat negotov. Naučili smo se tudi delovati na ničlo in neskončnost. Rezultat takih dejanj bo negotovost.

Odvod funkcije ne pade daleč in v primeru L'Hopitalovih pravil pade točno tam, kjer pade prvotna funkcija. Ta okoliščina pomaga pri razkrivanju negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞ in nekaterih drugih negotovosti, ki nastanejo pri izračunu omejitev razmerje dveh infinitezimalnih ali neskončno velikih funkcij. Izračun močno poenostavi to pravilo (pravzaprav dve pravili in opombe k njima):

Kot kaže zgornja formula, lahko pri izračunu meje razmerja dveh infinitezimalnih ali neskončno velikih funkcij omejitev razmerja dveh funkcij nadomestimo z mejo razmerja njunih odvod in tako dobili določen rezultat.

Preidimo k natančnejšim formulacijam L'Hopitalovih pravil.

L'Hopitalovo pravilo za primer meje dveh neskončno majhnih vrednosti. Naj funkcije f(x) In g(x a. In to na samem mestu a a izpeljanka funkcije g(x) ni enako nič ( g"(x a so med seboj enaki in enaki nič:

.

L'Hôpitalovo pravilo za primer limita dveh neskončno velikih količin. Naj funkcije f(x) In g(x) imajo odvode (to pomeni, da jih je mogoče diferencirati) v neki okolici točke a. In to na samem mestu a lahko imajo izpeljanke ali pa ne. Še več, v bližini točke a izpeljanka funkcije g(x) ni enako nič ( g"(x)≠0 ) in meje teh funkcij, ko x teži k vrednosti funkcije v točki a so med seboj enaki in neskončno enaki:

.

Potem je meja razmerja teh funkcij enaka meji razmerja njihovih derivatov:

Z drugimi besedami, za negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞ je meja razmerja dveh funkcij enaka meji razmerja njunih derivatov, če slednji obstaja (končen, to je enak a določeno število ali neskončno, to je enako neskončnosti).

Opombe.

1. Pravila L'Hopitala veljajo tudi za funkcije f(x) In g(x) niso definirani pri x = a.

2. Če pri izračunu meje razmerja odvodov funkcij f(x) In g(x) spet pridemo do negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞, potem je treba L'Hopitalova pravila uporabiti večkrat (vsaj dvakrat).

3. L'Hopitalova pravila veljajo tudi, kadar se argument funkcij (x) nagiba k nekončnemu številu a, in do neskončnosti ( x → ∞).

Negotovosti drugih tipov je mogoče zmanjšati tudi na negotovosti tipa 0/0 in ∞/∞.

Razkritje negotovosti tipa "nič deljeno z ničlo" in "neskončnost deljeno z neskončnostjo"

Primer 1

x=2 vodi do nedoločenosti oblike 0/0. Zato dobimo odvod vsake funkcije in

V števcu je bil izračunan odvod polinoma, v imenovalcu pa - odvod kompleksne logaritemske funkcije. Pred zadnjim enačajom, običajno omejitev, zamenjava dvojke namesto x.

Primer 2 Izračunajte mejo razmerja dveh funkcij z uporabo L'Hospitalovega pravila:

rešitev. Zamenjava v dano funkcijo vrednosti x

Primer 3 Izračunajte mejo razmerja dveh funkcij z uporabo L'Hospitalovega pravila:

rešitev. Zamenjava v dano funkcijo vrednosti x=0 vodi do nedoločenosti oblike 0/0. Zato izračunamo odvode funkcij v števcu in imenovalcu in dobimo:

Primer 4 Izračunaj

rešitev. Zamenjava vrednosti x, ki je enaka plus neskončnosti, v dano funkcijo vodi do nedoločenosti oblike ∞/∞. Zato uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:

Komentiraj. Preidimo na primere, v katerih je treba dvakrat uporabiti L'Hopitalovo pravilo, torej priti do meje razmerja drugih odvodov, saj je meja razmerja prvih odvodov negotovost oblike 0/0 ali ∞/∞.

Razkritje negotovosti oblike "ničla pomnožena z neskončnostjo"

Primer 12. Izračunaj

.

rešitev. Dobimo

Ta primer uporablja trigonometrično identiteto.

Razkritje negotovosti tipa "nič na potenco nič", "neskončnost na potenco nič" in "ena na potenco neskončnosti"

Negotovosti oblike ali so običajno reducirane na obliko 0/0 ali ∞/∞ z uporabo logaritma funkcije oblike

Za izračun limite izraza je treba uporabiti logaritemsko istovetnost, katere poseben primer je lastnost logaritma .

Z uporabo logaritemske identitete in lastnosti kontinuitete funkcije (da preseže predznak meje) je treba mejo izračunati na naslednji način:

Ločeno je treba najti mejo izraza v eksponentu in graditi e do najdene stopnje.

Primer 13

rešitev. Dobimo

.

.

Primer 14 Izračunajte z uporabo L'Hopitalovega pravila

rešitev. Dobimo

Izračunaj limito izraza v eksponentu

.

.

Primer 15 Izračunajte z uporabo L'Hopitalovega pravila

Če število delimo z neskončnostjo, ali količnik teži k nič? Nadaljeval sem in dobil boljši odgovor

Odgovor Olenke [novinec]
vse 0
Krabovo lubje
Oracle
(56636)
št. Natančna ničla. Ko delitelj teži k neskončnosti, kvocient teži k nič. In če ne delimo s številom, ki se nagiba k neskončnosti, ampak s samo neskončnostjo (mimogrede, če smo natančnejši, se uradno sploh ne šteje za številko, ampak velja za poseben simbol, ki dopolnjuje oznake števil) - točno nič.

Odgovor od Jugeus Vladimir[guru]
Tudi delite nič, tudi pomnožite s poljubnim številom, bo še vedno nič!

Odgovor od 1 23 [guru]
če se neko sranje nagiba k ničli, potem je množenje z nečim končnim (število ali omejeno funkcijo) neboleče, ker all-rna teži k ničli.
če pa to pomnožite z nečim, kar teži k neskončnosti, potem morda obstajajo možnosti.

Odgovor od Krabovo lubje[guru]
Če poljubno število delite z neskončnostjo, dobite nič. Natančna ničla, brez "hoda na ničlo". In potem, s katerimkoli številom pomnožite, nič. In rezultat deljenja ničle s katerim koli številom, ki ni nič, bo nič, samo pri deljenju ničle z ničlo rezultat ni definiran, katera koli številka bo primerna kot količnik.