Tema lekcije: Aritmetične operacije v pozicijskih številskih sistemih.

9. razred

Cilji lekcije:

    Didaktika: seznaniti študente s seštevanjem, odštevanjem, množenjem in deljenjem v dvojiškem sistemu in izvesti primarno prakso spretnosti izvajanja teh dejanj.

    Izobraževalni: razviti zanimanje študentov za učenje novih stvari, pokazati možnost nestandardnega pristopa k izračunom.

    V razvoju: razviti pozornost, strogost razmišljanja, sposobnost razmišljanja.

Struktura lekcije.

    Orgmoment -1 min.

    Preverjanje domače naloge z ustnim preizkusom znanja -15 minut.

    Domača naloga -2 minuti.

    Reševanje problemov s sočasno analizo in samostojnim razvojem gradiva -25 min.

    Povzetek lekcije -2 minuti.

MED POUKOM

    Organizacijski trenutek.

    Preverjanje domače naloge (ustni test) .

Učitelj bere vprašanja po vrsti. Učenci pozorno poslušajo vprašanje, ne da bi ga zapisali. Posname se le odgovor in to zelo kratek. (Če je možno odgovoriti z eno besedo, se zabeleži samo ta beseda).

    Kaj je številski sistem? (-to je znakovni sistem, v katerem so številke zapisane po določenih pravilih z uporabo znakov neke abecede, imenovane številke )

    Katere številske sisteme poznate?( nepozicijski in pozicijski )

    Kateri sistem se imenuje nepozicijski? (SCH se imenuje nepozicijski, če kvantitativni ekvivalent (kvantitativna vrednost) števke v številu ni odvisen od njegovega položaja v zapisu števila. ).

    Kaj je osnova položajnega SSC. (enako številu števk, ki sestavljajo njegovo abecedo )

    Katero matematično operacijo je treba uporabiti za pretvorbo celega števila iz decimalnega NSC v katero koli drugo? (delitev )

    Kaj je treba narediti, da pretvorimo število iz decimalne v dvojiško? (Dosledno delite z 2 )

    Za kolikokrat se bo število 11,1 zmanjšalo 2 pri premikanju vejice za en znak v levo? (2-krat )

Zdaj pa poslušajmo verz o izjemnem dekletu in odgovorimo na vprašanja. (Sliši se kot verz )

IZJEMNO DEKLCE

Bila je stara tisoč in sto let
Šla je v sto prvi razred,
V portfelju sem nosil sto knjig.
Vse to je res, ne neumnosti.

Ko, brisanje prahu z ducat nogami,
Hodila je po cesti.
Vedno ji je sledil kužek
Z enim repom, a stonogim.

Ujela je vsak zvok
Z desetimi ušesi
In deset zagorelih rok
Držali so aktovko in povodec.

In deset temno modrih oči
Običajno gleda na svet,
Ampak vse bo postalo čisto normalno,
Ko razumeš mojo zgodbo.

/ N. Starikov /

In koliko je bila punčka stara? (star 12 let ) V kateri razred je hodila? (5. razred ) Koliko rok in nog je imela? (2 roki, 2 nogi ) Kako ima mladiček 100 nog? (4 tačke )

Po opravljenem testu učenci sami glasno izgovorijo odgovore, opravijo samopreverjanje in se ocenijo.

Merilo:

    10 pravilnih odgovorov (morda majhna napaka) - "5";

    9 ali 8 - "4";

    7, 6 – “3”;

    ostali so "2".

II. Domača naloga (2 minuti)

10111 2 - 1011 2 = ? ( 1100 2 )
 10111 2 + 1011 2 = ? ( 100010 2 )
 10111 2 * 1011 2 = ? ( 11111101 2 ))

III. Delo z novim materialom

Aritmetične operacije v dvojiškem sistemu.

Aritmetika binarnega številskega sistema temelji na uporabi tabel seštevanja, odštevanja in množenja števk. Aritmetični operandi se nahajajo v zgornji vrstici in v prvem stolpcu tabel, rezultati pa na presečišču stolpcev in vrstic:

0

1

1

1

Dodatek.

Binarna seštevalna tabela je izjemno preprosta. Samo v enem primeru, ko se izvede seštevanje 1 + 1, pride do prenosa na najpomembnejši bit.

1001 + 1010 = 10011

1101 + 1011 = 11000

11111 + 1 = 100000

1010011,111 + 11001,11 = 1101101,101

10111 2 + 1001 2 = ? (100000 2 )

Odštevanje.

Pri izvajanju operacije odštevanja se manjše število vedno odšteje od večjega števila v absolutni vrednosti in se postavi ustrezen znak. V tabeli odštevanja 1 s črtico pomeni visoko posojilo. 10111001,1 – 10001101,1 = 101100,0

101011111 – 110101101 = – 1001110

100000 2 - 10111 2 = ? (1001 2 )

Množenje

Operacija množenja se izvede z uporabo množilne tabele po običajni shemi, ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja. 11001 * 1101 = 101000101

11001,01 * 11,01 = 1010010,0001

Množenje je zmanjšano na premike množenika in seštevanja.

111 2 * 11 2 = ? (10101 2 )

V. Povzetek lekcije

Izkaznica za dodatno delo študentov.

Izvedite aritmetične operacije:

A) 1110 2 + 1001 2 = ? (10111 2 ); 1101 2 + 110 2 = ? (10011 2 );

10101 2 + 1101 2 = ? (100010 2 ); 1011 2 + 101 2 = ? (10000 2 );

101 2 + 11 2 = ? (1000 2 ); 1101 2 + 111 2 = ? (10100 2 );

B) 1110 2 - 1001 2 = ? (101); 10011 2 - 101 2 = ? (1110 2 );

Dodatek. Seštevanje števil v dvojiškem številskem sistemu temelji na tabeli seštevanja enomestnih dvojiških števil (tabela 6).

Pomembno je biti pozoren na dejstvo, da se pri seštevanju dveh enot izvede prenos na najvišjo števko. To se zgodi, ko vrednost števila postane enaka ali večja od osnove številskega sistema.

Seštevanje večbitnih binarnih števil se izvede v skladu z zgornjo tabelo seštevanja, pri čemer se upoštevajo morebitni prehodi iz nižjih mest v višje. Kot primer dodamo binarna števila v stolpec:

Preverimo pravilnost računanja s seštevanjem v decimalnem številskem sistemu. Pretvorimo binarna števila v decimalni številski sistem in jih seštejmo:

Odštevanje. Odštevanje binarnih števil temelji na tabeli odštevanja enomestnih binarnih števil (tabela 7).

Ko se od manjšega števila (0) odšteje večje (1), se izposoja iz najvišjega reda. V tabeli je posojilo označeno z 1 s črtico.

Odštevanje večmestnih binarnih števil se izvaja v skladu s to tabelo, pri čemer se upoštevajo morebitna posojila v višjih številkah.

Na primer, odštejmo binarna števila:

Množenje. Množenje temelji na tabeli množenja enomestnih dvojiških števil (tabela 8).

Množenje večmestnih binarnih števil se izvaja v skladu s to množilno tabelo po običajni shemi, ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu, z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja. Razmislite o primeru binarnega množenja

Primer 1. Poiščite X, če Za transformacijo leve strani enakosti zaporedoma uporabimo de Morganov zakon za logično seštevanje in zakon dvojne negacije: Po distribucijskem zakonu za logično seštevanje: Po zakonu eliminacije tretjega in zakon konstantne eliminacije: Izenačite dobljeno levo stran z desno: X \u003d B Končno dobimo: X = B. Primer 2. Poenostavite logični izraz Preverite pravilnost poenostavitve z uporabo tabel resnic za izvirno in nastalo logično izražanje. Po zakonu splošne inverzije za logično seštevanje (prvi de Morganov zakon) in zakonu dvojne negacije: Po distribucijskem (distributivnem) zakonu za logično seštevanje: Po zakonu protislovja: Po zakonu idempotence Nadomestimo vrednosti in z uporabo komutativnega (komutativnega) zakona in združevanja izrazov dobimo: Po zakonu izključitve (lepljenje) Nadomestimo vrednosti in dobimo: Po zakonu izključitve konstant za logično dodajanje in zakon idempotence: Zamenjajte vrednosti in dobite: Po distribucijskem (distribucijskem) zakonu za logično množenje: Po zakonu izločanja sredine: Zamenjajte vrednosti in končno dobite: 2 Logične osnove a računalnik Diskretni pretvornik, ki po obdelavi vhodnih binarnih signalov na izhodu izda signal, ki je vrednost ene od logičnih operacij, imenujemo logični element. Spodaj so prikazani simboli (sheme) osnovnih logičnih elementov, ki izvajajo logično množenje (konjunktor), logično seštevanje (disjunktor) in zanikanje (inverter). riž. 3.1. Konjunktor, disjunktor in inverter Računalniške naprave (seštevalniki v procesorju, pomnilniške celice v RAM-u itd.) so zgrajene na osnovi osnovnih logičnih elementov. Primer 3. Na podlagi podane logične funkcije F(A, B) = =B&AÚB&A sestavite logično vezje. Konstrukcija se mora začeti z logično operacijo, ki mora biti izvedena zadnja. V tem primeru je takšna operacija logični dodatek, zato mora biti na izhodu logičnega vezja disjunktor. Nanj se dovajajo signali iz dveh konjunktorjev, na katera je en vhodni signal normalen, drugi pa invertiran (iz pretvornikov). Primer 4. Logično vezje ima dva vhoda X in Y. Določite logični funkciji F1(X,Y) in F2(X,Y), ki sta implementirani na njegovih dveh izhodih. Funkcija F1(X,Y) je implementirana na izhodu prvega konjunktorja, to je F1(X,Y) = X&Y. Istočasno se signal iz konjunktorja napaja na vhod pretvornika, na izhodu katerega se realizira signal X&Y, ki se nato napaja na enega od vhodov drugega konjunktorja. Signal Xv Y iz disjunktorja se dovaja na drugi vhod drugega konjunktorja, zato je funkcija F2(X,Y) = X&Y&,(XvY). Razmislite o shemi seštevanja dveh n-bitnih binarnih števil. Pri seštevanju števk števke i-ro se seštejeta ai in bi ter Pi-1 - prenos s števke i-1. Rezultat bo st - vsota in Pi - prenos v višji red. Tako je enobitni binarni seštevalnik naprava s tremi vhodi in dvema izhodoma. Primer 3.15. Sestavite tabelo resnic za enobitni binarni seštevalnik z uporabo tabele binarnega seštevanja. Sprožilec. Sprožilci se uporabljajo za shranjevanje informacij v RAM računalnika, pa tudi v notranjih registrih procesorja. Sprožilec je lahko v enem od dveh stabilnih stanj, kar vam omogoča, da si zapomnite, shranite in preberete 1 bit informacije. Najenostavnejši sprožilec je sprožilec .RS. Sestavljen je iz dveh vrat ALI-NE, ki izvajata logično funkcijo F9 (glej tabelo 3.1). Vhodi in izhodi elementov so povezani z obročem: izhod prvega je povezan z vhodom drugega, izhod drugega pa z vhodom prvega. Sprožilec ima dva vhoda S (iz angleškega set - namestitev) in I (iz angleškega reset - ponastavitev) ter dva izhoda Q (direkten) in Q (inverzni). riž. 2 Logika flip-flopa RS Primer 3.16. Sestavite tabelo z opisom stanja vhodov in izhodov flip-flopa RS. Če vhodi prejmejo signala R = 0 in S = 0, je sprožilec v načinu shranjevanja, izhoda Q in Q ohranita predhodno nastavljene vrednosti. Če je na nastavitveni vhod S za kratek čas doveden signal 1, potem preide prožilec v stanje 1 in potem, ko signal na vhodu S postane enak 0, bo prožilnik to stanje shranil, to je shranil 1. Ko se na vhod R uporabi 1, bo prožilec prešel v stanje 0. Uporaba logične enote na oba vhoda S in R lahko privede do dvoumnega rezultata, zato je ta kombinacija vhodnih signalov prepovedana. Naloge za samostojno izpolnjevanje 1. Obstaja 16 logičnih funkcij dveh spremenljivk (glej tabelo 3.1). Zgradijo njihova logična vezja z uporabo osnovnih logičnih elementov: konjunktorja, disjunktorja in inverterja. 2. Dokažite, da je logično vezje, obravnavano v primeru 3.10, enobitni binarni polseštevalnik (prenos iz najmanj pomembnega bita ni upoštevan). 3. S konstruiranjem resničnostne tabele dokažite, da logična funkcija Р = (A&B)v(A&,P0)v(B&P0) določa prenos v najvišji bit pri seštevanju binarnih števil (A in B sta člena, Po je a prenos iz najmanj pomembnega bita). 4. Dokažite z izdelavo tabele resnic, da logična funkcija S = (AvBvP0)&Pv(A&.B&P0) določa vsoto pri seštevanju binarnih števil (A in B sta člena, Po je prenos iz najmanj pomembnega bita). 5. Zgradite logično vezje enobitnega binarnega seštevalnika. Koliko osnovnih vrat je potrebnih za implementacijo 64-bitnega binarnega seštevalnika? 6. Koliko osnovnih logičnih elementov tvori RAM sodobnega računalnika s kapaciteto 64 MB? 1. Razširjeno zapiši števila: a) A8=143511; d) A10=143,511; 6)A2=100111; e) A8=0,143511; c) A16=143511; e) A1e \u003d 1AZ, 5C1. 2. Zapišite naslednje številke v zloženi obliki: a) A10 \u003d 9-101 + 1 * 10 + 5 "10-1 + 3-10 ~ 2; b) A16 \u003d A-161 + 1-16 ° + 7-16" 1+5-16~2. 3. Ali so števila pravilno zapisana v ustreznih številskih sistemih: a) A10 = A,234; c) A16=456,46; b) A8 = -5678; d) A2=22,2? 4. Kolikšna je najmanjša osnova številskega sistema, če so v njem zapisana števila 127, 222, 111? Določite decimalni ekvivalent teh števil v najdenem številskem sistemu. 5. Kaj je decimalni ekvivalent števil 101012, 101018 1010116? 6. Trimestno decimalno število se konča s številko 3. Če to številko premaknemo za dve števki v levo, kar pomeni, da se od nje začne zapisovanje nove številke, potem bo ta nova številka enkrat večja od trojne. izvirna številka. Poiščite izvirno številko. 2.22 Šestmestno decimalno število se začne na levi strani s številko 1. Če se ta številka prenese s prvega mesta na levi na zadnje mesto na desni, bo vrednost nastalega števila trikrat večja od prvotne. . Poiščite izvirno številko. 2.23 Katero od števil 1100112, 1114, 358 in 1B16 je: a) največje; b) najmanj? 2.27 Ali obstaja trikotnik, katerega dolžine stranic so izražene s števili 12g, 1116 in 110112? 2.28 Katero je največje decimalno število, ki ga lahko zapišemo kot tri števke v dvojiškem, osmiškem in šestnajstiškem številskem sistemu? 2.29 "Neresna" vprašanja. Kdaj je 2x2=100? Kdaj je 6x6=44? Kdaj je 4x4=20? 2.30. Zapišite cela decimalna števila, ki pripadajo naslednjim številskim intervalom: a) ; b) ; v) . 2.31 V razredu je 11112 deklet in 11002 fanta. Koliko učencev je v razredu? 2.32 V razredu je 36d učencev, od tega 21q deklet in 15q fantov. Kateri sistem številčenja je bil uporabljen za štetje študentov? 2. 33. Na vrtu je 100q sadnih dreves, od tega 33q jablan, 22q hrušk, 16q sliv in 5q češenj. V katerem številskem sistemu se štejejo drevesa? 2.34 Jabolk je bilo 100q. Ko je bil vsak od njih prerezan na pol, je bilo 1000q polovic. V številskem sistemu, na kakšni osnovi se je vodil račun? 2.35 Imam 100 bratov. Mlajši je star 1000 let, starejši pa 1111 let. Najstarejši študira v 1001. razredu. Bi to lahko bilo? 2.36 Nekoč je bil ribnik, v središču katerega je rasel en sam list vodne lilije. Vsak dan se je število takih listov podvojilo in deseti dan je bila vsa površina ribnika že napolnjena z listi lilije. Koliko dni je trajalo, da se je ribnik do polovice napolnil z listjem? Koliko listov je bilo po devetem dnevu? 2.37 Z izbiro potenc števila 2, ki dajejo seštevek danemu številu, pretvorite v dvojiški številski sistem naslednja števila: a) 5; ob 12; e) 32; b) 7; d) 25; f) 33. Preverite pravilnost prevoda s programom Advanced Converter. 2.3. Prevod števil iz enega številskega sistema v drugega 2.3.1. Pretvarjanje celih števil iz enega številskega sistema v drugega Lahko oblikujemo algoritem za pretvorbo celih števil iz sistema z osnovo p v sistem z osnovo q: 1. Osnovo novega številskega sistema izrazimo s ciframi prvotnega številskega sistema in izvedite vsa nadaljnja dejanja v izvirnem številskem sistemu. 2. Dosledno izvajamo deljenje danega števila in dobljenih celih količnikov z osnovo novega številskega sistema, dokler ne dobimo količnika, manjšega od delitelja. 3. Nastali ostanki, ki so števke števila v novem številskem sistemu, se uskladijo z abecedo novega številskega sistema. 4. Sestavi število v novem številskem sistemu in ga zapiši od zadnjega ostanka. Primer 2.12 Decimalno število 17310 pretvorimo v osmiško: ■ Dobimo: 17310=2558. Primer 2.13 Decimalno število 17310 pretvorimo v šestnajstiški številski sistem: - Dobimo: 17310=AD16. Primer 2.14 Pretvorite decimalno število 1110 v dvojiški številski sistem. Dobimo: 111O=10112. Primer 2.15 Včasih je bolj priročno napisati algoritem prevajanja v obliki tabele. Pretvorimo decimalno število 36310 v binarno število. 2.3.2. Pretvarjanje ulomkov iz enega številskega sistema v drugega Lahko oblikujemo algoritem za pretvorbo pravega ulomka z osnovo p v ulomek z osnovo q: 1. Izrazite osnovo novega številskega sistema s ciframi prvotnega številskega sistema in izvedite vsa nadaljnja dejanja v izvirnem številskem sistemu. 2. Dano število in dobljene ulomke zmnožkov zaporedno množimo z osnovo novega sistema, dokler ulomek zmnožka ne postane enak nič oziroma ni dosežena zahtevana natančnost prikaza števila. 3. Dobljene cele dele zmnožkov, ki so števke števila v novem številskem sistemu, je treba uskladiti z abecedo novega številskega sistema. 4. Sestavi ulomek števila v novem številskem sistemu, začenši s celim delom prvega zmnožka. Primer 2.16. Pretvorite 0,6562510 v osmiški številski sistem. Primer 2.17. Pretvorite število 0,6562510 v šestnajstiški številski sistem. Primer 2.18. Pretvorite decimalni 0,562510 v binarni številski sistem. Primer 2.19 Pretvorite decimalni ulomek 0,710 v dvojiški. Očitno se ta proces lahko nadaljuje v nedogled in daje vedno več novih znakov v podobi binarnega ekvivalenta števila 0,710. Tako v štirih korakih dobimo število 0,10112, v sedmih korakih pa dobimo število 0,10110012, ki je natančnejša predstavitev števila 0,710 v dvojiški obliki itd. Tak neskončen proces se prekine na določenem koraku, ko se oceni, da je zahtevana natančnost prikaza števila dosežena. 2.3.3. Prevod poljubnih števil Prevod poljubnih števil, torej števil, ki vsebujejo cele in ulomke, poteka v dveh stopnjah. Celoten del se prevaja ločeno, ulomek pa ločeno. V končnem zapisu dobljenega števila je celoštevilski del ločen od ulomka. Primer 2.20 Pretvorite število 17.2510 v dvojiški številski sistem. Prevedemo celo število: Prevedemo ulomek: Primer 2.21. Število 124,2510 pretvorite v osmiško. 2.3.4. Prevod števil iz številskega sistema z osnovo 2 v številski sistem z osnovo 2n in obratno Prevod celih števil - Če je osnova številskega sistema q potenca števila 2, potem je pretvorba števil iz q-arnega številskega sistema v dvojiški in obratno je mogoče izvesti z enostavnejšimi pravili. Če želite zapisati binarno celo število v številskem sistemu z osnovo q \u003d 2 ", morate: 1. Razdeliti binarno število od desne proti levi v skupine po n števk. 2. Če zadnja leva skupina vsebuje manj kot n števk, potem mora biti 3. Vsako skupino obravnavajte kot n-bitno binarno število in jo zapišite kot ustrezno števko v številskem sistemu z osnovo q = 2n. Primer 2.22 Število 1011000010001100102 pretvorite v osmiški številski sistem. Število od desne proti levi razdelimo na triade in pod vsako od njih zapišemo ustrezno osmiško števko: Dobimo osmiško predstavitev prvotnega števila: 5410628. Primer 2.23. Pretvorimo število 10000000001111100001112 v šestnajstiški številski sistem. Število od desne proti levi razdelimo na tetrade in pod vsako zapišemo ustrezno šestnajstiško števko: Dobimo šestnajstiško predstavitev prvotnega števila: 200F8716. Prevod ulomkov. Če želite zapisati delno binarno število v številskem sistemu z osnovo q \u003d 2 ", morate: 1. Razdeliti binarno število od leve proti desni v skupine po n števk. 2. Če zadnja desna skupina vsebuje manj kot n števk, nato njegovih 3. Vsako skupino obravnavajte kot n-mestno binarno število in jo zapišite z ustrezno števko v številskem sistemu z osnovo q \u003d 2n Primer 2.24. na desno v triade in pod vsako od njih napišemo ustrezno osmiško števko: Dobimo osmiško predstavitev prvotnega števila: 0,5428 Primer 2.25 Število 0,1000000000112 prevedemo v šestnajstiški številski sistem Število razdelimo od leve proti desni na tetrade in pod vsako od njih zapišemo ustrezno šestnajstiško števko: Dobimo šestnajstiško števko. predstavitev izvirnega števila: 0,80316. zapisati dvojiško število v številskem sistemu z osnovo q - 2n, potrebujete: [ 1. Razdelite celo število tega binarnega števila od desne proti levi in ​​delni del od leve proti desni v skupine po n števk. 2. Če je v zadnji levi in/ali desni skupini manj kot n števk, jih je treba na levi in/ali desni strani dopolniti z ničlami ​​do zahtevanega števila števk. 3. Vsako skupino obravnavajte kot n-bitno binarno število in jo zapišite kot ustrezno števko v številskem sistemu z osnovo q = 2p. Primer 2.26 Prevedimo število 111100101.01112 v osmiški številski sistem. Cel in ulomek števila razdelimo na triade in pod vsako zapišemo ustrezno osmiško števko: Dobimo osmiški prikaz prvotnega števila: 745,34S. Primer 2.27 Prevedimo število 11101001000,110100102 v šestnajstiški številski sistem. Cel in ulomek števila razdelimo na tetrade in pod vsako od njih zapišemo ustrezno šestnajstiško števko: Dobimo šestnajstiško predstavitev prvotnega števila: 748,D216. Prevod števil iz številskih sistemov z osnovo q \u003d 2p v binarni sistem Da bi poljubno število, zapisano v številskem sistemu z osnovo q \u003d 2, pretvorili v binarni številski sistem, morate zamenjati vsako števko to število z njegovim n-mestnim ekvivalentom v dvojiškem številskem sistemu. Primer 2.28. Prevedimo šestnajstiško število 4AC351b v dvojiški številski sistem. V skladu z algoritmom: i Dobimo: 10010101100001101012 Naloge za samostojno izpolnjevanje 2.38. Izpolni tabelo, v vsaki vrstici mora biti zapisano isto celo število v različnih številskih sistemih. 2.39. Izpolnite tabelo, v vsako vrstico katere mora biti zapisano isto delno število v različnih številskih sistemih. 2.40. Izpolni tabelo, v katero mora biti v vsaki vrstici zapisano isto poljubno število (število lahko vsebuje tako celo število kot ulomek) v različnih številskih sistemih. 2.4. Aritmetične operacije v pozicijskih številskih sistemih

Aritmetične operacije v dvojiškem sistemu.


Primer 2.29. Razmislite o nekaj primerih dodajanja binarnih števil:

Odštevanje. Pri izvajanju operacije odštevanja se manjše število vedno odšteje od večjega števila v absolutni vrednosti in se postavi ustrezen znak. V tabeli odštevanja 1 s črtico pomeni visoko posojilo.


Primer 2.31. Razmislite o nekaj primerih binarnega množenja:

Vidite, da se množenje zmanjša na premike množenika in seštevanja.

Delitev. Operacija deljenja poteka po algoritmu, podobnem algoritmu operacije deljenja v decimalnem številskem sistemu.


Seštevanje v drugih številskih sistemih. Spodaj je tabela seštevanja v oktalnem številskem sistemu:

2.42. Razporedite predznake aritmetičnih operacij tako, da bodo v dvojiškem sistemu veljale naslednje enakosti:

Za vsako število zapiši odgovor v navedenem in decimalnem številskem sistemu. 2.44. Katera številka je pred posameznim podatkom:

2.45. Izpišite cela števila, ki pripadajo naslednjim številskim intervalom:

a) v dvojiškem sistemu;

b) v osmiškem sistemu;

c) v šestnajstiškem sistemu.

Za vsako število zapiši odgovor v navedenem in decimalnem številskem sistemu.



2.47. Poiščite aritmetično sredino naslednjih števil:

2.48 Vsota osmiških števil 17 8 + 1700 8 + 170000 3 + 17000000 8 +
+ 1700000000 8 je bil pretvorjen v šestnajstiški številski sistem.
V vnosu poiščite številko, ki je enaka temu znesku, peto mesto z leve.


Obnovite neznana števila, označena z vprašajem
naslednje primere seštevanja in odštevanja, najprej opredelitev
le, v katerem sistemu so prikazane številke.

Aritmetične operacije v pozicijskih številskih sistemih

Oglejmo si podrobneje aritmetične operacije v binarnem številskem sistemu. Aritmetika binarnega številskega sistema temelji na uporabi tabel seštevanja, odštevanja in množenja števk. Aritmetični operandi se nahajajo v zgornji vrstici in v prvem stolpcu tabel, rezultati pa na presečišču stolpcev in vrstic:

Razmislimo o vsaki operaciji podrobno.

Dodatek. Binarna seštevalna tabela je izjemno preprosta. Samo v enem primeru, ko se izvaja seštevanje 1+1, se prenese v višji rang. ,

Odštevanje. Pri izvajanju operacije odštevanja se manjše število vedno odšteje od večjega števila v absolutni vrednosti in se postavi ustrezen znak. V tabeli odštevanja 1 s črtico pomeni visoko posojilo.

Množenje. Operacija množenja se izvede z uporabo množilne tabele po običajni shemi, ki se uporablja v decimalnem številskem sistemu z zaporednim množenjem množitelja z naslednjo številko množitelja.

Delitev. Operacija deljenja poteka po algoritmu, podobnem algoritmu operacije deljenja v decimalnem številskem sistemu.

Opomba: Pri seštevanju dveh števil, enakih 1, se v tej števki dobi 0, 1. pa se prenese na najpomembnejšo števko.

Primer_21: Podani sta številki 101 (2) in 11 (2). Poiščite vsoto teh števil.

kjer je 101 (2) = 5 (10) , 11 (2) = 3 (10) , 1000 (2) = 8 (10) .

Preverite: 5+3=8.

Pri odštevanju ena od 0 se enota vzame iz najvišje najbližje števke, ki je različna od 0. Hkrati enota, ki je zasedena v najvišji števki, daje 2 enoti v najmanj pomembni števki in eno v vseh števkah med najvišjo in najnižja.

Primer_22: Podani sta številki 101 (2) in 11 (2). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 101 (2) =5 (10) , 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) .

Preverite: 5-3=2.

Operacija množenja je zmanjšana na ponavljajoči se premik in seštevanje.

Primer_23: Podani sta številki 11 (2) in 10 (2). Poiščite zmnožek teh števil.

kjer je 11 (2) =3 (10) , 10 (2) =2 (10) , 110 (2) =6 (10) .

Preverite: 3*2=6.

Aritmetične operacije v osmiškem številskem sistemu

Pri seštevanju dveh števil, katerih vsota je enaka 8, v tej kategoriji dobimo 0, 1. pa prenesemo v najvišji red.

Primer_24: Podani sta številki 165 (8) in 13 (8). Poiščite vsoto teh števil.

kjer je 165 (8) = 117 (10) , 13 (8) = 11 (10) , 200 (8) = 128 (10) .

Pri odštevanju večjega števila od manjšega števila se enota vzame iz najvišje najbližje števke, ki je različna od 0. Hkrati enota, ki je zasedena v najvišji števki, daje 8 v najmanj pomembni števki.

Primer_25: Podani sta številki 114 (8) in 15 (8). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 114 (8) =76 (10) , 15 (8) =13 (10) , 77 (8) =63 (10) .

Aritmetične operacije v šestnajstiškem številskem sistemu

Pri seštevanju dveh števil, ki skupaj znašata 16, se v tej kategoriji zapiše 0, 1 pa se prenese v najvišji red.

Primer_26: Podani sta številki 1B5 (16) in 53 (16). Poiščite vsoto teh števil.

kjer je 1B5 (16) = 437 (10) , 53 (16) = 83 (10) , 208 (16) = 520 (10) .

Pri odštevanju večjega števila od manjšega števila se enota zasede od najvišje najbližje števke, ki je različna od 0. Hkrati pa enota, zasedena v najvišji števki, da 16 v najmanj pomembni števki.

Primer_27: Podani sta številki 11A (16) in 2C (16). Poiščite razliko med temi številkami.

kjer je 11A (16) =282 (10) , 2C (16) =44 (10) , EE (16) =238 (10) .

Računalniško kodiranje podatkov

Podatki v računalniku so predstavljeni kot koda, ki je sestavljena iz enic in ničel v različnih zaporedjih.

Koda– niz simbolov za predstavitev informacij. Kodiranje je postopek predstavitve informacij v obliki kode.

Številčne kode

Pri izvajanju aritmetičnih operacij v računalniku uporabljajo direktno, vzvratno in dodatno številske kode.

Neposredna koda

Naravnost koda (predstavitev v obliki absolutne vrednosti s predznakom) binarnega števila je samo binarno število, v katerem so vse števke, ki predstavljajo njegovo vrednost, zapisane kot v matematičnem zapisu, predznak števila pa je zapisan kot binarna cifra.

Cela števila lahko v računalniku predstavimo z ali brez predznaka.

Nepredznačena cela števila običajno zavzamejo en ali dva bajta pomnilnika. Za shranjevanje celih števil s predznakom so dodeljeni en, dva ali štirje bajti, medtem ko je najpomembnejši (skrajno levi) bit dodeljen pod predznakom števila. Če je število pozitivno, se v ta bit zapiše 0, če je negativno, pa 1.

Primer_28:

1 (10) =0 000 0001 (2) , -1 (10) =1 000 0001 (2)


Pozitivna števila v računalniku so vedno predstavljena z neposredno kodo. Neposredna koda številke popolnoma sovpada z vnosom same številke v celico stroja. Direktna koda negativnega števila se od neposredne kode ustreznega pozitivnega števila razlikuje le po vsebini bita predznaka.

Neposredna koda se uporablja pri shranjevanju števil v pomnilniku računalnika, pa tudi pri izvajanju operacij množenja in deljenja, vendar je format za predstavitev števil v neposredni kodi neprimeren za uporabo pri izračunih, saj se izvajata seštevanje in odštevanje pozitivnih in negativnih števil drugače, zato je treba analizirati predznačne operandske bite. Zato se neposredna koda praktično ne uporablja pri izvajanju aritmetičnih operacij na celih številih v ALU. Toda negativna cela števila v računalniku niso predstavljena z neposredno kodo. Namesto tega formata so se razširili formati za predstavitev števil v obratni smeri in dodatne kode.

Povratna koda

Povratna koda pozitivnega števila sovpada z neposrednim, pri pisanju negativnega števila pa se vse njegove števke, razen števke, ki predstavlja znak števila, zamenjajo z nasprotnimi (0 se nadomesti z 1, 1 pa z 0 ).

Primer_29:

Primer_30:

Za obnovitev neposredne kode negativnega števila iz povratne kode je treba vse števke, razen števke, ki predstavlja znak števila, zamenjati z nasprotnimi.

Dodatna koda

Dodatna koda pozitivnega števila sovpada z neposrednim, kodo negativnega števila pa tvorimo tako, da inverzni kodi dodamo 1.

Primer_31:

Primer_32:

Primer_33:

Za celo število -32 (10) napišite dodatno kodo.

1. Po pretvorbi števila 32 (10) v binarni številski sistem dobimo:

32 (10) =100000 (2) .

2. Neposredna koda za pozitivno število 32 (10) je 0010 0000.

3. Za negativno število -32 (10) je neposredna koda 1010 0000.

4. Povratna koda številke -32 (10) je 1101 1111.

5. Dodatna koda številke -32 (10) je 1110 0000.

Primer_34:

Dodatna koda števila je 0011 1011. Poiščite vrednost števila v decimalnem zapisu.

1. Prva (znakovna) števka števila 0 011 1011 je 0, torej je število pozitivno.

2. Za pozitivno število so dodatna, inverzna in direktna koda enake.

3. Število v dvojiškem sistemu dobimo iz zapisa neposredne kode - 111011 (2) (ničle iz najvišjih števk zavržemo).

4. Število 111011 (2) po pretvorbi v decimalni številski sistem je 59 (10).

Primer_35:

Dodatna koda števila je 1011 1011. Poiščite vrednost števila v decimalnem zapisu.

1. Podpis številke 1 011 1011 je 1, torej je število negativno.

2. Če želite določiti obratno kodo številke, odštejte eno od dodatne kode. Obratna koda je 1 011 1010.

3. Direktno kodo dobimo iz obratne z zamenjavo vseh binarnih števk števila z nasprotnimi (1 za 0, 0 za 1). Neposredna koda številke je 1 100 0101 (v bit predznaka pišemo 1).

4. Število v dvojiškem sistemu dobimo iz zapisa neposredne kode - -100 0101 (2).

4. Število -1000101 (2) po pretvorbi v decimalko je enako -69 (10).


Podobne informacije.